Wikibooks plwikibooks https://pl.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Strona_g%C5%82%C3%B3wna MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Media Specjalna Dyskusja Wikipedysta Dyskusja wikipedysty Wikibooks Dyskusja Wikibooks Plik Dyskusja pliku MediaWiki Dyskusja MediaWiki Szablon Dyskusja szablonu Pomoc Dyskusja pomocy Kategoria Dyskusja kategorii Wikijunior Dyskusja Wikijuniora TimedText TimedText talk Moduł Dyskusja modułu Wydarzenie Dyskusja wydarzenia 0 14350 554865 548249 2026-09-07T22:02:14Z Persino 2851 /* Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza */ 554865 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza == Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są: {{CentrujWzór|<MATH>{\vec X}^'=\vec{f}({\vec X})\;</MATH>|1.1}} gdzie: * położenie ciała w starym układzie współrzędnych:{{Formuła|<MATH>\vec{X}=[ct,x_1,x_2,x_3,..,x_i,...,x_n]^T\;</MATH>}}, a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci:{{Formuła|<MATH>{\vec X}^'=[ct^',x_1^',x_2^',x_3^',..,x_i^',...,x_n^']^T\;</MATH>}} jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych, * jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni. Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z definicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>d{\vec X}^'={{\partial{\vec f}({\vec X})}\over{\partial {\vec X}}}d{\vec X}\;</MATH>|1.2}} Załóżmy, że macierz występująca w {{LinkWzór|1.2}} jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}}) i inercjalne ({{Formuła|<MATH>\vec V=\mbox{const}\;</MATH>}}). Ciało, które ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni {{Formuła|<MATH>{\vec X}_P\;</MATH>}}, po przesunięciu tego układu o wektor {{Formuła|<MATH>-\vec{C}\;</MATH>}}, wtedy to ciało ma położenie {{Formuła|<math>\vec{X}\;</math>}}, co tą transformację możemy pisać: {{CentrujWzór|<MATH>{ \vec X}={ \vec X}_P+{ \vec C}\;</MATH>|1.3}} * gdzie {{Formuła|<MATH>{\vec C}=[c^0,c^1,c^2,c^3,...,c^i,...,c^n]^T\;</MATH>}} jest pewną stałą wektorową, a wektor {{Formuła|<MATH>\vec X_P\;</MATH>}} jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} po przesunięciu. Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych {{LinkWzór|1.3}} (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami). Możemy wykorzystać {{LinkWzór|1.3}} bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru {{LinkWzór|1.2}} dla {{Formuła|<MATH>\vec X=\vec X_P\;</MATH>}} pamiętając, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec C=\operatorname{const}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec C^'=\operatorname{const}^'\;</MATH>}}, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>d{\vec X}^'_P={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}d{\vec X}_P\Rightarrow d{\vec X}^'={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}d{\vec X}\Rightarrow M={{\partial {\vec f}({\vec X})}\over{\partial {\vec X}}}={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}=\left[\operatorname{const}_{\mu\nu}\right]_{n+1\times n+1}\;</MATH>|1.4}} W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie {{LinkWzór|1.2}} nie zależy od tego o jaki wektor {{Formuła|<MATH>-\vec{C}\;</MAth>}} przesuniemy stary i wektor {{Formuła|<MATH>-{\vec C}^'</MATH>}} nowy układ współrzędnych, postać transformacji {{LinkWzór|1.1}} dla {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} transformujące się do {{Formuła|<MATH>\vec X^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec X_{P}\;</MATH>}} transformujące się do {{Formuła|<MATH>\vec X_P^'\;</MATH>}} jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} jest stałą w {{LinkWzór|1.2}}, dlatego że zachodzi {{LinkWzór|1.4}} (końcowy wzór)), zatem przedostatni wzór w {{LinkWzór|1.4}} opisuje to samo, co wzór {{LinkWzór|1.2}}, pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: {{Formuła|<Math>{{\partial {\vec f}({\vec X})}\over{\partial{\vec X}}}\;</MAth>}}, wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się: {{Określenie|uchwyt=FF|czego=Transformacje tensora położenia w czasoprzestrzeni płaskiej|tekst=Transformacje współrzędnych ciała ze starego układu odniesienia do nowego w przestrzeni n-wymiarowej, pamiętając, że czas jest współrzędną, przedstawiają się n+1 wzorami: {{ElastycznaKolumna|1={{CentrujWzór|<math>t^'={m^{0}}_{0}t+{{{m^{0}}_{1}x^1}\over{c}}+{{{m^{0}}_{2}x^2}\over{c}}+{{{m^{0}}_{3}x^3}\over{c}}+...+{{{m^{0}}_{n}x^n}\over{c}}+{{r^0}\over{c}}\;</MATH>|1.5}}|2={{CentrujWzór|<math>{x^'}^1={m^{1}}_{0}ct+{m^{1}}_{1}x^1+{m^{1}}_{2}x^2+{m^{1}}_{3}x^3+...+{m^{1}}_{n}x^{n}+r^{1}\;</MATH>|1.6}}|3={{CentrujWzór|<math>{x^'}^2={m^{2}}_{0}ct+{m^{2}}_{1}x^1+{m^{2}}_{2}x^2+{m^{2}}_{3}x^3+...+{m^{2}}_{n}x^{n}+r^{2}\;</MATH>|1.7}}|4={{CentrujWzór|<math>{x^'}^3={m^{3}}_{0}ct+{m^{3}}_{1}x^1+{m^{3}}_{2}x^2+{m^{3}}_{3}x^3+...+{{m^3}}_{n}x^{n}+r^{3}\;</MATH>|1.8}}|5=<p><center>---------------------------------------------------------------------</center></p> |6={{CentrujWzór|<math>{x^'}^n={m^{n}}_{0}ct+{m^{n}}_{1}x^1+{m^{n}}_{2}x^2+{m^{n}}_{3}x^3+...+{m^{n}}_{n}x^n+r^{n}\;</MATH>|1.9}}}} }} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.6}}, {{LinkWzór|1.7}}, {{LinkWzór|1.8}} i {{LinkWzór|1.9}} transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{X}^'_p=M_p \vec{X}_p+M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\wedge \vec X^'=MX+{\vec R}_0\;</MATH>|1.10}} *gdzie&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec{X}_p=[x_1,x_2,...,x_n]^T\;</MATH>}}. Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór {{LinkWzór|1.10}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=M_p\vec{X}_{pu}+M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\wedge {\vec R}_0=-M{\vec X}_{0}\;</MATH>|1.11}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|1.11}} wyznaczymy wielkość {{Formuła|<math>M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\;</math>}} i podstawimy go do wzoru {{LinkWzór|1.10}}, wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>{\vec R}_O\;</MATH>}} względem starego układu współrzędnych, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{X}^'_p=M_p\left(\vec{X}_p-\vec{X}_{pu}\right)\wedge {\vec X}^'=M(\vec X-\vec X_0)\;</MATH>|1.12}} Wzór {{LinkWzór|1.12}} jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy {{Formuła|<MATH>B=[\vec e_0,\vec e_1,\vec e_2,\cdots,\vec e_n]\;</MATH>}}. == Tożsamość na część macierzy transformacji M na M{{Sub|x0}} == Wyprowadźmy wzór na wielkość M{{Sub|x0}} zakładając stałość macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana {{Formuła|<MATH>{{d\vec{X_u}}\over{dt}}=\vec{V}\;</MATH>}}, i dalej zróżniczkujmy wzór {{LinkWzór|1.10}} względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz: {{CentrujWzór|<MATH>0=M_p\vec{V}+M_{x0}c\Rightarrow M_{x0}=-M_p{{\vec{V}}\over{c}}\;</MATH>|1.16a}} Z końcowych rozważań {{LinkWzór|1.16a}} możemy napisać, że pierwszą kolumnę bez zerowego wiersza macierzy transformacji przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{m^{i}}_{0}=-{m^{i}}_{j}{{V^j}\over{c}}\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>j=1,2,3,...,n\;</MATH>|1.16b}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6zs5gqx7ximmvjute3kzzil7l5n24ak 0 20267 554822 526869 2026-09-07T15:15:44Z Persino 2851 /* Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego */ 554822 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}} mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} *gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie jest: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór jest: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> l9gjsrcudjzve7a45xjbeldmva8alg7 554823 554822 2026-09-07T15:16:15Z Persino 2851 /* Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego */ 554823 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}} mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} *gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie jest: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór jest: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> oq2m9r2owbslf3wzaq5g3r4nmexobg2 554824 554823 2026-09-07T15:18:09Z Persino 2851 /* Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego */ 554824 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}} mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} *gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie jest: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór jest: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> d3j9j4azyu7pzsx27kfyv6zpxk3fbic 554825 554824 2026-09-07T15:18:57Z Persino 2851 /* Tłumiony oscylator harmoniczny */ 554825 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}} mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} *gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie jest: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór jest: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8sb6xnbelsiq7hwxs5u57cavwjtnwh1 554826 554825 2026-09-07T15:23:36Z Persino 2851 554826 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}} mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} *gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dhxml76bu9877gujiuj4xea1pwz9kcl 554827 554826 2026-09-07T15:25:47Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego */ 554827 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ok5s303l9m7k11a10olwld4432gt9zv 554828 554827 2026-09-07T15:28:06Z Persino 2851 /* Uogólnienie trzeciej zasady Keplera */ 554828 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fzxh4h3t97591bx35ka1cefxmix52ei 554829 554828 2026-09-07T15:30:09Z Persino 2851 /* Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego */ 554829 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}} wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}} możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rm9hj4bayqt4abwkhcp7n0m3f9xg6d2 554830 554829 2026-09-07T15:31:13Z Persino 2851 /* Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych */ 554830 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> cpzy6x5neiotsesfvaomdeq52h3w744 554831 554830 2026-09-07T15:33:29Z Persino 2851 554831 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}} możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r9xzfcls83imecq235o5w5vk1209qst 554832 554831 2026-09-07T15:35:06Z Persino 2851 /* Przyspieszenie styczne i dośrodkowe */ 554832 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> l5rf8l6eystgn8wzutitp5ss010g1de 554833 554832 2026-09-07T15:36:10Z Persino 2851 /* Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym */ 554833 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> h8j7uq5arn0myl7iw10o9i4lzg5y8w5 554834 554833 2026-09-07T15:41:06Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego */ 554834 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> n8ar0ldxo2s4e5x3k3mhmv1215ndmui 554835 554834 2026-09-07T15:45:26Z Persino 2851 /* Tłumiony oscylator harmoniczny */ 554835 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gfaqj1fx0hb49wgyqg9wfuzf94f52x9 554836 554835 2026-09-07T15:47:30Z Persino 2851 /* Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia */ 554836 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> e7k8908yr2jdgoo6buidrabbfc728o6 554837 554836 2026-09-07T15:49:34Z Persino 2851 /* Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości */ 554837 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> lch182nolaxzwi4j03yrvf4d09ygako 554838 554837 2026-09-07T15:50:11Z Persino 2851 /* Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu */ 554838 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 5y7j9kg204jfij7qu0188lyn06f8mkp 554839 554838 2026-09-07T15:51:16Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera */ 554839 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> a1zllglgpfmrqejvem52f0653swg0t5 554840 554839 2026-09-07T15:52:55Z Persino 2851 554840 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> iqmavhiezuvc2m0uk1frp3uxofgafi4 554841 554840 2026-09-07T15:55:55Z Persino 2851 /* Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego */ 554841 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> abrpa86uo2eqdv335gizq8ixkdcbrtb 554842 554841 2026-09-07T15:56:56Z Persino 2851 /* Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego */ 554842 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> tap7zjl1jr74udzd03jkyqnuy85xak2 554843 554842 2026-09-07T15:57:51Z Persino 2851 /* Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego */ 554843 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego, opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych. określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> beqg79zkum1iys8rfsp6vocbtg16ddf 554844 554843 2026-09-07T16:01:33Z Persino 2851 /* Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego */ 554844 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni, piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni, całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego, opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych. określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6rlcl6s4h66qst82tcgxnyolrui3ljd 554845 554844 2026-09-07T16:06:21Z Persino 2851 /* Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego */ 554845 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni, piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni, całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych: {{Formuła|<MATH>\left(x,y,z\right)</MATH>}}, a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego, opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych. określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2pxg9wvqz9phqgavflnf2g85ob1gukn 554846 554845 2026-09-07T16:08:43Z Persino 2851 /* Cyrkulacja pola grawitacyjnego */ 554846 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni, piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni, całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych: {{Formuła|<MATH>\left(x,y,z\right)</MATH>}}, a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego, opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych. określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8nljuc2r7akd0ag2p46s9u01q1gcd59 554847 554846 2026-09-07T16:10:36Z Persino 2851 /* Natężenie pola grawitacyjnego */ 554847 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}} wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: *Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}} otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}} możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}, wtedy tą zasadę piszemy, według: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}} zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości{{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} *gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, którego to definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}} i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}} podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona określona, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}} i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni, piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni, całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, w wyniku obliczeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}} i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego &phi; i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu &omega;, te wzory napisane są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych: {{Formuła|<MATH>\left(x,y,z\right)</MATH>}}, a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego, opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych. określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8afx78f2c0d8uup0uj91to0hlzm3zbr 554848 554847 2026-09-07T17:15:15Z Persino 2851 554848 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Układem odniesienia''' nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia, względem którego określamy ruch. '''Wektorem wodzącym''' nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. '''Ruchem nazywamy''' zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}}}} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} i drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki, używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego &tau; do toru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, to według punktu {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, mówimy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy, jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}}}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Weźmy, jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}}}} Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}}, wyznaczmy stałe &alpha; &beta; i &gamma;, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, to możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}}, która jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości {{LinkWzór|1.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dlatego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}}}} === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}}, określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}}, możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona: ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej, zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą <math>M</MATH> oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu, nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdyby pozostałe siły byłyby równe zero, inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale [[#Zasada zachowania momentu pędu|Zasada zachowania momentu pędu]], w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68}}. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci i jest tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jakby tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(t,\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego): {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_im_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe, gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}} pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego). == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, w której siła jest napisana wzorem {{Formuła|<MATH>F=ma\;</MATH>}}, i na to ciało działa siła grawitacji {{Formuła|<MATH>F=-mg\;</MATH>}}, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}}, czyli v{{Sub|0}} jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej {{Formuła|<MATH>t=0\;</MATH>}}. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.36}} jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.37}}, otrzymujemy dwa równania na &lambda;, które są zdefiniowane, jako &lambda;{{Sub|1}}=0 lub &lambda;{{Sub|2}}=-&gamma;/m, zatem rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.36}} jest funkcja położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} === Oscylator harmoniczny === Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako {{Formuła|<MATH>F=-kx\;</MATH>}}, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki {{LinkWzór|1.31}}: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji x=e{{Sup|&lambda;t}}, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}}, możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmoniczmym, oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki, działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<math>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy &beta;=&gamma;(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;</MATH>|1.43}} Widzimy, że częstotliwość własna układu &omega;{{Sub|0}} jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Do równania {{LinkWzór|1.44}} podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e{{Sup|&lambda;t}}, otrzymujemy równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;</MATH>|1.45}} Rozwiązanie równania kwadratowego {{LinkWzór|1.45}}, wykorzystując wiadomości z algebry: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} ==== Silne tłumienie &beta;>&omega;{{Sub|0}} dla oscylatora tłumionego ==== Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.44}} przy pomocy {{LinkWzór|1.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}\;</MATH>|1.47}} ==== Słabe tłumienie drgań harmonicznych &beta;<&omega;{{Sub|0}} ==== Widzimy, ze we wzorze {{LinkWzór|1.46}} otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania {{LinkWzór|1.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} ==== Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego ==== Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona &gamma; jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)dx\;</MATH>}}, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać w postaci funkcji {{Formula|<MATH>x=x(t)\;</MATH>}} metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony: {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości {{Formuła|<MATH>F=-kx\;</MATH>}}. wtedy energia potencjalna prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Do równania {{LinkWzór|1.51}} możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|1.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;</MATH>|1.53}} Co równanie {{LinkWzór|1.53}} możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii {{Formuła|<MATH>E|;</MATH>}} ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}} sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} przypiętej do naszej sprężyny: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem {{LinkWzór|1.51}}, to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu, z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}} okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}} do zera i od zera do {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki: {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;</MATH>|1.56}} Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od &alpha; i energię całkowitą kulki {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}\;</MATH>}} i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do &alpha;: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.57}} We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;</MATH>|1.58}} Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}} według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną {{Formuła|<math>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;</MATH>|1.59}} Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}}, i dalej całkujemy go względem zmiennej {{Formuła|<MATH>U\;</MATH>}} lewą stronę równości {{LinkWzór|1.58}}, i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek x{{Sub|2}}(0)=x{{Sub|1}}(0)=0 dla stanu równowagi, to dla &alpha;=U możemy jednocześnie zapisać x{{Sub|1}}(U)=-x{{Sub|2}}(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<math>x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;</MATH>|1.61}} == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} === Zasada zachowania pędu === Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} === Zasada zachowania momentu pędu === Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</math>|1.66}}}} Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}}, a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, a zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;</MATH>|1.67}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Rónanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych. === Energia potencjalna === Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Z definicji rotacji możemy {{LinkWzór|1.74}}, mamy równość: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;</MATH>|1.75}} Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|1.75}}, powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru {{LinkWzór|1.74}}, że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. {{Formuła|<MATH>\int_A^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>}} jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty: {{CentrujWzór|<MATH>0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;</MATH>|1.77}} Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek {{LinkWzór|1.74}} lub {{LinkWzór|1.76}}, to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;</MATH>|1.78}} Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy '''siłami potencjalnymi''', a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy '''siłami konserwatywnymi''', a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je '''siłami niepotencjalnymi'''. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Zatem energia potencjalna według pierwszej równości {{LinkWzór|1.78}} wektora sił ciężkości, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;</MATH>|1.80}} ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;</MATH>|1.81}} Wyraz stojący po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|1.81}} jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy, jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, i to wszystko wzięte z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Energią potencjalną {{LinkWzór|1.78}} nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły {{LinkWzór|1.82}} względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem. {{CentrujWzór|<MATH>U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;</MATH>|1.83}} === Zasada zachowania energii === Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}, dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}^'\;</MATH>}}) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}\;</MATH>}} i zewnątrz {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}^'\;</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i=\sum_j\vec{F}_{zij}+\sum_{j}\vec{F}_{pij}+\sum_k\vec F_{zik}^'+\sum_k\vec F_{pik}^'\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\dot{\vec{v}}_i\vec{v}_idt=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d{{m_iv_i^2}\over{2}}=\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i+\sum_{j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\sum_k\vec F_{zik}^'d\vec r_i+\sum_k\vec F_{pik}^'d\vec r_i\;</MATH>|1.70}} Równanie {{LinkWzór|1.70}} opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą, wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}}: {{CentrujWzór|<MATH>dT=\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1}+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{zik}^'d\vec r_i}_{dW_2}+\underbrace{\sum_{ki}\vec F_{pik}^'d\vec r_i}_{-dU_2}=dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2\;</MATH>|1.71}} Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78}} i z trzeciej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i=\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_{j}\right)= \sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{i}-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\left(\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right)=\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{i,j,i<j}\left(-\vec{F}_{pij}\right)d\vec{r}_{ij}=-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum_{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_1\;</MATH>|1.72}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.72}} skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie {{LinkWzór|1.71}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie, jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dT=dW-dU_1-dU_2\Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;</MATH>|1.73}} Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości &phi;, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu {{LinkWzór|1.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;</MATH>|1.86}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.86}} możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.87}} W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru {{LinkWzór|1.87}} możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r{{Sub|0}} do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie: {{CentrujWzór|<MATH>t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;</MATH>|1.88}} Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu: {{CentrujWzór|<MATH>d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;</MATH>|1.89}} Do wzoru {{LinkWzór|1.89}} podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie {{LinkWzór|1.87}} i po przecałkowaniu jego obu stron: {{CentrujWzór|<math>\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;</MATH>|1.90}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|1.90}} lub we wzorze {{LinkWzór|1.88}} występuje wielkość zwana energią efektywną, a definicja: {{CentrujWzór|<MATH>U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;</MATH>|1.91}} Widzimy, że według {{LinkWzór|1.91}} energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu. == Empiryczne Prawa Keplera == Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M. ===Pierwsze Prawo Keplera=== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta &theta; piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}</MATH>|1.93}} * gdzie stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}}, w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości, których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p={{b^2}\over{a}}</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}}|3={{CentrujWzór|<MATH> e={{c}\over{a}}\leq 1</MATH>.|1.96}}}} === Drugie Prawo Keplera === {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy). === Trzecie Prawo Keplera === ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.97}} === Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera === {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Długość wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}rv\sin\beta</MATH>|1.99}} Udowodnijmy dwa powyższe wzory, biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie &Delta;t, definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta</MATH>|1.100}} Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej, jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie &Delta;t krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie, według: {{CentrujWzór|<MATH>u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;</MATH>|1.101}} Jeśli wzór {{LinkWzór|1.100}} podstawimy do {{LinkWzór|1.101}}, to otrzymamy wzór {{LinkWzór|1.99}}, i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru {{LinkWzór|1.98}}. Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej {{LinkWzór|1.98}} ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}</MATH>|1.102}} A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu. === Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera === {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.}} Prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem {{LinkWzór|1.84}}. Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)</MATH>|1.103}} Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta &phi; {{CentrujWzór|<MATH>r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)</MATH>|1.104}} Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe {{LinkWzór|1.104}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi</math>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84}} możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}</MATH>|1.106}} Tożsamość {{LinkWzór|1.105}} możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było, podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|1.106}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi</MATH>|1.107}} Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie {{LinkWzór|1.107}} i znów wykorzystując {{LinkWzór|1.106}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi</MATH>|1.108}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}</MATH>|1.109}} Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego {{LinkWzór|1.108}} oraz korzystając wzór {{LinkWzór|1.109}} możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)</MATH>|1.110}} Wzór {{LinkWzór|1.104}} możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F{{Sub|r}} {{LinkWzór|1.110}}, w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}</MATH>|1.111}} Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk: {{CentrujWzór|<MATH>\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}</MATH>|1.112}} Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że {{Formuła|<MATH>{{b^2}\over {a}}=k\;</MATH>}}, w takim razie trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const</MATH>|1.113}} Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: {{Formuła|<MATH>f={{L^2}\over{km^2}}</MATH>}}, a zatem wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.103}} piszemy, jako: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}</MATH>|1.114}} Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi {{Formuła|<MATH>f\sim M\Rightarrow f=GM</MATH>}}, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>F_r=-{{GMm}\over{r^2}}</MATH>|1.115}} === Uogólnienie trzeciej zasady Keplera === Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowaną wzorem {{Formuła|<MATH>F={{mv^2}\over{r}}</MATH>}}, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}</MATH>|1.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}</MATH>|1.117}}}} Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań, w taki sposób, by wyznaczyć, czemu jest równe R{{Sup|2}}r{{Sub|1}} i R{{Sup|2}}r{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}</MATH>|1.119}}}} Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}</MATH>}}, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, co otrzymamy następną parę równań określonych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm</MATH>|1.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM</MATH>|1.121}}}} Ale wiadomo, że suma promieni r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}} jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}</MATH>|1.122}} Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.123}} Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M{{Sub|1}}>>m{{Sub|1}} oraz M{{Sub|2}}>>m{{Sub|2}}, a także M{{Sub|1}}=M{{Sub|2}}=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>{{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}</MATH>|1.124}} == Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych == === Pole sił centralnych === Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.125}} * Gdzie &kappa; jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą. === Energia potencjalna w polu sił centralnych === Policzmy teraz energię potencjalną ciała, korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną {{LinkWzór|1.78}} znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór {{LinkWzór|1.125}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH> E_p=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa\left(-1{{1}\over{r}}\right)\bigg|^r_{\infty}=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.126}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.126}} możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=-\kappa{{1}\over{r}}</MATH>|1.127}} === Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach === Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|1.127}}, zatem całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.128}} Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta &phi; względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}</MATH>|1.129}} Do wzoru na energią całkowitą ciała {{LinkWzór|1.127}} podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}</MATH>|1.130}} A teraz weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r={{1}\over{s}}</MATH>}}, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'</MATH>|1.131}} Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.131}} na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s</MATH>|1.132}} Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe {{LinkWzór|1.132}} względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'</MATH>|1.133}} Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie {{LinkWzór|1.133}}, z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.134}} Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego {{LinkWzór|1.134}} w postaci funkcji zależnych od stałych A i B: {{CentrujWzór|<MATH>s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}</MATH>|1.135}} Wyznaczmy teraz stałe A, B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną {{Formuła|<MATH>{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0\;</MATH>}}, co dla tego punktu, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.135}}, stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;</MATH>|1.136}} Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.135}}: {{CentrujWzór|<MATH>s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;</MATH>|1.137}} Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch. {{CentrujWzór|<MATH>k={{L^2}\over{\kappa m}}\;</MATH>|1.138}} === Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach === Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem {{LinkWzór|1.137}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej &phi;, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie: {{CentrujWzór|<MATH>s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi</MATH>|1.139}} Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.131}}, podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi</MATH>|1.140}} A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie {{LinkWzór|1.130}}, do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu {{LinkWzór|1.140}}, która z kolei zależy od zmiennej kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}} <MATH>E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)</MATH>{{Br}}<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)</MATH>|1.141}} Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości &epsilon; i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} - to równaniem toru jest elipsa. * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} - to równaniem toru jest parabola * Gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>1</MATH>}} - to równaniem toru jest hiperbola == Pole grawitacyjne == Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, którego siła radialna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.108}}, piszemy w postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.142}} === Masa grawitacyjna i bezwładna === Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona {{Formuła|<MATH>\vec{F}=m_b\vec{a}\;</MAtH>}}, nazwijmy ją: {{Formuła|<MATH>m_b\;</MATH>}}, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:{{Formuła|<MATH>m_g\;</MATH>}}, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: {{Formuła|<MATH>m_g=km_b\;</MATH>}}, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} równej: {{Formuła|<MATH>G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;</MAth>}}. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć {{Formuła|<MATH>m_b=m_g=m\;</MATH>}}, czyli oznaczać je będziemy jako {{Formuła|<MATH>m\;</MAtH>}}. === Natężenie pola grawitacyjnego === Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}</MATH>|1.143}} Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według {{LinkWzór|1.143}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}</MATH>|1.144}} === Energia ciała w polu grawitacyjnym === Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})</MATH>|1.145}} Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\vec{e}_r</MATH>|1.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r \vec{e}_r</MATH>|1.147}}}} A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=W=-\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left[-{{1}\over{r}}\right]^r_{r_0}=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{GMm}\over{r}}</MATH>|1.148}} === Potencjał ciała w polu ciężkości === Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.148}}, jest ona: {{CentrujWzór|<MATH>\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}</MATH>|1.149}} === Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego === Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}</MATH>|1.150}} Jeśli wektor <MATH>\vec{a}\;</MATH> jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i to różniczkowanie lewej strony wyrażenia {{LinkWzór|1.150}} będziemy wykonywali, jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.149}}, i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem {{LinkWzór|1.144}}, co po tych rozważaniach wzór {{LinkWzór|1.150}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi</MATH>|1.151}} === Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym === Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}\;</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie {{LinkWzór|1.144}}, zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy, jako sumę promienia tejże naszej planety R{{Sub|0}} i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R{{Sub|0}}, {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\varphi_0+gh</MATH>|1.152}} Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=m\varphi=m\varphi_0+mgh=mgh+const\;</MATH>|1.153}} A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym: {{CentrujWzór|<MATH>E_p=mgh\;</MATH>|1.154}} === Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego === Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV</MATH>|1.155}} Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne, jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy {{Formuła|<MATH>\vec{r}||d\vec{S}\;</MATH>}}, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=-GM4\pi=-4\pi GM</MATH>|1.156}} Wersją całkową prawa Gaussa, określamy wzór wynikających z przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.156}} obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_S \vec{E}d\vec{S}=-4\pi G M\;</MATH>|1.157}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.157}}, którego lewą stronę przestawiamy, wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.145}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM</MATH>|1.158}} Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni, piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni, całkowalną względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>M=\oint_V\rho dV</MATH>|1.159}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z). Wiadomo, że zachodzi na pewno z {{LinkWzór|1.159}}: {{CentrujWzór|<MATH>-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV</MATH>|1.160}} Wzór {{LinkWzór|1.160}} możemy podstawić do lewej strony równości {{LinkWzór|1.158}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV</MATH>|1.161}} Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho</MATH>|1.162}} === Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego === Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|1.143}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi</MATH>|1.163}} Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|1.163}} podstawimy do lewej strony wzoru {{LinkWzór|1.162}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho</MATH>|1.164}} === Cyrkulacja pola grawitacyjnego === Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy {{Formuła|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>}}, i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0</MATH>|1.165}} Do wzoru {{LinkWzór|1.165}} zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;</MATH>|1.166}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|1.166}} jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot} \vec{E}=0</MATH>|1.167}} Gdy wzór {{LinkWzór|1.151}}, który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do {{LinkWzór|1.167}}, to w rezultacie: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;</MATH>|1.168}} Definicja natężenia pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.151}} załatwia prawo {{LinkWzór|1.167}}, który staje się tożsamością dla naszego przypadku. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}, zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną: {{CentrujWzór|<math>U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|1.169}} Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną. == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}</MATH>|1.170}} Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia. Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się, według: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;</MATH>|1.171}} Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przez odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia. === Wirująca karuzela === Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.172}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;</MATH>|1.173}}}} Określmy teraz samą funkcję położenia kątowego &phi; oraz jego pochodną pierwszą i drugą, w zależności od prędkości obracania się układu &omega;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi=\omega t+\phi^'\;</MATH>|1.174}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;</MATH>|1.175}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;</MATH>|1.176}}}} Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem {{LinkWzór|1.172}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.174}}: {{CentrujWzór|<math>F_r=m\left[\ddot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\ddot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;</MATH>|1.177}} A teraz zajmować się będziemy siłą kątową pisaną wzorem {{LinkWzór|1.173}} przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}}: {{CentrujWzór|<MATH>F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;</MATH>|1.178}} We wzorze {{LinkWzór|1.177}} i we wzorze {{LinkWzór|1.177}} pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy, są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych: {{Formuła|<MATH>\left(x,y,z\right)</MATH>}}, a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;</MATH>|1.179}} Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;</MATH>|1.180}} Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie {{LinkWzór|1.179}} i definicji położenia w nowym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.180}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|1.181}} W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;</MATH>|1.182}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;</MATH>|1.183}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;</MATH>|1.184}}}} Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}} i {{LinkWzór|1.184}}, zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.185}} Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;</MATH>|1.186}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;</MATH>|1.187}}}} Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia {{LinkWzór|1.187}}, Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;</MATH>|1.188}} Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości {{LinkWzór|1.188}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}}, a także twierdzenie o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+\vec{\omega}\times (\vec iA_x)+\vec{\omega}\times (\vec iA_y)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{\omega}\times (\vec iA_z)=\dot{\vec{A}}+\vec\omega\times({\vec i}A_x+{\vec j}A_y+{\vec k}A_z)=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.189}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy napisać pochodną czasową wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}}, przepisując końcowy wynik obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;</MATH>|1.190}} Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości {{LinkWzór|1.188}}, należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|1.190}}, gdy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi {{Formuła|<MATH>{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7b8qfipx3y1ce3g14puaiylf2tcdv38 0 20280 554850 467660 2026-09-07T17:48:00Z Persino 2851 554850 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Środek masy układu mas == Położenie środka masy układu mas nazywamy taki wektor, która jest związana z masami i położeniami poszczególnych ciał w chodzące w skład układu mas: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}={{\sum_im_i\vec{r}_i}\over{\sum_i m_i}}={{\sum_im_i\vec{r}_i}\over{M}}\;</MATH>|3.1}} Weźmy teraz sobie drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, którego na każdy element masowy w ogólności działa pewna siła o wektorze {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i\;</MATH>}}, wtedy zasada dynamiki dla pojedynczego punktu: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{r}_i=\vec{F}_i\;</MATH>|3.2}} Przy sumowaniu równań {{LinkWzór|3.2}} stronami dla każdej cząstki z osobna i wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|3.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_im_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_i\vec{F}_i\Rightarrow \sum_i{{d\left(m\vec{r}_i\right)}\over{dt}}=\vec {F}\Rightarrow M\dot{\vec{r}}=\vec{F}\;</MATH>|3.3}} Na podstawie obliczeń przeprowadzanych w punkcie {{LinkWzór|3.3}} środek mas opisany wzorem {{LinkWzór|3.1}} porusza się tak samo jak pokazuje druga zasada dynamiki Newtona wyprowadzona w punkcie powyżej jest określona przez siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i\;</MATH>}} działające na poszczególne punkty masowe, którą nazywać będziemy siłą działająca na środek masy. === Transformacja energii z jednego układu odniesienia do drugiego === Wyznaczmy jak zmienia się energia układu z jednego układu odniesienia do drugiego, wykorzystując wzór transformacyjny {{LinkWzór|1.171|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} według transformacji Galileusza: {{CentrujWzór|<MATH>E'={{1}\over{2}}\sum_am_a{v_a^'}^2={{1}\over{2}}\sum_am_a(\vec{v}-\vec{V})^2={{1}\over{2}}\sum_am_av_a^2+{{1}\over{2}}\sum_am_aV^2-\sum_a m_a\vec{V}\vec{v}=E+{{1}\over{2}}MV^2-\vec{V}\vec{P}\;</MATH>|3.4}} Widzimy, że energia ciał względem nowego układu odniesienia jest równa energii ciał względem starego układu minus iloczyn prędkości nowego układu odniesienia przez pęd całego układu względem starego układu odniesienia plus energia układu środka masy. == Problem dwóch ciał w mechanice nieba == Będziemy tutaj rozważać problem dwóch ciał w mechanice nieba, którego obliczenia będziemy rozważać w układzie środka masy, biorąc definicję środka mas {{LinkWzór|3.1}} i biorąc taki układ, w których środek mas spoczywa, i jego położenie jest w punkcie zerowym na przecięciu różnych osi w trójwymiarowym układzie odniesienia, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2=0\;</MATH>|3.5}} Jeśli rozważymy ruch dwóch oddziaływających siłami grawitacji {{LinkWzór|1.172|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, to ich równania ruchu są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{r}_1=-Gm_1m_2{{\vec{r}_1-\vec{r}_2}\over{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}}\;</MATH>|3.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{r}_2=-Gm_1m_2{{\vec{r}_2-\vec{r}_1}\over{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3}}\;</MATH>|3.7}}}} Możemy podzielić równanie {{LinkWzór|3.6}} przez m{{Sub|1}} i podzielić drugie równanie {{LinkWzór|3.7}} przez m{{Sub|2}} , wtedy położenie względne obu mas określać będziemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_1-\vec{r}_2=\vec{r}\;</MATH>|3.8}} I uzyskamy wtedy dwa równania, tzn. {{LinkWzór|3.6}} i {{LinkWzór|3.7}}, które odejmować będziemy je od siebie przy wykorzystaniu definicji położenia względnego {{LinkWzór|3.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{r}}=G(m_1+m_2){{\vec{r}}\over{r^3}}\Rightarrow\ddot{\vec{r}}=\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)Gm_1m_2{{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|3.9}} Masą zredukowaną nazywam wielkość, która zależy od dwóch mas składowych, tzn. m{{Sub|1}} i m{{Sub|2}}, jest ona określona jako: {{CentrujWzór|<MATH>\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|3.10}} Mając już rozwiązanie w wektorach {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie równania {{LinkWzór|3.5}} i {{LinkWzór|3.8}} dostajemy dwa równania na {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1\;</MATH>}} i na {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_1={{m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|3.11}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_2=-{{m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|3.12}}}} == Twierdzenie o wiriale == Ważmy wzór obrazujący drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, które to równanie mnożymy przez wektor wodzący ciała wchodzących w skład układu mas {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i\;</MATH>}} i w ostatecznych perypetiach możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_im_i\ddot{\vec{r}}_i\vec{r}_i=\sum_i\vec{F}_i\vec{r}_i\;</MATH>|3.13}} Dla sił konserwatywnych równania {{LinkWzór|3.13}} możemy przepisać wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej, wtedy to nasze ostatnie równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i{{d}\over{dt}}\left(m_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_i\right)-\sum_im_i\dot{\vec{r}}_i^2= -\sum_i\operatorname{grad}_iU\vec{r}_i\;</MATH>|3.14}} Średnią pewnej funkcji f(t) będziemy określać poprzez wzór określą w pewnym przedziale czasowym od zera do &tau;: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{f}={{1}\over{\tau}}\int_0^{\tau}f(t)dt\;</MATH>|3.15}} Zatem na podstawie wzoru {{LinkWzór|3.15}} możemy napisać pierwszy wyraz występujący w równaniu {{LinkWzór|3.14}}, uśredniając go po nieskończonym czasie: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{{{d}\over{dt}}\sum_im_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_i}={{1}\over{\tau}}\int_0^{\tau}\sum_im_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_idt={{1}\over{\tau}}\left(\sum_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}\right) \xrightarrow[\tau\rightarrow\infty]{}=0\;</MATH>|3.16}} Na podstawie wzoru średnia energię kinetyczną układu mas, określony przy pomocy obliczeń {{LinkWzór|3.16}}, piszemy wzorem wychodząc z {{LinkWzór|3.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{T}={{1}\over{2}}\overline{\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}U}\;</MATH>|3.17}} Powyższa równość określa średnią energię kinetyczną, która jest równa połowie wiriału systemu z energii potencjalnej. === Układ oscylatorów fizycznych === Określmy teraz energię potencjalną układu ciał sprężystych, którego całkowita potencjalna energia układu jest równa sumie energii potencjalnej poszczególnych oscylatorów, co możemy ująć: {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_i{{k}\over{2}}\vec{r}_i\;</MATH>|3.18}} Wyznaczmy teraz średnia energię układu, korzystając ze wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|3.18}} na energie potencjalną układu oscylatorów, a także będziemy mogli skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|3.17}} i w końcu wykorzystamy twierdzenie wirialne: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}_iU=\sum k \vec{r}_i^2=2U\;</MATH>|3.19}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|3.19}} wzór {{LinkWzór|3.17}} pokazuje, że średnia energia potencjalna układu oscylatorów jest równa średniej energii kinetycznej układu. === Mechanika nieba === Energia potencjalna układu punktów krążących w pewnym polu grawitacyjnym określamy jako sumę energii potencjalnych {{LinkWzór|1.148|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} dla poszczególnych ciał należącej do układu: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}_iU=\sum_i\vec{r}_i{{GMm}\over{r^2}}\vec{r}_i=\sum_i{{GM}\over{r_i}}=-U\;</MATH>|3.20}} Zatem średnia całkowita energia kinetyczna układu mas, określamy na podstawie wzoru {{LinkWzór|3.17}}, którą jest całkowitą podwojoną energią kinetyczną: {{CentrujWzór|<MATH>2\overline{T}=-\overline{U}\;</MATH>|3.21}} Całkowita energia średnia układu punktów masowych krążących wokół pewnego punktu masowego określamy według {{LinkWzór|3.21}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\overline{T}+\overline{U}=\overline{T}-2\overline{T}=-\overline{T}\;</MATH>|3.22}} == Ruch ciała o zmieniających się masie == Określmy teraz pędy ciał okładu w chwili t i w chwili t+dt, zatem na podstawie tego możemy napisać, że pędy ciała przed dotarciem infinitezymalnej masy, a także po dotarciu do niej, określamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)+\dot{m}dt\vec{v_1}\;</MATH>|3.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}(t+dt)=(m+\dot{m}dt)\vec{v}(t+dt)\;</MATH>|3.24}}}} Możemy teraz wykorzystać drugą zasadę dynamiki Newtona, którego zapis jest napisany w punkcie {{LinkWzór|1.63|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, wtedy tą zasadę: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}={{1}\over{dt}}\left((m+\dot{m}dt)\vec{v}(t+dt)-m\vec{v}(t)-\dot{m}dt\vec{v_1}\right)=m{{d\vec{v}}\over{dt}}+{{dm}\over{dt}}\left(\vec{v}-\vec{v}_1\right)\;</MATH>|3.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|3.25}} drugą zasadę dynamiki Newtona dla zmiennej masy ciała: {{CentrujWzór|<MATH> m{{d\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}+{{dm}\over{dt}}(\vec{v}_1-\vec{v})\Rightarrow m{{d\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}+{{dm}\over{dt}}\vec{u}\;</MATH>|3.26|Obramuj}} === Przykład rakiety o zmiennej masie z wylatującymi spalinami === Zajmijmy się teraz przykładem, z którego to z rakiety wypływa masa z prędkością względem rakiety {{Formuła|<math>\vec{u}=[0,0,-u]\;</MATH>}}, i na którą na rakietę działa siła grawitacji, to równanie {{LinkWzór|3.26}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m\dot{v}=-mg-\dot{m}u\;</MATH>|3.27}} Równość {{LinkWzór|3.27}} możemy podzielić przez masę i z całkować względem czasu, ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>dv=gdt-{{dm}\over{m}}u\Rightarrow \int dv=-g\int dt-u\int{{dm}\over{m}}\Rightarrow v=-gt-u\ln{{m}\over{m_0}}\;</MATH>|3.28}} W równaniu {{LinkWzór|3.28}} oznaczyliśmy przez m{{Sub|0}} masę początkową rakiety, a przez "m" masę rakiety w czasie "t". <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3ov3pqkp791zexxp8filnyiqunhmm0k 0 20285 554851 513456 2026-09-07T18:00:27Z Persino 2851 554851 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Na każde ciało możemy nałożyć pewne ograniczenia, które nazywamy '''więzami''', czyli rozwiązanie ruchu dla naszego punktu masowego powinno spełniać równanie powierzchni: {{CentrujWzór|<math>g(x,y,z,t)=0\;</MATH>|4.1}} Zaś jeśli punkt ma poruszać się po pewnej krzywej powstałej z przecięcia dwóch powierzchni, to równanie ruchu cząstki powinno spełniać równania płaszczyzn: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>g_1(x,y,z,t)=0\;</MATH>|4.2}}|2={{CentrujWzór|<MATH>g_2(x,y,z,t)=0\;</math>|4.3}}}} Warunki uboczne zależne od czasu, które są jednocześnie więzami będziemy nazywać '''reonomicznymi''', a niezależne od czasu '''skleronomicznymi'''. Ruch swodobny jest opisywany przez trzy współrzędne, których każdy warunek na więzy zmniejsza liczbę stopni swobody o jeden, więzy które są zależne od położenia, prędkości i czasu są: {{CentrujWzór|<MATH>g(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=\sum_{i=1}^3f_i(\vec{r},t)\dot{\vec{r}}_i+f_0(\vec{r},t)\;</MATH>|4.4}} Jeśli natomiast istnieje taka funkcja G, która spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dG(\vec{r},t)=\left\{\sum_i{{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial \vec{r}_i}}\dot{\vec{r}}_i+{{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial t}}\right\}dt\;</MATH>|4.5}} I dalej, patrząc na wzory {{LinkWzór|4.4}} i {{LinkWzór|4.5}}, to: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f_i(\vec{r},t)={{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial \vec{r}_i}}\;</MATH>|4.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f_0(\vec{r},t)={{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.7}}}} wtedy więzy spełniające warunek {{LinkWzór|4.5}} na podstawie {{LinkWzór|4.4}} nazywamy więzami holonomicznymi i można z nich wyrugować prędkość. Więzy, które nie da się sprowadzić do funkcji G, by mieć {{LinkWzór|4.5}} nazywamy więzami anholonomicznymi. == Zasada d'Alemberta == Wykorzystując drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, dla układu ograniczonego więzami, gdzie przez siłę {{Formuła|<MATH>\vec{Z}\;</MATH>}} będziemy oznaczać siłę pochodzącą od więzów, zatem możemy sformułować tą naszą zasadę d'Alemberta: * Siła reakcji więzów przy wirtualnych przemieszczeniach nie wykonuje pracy, co: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}\delta\vec{r}=(m\ddot\vec{r}-\vec{F})\delta\vec{r}=0\;</MATH>|4.8}} Zasada d'Alemberta jest zgodna z drugą zasadą dynamiki Newtona, gdyż na poruszające się ciało nie działa żadna siła reakcji, wtedy w zasadzie {{LinkWzór|4.8}} dla dowolnego przesunięcia wirtualnego {{Formuła|<MATH>\delta\vec{Z}\;</MATH>}}, czyli przy dowolnych &delta;x, &delta;y i &delta;z, ta zasada sprowadza się do trzech równań Newtona rozpisując je jako trzy równania w postaci skalarnej, na podstawie tego mamy trzy równania, które są równaniami Newtona dla współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=F_x\;</MATH>|4.9}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{y}=F_y\;</MATH>|4.10}}|3={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{z}=F_z\;</MATH>|4.11}}}} == Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju == Załóżmy, że ciało ma ograniczonych swobodę ruchów, tzn. jego ruch odbywa się po krzywej spełniające dwa równania więzów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>g_1(\vec{r},t)=0\;</MATH>|4.12}}|2={{CentrujWzór|<MATH>g_2(\vec{r},t)=0\;</MATH>|4.13}}}} Mając na uwadze równania więzów {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}} możemy napisać je przy pomocy wirtualnych przesunięciach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g_1\cdot\delta \vec{r}=0\;</MATH>|4.14}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g_2\cdot\delta\vec{r}=0\;</MATH>|4.15}}}} Możemy wykorzystać tożsamości {{LinkWzór|4.14}} i {{LinkWzór|4.15}} i pomnożyć je przez współczynniki &lambda;{{Sub|1}} i &lambda;{{Sub|2}}, wtedy tak otrzymane wzory możemy wstawić do równości obrazującej zasadę d'Alemberta {{LinkWzór|4.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left(m\ddot{r}-\vec{F}-\lambda_1\operatorname{grad}g_1-\lambda_2\operatorname{grad}g_2\right)\delta\vec{r}=0\;</MATH>|4.16}} Siła reakcji więzów we wzorze {{LinkWzór|4.16}} możemy wyrazić przy pomocy współczynników Lagrange'a &lambda;{{Sub|1}} i &lambda;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2\;</MATH>|4.17}} Zatem równanie {{LinkWzór|4.16}} przy dowolnych przesunięciach wirtualnych: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{r}=\vec{F}+\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2\;</MATH>|4.18}} Równanie {{LinkWzór|4.18}} nazywamy równaniem Lagrange'a pierwszego rodzaju, które wraz z więzami {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}} stanowią jakoby układ równań, z którego nań możemy wyznaczyć parametry &lambda;{{Sub|1}} i &lambda;{{Sub|2}}. == Problem zasad zachowania pędu, momentu pędu i energii == Będziemy się zajmowali tutaj zasadami zachowania pędu, momentu pędu, a także i energii. === Zasada zachowania pędu === Drugie prawo Newtona przy pomocy sił normalnych {{LinkWzór|4.17}} do powierzchni, na której poruszało się ciało: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}m\dot{\vec{r}}=\vec{F}+\vec{Z}\;</MATH>|4.19}} Jeśli natomiast zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec {F}+\vec{Z}=0\;</MATH>}}, to ciało poruszające się po danej powierzchni ma pęd stały i niezależny od czasu, to pęd jest całką ruchu. === Zasada zachowania momentu pędu === Równanie na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, gdy na to działa nań siła o wartości {{Formuła|<MATH>\vec{F}+\vec{Z}\;</MATH>}} dla ciała znajdującego się w punkcie {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{r}\times\left(\vec{F}+\vec{Z}\right)\;</MATH>|4.20}} Jeśli moment sił działającej na ciało {{Formuła|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times(\vec{F}+\vec{Z})\;</MATH>}} jest równy zeru, to na podstawie tego moment pędu jest wielkością zachowalną. === Zasada zachowania energii === Zasada zachowania energii dla przypadku z więzami, którego to równanie Lagrange'a pierwszego rozdzaju {{LinkWzór|4.18}} pomnożymy obustronnie przez prędkość ciała, jest: {{CentrujWzór|<MATH>m\vec{v}\dot{\vec{v}}=\vec{F}\vec{v}+(\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2){{d \vec{r}}\over{d t}}\;</MATH>|4.21}} Z definicji różniczki zupełnej równań więzów {{LinkWzór|4.2}} i {{LinkWzór|4.3}}, mamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>0=dg_1=\operatorname{grad}\vec{r}_1d\vec{r}+{{\partial g_1}\over{dt}}dt\;</MATH>|4.22}}|2={{CentrujWzór|<MATH>0=dg_2=\operatorname{grad}\vec{r}_2d\vec{r}+{{\partial g_2}\over{dt}}dt\;</MATH>|4.23}}}} Z równań {{LinkWzór|4.22}} i {{LinkWzór|4.23}} wyznaczmy gradienty funkcji {{LinkWzór|4.2}} i {{LinkWzór|4.3}}, stosując je do wzoru {{LinkWzór|4.21}}, i wykorzystując definicję energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d(T+U)}\over{dt}}=-\lambda_1{{}\partial g_1\over{\partial t}}-\lambda_2{{\partial g_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.24}} == Metodyka układów z więzami według równania Lagrange'a == {{Rysunek|Równia pochyła.jpg|lk1|Ciało na równi pochyłej}} Z rysunku obok możemy napisać tożsamość, która jest więzem opisujących położenia ciała na równi pochyłej: {{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}=\operatorname{tg}\alpha\Rightarrow x\sin\alpha-y\cos\alpha=0\;</MATH>|4.25}} Drugie równanie więzów, gdy współrzędna zetowa kulki na równi jest zawsze równa zero, stąd ona nie zmienia się nigdy i przestawiamy ją: {{CentrujWzór|<MATH>g_2(\vec{r})=z=0\;</MATH>|4.26}} Możemy wyznaczyć gradient dla więzu {{LinkWzór|4.25}}, którego to przestawiamy w postaci wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[\sin\alpha,-y\cos\alpha,0]\;</MATH>|4.27}} Następnym naszym krokiem jest wyznaczenie równań ruchu wykorzystując równania Lagrange'a pierwszego rodzaju dla dwóch więzów {{LinkWzór|4.18}}, zatem napiszmy trzy równania opisujących ruch ciała w przestrzeni trójwymiarowej. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=\lambda_1\sin\alpha\;</MATH>|4.28}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{y}=-\lambda_1\cos\alpha-mg\;</MATH>|4.29}}|3={{CentrujWzór|<MATH>m\dot{y}=\lambda_2\;</MATH>|4.30}}}} Zróżniczkujmy równana więzów, tzn. {{LinkWzór|4.25}} i {{LinkWzór|4.26}}, to po dokonaniu tychże operacji otrzymujemy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}\sin\alpha-\ddot{y}\cos\alpha=0\;</MATH>|4.31}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{z}=0\;</MATH>|4.32}}}} Równania {{LinkWzór|4.28}}, {{LinkWzór|4.29}} i {{LinkWzór|4.30}} możemy przepisać w innej równoważnej postaci wedle schematów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}=\lambda_1{{\sin\alpha}\over{m}}\;</MATH>|4.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{y}=-\lambda_1{{\cos\alpha}\over{m}}-g\;</MATH>|4.34}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{z}={{\lambda_2}\over{m}}\;</MATH>|4.35}}}} Następnie wyznaczmy parametr &lambda;{{Sub|1}} i parametr &lambda;{{Sub|2}}, podstawiając wzory {{LinkWzór|4.33}} i {{LinkWzór|4.34}} do równań wynikłych z pierwszego równania więzów {{LinkWzór|4.31}} i też równanie {{LinkWzór|4.35}} do równania wynikłego z drugiego równania więzów {{LinkWzór|4.32}}, wtedy otrzymujemy tożsamości, z których będziemy mogli wyliczyć wspomniane parametry: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lambda_1{{\sin\alpha^2}\over{m}}+\lambda_1{{\cos^2\alpha}\over{m}}+\cos\alpha g=0\Rightarrow\lambda_1=-mg\cos\alpha\;</MATH>|4.36}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda_2=0\;</MATH>|4.37}}}} Mając już wyliczone parametry &lambda;{{Sub|1}} {{LinkWzór|4.36}} i parametr &lambda;{{Sub|2}} {{LinkWzór|4.37}}, to możemy teraz wyznaczyć równania ruchu naszego ciała: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\sin\alpha\cos\alpha\;</MATH>|4.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{y}=-mg\sin^2\alpha\;</MATH>|4.39}}|3={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{z}=0\;</MATH>|4.40}}}} Wprowadźmy teraz nową zmienną, którego definicja jest napisana: {{CentrujWzór|<math>s=-{{y}\over{\sin\alpha}}=-{{x}\over{\cos\alpha}}\;</MATH>|4.41}} Biorąc tożsamość {{LinkWzór|4.41}} i podstawiając go do równania {{LinkWzór|4.38}} i {{LinkWzór|4.39}}, w ten sposób dostajemy jedną równość z tych z dwóch, która opisuje zmienną s, która wraz ze zmienną zetową, opisującą ruch naszej kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{s}=mg\sin\alpha\;</MATH>|4.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{z}=0\;</math>|4.43}}}} Zatem z końcowych równań, tzn. z {{LinkWzór|4.42}} i {{LinkWzór|4.43}}, z którego to wyznaczymy zmienne "s" i "z" w zależności od czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>s=g\sin\alpha{{t^2}\over{2}}+v_0t+s_0\;</MATH>|4.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=0\;</MATH>|4.45}}}} Napiszmy teraz czemu jest równa siła reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}\;</MATH>}}, na którą to z powierzchni działa na rozważane tutaj ciało poruszające się na równi. znając wartości parametrów &lambda;{{Sub|1}} {{LinkWzór|4.36}} i &lambda;{{Sub|2}} {{LinkWzór|4.37}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2= (-mg\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha,-\cos\alpha,0)=(-mg\sin\alpha\cos\alpha,mg\cos^2\alpha,0)\;</MATH>|4.46}} == Przykładowe zastosowania równań Lagrange'a pierwszego rodzaju == === Statyka === Wiemy z równości, że całkowita siła działająca na ciało spoczywająca się na pewnej linii lub powierzchni zachodzi, gdy siła {{Formuła|<MATH>\vec F\;</MATH>}} i siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}\;</MATH>}} są sobie równe: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\vec{Z}\;</MATH>|4.47}} Jeśli ciało porusza się po pewnej elipsoidzie, to równanie więzów możemy przedstawić wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>g(x,y,z)={{x^2}\over{a^2}}+{{y^2}\over{b^2}}+{{z^2}\over{c^2}}-1=0\;</MATH>|4.48}} Siłę reakcji więzów wedle definicji {{LinkWzór|4.17}}, który jest wprowadzony dla dwóch więzów, a tutaj mamy jedno równanie więzów, możemy określić pochodzącą od więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda\operatorname{grad}g=2\lambda\left({{x}\over{a^2}},{{y}\over{b^2}},{{z}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|4.49}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|4.37}} może być spełnione jedynie, gdy x=y=0, i z=&plusmn;c. Jeśli siła reakcji więzów posiada potencjał U, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\operatorname{grad}Ud\vec{r}=\vec{Z}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}U=\lambda\operatorname{grad} g\;</MATH>|4.49a}} === Poruszanie się powierzchni sfery ciała bez udziału sił === Równanie więzów określać będziemy teraz jako równanie kuli w przestrzeni trójwymiarowej wedle: {{CentrujWzór|<MATH>g=x^2+y^2+z^2-R^2=0\;</MATH>|4.50}} Wtedy równanie na siłę więzów {{LinkWzór|4.17}} określimy dla jednego więzu, zamiast dla dwóch, jak pierwotnie wyprowadzone zostało w tym module, to wzór na siłę reakcji więzów zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda\operatorname{grad}g=2\lambda\vec{r}\;</MATH>|4.51}} Moment sił {{LinkWzór|1.66|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} działający ze strony więzów {{LinkWzór|4.51}}, który jest opisany tutaj dla sił pochodzących od więzów wzorem {{LinkWzór|4.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{Z}=2\lambda\vec{r}\times\vec{r}=0\;</MATH>|4.52}} Z zerowania się momentu sił {{LinkWzór|4.52}} możemy napisać, że moment pędu opisujących nasze ciało poruszające się wewnątrz kuli jest wielkością zachowawczą. === Ruch ciała po obracającej się linijce === {{Rysunek|Ruch ciała po obracającej się linijce.png|lk2|Ruch ciała po obracającej się linijce.}} Określmy teraz dwa równania więzów dla ciała poruszającego po pewnej linijce obracające się z prędkością kątową &omega;: {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>g_1=z=0\;</MATH>|4.53}}|{{CentrujWzór|<MATH>\theta-\omega t=0\;</MATH>|4.54}}}} Wykorzystując definicję operatora &nabla; we współrzędnych cylindrycznych {{LinkWzór|7.19|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, to możemy opisać gradienty funkcji {{LinkWzór|4.53}} i {{LinkWzór|4.54}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}{g}_1=\vec{e}_z\;</MATH>|4.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}{g}_2=\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial\rho}}+\vec{e}_{\theta}{{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+\vec{e}_z{{\partial}\over{\partial z}}\right)g_2={{1}\over{\rho}}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|4.56}}}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.23|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} możemy napisać trzy równania więzów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{\rho}-m\rho\dot{\theta}^2=0\;</MATH>|4.57}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m\rho\ddot{\theta}+2m\dot{\rho}\dot{\theta}={{\lambda_2}\over{\rho}}\;</MATH>|4.58}}|3={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{z}=\lambda_1\;</MATH>|4.59}}}} Z wyżej napisanych tożsamości, które obrazują pierwsze równanie Lagrange'a, wykorzystując rachunek więzów {{LinkWzór|4.53}} i {{LinkWzór|4.54}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{\rho}-m\rho\omega^2=0\;</MATH>|4.60}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2m\dot{\rho}\omega={{\lambda_2}\over{\rho}}\Rightarrow\lambda_2=2m\rho\dot{\rho}\omega\;</MATH>|4.61}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\lambda_1=0\;</MATH>|4.62}}}} Równanie {{LinkWzór|4.60}}, która jest równaniem zależnym od drugiej pochodnej zmiennej &rho; rozwiązaniem jest równanie zależne od częstotliwości kołowej &omega; z jaką prędkością porusza się ciało na linijce i tym samym linijka: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}\;</MATH>|4.63}} Z warunków początkowych dla t=0 mamy {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\dot{\rho}_0=0\;</MATH>}}, zatem na podstawie tego możemy napisać równości brzegowe, by wyznaczyć stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|4.63}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A+B=\rho_0\;</MATH>|4.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A\omega-\omega B=0\Rightarrow A=B\;</MATH>|4.65}}}} Z równości {{LinkWzór|4.64}} i {{LinkWzór|4.65}} możemy napisać warunki na stałe A i B występujące we wzorze na &rho; {{LinkWzór|4.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=B={{\rho_0}\over{2}}\;</MATH>|4.66}} W uwagach końcowych napiszmy jak się zmieniają się współrzędne w układzie cylindrycznym dla poruszającego się ciała po linijce. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho={{1}\over{2}}\rho_0\left(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\right)\;</MATH>|4.67}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\theta=\omega t\;</MATH>|4.68}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z=0\;</MATH>|4.69}}}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qjfzwiwo5ifm3buhjayvxnp9t5gd3l6 0 20298 554852 467663 2026-09-07T18:20:00Z Persino 2851 554852 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez przez zbiór trójek (x{{Sub|i}},y{{Sub|i}},z{{Sub|i}}), będziemy je oznaczać przez &chi;{{Sub|&alpha;}}, gdzie &alpha; będziemy je numerować liczbami od &alpha;=1,.2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie &beta;=1,2,...,r. Układ opisywanych powyżej ma f=3N-r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja g{{Sub|&beta;}} nie zależy od czasu, to taki węzeł nazywamy skleronomicznymi, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Węzły opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a węzły dla których funkcja {{Formuła|<MATH>G\;</MATH>}} istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}=\vec{F}_1+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m\ddot{\vec{r}}-\vec{F}\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}}, mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie &delta;t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g{{Sub|&alpha;}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_a}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych &chi;{{Sub|&alpha;}}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siła reakcji więzów działający na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\alpha}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które nań działają siły, które są odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowych {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}\;</MATH>}}, a także za oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec {Z}_{ij}\;</MATH>}}, a na ciało mogą również działać siły pochodzące od węzłów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>Z_i\;</MATH>}}, a także na układ mogą działać siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu wynikające drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,j\neq i}^NF_{ij}+\sum_{j=1,i\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec {Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równość na siły pomiędzy punktami a więzami: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}}}} Dalej dodajmy wszystkie równania dla każdej cząstki masowej {{LinkWzór|5.9}} i biorąc warunki wynikające z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, to możemy napisać równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum^{N}_{i=1}\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i będziemy je stosować dla równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum^{N}_{i=1}\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy że środek mas porusza się tak, jakby miał taką masę, jak wszystkie punkty masowe wzięte razem, i porusza się tak, jakby na niego działały wszystkie siły pochodzące od poszczególnych punktów masowych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. wtedy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}\;</MATH>|5.14}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}}}} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych wliczając w to siły reakcji więzów, co to prawo jest sformułowana dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<math>\dot{\chi}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujący każdą taką cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu otrzymując równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\sum_{\beta=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\beta}\dot{\chi}^2_{\beta}=F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy charakteryzujących wykonywanych przez poszczególne siły dla każdej z sił osobna i to wszystko wziętej z minusem, a także opisujemy różniczkę zupełną równania więzów, a także definicję energii kinetycznej, jako sumy energii kinetycznych cząstek wchodzących w skład układu, które to wszystkie te równania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial x_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}}|3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\beta=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\beta}\ddot{\chi}^2_{\beta}\;</MATH>|5.20}}}} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left(T+U\right)=-\sum_{\alpha=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}}, określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m{{Sub|1}} i m{{Sub|2}}, dla każdej zmiennej z osobna dla rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1g+\lambda\;</MATH>|5.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2g+\lambda\;</MATH>|5.25}}}} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy wynikową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m{{Sub|1}}, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m{{Sub|2}}, i wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równość, z którego będziemy wyznaczali parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}}\Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}}\Rightarrow\lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr &lambda; wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\Rightarrow\ddot{x}_1=g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}}\Rightarrow \ddot{x}_1=g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\Rightarrow\ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy sobie równanie więzów, którego to zapis tego równania więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;</MATH>|5.29}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równanie ruchu dla masy m{{Sub|1}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.30}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.31}}}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równanie ruchu dla masy m{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.33}}}} Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy napisać na podstawie powyższych równań ruchu, tzn. {{LinkWzór|5.30}} z {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} z {{LinkWzór|5.33}}, równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{R}=0\;</MATH>|5.34}} Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;</MATH>|5.35}} Jeśli złożymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}}, zatem prędkości względem środka masy poszczególnych mas należącej do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}_1^'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1^'\;</MATH>|5.36}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{r}_2^'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2^'\;</MATH>|5.37}}}} Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należącej do hantli (kulek) w układzie środka masy wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1^'\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2^'\;</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i^'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}^'_i)=\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\vec{r}_i^{'2}-\vec{r}_i^'(\vec{r}_i^'\vec{\omega})\right)=\vec{\omega}\left(m_1\vec{r}_1^{'2}+m_2\vec{r}_2^{'2}\right)\;</MATH>|5.38}} == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątowa == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.}} Ponieważ rozpatrywaliśmy bryłę stywną, której więzy nie zależą od czasu, zatem na podstawie {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej nie zmienia się, czyli wyrażenie poniżej nie zmienia się czasie: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E\;</MATH>|5.39}} Wyznaczmy teraz prędkość określoną jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej ciała i położenia danego punktu w danym czasie ruchu, gdzie oba te wielkości są prostopadłe do siebie, jednocześnie policzmy moduł prędkości ciała, korzystając z definicji prędkości, którego definicję podamy razem z tym wzorem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|5.40}}|2={{CentrujWzór|<math>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\omega\;</MATH>|5.41}}}} Energia kinetyczna całkowita ciała, którą stanowi bryła sztywna, określamy na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.41}}, zatem także możemy napisać definicje momentu masy (momentu bezwładności ciała): {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\sum_im_i(x^2_i+y^2_i)\omega^2={{1}\over{2}}J\omega^2\;</MATH>|5.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.43}}}} Gdy mamy bryłę sztywną, to moment masy na podstawie jej dyskretnej postaci {{LinkWzór|5.43}}, wprowadzając definicję gęstości masy ciała, czy we wspomnianym wzorze masy należy zastąpić przez infinitezymalne masy, a także tą masę zastąpimy przez iloczyn gęstości masy w tymże punkcie i infinitezymalnej objętości, w której to objętości znajduje się ta ona: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)dV\;</MATH>|5.44}} Energię całkowitą {{LinkWzór|5.39}} określamy na podstawie definicji energii kinetycznej w ruchu obrotowym ciała poprzez jego prędkość kątową obrotu ciała wokół obrotu osi, a także mając energię potencjalną ciała U(&theta;): {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U={{1}\over{2}}J\omega^2+U(\theta)={{1}\over{2}}J\dot{\theta}^2+U(\theta)\;</MATH>|5.45}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} możemy wyznaczyć różniczkę czasu względem różniczki kąta &phi;, w ten sposób tak otrzymane równanie będziemy całkować obustronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}^2={{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)\Rightarrow dt={{d\phi}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}}\Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}{{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}}\;</MATH>|5.46}} Węzłem dla naszej tak ustalonej bryły sztywnej określać będziemy przez równość: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0\;</MATH>|5.47}} Siły reakcji więzów nazywamy wzór {{LinkWzór|5.8}}, które działają na bryłę sztywną, wykorzystując fakt istnienia więzów {{LinkWzór|5.47}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}\;</MATH>|5.48}} Moment sił reakcji więzów, jak można udowodnić jest równa zero na podstawie przestawienia siły pochodzącej od więzów {{LinkWzór|5.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_1\vec{r}_i\times\vec{r}=0\;</MATH>|5.49}} Widzimy na podstawie wniosku, że jedynymi momentami siły, które działają na ciało są momenty pędu określone przez siły zewnętrzne, zatem z definicji drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy wyznaczyć teraz całkowity moment pędu zetowy dla ciała, który stanowi bryłę sztywną: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_im_i\vec {r}_i\times\dot{\vec{r}}_i=\sum_im_i\vec{r}_i\times(\vec\omega/times\vec{r}_i)=\sum_im_i\vec{r}_i^2\vec{\omega}-\sum_im_i\vec{r}_i(\vec{r}_i\vec{w})=\sum_im_i(x^2_i+y^2_i)\vec{\omega}=\vec{\omega}\sum_im_i(x_i^2+y_i^2)=J\vec{\omega}\;</MATH>|5.50}} Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną jest to moment sił pochodzących od sił zewnętrznych na podstawie wniosku {{LinkWzór|5.49}}, zatem na podstawie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d(J\omega)}\over{dt}}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)\;</MATH>|5.51}} == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest to siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)\;</MATH>|5.52}} Wektorem wodzącym naszego punktu środka masy {{Formuła|<math>\vec{R}\;</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,R\sin\theta)\;</MATH>|5.53}} Moment siły środka masy możemy określać na podstawie siły grawitacji działającej na nasze ciała obracające się wokół pewnej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_z=(\vec{R}\times\vec{F})_z=-\sum_im_igy_i=-MgR_y=-MgR\sin\theta\;</MATH>|5.54}} Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną, które tutaj będziemy oznaczać przez l: {{CentrujWzór|<MATH>J\ddot{\theta}=-Mgs\sin\theta\Rightarrow \underbrace{{{J}\over{Ms}}}_l\ddot{\theta}=-g\sin\theta\Rightarrow l\ddot{\theta}=-g\sin\theta\;</MATH>|5.55}} == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przestawić wedle: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_im_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_im_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)\;</MATH>|5.57}}}} Współrzędne nowej osi względem starej osi, którego ta nowa oś względem jej odpowiednika starego jest przesunięta o wektor [a,b], zatem te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a\;</MATH>|5.58}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b\;</MATH>|5.59}}}} Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}} określać będziemy na podstawie {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}} wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_im_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)=\sum_im_i({x}_i^2+y_i^2)+\sum_im_i(a^2+b^2)-2a\sum_im_ix_i-2b\sum_{i}m y_i\;</MATH>|5.60}} Jeśli stara oś przechodzi przez środek układu współrzędnych, to wtedy trzeci i czwarty składnik znika na podstawie definicji środka masy, zatem moment masy ciała względem osi nie przechodzącej przez środek masy jest równa momentowi masy ciała przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} i momentu samego środka masy względem naszej nowej osi. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2\;</MATH>|5.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> jlr4tniu9zoqrwb9ggt3hsfcgy4rqaf 0 20309 554853 467665 2026-09-07T18:48:36Z Persino 2851 554853 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona. == Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione == Wprowadźmy teraz układ, których istnieją więzy określone równaniami: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha}(\chi_a,t)=0\mbox{ }\alpha=1,2,..,r,a=1,2,...,3N\;</MATH>|6.1}} Zatem mając równania więzów {{LinkWzór|6.1}} możemy napisać przesunięcia wirtualne, także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji o różniczce zupełnej rozpisanej poprzez pochodne cząstkowe względem jego argumentów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\delta\chi_a=\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\delta q_k\;</MATH>|6.2}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}_a=\sum_{k=1}^f {{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+{{\partial \chi_a}\over{\partial t}}\;</MATH>|6.3}}}} Wyznaczmy pochodną wielkości {{LinkWzór|6.3}} względem pochodnej współrzędnej prędkości uogólnionej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}={{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.4}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|6.2}} zasadę d'Alemberta {{LinkWzór|4.8|Ruch_ciał_ograniczonych_więzami}} dla "f" więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}(m\ddot{\chi}_a-F_a)\delta\chi_a=\sum_{a=1}^{3N}(m_a\ddot{\chi}_a-F_a)\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\delta q_k=0\;</MATH>|6.5}} Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć, jako sumę energii kinetycznej dla każdej osi z osobna opisujących daną cząstkę, i sumując każdą tak otrzymaną energię kinetyczną względem każdej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>T(q_k,\dot{q}_k,t)=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}^2_a\;</MATH>|6.6}} Dalej należy policzyć pochodną cząstkową wielkości całkowitej energii kinetycznej {{LinkWzór|6.6}} względem k-tego stopnia swobody współrzędnej uogólnionej, a także względem prędkości uogólnionej, zatem po tych operacjach dostajemy równości, z których będziemy korzystać dalej w obliczeniach. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{x}_a{{\partial\dot{x}_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}\;</MATH>|6.8}}}} Do dalszego przestawienia wzoru, który jest pochodną energii kinetycznej względem pochodnej współrzędnej uogólnionej, czyli {{LinkWzór|6.8}}, do której należy wykorzystać udowodnioną tożsamość zapisaną w punkcie {{LinkWzór|6.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.9}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia {{LinkWzór|6.9}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{x}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.10}} Ostatni wyraz występujący w punkcie {{LinkWzór|6.10}} po jego prawej stronie, jest to człon zapisanej w punkcie {{LinkWzór|6.7}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+{{\partial T}\over{\partial q_k}}\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.11}} Końcowy wzór wynikający z obliczeń {{LinkWzór|6.11}} podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^f_{k=1}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}-\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial \chi_a}\over{\partial q_k}}\right)\delta q_k=0\;</MATH>|6.12}} Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, którego zapis jest jako sumę względem wskaźnika "a" iloczynu funkcji siły F{{Sub|a}} przez pochodną &chi;{{Sub|a}} względem współrzędnej q{{Sub|k}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=Q_k\;</MATH>|6.13}} W {{LinkWzór|6.13}} wielkość {{Formuła|<MATH>\sum_{a=1}^{3}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\vec k_a={{\partial\vec r}\over{\partial q_k}}=\vec e_k\left|\left|{{\partial\vec r}\over{\partial q_k}}\right|\right|=e_kg_k\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec e_k\;</MATH>}} jest wersorem w układzie ogólnie krzywoliniowym o bazie ortonormalnej i {{Formuła|<MATH>g_k=\left|\left|{{\partial\vec r}\over{\partial q_k}}\right|\right|\;</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^N\vec F_i\cdot\vec e_{ik}g_{ik}=\sum_{i=1}^Ng_{ik}\left(\vec F_i,\vec e_{ik}\right)=\sum_{i=1}^NQ_{ik}=Q_k</MATH>|F2}} Stąd wielkość {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} jest k-tym stopniem swobody wektora siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym. Widzimy, że siła uogólniona {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}}, bo zachodzi {{LinkWzór|F2}} (końcowy wniosek), jest addytywna i jest sumą sił uogólnionych od poszczególnych ciał w układzie z więzami. Udowodnijmy addytywność sił uogólnionych, jeżeli na dane ciało działa jakaś liczba sił uogólnionych, na podstawie addytywności sił zwykłych: {{CentrujWzór|<MATH>F_{k}=\sum_{i}F_{ik}\Rightarrow Q_{k}=\sum_{a=1}^{3N}\sum_{i}F_{ia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i}\sum_{a=1}^{3N}F_{ia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_i Q_{ik}\Rightarrow Q_k=\sum_iQ_{ik}\;</MATH>|F3}} A więc k-ty stopień swobody siły uogólnionej działającej na ciała jest sumą wszystkich k-tych stopni swobody sił uogólnionych, nawet tych działających na jedno ciało w liczbie większych niż jeden, w układzie ogólnie krzywoliniowym. Równanie {{LinkWzór|6.12}} jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej q{{Sub|k}} przy definicji siły uogólnionej {{LinkWzór|6.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d }\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=Q_k\;</MATH>|6.14}} Równanie {{LinkWzór|6.14}} nosi nawę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Następnie na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie {{LinkWzór|1.78|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} możemy napisać, że współrzędna siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej ciała względem współrzędnej kartezjańskiej, która jest z prawej strony wzoru z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>F_a=-{{\partial U}\over{\partial \chi_a}}+F_{za}\;</MATH>|6.15}} Na podstawie wzoru na siłę w układzie kartezjańskim F{{Sub|a}} {{LinkWzór|6.15}} wzór na siłę uogólnioną {{LinkWzór|6.13}} w zależności od siły potencjalnej i zewnętrznej: {{CentrujWzór|<MATH>Q_k=\sum_{a=1}^{3N}F_{pa}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=-\sum_{a=1}^{3N}{{\partial U}\over{\partial\chi_a}}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+Q_{zk}=-{{\partial U}\over{\partial q_k}}+Q_{zk}\;</MATH>|6.16}} Dla siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} w {{LinkWzór|6.16}} też zachodzi podobny związek {{LinkWzór|F3}}, jak dla siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.13}}, bo na podstawie {{LinkWzór|F3}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_k=Q_{zk}+Q_{pk}\;</MATH>|F4}} Wzór {{LinkWzór|6.16}} spełnia zasadę rozpisu {{LinkWzór|F4}}. Wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną na podstawie {{LinkWzór|6.16}} i definicji siły uogólnionej {{LinkWzór|F2}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^Ng_{ik}(\vec F_i, \vec e_{ik})</MATH>|F6}} Ponieważ zachodzi addytywność siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|F3}}, to na podstawie {{LinkWzór|F4}} zachodzi addytywność siły uogólnionej zewnętrznej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} lub co można sprawdzić bezpośrednio z definicji uogólnionej siły zewnętrznej {{LinkWzór|F6}}, sprawdźmy to: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\sum_{a=1}^{3N}\sum_iF_{zia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_i\sum_{a=1}^{3N}F_{zia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_iQ_{zik}\Rightarrow Q_{zk}=\sum_iQ_{zik}\;</MATH>|F5}} Wzór na siłę uogólnioną {{LinkWzór|6.16}} możemy wsadzić do wzoru obrazującej drugie równania Lagrange'a {{LinkWzór|6.14}} i pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu i prędkości uogólnionej: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial(T-U)}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial (T-U)}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.17}} Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> L=T-U\;</MATH>|6.18}} Równość {{LinkWzór|6.17}} na podstawie definicji funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|6.18}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.19}} Układ równań {{LinkWzór|6.19}} jest układem f=3N-r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczać będziemy wzór na współrzędne q{{Sub|k}} w zależności jak się zmieniają one w czasie. Równanie {{LinkWzór|6.19}} stosuje się tak samo dla więzów jak i do przypadku braku więzów, o ile są więzy holonomiczne, a same siły konserwatywne. Równanie Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|6.19}} możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej opisujący daną cząstkę o numerze "a" w analogii do równania {{LinkWzór|6.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}-{{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}=\vec Q_{z}\;</MATH>|6.20}} == Funkcja Lagrange'a a zasady zachowania == === Zasada zachowania energii i translacja w czasie === Nazpiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|6.18}} względem czasu, do którego będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}} L=\sum_{k}{{\partial L}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\ddot{q}_k+{{\partial L}\over{\partial t}}=\sum_k\dot{q}_k{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}-\sum_k Q_{zk}\dot{q}_k+\sum_k\ddot{q}_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}+{{\partial L}\over{\partial t}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d}\over{dt}}\left(\sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\right)+{{\partial L}\over{\partial t}}-\sum_kQ_{zk}\dot{q}_k</MATH>|6.21}} Wyrazy w {{LinkWzór|6.21}}, które są pochodnymi zupełnymi i cząstkowymi pewnej funkcji względem czasu umieszczamy po jednej stronie, czyli prawej, a pozostałe wyrazy wsadzamy po jego lewej stronie: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_kQ_{zk}\dot{q}_k={{d}\over{dt}}\left( \sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-L\right)+{{\partial L}\over{\partial t}}\Rightarrow P_z={{d}\over{dt}}\left( \sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-L\right)+{{\partial L}\over{\partial t}}\;</MATH>|6.22}} Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem, to: {{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}_a^2=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\left(\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k\right)^2\;</MATH>|6.23}} Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam bardzo dalej będzie potrzebne, w których jak wiadomo, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^f{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}\dot{q}_k=\sum_{k=1}^f\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}2\left(\sum_{s=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_s}}\dot{q}_s\right){{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k=2\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\left(\sum_{s=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_s}}\dot{q}_s\right)^2=2T\;</MATH>|6.24}} Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru {{LinkWzór|6.22}} pod pochodną względem czasu, wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|6.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\dot{q}_k-L=2T-T+U=T+U=E\;</MATH>|6.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|6.22}} i {{LinkWzór|6.25}} wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu i siły uogólnione zewnętrzne są równe zero, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia. === Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a === Całkowity Lagrangian układu jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego: {{CentrujWzór|<MATH> L=\sum_{i=1}^n{{m\dot{\vec{r}^2_i}}\over{2}}-\sum_{i,j}(|\vec{r}_i-\vec{r}_j|)\;</MATH>|6.26}} Dokonajmy teraz translacji przestrzennych o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\;</MATH>}} wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_i^'=\vec{r}_i+\vec{a}\;</MATH>|6.27}} Zmiana lagrangianu przy przesunięciu o pewien wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wyraża się w zależności od współrzędnych, który jest wyrażony przez współrzędne wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i^'\;</MATH>}}, oraz przez współrzędne wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\partial L= L(\vec{r}_i^',\dot{\vec{r}}_i,t)- L(\vec{r},\dot{\vec{r}}_i,t)=a_1\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}}+a_2\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}}+a_3{{\partial L}\over{\partial x_k}}\;</math>|6.28}} Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translakcji w przestrzeni, to powinny zachodzić na pewno dla naszej funkcji {{Formuła|<MATH>\partial L=0\;</MATH>}}, warunki, które tożsamościowo są równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}}=\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}}=\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial z_k}}=0\;</MATH>|6.29}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|6.19}} na drugie równanie Lagrange'a, to podstawiając to równanie do trzech tożsamości wyrażonej w jednej linijce {{LinkWzór|6.29}}, wtedy po dokonaniu tejże operacji: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{x}_k}}\right)={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{y}_k}}\right)={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{x}_k}}\right)=0\;</MATH>|6.30}} Na podstawie co wykazaliśmy w punkcie {{LinkWzór|6.30}} możemy napisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.31}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{y}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.32}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{z}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.33}}}} Można wykazać, że pochodna {{Formuła|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}\;</MATH>}} jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji, podobnie mamy z pędem igrekowym i zetowym dla pojedynczej cząstki, zatem prawa {{LinkWzór|6.31}}, {{LinkWzór|6.32}} i {{LinkWzór|6.33}} obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli lagrangian przy dokonanej translacji {{LinkWzór|6.26}} jest niezmienniczy, zatem całkowity pęd układu cząstek w takim przypadku pozostaje niezmienniczy. === Zasada zachowania momentu pędu === Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym już wyprowadziliśmy w punkcie {{LinkWzór|1.28|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> L=T-U={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin\phi+r^2\dot{\phi}^2\right)-U(r)\;</MATH>|6.34}} Z powyższych wniosków wnioskujemy, że całkowity Lagrangian nie zależy od współrzędnej &theta;-owej, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu {{LinkWzór|6.34}} względem współrzędnej &theta;-owej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>0={{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}}}={{d}\over{dt}}\left(mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\right)\;</MATH>|6.35}} Jeśli dodatkowo zauważmy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy: {{CentrujWzór|<MATH>L_z=m(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})_z=m(x\dot{y}-\dot{x}y)=m\Bigg[r\cos\theta\sin\phi \left(\dot{r}\sin\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi\cos\theta+r\dot{\phi}\sin\theta\cos\phi\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-r\sin\theta\sin\phi\left(\dot{r}\cos\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi(-\sin\theta)+r\dot{\phi}\cos\theta\cos\phi\right)\Bigg]= mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\cos^2\theta+r^2\dot{\theta}\sin^2\theta\sin^2\phi=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\;</MATH>|6.36}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.35}}, w której pod pochodną występuje wyrażenie, które jest zetowym momentem pędu określonych na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.36}}, czyli stąd wynika, że moment zetowy momentu pędu jest wielkością zachowaną w wyniku obrotów o pewien kąt. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian {{Formuła|<MATH> L\;</MATH>}} nie zależy od współrzędnej uogólnionej q{{Sub|k}}, to spełniona jest zasada zachowania: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}=0\;</MATH>|6.37}} Czyli taką współrzędną dla której zachodzi {{LinkWzór|6.37}} nazywamy współrzędną cykliczną. == Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych == Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}}, gdzie przyrost położenia: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}=\sum_kg_k(q_i)dq_k\vec{e}_k\;</MATH>|6.38}} Na podstawie {{LinkWzór|6.37}} opis zależy od wersorów, a także ona zależy od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w danym prostokątnym układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}={{d\vec{r}}\over{dt}}=\sum_kg_k(q_i)\dot{q}_k\vec{e}_k\;</MATH>|6.39}} Parametry {{Formuła|<MATH>g_k(q_i)\;</MATH>}} są tak np. sformułowane w kulistym układzie współrzędnych, co porównując ze wzorem na prędkość w układzie kulistym danej cząstki {{LinkWzór|1.28|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, by można było napisać wzory na parametry występujące we wzorze {{LinkWzór|6.38}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>g_1=1;\;</MATH>|6.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>g_2=r\sin\phi\;</MATH>|6.41}}|3={{CentrujWzór|<MATH>g_3=r\;</MATH>|6.42}}}} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}} tworzą układ wersorów jednostkowym i ortogonalnych do siebie, bo: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_k\vec{e}_i=\delta_{ki}\;</MATH>|6.43}} Biorąc na uwagę definicję prędkości w tym naszym omawianym układzie {{LinkWzór|6.39}}, a także z własności ortogonalności wersorów {{LinkWzór|6.43}}, to możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną układu napisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}m\vec{v}^2={{1}\over{2}}m\sum_kg_k^2\dot{q}_k^2\;</MATH>|6.44}} Rozpatrzmy teraz wzór dla jednego ciała na drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.14}}, które określimy za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej, a wzór na siłę uogólnioną według {{LinkWzór|F2}}, także wykorzystajmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego}}, w takim razie dla układu ogólnie krzywoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=m{{d}\over{dt}}(g_k^2\dot{q}_k)-m\sum_ig_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^2= mg_k^2\ddot{q}_k+2m g_k{{dg_k}\over{dt}}\dot{q}_k-m\sum_ig_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^2=mg_k^2\ddot{q}_k+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+2m g_k\sum_i{{\partial g_k}\over{\partial q_i}}\dot q_i\dot{q}_k-m\sum_ig_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^2=g_kF_k=g_kma_k\;</MATH>|6.45}} Z drugiej jednak strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego, słusznego w dowolnym układzie ogólnie krzywoliniowym, z {{LinkWzór|6.39}}, licząc pochodną zupełną względem czasu dla obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\sum_kg_k\ddot{q}_k\vec{e}_k+\sum_k\dot{q}_k{{d}\over{dt}}\left(g_k\vec{e}_k\right)</MATH>|6.46}} Ostatni człon w powyższym wzorze jest bardzo trudny do obliczenia, ale możemy wyznaczyć jego współczynnik liniowej kombinacji, porównując współczynniki stojące przy {{Formuła|<MATH>\ddot{q}_k\;</MATH>}} we wzorze {{LinkWzór|6.46}} i we równaniu na drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.45}}, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec a=\sum_k\vec e_k{{1}\over{mg_k}}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right)\Rightarrow \sum_ka_k\vec e_k=\sum_k\vec e_k{{1}\over{mg_k}}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right)\Rightarrow a_k={{1}\over{m g_k}}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right)\;</MATH>|6.47}} Równość {{LinkWzór|6.47}} zachodzi, bo jak powiedzieliśmy dla {{LinkWzór|6.13}} (tutaj wszystkie siły uwzględniono w {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>U=0\;</MATH>}}, a więc {{Formuła|<MATH>L=T-U=T-0=T\;</MATH>}}), że {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} jest k-tą współrzędną siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym, wykorzystując wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego}}, też wiedząc, że zachodzi w zależności od współrzędnych przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_ka_k\vec e_k=\vec a\;</MATH>|6.47a}} Podstawiając {{LinkWzór|6.47a}} do pierwszego równania {{LinkWzór|6.47}} dostajemy drugie równanie też tam. To co napisano w drugim równaniu {{LinkWzór|6.47}} i z definicji ortonormalności wersorów {{Formuła|<MATH>\vec e_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.43}} mamy trzecie równanie w {{LinkWzór|6.47}}, czyli równanie końcowe w {{LinkWzór|6.47}} jest prawdziwe i przedstawia wzór na k-tą współrzędną przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym. Energia kinetyczna w układzie kulistym dla ciała jest określona na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.28|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}: {{CentrujWzór|<MATH>T={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\sin^2\phi\dot{\theta}^2\right)\;</MATH>|6.48}} Jeśli podstawimy wzór {{LinkWzór|6.48}} do wzoru {{LinkWzór|6.47}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|6.40}}, {{LinkWzór|6.41}} i {{LinkWzór|6.42}}, zatem w ten sposób otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, które już określaliśmy według wzoru {{LinkWzór|1.30|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}. == Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a == Weźmy sobie całkę działania, które określamy za pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcją Lagrange'a zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|6.18}}: {{CentrujWzór|<math>S=\int_{t_1}^{t_2} L(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|6.49}} Całkę działania {{LinkWzór|6.49}} będziemy tak formułować, by wariacja funkcji S była równa zero, czyli przyjmujemy '''zasadę Hamiltona''', czyli '''zasadę najmniejszego działania'''. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych na funkcjach Lagrange'a w książce do {{lg|Metody matematyczne fizyki|Metod matematycznych fizyki}} określamy wzór, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący w {{LinkWzór|6.49}} spełnia wniosek {{LinkWzór|17.13|Rachunek_wariacyjny|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez L, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny {{LinkWzór|6.19}} lub wzór wektorowy {{LinkWzór|6.20}} dla przestrzeni kartezjańskiej, a więc to udowodnijmy i wszystkie wnioski do tego: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left({{\partial L}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}\right)dt\delta q_k\Rightarrow{{\partial L}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}=0\;</MATH>|6.49a}} Przyjmijmy, że lagrangian jest sumą lagrangianu normalnego {{Formuła|<MATH>L=T-U\;</MATH>}} i odpowiedzialnego za siły zewnętrzne, które w szczególnym przypadku też w nim są siły oddziaływań, więc w przypadku lagrangianu w {{LinkWzór|6.49a}}, zastępując według: {{CentrujWzór|<MATH>L\rightarrow L+L_{z}\;</MATH>|6.49ab}} Na podstawie wynikającej z zasady wariacyjnej {{LinkWzór|6.49a}} i zastępowania {{LinkWzór|6.49ab}} oraz zakładamy, że {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}} jest zależne od prędkości i położenia ciał: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial (L+L_{z})}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial (L+L_{z})}\over{\partial q_k}}=0\Rightarrow {{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)\;</MATH>|6.49b}} A ponieważ zachodzi wynikająca z teorii ruchu {{LinkWzór|6.19}} i wynikająca z teorii lagrangianu {{LinkWzór|6.49b}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}\;</MATH>|6.49c}} Wzór {{LinkWzór|6.49c}} jest przepisem jak liczyć k-ty stopień swobody sił uogólnionych w układzie ogólnie krzywoliniowym, znając lagrangian sił oddziaływań oraz sił zewnętrznych {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}}, która jest zależna od prędkości i położenia. Gdy {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}} nie jest zależne od prędkości, tylko od położenia, w takim razie wzór {{LinkWzór|6.49c}} przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.49d}} Na podstawie wzoru na siłę uogólnioną {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.49c}} wzór {{LinkWzór|6.49b}} przyjmuje formę o wyglądzie {{LinkWzór|6.19}}, aby dla jasności wykładu przepiszemy ten wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.19a}} Udowodnijmy addytywność siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} z teorii lagrangianu, wiedząc, że zachodzi z teorii ruchu {{LinkWzór|F5}}, gdy na dane ciało działa jakaś ich liczba: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\left({{\partial}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}\right)\sum_{i}L_{zi}=\sum_i\left({{\partial}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}\right)L_{zi}=\sum_iQ_{zik}\Rightarrow Q_{zk}=\sum_iQ_{zik}\;</MATH>|G1}} Na podstawie {{LinkWzór|G1}} siła uogólniona zewnętrzna jest addytywna, która występuje we wzorze {{LinkWzór|6.19a}}. Czyli to co chcieliśmy na samym początku tego rozdziału udowodniliśmy. Wzory {{LinkWzór|6.19a}}, {{LinkWzór|6.49c}} i {{LinkWzór|6.49d}} oraz {{LinkWzór|G1}} są słuszne, gdy {{Formuła|<MATH>L=T-U\;</MATH>}}, a dla innych przypadków {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} też są słuszne, a my to chcemy udowodnić, dla tych przypadków mamy równania poniżej. Na podstawie tych wniosków też jest słuszny wzór {{LinkWzór|6.49a}} przed zamianą według {{LinkWzór|6.49ab}}. Zastępujmy w definicji siły uogólnionej w {{LinkWzór|6.49c}} w równaniu {{LinkWzór|6.19a}} według: {{CentrujWzór|<MATH>L_{z}\rightarrow L_{oiz}+L_{z}\;</MATH>|6.49d1}} Wtedy na podstawie {{LinkWzór|6.49d1}} wzór kocowy w {{LinkWzór|6.49b}} przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial }\over{\partial q_k}}\right)(L_{oiz}+L_z)\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{oiz}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{oiz}}\over{\partial q_k}}\right)-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial (L+L_{oiz})}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial (L+L_{oiz})}\over{\partial q_k}}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)\;</MATH>|6.49d2}} W {{LinkWzór|6.49d2}} (końcowa tożsamość) zastąpmy według procedury {{Formuła|<MATH>L+L_{oiz}\rightarrow L\;</MATH>}}, a my dla jasności wykładu napiszmy równanie, które jest słuszne dla dowolnej postaci lagrangianu, a ono nazwiemy drugą uogólnioną zasadą Lagrange'a wynikającą z zasady wariacyjnej, a ono jest w postaci {{LinkWzór|6.49d231}} (podobne do wzoru {{LinkWzór|6.19}} i {{LinkWzór|6.19a}}), a wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną przepiszmy jako {{LinkWzór|6.49d232}} (podobny do wzoru {{LinkWzór|6.49c}}) zależną od lagrangianu siły zewnętrznej {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}, a gdy lagrangian siły zewnętrznej nie zależy od prędkości, wtedy siła uogólniona przedstawiamy jako {{LinkWzór|6.49d233}} (podobny do wzoru {{LinkWzór|6.49d}}), a lagrangian całkowity {{Formuła|<MATH>L_c\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.49d234}} jest sumą lagrangianu {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} i lagrangianu siły zewnętrznej {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}, czyli: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.49d231}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}-{{d}\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}\;</MATH>|6.49d232}}|3={{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.49d233}}|4={{CentrujWzór|<MATH>L_c=L+L_z\;</MATH>|6.49d234}}}} Określmy postać wzoru na siłę uogólnioną zewnętrzną dla {{LinkWzór|6.49d232}} i {{LinkWzór|6.49d233}} oraz podobnego do {{LinkWzór|6.49c}} i {{LinkWzór|6.49d}} podobnym wzorem do {{LinkWzór|F6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^{N}g_{ik}(\vec F_{zi}, \vec e_{ik})=\sum_{i=1}^NQ_{ik}=Q_{zk}\;</MATH>|6.13a}} Czyli jak we wzorze {{LinkWzór|F6}} k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym siły uogólnionej zewnętrznej jest według {{LinkWzór|6.13a}}, bo tak jest na podstawie {{LinkWzór|6.49d1}}, że stara siła uogólniona zewnętrzna (stare {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}) wynikającego ze starego {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}} jest sumą siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{oizk}\;</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>L_{oiz}\;</MATH>}} i nowej siły uogólnionej zewnętrznej (nowe {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}) z nowego {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}, co uwidaczniamy na podstawie rachunku: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}\rightarrow\sum_{a=1}^{3N}(F_{oiza}+F_{za}){{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{a=1}^{3N}F_{oiza}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=Q_{oizk}+Q_{zk}\Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk}\;</MATH>|6.13b}} Stąd z {{LinkWzór|6.13b}} mamy {{LinkWzór|6.13a}} dla nowego {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}, stąd na podstawie {{LinkWzór|F5}} k-ty stopień swobody tego w układzie ogólnie krzywoliniowym nowej siły uogólnionej zewnętrznej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} w {{LinkWzór|6.13b}} jest addytywny. To też można udowodnić z teorii lagrangianu: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial (L_{oiz}+L_z)}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial (L_{oiz}+L_z)}\over{\partial q_k}}\right)=-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_{oiz}}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_{oiz}}\over{\partial q_k}}\right)-\left({{d}\over{dt}}{{\partial L_z}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L_z}\over{\partial q_k}}\right)=Q_{oizk}+Q_{zk}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk}\;</MATH>|6.13c}} W {{LinkWzór|6.13c}} z teorii lagrangianu wychodzi taki sam wniosek co z {{LinkWzór|6.13b}} z teorii ruchu, stąd definitywnie siła uogólniona zewnętrzna w {{LinkWzór|6.49d232}} i {{LinkWzór|6.49d233}} spełnia zasadę addytywności na podstawie wniosku addytywności starej siły uogólnionej zewnętrznej wynikającej z rachunku {{LinkWzór|G1}} (teoria lagrangianu) oraz {{LinkWzór|F5}} (teoria ruchu). == Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście == {{Rysunek|Przesunięcie_wektora_o_pewien_odcinek_względem_pewnego_kąta.png|lk1|Obrót wektora o pewien odcinek względem kąta &delta;&phi;}} By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych, należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości, co wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta &theta; i wariacji kata &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>|\delta\vec{r}|=r\sin\theta\delta\delta\phi\;</MATH>|6.50}} Wektor {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}\;</MATH>}} jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\phi}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|6.51}} możemy zapisać w formie, jako iloczyn wektorowy wariacji kąta {{Formuła|<MATH>\vec{\phi}\;</math>}} i wektora promienia {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\vec{r}=\delta\vec{\phi}\times\vec{r}\;</MATH>|6.51}} Równość {{LinkWzór|6.52}} możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i w ten sposób otrzymać wariację prędkości, która jest równa iloczynowi wektorowemu wariacji kąta {{Formuła|<MATH>\vec{\phi}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\vec{v}=\delta\vec{\phi}\times\vec{v}\;</MATH>|6.52}} Będziemy tutaj wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu, z warunku, że wariacja lagrangianu jest stała i jest równa zero, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\delta L=\sum_a\left({{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}\delta\vec{r}_a+{{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}\delta\vec{v}_a\right)\;</MATH>|6.53}} Wykorzystamy teraz wzór {{LinkWzór|6.20}}, a także definicję pędu uogólnionego, a także wzoru na wariację położenia {{LinkWzór|6.51}} i wariację prędkości {{LinkWzór|6.52}}, w ten sposób mamy tożsamość wynikająca z {{LinkWzór|6.53}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_a\left(\dot{p}_a\times(\delta\vec{\phi}\times\vec{r}_a\right)+\vec{p}_a(\delta\vec{\phi}\times\vec{v}_a))=0\;</MATH>|6.54}} Możemy dokonać cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych występujących we tożsamości {{LinkWzór|6.54}} i wykorzystując równoległość wektora prędkości i pędu w nim: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\vec{\phi}\cdot\sum_a(\vec{r}_a\times\dot{\vec{p}}+\vec{v}_a\times\vec{v})=\delta\vec{\phi}\cdot{{d}\over{dt}}\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a)=0\;</MATH>|6.55}} Patrząc na równość {{LinkWzór|6.55}} dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a)\;</MATH>|6.56}} Napiszmy, czemu jest równy moment pędu w nowym nieporuszającym się układzie odniesienia, jeśli znamy jego odpowiednik w starym układzie odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem dwóch różnych początków: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=\sum_a(\vec{r}_a^'\times\vec{p}_a^')=\sum_a\vec{r}\times\vec{p}_a-\vec{a}\times\sum_a\vec{p}_a=\vec{N}-\vec{a}\times\vec{P}\;</MATH>|6.57}} Wyznaczmy czemu jest równy moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego układu odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem tego samego początku, ale pędy takich samych punktów masowych są w tych dwóch układach różne ze względu na prędkość nowego układu odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{v}_a)=\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{v}_a^')-\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{V})=\vec{N}-\left(\sum_am_a\vec{r}_a\right)\times\vec{V}\;</MATH>|6.58}} Do wzoru końcowego {{LinkWzór|6.58}} wykorzystamy definicję położenia środka masy poprzez położenia poszczególnych punktów masowych i ich mas {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=\vec{N}-M\vec{R}\times\vec{V}\;</MATH>|6.59}} Widzimy, że moment pędu układów cząstek w nowym układzie odniesienia jest różnicą momentu pędu względem starego układu odniesienia i momentu pędu środka masy. * Wyznaczymy teraz definicję zetowego momentu pędu w zależności od lagrangianu L. Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>N_z=\sum_am_a(x_a\dot{y}_a-y_a\dot{x}_a)=\sum_a m_ar_a^2\dot{\theta}_a\;</MATH>|6.60}} Lagrangian w układzie cylindrycznym przestawiamy poprzez definicję energii kinetycznej w tym układzie i energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> L={{1}\over{2}}\sum_am_a(\dot{r}_a^2+r_a^2\dot{\theta}_a^2+\dot{z}_a^2)-U\;</MATH>|6.61}} Patrząc na definicję momentu lagrangianu zapisanej w układzie cylindrycznym {{LinkWzór|6.61}}, wtedy moment sił zetowy {{LinkWzór|6.60}}: {{CentrujWzór|<MATH>N_z=\sum_a{{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}_a}}\;</MATH>|6.62}} == Masa zredukowana układu dwóch cząstek == Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej dla dwóch mas i energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m_1\dot{\vec{r}}_1+{{1}\over{2}}m_1\dot{\vec{r}}_2-U(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|)\;</MATH>|6.63}} Zakładając, że środek mas znajduje się w środku układu współrzędnych, to ich położenie względne masy pierwszej względem drugiej i z definicji środka masy, mamy dwa równania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2\;</MATH>|6.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>0=m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2\;</MATH>|6.65}}}} Z równań {{LinkWzór|6.64}} i {{LinkWzór|6.65}} możemy otrzymać położenia poszczególnych mas znając położenie względne masy pierwszej względem drugiej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_1={{m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|6.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_2=-{{m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|6.67}}}} Wzory na poszczególne położenia mas w układzie środka masy, tzn. {{LinkWzór|6.66}} i {{LinkWzór|6.67}} podstawiamy do definicji Lagrangianu dla tychże mas {{LinkWzór|6.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m_1{{m_2^2}\over{(m_1+m_2)^2}}\dot{\vec{r}}^2+{{1}\over{2}}m_2{{m_1^2}\over{(m_1+m_2)^2}}\dot{\vec{r}}^2-U(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|)={{1}\over{2}}{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\dot{\vec{r}}^2-U(r)={{1}\over{2}}m\dot{\vec{r}}-U(r)</MATH>|6.68}} W obliczeniach {{LinkWzór|6.68}} wprowadziliśmy '''masę zredukowaną''': {{CentrujWzór|<MATH>m={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\;</math>|6.69}} Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch ciała o masie m w polu zewnętrznym U(r) względem nieruchomego układu współrzędnych. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> re0lbmqsh5fdndyvkbckb86k0mfroxj 0 20312 554854 513457 2026-09-07T19:24:53Z Persino 2851 554854 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez takie wielkości, którym jest wektorem kąta obrotu prostopadłego do płaszczyzny tego obrotu, a jego prędkość kątowa obrotu, która w zamierzeniu jest prostopadła do płaszczyzny tego obrotu ma zwrot ma taki, że jeśli dana bryła obraca się niezgodnie ze wskazówkami zegara, to zwrot jest do góry względem naszej płaszczyzny, w przypadku przeciwnym zwrot jest przeciwny. Weźmy sobie pewne dwie osie obrotu, względem których następuje obrót, zatem prędkości wektorowe danego punktu bryły sztywnej poruszającej się wokół osi pierwszej lub drugiej naszej bryły sztywnej są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_i=\vec{v}_T+\omega\times\vec{r}_i\;</MATH>|7.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_i=\vec{v}^'_T+\omega^'\times\vec{r}_i^'\;</MATH>|7.2}}}} Wektory wodzące względem nowej osi pewnego punktu jest opisana przez wektor wodzący względem starej osi i jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_i^'=\vec{r}_i+\vec{a}\;</MATH>|7.3}} Wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} przestawiają tą samą prędkość, a także wykorzystując fakt transformacji położenia osi starej względem nowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_T+\omega\times\vec{r}_i=\vec{v}^'_T+\omega^'\times(\vec{r}_i+\vec{a})\Rightarrow \vec{v}_T+\omega\times\vec{r}_i=\vec{v}^'_T+\omega^'\times\vec{r}_i+\omega^'\times\vec{a}\;</MATH>|7.4}} Porównując obie strony równości {{LinkWzór|7.4}}, dochodzimy do wniosku, że jeśli prędkość kątowa danego punktu względem jednej osi wynosi {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}}, to względem drugiej jest wielkością taką samą, co wynika ze wspomnianego wzorze dla dowolności {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\omega}^'=\vec{\omega}\;</MATH>|7.5}} Biorąc tożsamość {{LinkWzór|7.5}} do wzoru {{LinkWzór|7.4}}, wtedy możemy napisać równość na prędkość danego punktu ciała sztywnego względem drugiej osi, znając prędkość ciała względem pierwszej osi i prędkość ruchu postępowego osi drugiej względem osi pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_T^'+\vec{\omega}\times\vec{a}\;</MATH>|7.6}} Sprawdźmy jakie jest złożenie obrotów powstały przy obrocie pierwszym z prędkością kątowa obrotu {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}_1\;</MATH>}}, i przy obrocie drugim z prędkością kątowej obrotu: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}_2\;</MATH>}}, co można napisać najpierw wykonując pierwszy obrót, a potem drugi, wtedy przesunięcia powstałe w wyniku tychże dwóch obrotów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}_1=(\vec{\omega}_1\times\vec{r})dt\;</MATH>|7.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}_2=\vec{\omega}_2\times(\vec{r}+d\vec{r}_1)dt\;</MATH>|7.8}}}} Suma dwóch obrotów, które są obrotami z różnymi prędkościami kołowymi obrotów, to w ten sposób z dokładnością do wyższych rzędów: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}=d\vec{r}_1+d\vec{r}_2=(\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2)\times\vec{r}dt\;</MATH>|7.9}} == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego może być opisany w nowym układzie współrzędnych (x',y'.z';), który można przejść z układu (x,y,z) do wspomnianego układu za pomocą kątów (&phi;,&psi;,&theta;), zatem aby stworzyć kąty Eulera, a na je podstawie prędkości obrotów, należy wykonać czynności. * Pierwszą czynnością jest obrót osi z o kąt &theta; w płaszczyźnie z=0, i z'=0, rozważana prędkość jest prostopadła do naszej płaszczyzny, jest ona skierowana wzdłuż osi "w": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\vec{e}_k=\dot{\theta}(\cos\psi\vec{e}_{x^'}-\sin\psi\vec{e}_{y^'})\;</MATH>|7.10}} * Obrót wokół osi z, jego prędkość kątowa jest opisana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left(\sin\theta\sin\psi\vec{e}_{x'}+\sin\theta\cos\psi\vec{e}_{y'}+\cos\theta\vec{e}_{z^'}\right)\;</MATH>|7.11}} * I na samym końcu dokonajmy obrotu wokół osi z': {{CentrujWzór|<math>\vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\vec{e}_{z^'}\;</MATH>|7.12}} Całkowita prędkość kątowa obrotu całego układu (osi współrzędnych) jest określana przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\omega}=p\vec{e}_{x^'}+q\vec{e}_{y'}+r\vec{e}_{z^'}\;</MATH>|7.13}} W powyższym wzorze {{LinkWzór|7.13}} występują współrzędne (p,q,r), ich definicje na podstawie {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}} są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\;</MATH>|7.14|Obramuj}}|2={{CentrujWzór|<MATH>q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\;</MATH>|7.15|Obramuj}}|3={{CentrujWzór|<MATH>r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\;</MATH>|7.16|Obramuj}}}} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, czyli wzorem {{LinkWzór|7.1}}. Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracająca się, dla której oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_T\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>2T=\sum_im_i\vec {v}_i=\sum_im_iv_T^2+\sum_im_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2+2\sum_i m_i\left(\vec{\omega}\times\vec{r}_i\right)\vec{v}_T\;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz występujący się w punkcie jest wielkością zerową, bo zakładamy, że środek masy znajduje się w punkcie zerowym na osi układu, co wynika z definicji położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, zatem dostajemy, że energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i ruchu obrotowego (rotacyjnego), co wzór {{LinkWzór|7.16a}}: {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}M\vec{v}_T^2+{{1}\over{2}}\sum_i m_i\left(\vec{\omega}\times\vec{r}_i\right)^2=T_{trasl}+T_{rot}\;</MATH>|7.17}} Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość opisana wzorem {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, z którego to skorzystamy przy obliczeniach nad energią kinetyczną ruchu rotacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>2T_{rot}=\sum_im_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2=\sum_im_i\vec{\omega}^2\vec{r}_i^2-\sum_im_i(\vec{\omega}\vec{r}_i)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\sum_im_i (\omega_x^2+\omega_{y}^2+\omega_z^2)(x_i^2+y_i^2+z_i^2)-\sum_im_i\left(\omega_x x_i+\omega_y y_i+\omega_zz_i\right)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_im_i\left(\omega_x^2x_i^2+\omega_x^2y_i^2+\omega_x^2z_i^2+\omega_y^2x_i^2+\omega_y^2y_i^2+\omega_y^2z_i^2+\omega_z^2x_i^2+\omega_z^2y_i^2+\omega_z^2z_i^2\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>- \sum_im_i\left(\omega_x^2x_i^2+\omega_y^2y_i^2+\omega_z^2z_i^2+2\omega_x\omega_yx_iy_i+2\omega_x\omega_zx_iz_i+\omega_y\omega_zy_iz_i\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_im_i\omega_x^2(y_i^2+z_i^2)-\sum_im_i\omega_x\omega_yx_iy_i-\sum_im_i\omega_x\omega_yx_iz_i-\sum_i m_i\omega_y\omega_xy_ix_i+\sum_im_i\omega_y^2(x_i^2+z_i^2)-\sum_im_i\omega_y\omega_zy_iz_i+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum_{i}m_i\omega_z\omega_yz_iy_i-\sum_im_i\omega_z\omega_yz_iy_i+\sum_{i}m_i\omega_z^2(x_i^2+y_i^2)=\vec{\omega}^T\hat{I}\vec{\omega}</MATH>|7.18}} Napiszmy inne wyprowadzenie wzoru na moment pędu za pomocą momentu bezwładności i prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec K=\sum_im_{i}\vec r_i\times\vec v_i=\sum_im_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=\sum_im_{0i}\left[ \vec r_i(\vec\omega\vec r_i^2-\vec r_i(\vec \omega\vec r_i)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i\left[-\vec r_i(x_i\omega_x+y_i\omega_y+z_i\omega_z)+\vec\omega(x_i^2+y_i^2+z_i^2)\right]=\sum_im_i\Big[\vec i\omega_x(x_i^2+y_i^2+z_i^2)+\vec j\omega_y(x_i^2+y_i^2+z_i^2)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec k\omega_z(x_i^2+y_i^2+z_i^2)-\vec i(x_i^2\omega_x+x_iy_i\omega_y+x_iz_i\omega_z)-\vec j(x_iy_i\omega_x+y_i^2\omega_y+y_iz_i\omega_z)-\vec k\left(z_iy_i\omega_x+y_iz_i\omega_y+z_i^2\omega_z\right)\Big]=</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_im_{i}\left[\vec i\omega_x\left(y_i^2+z_i^2\right)+\vec j\omega_y\left(x_i^2+z_i^2\right)+\vec k\left(x_i^2+y_i^2\right)-\vec i\left(x_iy_i+x_iz_i\right)-\vec j\left(x_iy_i+u_iz_i\right)-\vec k\left(x_iy_i+y_iz_i\right)\right]=\hat I\vec \omega</MATH>|2.18a}} Moment pędu zdefiniujmy jako iloczyn tensora momentu pędu i wektora prędkości katowej, a energię kinetyczną definiujemy, jako wektor transponowany wektora prędkości kątowej przez wektor momentu pędu, i co wszystko definiujemy, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\hat{I}\vec{\omega}\;</MATH>|7.19}}|2={{CentrujWzór|<MATH>T_{rot}={{1}\over{2}}\vec{\omega}^T\vec{K}={{1}\over{2}}\vec{K}^T\vec{\omega}={{1}\over{2}}\vec{\omega}^T\hat{I}\vec{\omega}\;</MATH>|7.20}}}} Gdzie macierz {{Formuła|<MATH>\hat{I}\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem poniżej, którego to wykorzystaliśmy do wyznaczania momentu pędu {{LinkWzór|7.19}} i energii kinetycznej ruchu obrotowego {{LinkWzór|7.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}=\begin{bmatrix} \sum_im_i(y_i^2+z_i^2)&-\sum_im_ix_iy_i&-\sum_im_ix_iz_i\\ -\sum_im_iy_ix_i&\sum_im_i(x_i^2+z_i^2)&-\sum_iy_iz_i\\ -\sum_im_iz_ix_i&-\sum_im_iz_iy_i&\sum_im_i(x_i^2+y_i^2)\end{bmatrix}</MATH>|7.21}} Tensor czy macierz {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności'''. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rozdzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, dla którego punktem wyjścia jest równanie Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\vec{\omega}}}-{{\partial L}\over{\partial\vec{\theta}}}=0\;</MATH>|7.22}} Lagrangian ruchu obrotowego możemy przestawić, jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej, zatem pochodna cząstkowa lagrangianu L względem współrzędnej prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\omega_i}}={{1}\over{2}}I_{ik}\omega_k+{{1}\over{2}}I_{ki}\omega_k=I_{ik}\omega_k\Rightarrow {{\partial L}\over{\partial\vec{\omega}}}=\hat{I}\vec{\omega}=\vec{K}\;</MATH>|7.23}} Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się o wartość określoną przez wzór poniżej, i w tej samej linijce określimy moment siły przez pochodną cząstkową Lagrangianu względem kata {{Formuła|<MATH>\vec{\theta}\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>\delta U=-\sum\vec{F}\cdot\delta\vec{r}=-\sum\vec{F}\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec{r})=-\delta\vec{\theta}\sum(\vec{r}\times\vec{F})=-\vec{N}\cdot\delta\vec{\theta}\Rightarrow\vec{N}=-{{\partial U}\over{\partial\vec{\theta}}}={{\partial L}\over{\partial\vec{\theta}}}\;</MATH>|7.24}} Możemy podstawić końcowe wzory {{LinkWzór|7.24}} na moment sił i wzoru na moment pędu {{LinkWzór|7.23}} do wzoru Lagrange'a {{LinkWzór|7.22}}, wtedy otrzymamy wzór na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, którą określamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}\;</MATH>|7.25}} == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który jest energią kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, w której zdefiniujemy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{n}={{\vec{\omega}}\over{|\vec{\omega}|}}\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2T_{rot}}\over{\omega^2}}=\sum_{k,m=1}^3I_{km}n_kn_m\;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała I nazywamy moment bezwładności, który jest ilorazem podwojonej energii całkowitej rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej , który to zapisujemy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|7.26}}, co w którym wprowadzimy jednocześnie oznaczenie {{Formuła|<MATH>x_k={{n_k}\over{I}}\;</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>I=\sum_{j,m=1}^3I_{km}n_kn_m\Rightarrow 1=\sum_{k,m=1}^3I_{km}x_kx_m\;</MATH>|7.27}} Końcowy wzór wynikowy zapisanej w punkcie {{LinkWzór|7.27}} przestawia elipsoidę obrotową w trójwymiarowym układzie współrzędnych, wtedy możemy obrać pewne kąty (&theta;,&phi;,&psi;), w których to w nowym układzie współrzędnych tensor bezwładności pozostaje tensorem diagonalnym, którego schemat w układzie własnym bryły sztywnej przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}=\begin{bmatrix} A&0&0\\ 0&B&0\\ 0&0&C\end{bmatrix}\;</MATH>|7.28}} Wzór na całkowitą energie w ruchu obrotowym ciała w jego układzie własnym, w którym obowiązuje macierz tensora bezwładności {{LinkWzór|7.28}}: {{CentrujWzór|<MATH>2T_{rot}=A{\omega}^2_{x^'}+B{\omega}^2_{y^'}+C{\omega}^2_{z^'}\;</MATH>|7.29}} Wielkości A,B, C nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. Moment pędu w układzie własnym bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=(A\omega_{x^'},B\omega_{y'},C\omega_{z^'})=(Ap,Bq,Cr)\;</MATH>|7.30}} == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, i wykorzystując, że pochodna dowolnego wektora obracającego się układu współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}}, wtedy wzór opisujących dynamikę układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{K}}+\vec{\omega}\times\vec{K}=\vec{N}\;</MATH>|7.31}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(p,q,r)\;</MATH>}}, a także biorąc jeszcze jeden fakt powiedziany punkcie {{LinkWzór|7.26}}, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć {{LinkWzór|7.27}}, jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot{p}+(C-B)qr=N_{x^'}\;</MATH>|7.32|Obramuj}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot{q}+(A-C)rp=N_{y^'}\;</MATH>|7.33|Obramuj}}|3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot{r}+(B-A)pq=N_{z^'}\;</MATH>|7.34|Obramuj}}}} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} są to '''dynamiczne równania Eulera'''. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na które nań nie działają żadne momenty sił i zakładając przy tym, że prędkość kątowa jest stała, jeśli prędkości kątowe względem czasu, tzn., pochodne zupełne wielkości p,q,r nie zmieniają się wcale, to na podstawie tego można napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>(C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0\;</MATH>|7.35}} Powyższa równość przy różnych od siebie parametrach A, B, muszą być dwie wartości równe zero z trzech z wielkości p,q i r , co kończą się nasze rozważania na ten temat. Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w której prędkość kątowa p=p{{Sub|0}} jest w przybliżeniu wielkością stałą, zaś funkcje q i r są bardzo małe, i z warunku nie działania momentów sił na nasz układ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot{p}+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot{q}+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}}|3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot{r}+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}}}} Równanie {{LinkWzór|7.36}} na podstawie naszych rozważań jest tożsamościowo równe zero, zatem rozpatrzmy teraz dwa równania, tzn. równania {{LinkWzór|7.37}} i {{LinkWzór|7.38}}, zatem różniczkując równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiając do równości {{LinkWzór|7.38}}, wtedy otrzymujemy pierwsze równanie na r, podobnie robimy to samo dla równania, z którego wyznaczać będziemy q, wtedy dostajemy dwie równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}=-Hq\;</MATH>|7.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{r}=-Hr\;</MATH>|7.40}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mbox{ gdzie: }H={{A-C}\over{B}}{{A-B}\over{C}}p_0^2\;</MATH>|7.41}}}} Rozwiązaniem równań {{LinkWzór|7.39}} i {{LinkWzór|7.40}} są to równania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0e^{bt}\;</MATH>|7.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0e^{bt}\;</MATH>|7.43}}|3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}}}} Gdy w rozwiązaniu {{LinkWzór|7.42}} i {{LinkWzór|7.43}} będziemy mieli takie H, by zachodziło H>0, co zachodzi na podstawie {{LinkWzór|7.41}} dla przypadków A&gt;C i A&gt;B lub A&lt;C i A&lt;B, to wtedy te nasze dwa rozwiązania są równaniami oscylatora harmonicznego, natomiast gdy <nowiki>A>C i A<B lub A<C i A>B</nowiki>, to orbita po której porusza się nasza bryła sztywna jest orbitą niestabilną. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Załóżmy, że mamy do czynienia z giroskopem symetrycznym, dla którego zachodzi A=B i oś x' niech będzie osią symetrii, nasz giroskop znajduje się w polu sił ciężkości, nasz giroskop jest podparty w środku masy. Na podstawie definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} środek masy znajduje się w położeniu zerowym, tzn. jego moment siły tej siły ciężkości jest równy zero, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_i\vec{r}_i\times(m_i\vec{g})=(\sum_im_i\vec{r}_i)\times\vec{g}=0\;</MATH>|7.45}} Równania ruchu giroskopu, czyli równania Eulera dla naszego przypadku: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot{p}=(C-A)qr=0\;</MATH>|7.46}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot{q}+(A-C)rp=0\;</MATH>|7.47}}|3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot{r}=0\;</MATH>|7.48}}}} Ż równania {{LinkWzór|7.48}}, otrzymujemy natychmiast, że r=r{{Sub|0}}=const, zatem naszymi równaniami ruchu są to dwa pierwsze powyższe równania, ale z warunku stałości r możemy otrzymać warunki na ruch giroskopu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{p}-Rq=0\;</maTh>|7.49}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{q}+Rp=0\;</MATH>|7.50}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mbox{ gdzie: }R={{A-C}\over{A}}r_0\;</MATH>|7.51}}}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} Równanie {{LinkWzór|7.46}} możemy zróżniczkować względem czasu i wtedy równanie {{LinkWzór|7.49}} podstawiamy do niego, co w ten sposób otrzymujemy równanie drugiego stopnia, podobnie otrzymujemy inne równanie, które to {{LinkWzór|7.49}} różniczkujemy względem czasu i podstawiamy do niego równość {{LinkWzór|7.46}}, wtedy otrzymujemy drugie równanie, a one: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{p}+R^2p=0\;</MATH>|7.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}+R^2q=0\;</MATH>|7.53}}}} Rozważamy układu równań, tzn. {{LinkWzór|7.52}} i {{LinkWzór|7.53}}, które są równaniami ruchu, z których wynikają rozwiązania harmoniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)\;</MATH>|7.54}}|2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(RT+\phi)\;</MATH>|7.55}}}} Prędkość kątowa giroskopu symetrycznego, wykorzystując przy tym rozwiązania {{LinkWzór|7.54}} i {{LinkWzór|7.55}}, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\omega}^2=r^2+p^2+q^2=r_0^2+a^2=\operatorname{const}\;</MATH>|7.56}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.56}} rzut wektora {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} zakreśla okrąg o promieniu na płaszczyźnie (x',y'), którego kąt rozwarcia jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=\operatorname{arctg}{{a}\over{r_0}}\;</MATH>|7.57}} Aby napisać dalszy tok obliczeń należy wykorzystać '''kinematyczne równanie Eulera''' {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}}, wtedy wyznaczone prędkości kątowe p, q, r według wzorów {{LinkWzór|7.54}} i {{LinkWzór|7.55}} są: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\\ \end{cases}\;</MATH>|7.58}} Wybierzmy sobie teraz taki kierunek, w której wektor momentu pędu jest równoległy do osi zetowej, zatem współrzędne wektora momentu pędu we współrzędnych (x',y',z'): {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi\\ K_{x'}=K\cos\theta \end{cases}\;</MATH>|7.59}} Jeśli weżniemy teraz wzór na moment pędu, dla macierzy bezwładności, w której występują diagonalne elementy tejże macierzy, zatem moment pędu liczonej wedle wzoru {{LinkWzór|7.30}} przestawiamy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} K_{x'}=A\omega_{x'}=Ap=A(\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\theta)=K\sin\phi\sin\psi\\ K_{y'}=B\omega_{y'}=Aq=A(\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\theta)=K\sin\phi\cos\psi\\ K_{z'}=C\omega_{z'}=Cr_0=C(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\theta})=K\cos\theta\\ \end{cases}\;</MATH>|7.60}} Patrząc na ostatni wzór występujący w układzie równań {{LinkWzór|7.60}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że stałymi wielkościami są {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}\;</MATH>}}. Biorąc powyższe uwagi dla układ równań {{LinkWzór|7.60}}, wtedy dostajemy inny układ równań: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta_0\cos\psi\\ a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta_0\cos\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta_0+\dot{\psi}\end{cases}\;</MATH>|7.61}} Z równania pierwszego i drugiego układu równań {{LinkWzór|7.61}} od razu wynika dla dowolności zmiennej "t" związek na zmienną kątową &psi; w zależności od zmiennej kątowej &Phi; i czasu, a także tożsamość na pochodną zmiennej kątowej &phi;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi\;</MATH>|7.62}}|2={{CentrujWzór|<math>A\dot{\varphi}\sin\theta_0\Rightarrow\dot{\varphi}={{a}\over{\sin\theta_0}}\;</MATH>|7.63}}}} Ż równości końcowej i wynikowej {{LinkWzór|7.63}} od razu wynika, że zachodzi warunek na {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}}, z którego wzór w zależności od "t" przestawiamy w sposób liniowy od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi={{a}\over{\sin\theta_0}}t+\varphi_0\;</MATH>|7.64}} Z końcowego układu równań dla ostatniego równania {{LinkWzór|7.61}} i wniosku {{LinkWzór|7.62}}, a także {{LinkWzór|7.63}} i z definicji R {{LinkWzór|7.51}} wynika tożsamość na tangens kąta początkowego w chwili początkowej &theta;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_0={{a}\over{\sin\theta_0}}\cos\theta_0+R\Rightarrow (r_0-R)\operatorname{tg}\theta_0=a\Rightarrow\operatorname{tg}\theta_0={{a}\over{r_0-R}}={{a}\over{r_0-{{A-C}\over{A}}r_0}}={{aA}\over{r_0C}}\;</MATH>|7.65}} Z rozważań wynikłych z udowodnionych tożsamości {{LinkWzór|7.62}}, {{LinkWzór|7.64}} i na samym końcu z {{LinkWzór|7.65}} wynikają trzy równania ruchu, które przestawiamy układem równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi\;</MATH>|7.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi={{a}\over{\sin\theta_0}}t+\varphi_0\;</MATH>|7.67}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}{{aA}\over{r_0C}}\;</MATH>|7.68}}}} Powyższe obliczenia przestawiają ciało, którego oś obrotu porusza się z pewną prędkością kątową wokół osi zetowej, a nasze ciało okrąża daną poruszającą się oś z prędkością kątową &omega;. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop szybko poruszający się, którego tensor moment bezwładności jest macierzą diagonalną, zatem w takim przypadku energia rotacyjna jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, który to lagrangian takiego ciała sztywnego, przy wykorzystaniu wzorów według {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L=T-U={{A}\over{2}}\omega_{x^'}^2+{{B}\over{2}}\omega_{y^'}^2+{{C}\over{2}}\omega_{z^'}^2-U={{A}\over{2}}\left[\left(\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\right)+\left(\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\right)^2\right]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2-Mgs\cos\theta={{A}\over{2}}\Bigg[\dot{\varphi}^2\sin^2\theta\sin^2\psi+\dot{\theta}^2\cos^2\psi+2\dot{\varphi}\dot{\theta}\sin\theta\sin\psi\cos\psi+\dot{\phi}^2\sin^2\theta\cos^2\psi+\dot{\theta}^2\sin62\theta+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2\dot{\varphi}\dot{\theta}\sin\theta\cos\psi\sin\psi\Bigg]+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2-Mgs\cos\theta={{A}\over{2}}\left(\dot{\varphi}^2\sin^2\theta+\dot{\theta}^2\right)^2+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2-Mgs\cos\theta</MATH>|7.69}} Według warunku zapisanego w punkcie {{LinkWzór|6.22|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} dla Lagrangianu, nasza energia nie zależy od czasu, wtedy całkowita energia układu pozostaje w czasie stała, a Lagrangian {{LinkWzór|7.69}} też nie zależy od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U={{A}\over{2}}\left(\dot{\varphi}^2\sin^2\theta+\dot{\theta}^2\right)+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2+Mgs\cos\theta\;</MATH>|7.70}} Dodatkowo zauważamy, że pochodne Lagrangianu {{LinkWzór|7.59}}, względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}, przyjmują wartość zawsze zero, zatem te współrzędne są to współrzędne cykliczne, zatem dwie wielkości, które podamy poniżej, przyjmują wartość zero: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\dot{\varphi}}}=A\dot{\varphi}\sin^2\theta+C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta=\alpha=\operatorname{const}\;</MATH>|7.71}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\dot{\psi}}}=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)=\beta=\operatorname{const}\;</MATH>|7.72}}}} Do wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|7.71}} możemy podstawić wzór {{LinkWzór|7.72}}: {{CentrujWzór|<MATH>A\dot{\varphi}\sin^2\theta+\beta\cos\theta=\alpha\Rightarrow \dot{\varphi}={{\alpha-\beta\cos\theta}\over{A\sin^2\theta}}\;</MATH>|7.73}} I ostatecznie wzory {{LinkWzór|7.72}} i {{LinkWzór|7.63}} podstawiamy do wzoru na energie całkowitą mechaniczną {{LinkWzór|7.70}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{A}\over{2}}\dot{\theta}^2+{{\left(\alpha-\beta\cos\theta\right)^2}\over{2A\sin^2\theta}}+{{\beta^2}\over{2C}}+Mgs\cos\theta=E\;</MATH>|7.74}} Określmy teraz warunki brzegowe, które to piszemy wedle schematów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\theta=\theta_0={{\pi}\over{2}}\;</MATH>|7.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=0\;</MATH>|7.76}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\psi=0\;</MATH>|7.77}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}=0\;</MATH>|7.78}}|5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}=0\;</MATH>|7.79}}|6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}=\dot{\psi}_0\;</MATH>|7.80}}}} Wykorzystując warunki {{LinkWzór|7.75}}, {{LinkWzór|7.76}}, {{LinkWzór|7.77}} i {{LinkWzór|7.78}}, {{LinkWzór|7.79}} i {{LinkWzór|7.80}} i na samym końcu wzory {{LinkWzór|7.71}} i {{LinkWzór|7.72}}, wtedy stałe &alpha; i &beta; i całkowita energia rozważanego układu {{LinkWzór|7.74}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0\;</MATH>|7.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_0=\operatorname{const}\;</MATH>|7.82}}|3={{CentrujWzór|<MATH>E={{C}\over{2}}\dot{\psi}_0^2=\operatorname{const}\;</MATH>|7.83}}}} Do równanie {{LinkWzór|7.74}} możemy dokonać podstawienia za &theta;, która jest zależna od kąta &theta; i od kata &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>{\theta={{\pi}\over{2}}-\chi}\;</MATH>|7.84}} W tak powstałym wyrażeniu na E {{LinkWzór|7.74}} zakładamy, że mamy do czynienia z małymi katami (wtedy zachodzi sin&chi;&asymp;&chi;), wtedy to równanie możemy przepisać przy warunku brzegowym {{LinkWzór|7.81}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{A}\over{2}}\dot{\chi}^2+{{\beta^2}\over{2A}}\chi^2+{{\beta^2}\over{2C}}+Mgs\chi=E\;</MATH>|7.85}} W równości {{LinkWzór|7.85}} różniczkujemy obie jego strony, i w ten sposób dostajemy równanie różniczkowe wynikające z powyższego: {{CentrujWzór|<MATH>A\ddot{\chi}+{{\beta^2}\over{A}}\chi+Mgs=0\;</MATH>|7.86}} W równaniu {{LinkWzór|7.86}} widzimy, że występuje w nim pewna stała występująca w równaniu, czyli Mgs, którą to uwzględnimy w jego rozwiązaniu: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=c_1\cos\left({{\beta}\over{A}}t+c_2\right)-{{MgsA}\over{\beta^2}}\;</MATH>|7.87}} Możemy dalej wykorzystać warunki brzegowe {{LinkWzór|7.75}} i {{LinkWzór|7.78}}, a także tożsamości między kątem &theta;, a &chi; {{LinkWzór|7.84}}, w ten sposób dla t=0, przy równaniu różniczkowym {{LinkWzór|7.86}}, dla jego rozwiązania {{LinkWzór|7.87}}, przy jego warunkach brzegowych, tzn. sama funkcja i jej pochodna, są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(t=0)=c_1\cos c_2-{{MgsA}\over{\beta^2}}=0\;</MATH>|7.88}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(t=0)=-c_1{{\beta}\over{A}}\sin c_2=0\;</MATH>|7.89}}}} Na podstawie warunków brzegowych {{LinkWzór|7.88}} i {{LinkWzór|7.89}} oraz podstawienia {{LinkWzór|7.84}}, możemy napisać rozwiązanie na kąt &theta: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\chi={{\pi}\over{2}}+{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\;</MATH>|7.90}} Widzimy, że według równania {{LinkWzór|7.90}} następuje kiwanie bryły sztywnej wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}\;</MATH>}}, który określamy przez {{Formuła|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}+{{2MgsA}\over{\beta^2}}\;</MATH>}}. Załóżmy, że teraz mamy równość {{LinkWzór|7.90}}, którego sinus jest zawsze bliski jedności, zatem na podstawie tego dla małych odchyleń od katą {{Formuła|<MATH>{{\pi}\over{2}}\;</MATH>}} możemy powiedzieć, że zachodzi poniższa równość na sinus kąta &theta;: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta=\sin\left[{{\pi}\over{2}}+{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\right]\simeq 1\;</MATH>|7.91}} Jeśli wykorzystamy wzór na kąt &theta; według wzoru {{LinkWzór|7.90}} dla przybliżenia małych kątów, to jego kosinus: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta=\cos\left[{{\pi}\over{2}}+{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\right]=\sin\left[{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\right]\simeq {{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\;</MATH>|7.92}} Mając warunek {{LinkWzór|7.91}} napiszmy czemu są równe wyrażenia na stałą &alpha; {{LinkWzór|7.71}} oraz &beta; {{LinkWzór|7.72}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=A\dot{\varphi}+C\left(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta\right)\cos\theta\simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta=0\;</MATH>|7.93}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\;</MATH>|7.94}}}} Wykorzystując równość {{LinkWzór|7.93}}, z której możemy policzyć pochodną wielkości &phi; względem czasu, by potem wyznaczyć samą tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}=-{{\beta}\over{A}}\cos\theta\Rightarrow\varphi={{Mgs}\over{\beta}}\left[t-{{A}\over{\beta}}\sin\left({{\beta}\over{A}}t\right)\right]\;</MATH>|7.95}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.95}} możemy powiedzieć, że oś symetrii giroskopu zatacza koło na płaszczyźnie (x,y) w przybliżeniu z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}={{Mgs}\over{\beta}}\;</MATH>}}, ten ruch nazywamy '''precesją''', a niewielkie jego odchylenia noszą nazwę '''nutacjami'''. Na sam koniec rozważmy tożsamość na &beta;, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_0=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\simeq C\dot{\psi}\Rightarrow \dot{\psi}={{\beta}\over{C}}=\dot{\psi}_0=\operatorname{const}\;</MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Obierzmy sobie bąk, który posiada tylko diagonalne elementy tensora momentu pędu, a relacja między tymi składowymi, jak można założyć jest A>B>C. Równości na całkowitą energię i moment pędu bąka: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}Ap^2+Bq^2+Cr^2=2E\\A^2p^2+B^2q^2+C^2r^2=K^2\end{cases}\;</MATH>|7.97}} Równości {{LinkWzór|7.97}} możemy określić poprzez definicje składowych momentu pędu przestawionych według wzoru {{LinkWzór|7.30}} zdefiniowanej poprzez definicję elementów zdiagnozalizowanego tensora momentu bezwładności {{LinkWzór|7.28}} i trzech prędkości kątowych (p,q,r) bąka asymetrycznego: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} {{K_x^2}\over{A}}+{{K_y^2}\over{B}}+{{K_z^2}\over{C}}=2E\\ K_x^2+K_y^2+K_z^2=K^2 \end{cases} \;</MATH>|7.98}} Elipsoida obrodowa pierwszego równania {{LinkWzór|7.99}} ma półosie elipsoidy o następujących wartościach: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}\;</MATH>}},{{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}\;</MATH>}}. Z równań {{LinkWzór|7.98}} możemy napisać inny wynikający wniosek na kwadrat całkowitego momentu pędu bąka K{{Sup|2}}, znając A i C, a także całkowitą jego energię E: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_x^2{{C}\over{A}}+K_y^2{{C}\over{B}}+K_z=2EC\Rightarrow K_x^2+K_y^2+K_z^2<2EC\Rightarrow K^2<2EC\\ K_x^2+K_y^2{{A}\over{B}}+K_z^2{{A}\over{C}}=2EA\Rightarrow K_x^2+K_y^2+K_z^2>2EA\Rightarrow K^2>2EA \end{cases}\;</MATH>|7.99}} Wyznaczmy teraz kwadraty zmiennych "p' i "r" z układu równań {{LinkWzór|7.97}} w zależności od kwadratu prędkości katowej q. Aby wyznaczyć p{{Sup|2}} w zależności od zmiennej q{{Sup|2}} należy pierwsze równanie pomnożyć przez C i odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność: {{CentrujWzór|<MATH>(AC-A^2)p^2+(BC-B^2)q^2=2EC-K^2\Rightarrow p^2={{1}\over{A(C-A)}}\left[(2EC-K^2)-B(C-B)q^2\right]\;</MATH>|7.100}} By wyznaczyć równość na zmienną r{{Sup|2}} w zależności od zmiennej q{{Sup|2}} należy pierwszą równość {{LinkWzór|7.97}} pomożyć przez A i tak otrzymany układ równań odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność: {{CentrujWzór|<MATH>(BA-B^2)q^2+(CA-C^2)r^2=2EA-K^2\Rightarrow r^2={{1}\over{C(C-A)}}\left[(K^2-2EA)-B(B-A)q^2\right]\;</MATH>|7.101}} Skorzystamy z równości {{LinkWzór|7.33}}, by podstawić do niego wzory wynikłe z {{LinkWzór|7.100}}, {{LinkWzór|7.101}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{q}={{C-A}\over{B}}pr={{1}\over{B\sqrt{AC}}}\sqrt{\left[(2EC-K^2)-B(C-B)q^2\right]\left[(K^2-2EA)-(B(B-A)q^2\right]}\;</MATH>|7.102}} Aby znaleźć funkcję q od t, należy zdefiniować wzory na &tau; (który przestawimy w zależności od zmiennej t), i s (który przestawimy w zależności od zmiennej t), które oba te podstawienia będą zależeć od diagonalnych elementów zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, tzn. A,B,C, a także od całkowitej energii bąka asymetrycznego E i jego wartości całkowitego momentu pędu K, czyli należy dokonać podstawień: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\tau=t\sqrt{{{(C-B)(K^2-2EA)}\over{ABC}}}\;</MATH>|7.103}}|2={{CentrujWzór|<MATH>s=q\sqrt{{{B(C-B)}\over{2EC-K^2}}}\;</MATH>|7.104}}}} a także dodatni parametr k{{Sup|2}}<1, który zależy od tych samych parametrów, co zmienne &tau; i "s". {{CentrujWzór|<MATH>k^2={{(B-A)(2EC-K^2)}\over{(C-B)(K^2-2EA)}}\;</MATH>|7.105}} Wyznaczmy teraz pochodną funkcji "s" {{LinkWzór|7.104}} względem &tau; {{LinkWzór|7.103}}, przy zdefiniowanym parametrze k{{Sup|2}} {{LinkWzór|7.105}} i przy istniejącym wzorze {{LinkWzór|7.102}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{ds}\over{d\tau}}={{dq}\over{dt}}\sqrt{{{AB^2C(C-B)}\over{(2EC-K^2)(C-B)(K^2-2EA)}}}={{1}\over{B\sqrt{AC}}}\sqrt{\left[(2EC-K^2)-B(C-B)s^2{{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\right]}\cdot</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\sqrt{\left[(K^2-2EA)-(B(B-A)s^2{{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\right]}\sqrt{{{AB^2C(C-B)}\over{(2EC-M^2)(C-B)(K^2-2EA)}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> {{\sqrt{2EC-K^2}}\over{B\sqrt{AC}}}\sqrt{1-s^2}\sqrt{K^2-2EA}\sqrt{1-{{(B-A)(2EC-K^2)}\over{(C-B)(K^2-2EA)}}}\sqrt{{{AB^2C(C-B)}\over{(2EC-K^2)(C-B)(K^2-2EA)}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sqrt{(1-s^2)(1-k^2s^2)} </MATH>|7.106}} Równość końcowa uzyskana z równania {{LinkWzór|7.106}} możemy przestawić w postaci całki &tau; zależnej od zmiennej s przy parametrze k{{Sup|2}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.105}}: {{CentrujWzór|<MATH>\tau=\int_0^s{{ds}\over{\sqrt{(1-s^2)(1-k^2s^2)}}}\;</MATH>|7.107}} Szukana funkcja jest to odwrotność do funkcji uzyskanej z postaci jej wersji całkowej {{LinkWzór|7.107}}, wiemy jednak, że ta zależność jest jedną z funkcji eliptycznych Jacobiego. {{CentrujWzór|<MATH>s=\operatorname{sn}\tau\;</MATH>|7.107a}} Jak widzimy na podstawie przestawienia całki na &tau; {{LinkWzór|7.107}} wartość bezwzględna parametru s jest mniejsza niż jeden, bo tylko wtedy funkcja podcałkowa ma sens. Definicje innych funkcji Jacobiego opartych o funkcje eliptyczne s=sn&tau; {{LinkWzór|7.107}} i o definicję parametru k{{Sup|2}} {{LinkWzór|7.105}} (o ten współczynnik jest oparty dn&tau;) są to funkcje zdefiniowane jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cn}\tau=\sqrt{1-\operatorname{sn}^2\tau}\;</MATH>|7.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dn}\tau=\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2\tau}\;</MATH>|7.109}}}} Prędkość kątową q możemy policzyć ze wzoru {{LinkWzór|7.104}} przy wykorzystaniu funkcji eliptycznej {{LinkWzór|7.107}}, która &tau; jest zależna liniowo od czasu według podstawienia {{LinkWzór|7.103}}, zatem funkcja q jest zależna od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>q=\sqrt{{{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}}\operatorname{sn}\tau\;</MATH>|7.110}} Dalszym krokiem jest wyliczenie kwadratu prędkości kątowej p{{Sup|2}} ze wzoru {{LinkWzór|7.100}}, wykorzystując definicję funkcji eliptycznej cn&tau; {{LinkWzór|7.108}}, której &tau; jest zależna liniowo od czasu według podstawienia {{LinkWzór|7.103}}, zatem funkcja p jest zależna od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>p^2={{1}\over{A(C-A)}}\left[(2EC-K^2-B(C-B){{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\operatorname{sn}^2\tau\right]={{2EC-K^2}\over{A(C-A)}}\sqrt{1-\operatorname{sn}^2\tau}={{2EC-K^2}\over{A(C-A)}}\operatorname{cn}^2\tau\;</MATH>|7.111}} Dalszym krokiem jest wyliczenie prędkości kątowych r{{Sup|2}} ze wzoru {{LinkWzór|7.101}}, wykorzystując definicję funkcji eliptycznej dn&tau; {{LinkWzór|7.109}}, której &tau; jest zależna liniowo od czasu według podstawienia {{LinkWzór|7.103}}, zatem funkcja r jest zależna od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>r^2={{1}\over{C(C-A)}}\left[(K^2-2EA)-B(B-A){{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\operatorname{sn}^2\tau\right]={{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}\left(1-{{(B-A)(2EC-K^2}\over{(C-B)(K^2-2EA)}}\operatorname{sn}^2\tau\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}\left(1-k^2\operatorname{sn}^2\tau\right)={{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}\operatorname{dn}^2\tau</MATH>|7.112}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.111}} i {{LinkWzór|7.112}} wyznaczymy wartości prędkości kątowych p i r, które są zależne od funkcji eliptycznych cn&tau; {{LinkWzór|7.108}}, i dn&tau; {{LinkWzór|7.109}}, których to zmienna &tau; jest zależna liniowo od czasu wedle {{LinkWzór|7.103}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=\sqrt{{{2EC-K^2}\over{A(C-A)}}}\operatorname{cn}\tau\;</MATH>|7.113}}|2={{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{{{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}}\operatorname{dn}\tau\;</math>|7.114}}}} Jak widzimy na podstawie całki {{LinkWzór|7.107}}, gdy k{{Sup|2}}&rarr;0, wtedy dwie pierwsze funkcji eliptyczne przechodzą w funkcje trygonometryczne, a ostatnia dąży do jedynki, tzn. sn&tau;&rarr;sin&tau;, cn&tau;&rarr;cos&tau;, dn&tau;&rarr;1. Mając poszczególne składowe momentu pędu {{LinkWzór|7.59}}, a także składowe momentu pędu poprzez ich prędkości kątowe {{LinkWzór|7.30}}, wtedy możemy je napisać w związkach: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} K\sin\theta\sin\psi=Ap\\ K\sin\theta\cos\psi=Bq\\ K\cos\theta=Cr\end{cases}\;</MATH>|7.115}} Z trzeciego równania {{LinkWzór|7.115}} możemy wyznaczyć cos&theta;, a dzieląc równość pierwszą przez drugą otrzymamy równość na tg&psi;. Wykorzystując związki {{LinkWzór|7.110}}, {{LinkWzór|7.113}} i {{LinkWzór|7.114}} możemy napisać związki na cos&theta; i tg&theta; w zależności od &tau; i elementów bezwładności zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, a także od całkowitej energii E i momentu pędu bąka K: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{Cr}\over{K}}=\sqrt{{{C(K^2-2EA)}\over{M^2(C-A)}}}\operatorname{dn}\tau\;</MATH>|7.116}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\psi={{Ap}\over{Bq}}=\sqrt{{{A(C-B)}\over{B(C-A)}}}{{\operatorname{cn}\tau}\over{\operatorname{sn}\tau}}\;</MATH>|7.117}}}} Pozostało jeszcze nam obliczyć kąt &phi;, w tym celu wyznaczmy go z dwóch tożsamości {{LinkWzór|7.14}} (który mnożymy obustronnie przez sin&theta;), i {{LinkWzór|7.15}} (który mnożymy przez cos&phi;), wtedy w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}={{p\sin\psi+q\cos\psi}\over{\sin\theta}}={{p\sin\theta\sin\psi+q\sin\theta\cos\theta}\over{\sin^2\theta}}= K{{Ap^2+Bq^2}\over{K^2-C^2r^2}}=K{{Ap^2+Bq^2}\over{A^2p^2+B^2q^2}}\;</MATH>|7.118}} By otrzymać tożsamość na związek &phi; w zależności od czasu "t" należy równość {{LinkWzór|7.118}} obustronnie scałkować względem czasu, bo p i q są zależne od funkcji eliptycznych, które natomiast zależą od &tau;, a to pośrednio według wzoru {{LinkWzór|7.103}} od czasu, a więc całka po prawej stronie jest w sensie stricto zapisana względem czasu. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r7pazabnmgaagxwyw2jtj658v8laaf4 0 20318 554855 534910 2026-09-07T19:54:07Z Persino 2851 554855 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W punkcie wprowadziliśmy definicję Lagrangianu {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, w oparciu o ten obiekt w prowadzimy pęd uogólniony, który jest pochodną cząstkową Lagrangianu względem pochodnej współrzędnej uogólnionej lub w postaci wektorowej, w której wskaźnik "a" przestawia numer cząstki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}\;</MATH>|8.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_a={{\partial L}\over{\partial\vec{v}}}\;</MATH>|8.2}}}} Zakładamy, źe prędkość uogólniona zależy od współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionej {{LinkWzór|8.1}}, a także na samym końcu od czasu. {{CentrujWzór|<MATH>\dot{q}_k=\dot{q}_k(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.3}} Wprowadźmy teraz funkcję zwaną '''funkcją Hamiltona''', którego definicja jest sumą iloczynu prędkości uogólnionych {{LinkWzór|8.3}} i pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.1}} odejmując od tak otrzymanego wyrażenia funkcję Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>H=\sum_k\dot{q}_kp_k-L=\dot{\vec{q}}\vec{p}-L\;</MATH>|8.4}} Policzmy teraz pochodne funkcje Hamiltona {{LinkWzór|8.4}} względem współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego, a także czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial H}\over{\partial q_k}}=\sum_{i}p_i{{\partial \dot{q}_i}\over{\partial q_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}-\sum_i\underbrace{{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_i}}}_{p_i}{{\partial\dot{q}}\over{\partial q_i}}=-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}+Q_z=-\dot{p}_k+Q_z\Rightarrow -{{\partial H}\over{\partial q_k}}+Q_z=\dot{p}_k\;</MATH>|8.5}} {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial H}\over{\partial p_k}}=\sum_i{{\partial \dot{q}_i}\over{\partial p_k}}p_i+\dot{q}_k-\sum_i\underbrace{{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_i}}}_{p_i}{{\partial \dot{q}_k}\over{\partial p_k}}=\dot{q}_k\;</MATH>|8.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial H}\over{\partial t}}=\sum_i{{\partial\dot{q}_i}\over{\partial t}}\dot{p}_i-\sum_i{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_i}}{{\partial\dot{q}_i}\over{\partial t}}-{{\partial L}\over{\partial t}}=-{{\partial L}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.7}}}} 2f równań różniczkowych {{LinkWzór|8.5}}, {{LinkWzór|8.6}} i {{LinkWzór|8.7}}, są one równoważne f równań różniczkowych Eulera-Lagrange'a. Z równania różniczkowego {{LinkWzór|6.22|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} i z definicji funkcji Hamiltona, patrząc na samym końcu na tożsamość {{LinkWzór|8.7}}, możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{dH}\over{d t}}={{d}\over{dt}}\left(\sum_k\dot{q}_kp_k-L\right)=\left(\sum_k{{d}\over{dt}}\left({{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\right)\dot{q}_k+\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\ddot{q}_k-{{\partial L}\over{\partial t}}-\sum_k{{\partial L}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k-\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\ddot{q}_k\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_k{{\partial L}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\ddot{q}_k-{{\partial L}\over{\partial t}}-\sum_k{{\partial L}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k-\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\ddot{q}_k=-{{\partial L}\over{\partial t}}={{\partial H}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.8}} Widzimy, że na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.8}}, jeśli Hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} nie zależy od czasu, to hamiltonian jest energią całkowitą układu wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|6.25|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, i ten hamiltonian jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej, zatem na podstawie tego zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>H=E=T+U\;</MATH>|8.9}} Patrząc na pierwsze równanie Hamiltona {{LinkWzór|8.5}}, a także na podstawie równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial H}\over{\partial q_k}}=-{{\partial L}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.10}} Jeśli zmienna uogólniona q{{Sub|k}} jest zmienną cykliczną, zatem na podstawie {{LinkWzór|8.10}} możemy powiedzieć, że hamiltonian ten nie zależy od tej zmiennej, czyli jeśli lagrangian nie zależy od zmiennej q{{Sub|k}}, to hamiltonian też nie zależy od niej. === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH>H={{p^2}\over{2m}}+{{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{p}=-{{\partial H}\over{\partial x}}=-kx\;</MATH>|8.12}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{\partial H}\over{\partial p}}={{p}\over{m}}\;</MATH>|8.13}}}} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)+{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_r={{\partial L}\over{\partial \dot{r}}}=m\dot{r}\;</MATH>|8.15}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}={{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}}}=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\;</MATH>|8.16}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\phi}=mr^2\dot{\phi}\;</MATH>|8.17}}}} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, która tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH>H=T+U={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}\right)</MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy, jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami, co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}v^2+q\vec {A}\vec{v}-qU\;</MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}={{\partial L}\over{\partial\vec{v}}}=m\vec{v}+q\vec{A}\;</MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>H={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+qU\;</MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,G\right\}_P=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial G}\over{\partial p_i}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial G}\over{}\partial q_i}\right)\;</MATH>|8.22}} Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne p{{Sub|i}} i q{{Sub|i}} są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego q{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego p{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial q_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial q_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)={{\partial F}\over{\partial p_i}}\;</MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego p{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego q{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial p_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial p_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)=-{{\partial F}\over{\partial q_i}}\;</MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}, wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,q_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.25}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,p_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.26}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,p_j\right\}_P=\delta_{ij}\;</MATH>|8.27}}}} Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dF}\over{dt}}=\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial q_i}}\dot{q}_i+\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial p_i}}\dot{p}_i+{{\partial F}\over{\partial t}}=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial H}\over{\partial p_k}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial H}\over{\partial q_i}}\right)=\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{q}_i=\left\{q_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{p}=\left\{p_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.30}}}} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.31}} Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}, zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona: {{CentrujWzór|<MATH>{{dH}\over{dt}}=\left\{H,H\right\}_P+{{\partial H}\over{\partial t}}\Rightarrow {{dH}\over{dt}}={{\partial H}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,g\right\}_P=-\left\{g,f\right\}_P\;</MATH>|8.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,c\right\}_P=0\;</MATH>|8.34}}}} Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu "t": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P\;</MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h, nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;</MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_P\}_P\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g", wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D{{Sub|1}}(&phi;)={g,&phi;}{{Sub|P}} i D{{Sub|2}}(&phi;)={h,&phi;}{{Sub|P}}, wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;</MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów D{{Sub|1}} i D{{Sub|2}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.39}}}} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}} i D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.41}}}} A różnica złożeń operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}}, D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} możemy przestawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D{{Sub|1}}D{{Sub|2}}-D{{Sub|2}}D{{Sub|1}}) na tą właśnie funkcję jest nawiasem {{Formuła|<math>\{f,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}}, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> g9f7vgbu74qbgsvghsbvz3leub7mta0 0 20331 554856 513458 2026-09-07T20:19:56Z Persino 2851 554856 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne a{{Sub|i}}, one oznaczają współrzędne ciała w chwili t=0, te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną x{{Sub|i}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określana jest dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>x_i=x_i(a_j,t)\;</MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje a{{Sub|j}}, oczywiście tą wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>v_i={{\partial x_i(a_j,t)}\over{\partial t}}=v_i(a_j,t)\;</MATH>|9.2}} Opis prędkości danej wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy opisem według Lagrange'a. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, ale interesuje nas ściśle okreslony punkt, jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=v_i(x_l,t)\;</MATH>|9.3}} Opis dawany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy opisem Eulera. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do której należy do tej trajektorii, a natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do której styczne określa kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu nazywamy takie krzywe w przestrzeni trójwymiarowej, której równanie jest opisywane przez równość stosunków różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_1:dx_2:dx_3=v_1:v_2:v_3\;</MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagranga'e nazywamy przyspieszeniem określanego jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>b_i={{\partial v_i(a_l,t)}\over{\partial t}}=b_i(a_l,t)\;</MATH>|9.5}} Napiszmy teraz czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie, a także pochodna cząstkową prędkości względem czasu, zatem z definicji różniczki zupełnej możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>b_i(x_l,t)={{dv_i(x_l,t)}\over{dt}}={{\partial v_i(a_l,t)}\over{\partial t}}=\sum_{r=1}^3{{\partial v_i(x_l,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_j,t)}\over{\partial t}}+{{\partial v_i(x_l,t)}\over{\partial t}}\;</math>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy wedle schematu poniżej wykorzystują definicję gradientu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{b}={{d\vec{v}}\over{dt}}={{\partial\vec{v}}\over{\partial t}}+(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}\;</MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tego ostatniego, czyli naszej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię S, którą definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH>\int_S\vec{v}d\vec{S}\;</MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor mówiąca jaka jest infinitezymalna powierzchnia przez którą przepływa ciecz, a zwrot tego wektora jest prostopadły do tej powierzchni i skierowanej jest na zewnątrz naszej powierzchni, jeśli mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą. Jeśli mamy tą powierzchnię, wtedy możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy strumień pola prędkości, gdy nie ma źródeł, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{S}=\int_v\operatorname{grad}\vec{v}dV=0\Rightarrow \operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>|9.9}} Jeśli ciecz podczas jego ruchu ma źródła, to wtedy nie zachodzi {{LinkWzór|9.9}}, ale zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{\Sigma}\neq 0\;</MATH>|9.10}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|9.10}} możemy powiedzieć, że jeśli Q>0, to ciecz wypływa z pewnej powierzchni, zaś jeśli Q<0, to ciecz wpływa do wewnątrz powierzchni &Sigma;. Wielkość Q nazywamy wydajnością źródła. Z drugiej jednak strony wydajność źródła Q nazywamy taką wielkość, które jest całką po objętości względem wielkości q: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int_VqdV\;</MATH>|9.11}} Porównując wzory {{LinkWzór|9.10}} ze wzorem {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{S}=\int_VqdV\Rightarrow\int_V\operatorname{grad}\vec{v}dV=\int qdV\Rightarrow q=\operatorname{grad}\vec{v}\;</MATH>|9.12}} Wprowadźmy teraz inną wielkość, która określa wirowość pola prędkości danej cieczy, którą określa cyrkulacja z wielkości, jest ona określana wzorem poniżej, którego definicja jest całką po prędkościach względem infinitezymalnego wektora określająca dany element krzywej zamkniętej. Także w naszej cyrkulacji wykorzystamy twierdzenie Stokesa, wtedy będzie to całkowanie po powierzchni ograniczonej przez naszą wspomniana krzywą: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma=\oint\vec{v}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S}\;</MATH>|9.13}} Cyrkulacja &Gamma; {{LinkWzór|9.13}} jest związana z rotacją pola prędkości, którą to jest połową rotacji pola prędkości, które opisuje prędkość kątową wirów w danej badanej cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\omega}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}\;</MATH>|9.14}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|9.14}} napiszmy, jak jest związana prędkość ciała z jej prędkością kątową, którego zapis jest taki, że jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i wektora wodzącego, który ma początek w samym środku wirów. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|9.15}} W tym celu prędkość kątową przestawmy w postaci wektorowej {{Formuła|<math>\vec{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)\;</MATH>}} i policzmy połówkową wartość rotacji pola prędkości {{LinkWzór|9.14}}, która jest opisany wzorem {{LinkWzór|9.15}}, który to wykorzystamy przy dowodzie wzoru wspomnianego wcześniej: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r})={{1}\over{2}}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_j\omega_l x_m={{1}\over{2}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_j\omega_lx_m= {{1}\over{2}}\left[\left(\nabla_j\omega_ix_j\right)-\nabla_{j}\omega_{j}x_{i}\right]={{1}\over{2}}\left(3\omega_i-\omega_j\delta_{ji}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}\left(3\omega_i-\omega_i\right)={{1}\over{2}}2\omega_i=\omega_i=\vec{\omega}\;</MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, to wtedy mamy do czynienia z ruchem wirowym, wtedy zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0\;</MATH>}}. Cyrkulację pola prędkości {{LinkWzór|9.13}} nazywamy całkę na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.14}}, którego to {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} nazywamy polem wirów, wielkość, którą nazywamy strumieniem wirów. {{CentrujWzór|<MATH>\int_S\vec{\omega}\cdot d\vec{S}\;</MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozparzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja tej samej wielkości względem prędkości są równe zero. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>|9.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0\;</MATH>|9.19}}}} Oznaczmy przez prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości &Phi; w przestrzeni dwuwymiarowej, która jest gradientem wspomnianego potencjału pola prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, by rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} przyjmowała wartość zerową, co dowód podamy poniżej, wykorzystując definicję rotacji i gradientu. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\Phi={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right]\Psi={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\right]\Psi=0\;</MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową, to zdefiniujemy prędkość danego punktu cieczy, to współrzędne jego zależą do współrzednej x i y w przestrzeni dwuwymiarowej, którego nasz przepływ zachodzi dla z=0, czyli ruch zachodzi w płaszczyźnie zetowej o tej współrzędnej równej zero. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=(v_x(x,y),v_y(x,y))\;</MATH>|9.22}} Jeśli dokonamy podstawienia, której współrzędna iksowa prędkości jest pochodną cząstkową pewnej wielkości &Psi; względem współrzędnej igrekowej, a współrzędna igrekowa prędkości jest pochodną cząstkową wielkości &Psi; względem współrzędnej iksowej i wziętej z minusem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_x={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;</MATH>|9.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_y=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;</MATH>|9.24}}}} Definicje współrzędnych prędkości {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak sformułowane, by dywergencja prędkości miała wartość zerową, tzn. spełniającego tożsamość poniżej, do której podstawimy wspomniane wielkości, by na końcu udowodnić, że nasze pole prędkości jest polem bezźródłowym: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}={{\partial v_x}\over{\partial x}}+{{\partial v_y}\over{\partial y}}={{\partial^2\psi}\over{\partial x\partial y}}-{{\partial^2\psi}\over{\partial y\partial x}}=0\;</MATH>|9.25}} Jeśli wprowadzimy wielkość, której wszystkie współrzędne są równe zero, oprócz ostatniej, która jest równa &Psi;, zatem tą wielkość przestawimy wzorem {{Formuła|<MATH>\vec{A}=(0,0,\Psi)\;</MATH>}}, to można zauważyć, że jeśli zachodzą związki prędkości iksowej i igrekowej, tzn. wielkości {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, to wtedy dowiemy się, że rotacja wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równa prędkości dla danego punktu cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{A}=\left({{\partial A_x}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}},{{\partial A_x}\over{\partial x}}-{{\partial A_z}\over{\partial x}},{{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)=\left({{\partial \Psi}\over{\partial y}},-{{\partial\Psi}\over{\partial x}},0\right)=\vec{v}\;</MATH>|9.26}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, a także na definicję prędkości {{LinkWzór|9.20}} poprzez potencjał pola prędkości &Phi;, wtedy dostajemy wniosek: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial x}}={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;</MATH>|9.27}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial y}}=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;</MATH>|9.28}}}} Wprowadźmy teraz funkcję W(z) , której częścią rzeczywistą jest funkcja &Phi;(x,y), a częścią urojoną jest funkcja &Psi;(x,y), zatem na podstawie tego możemy zbudować zespoloną funkcję, której zapis: {{CentrujWzór|<MATH>W(z)=\Phi(x,y)+i\Psi(x,y)\;</MATH>|9.29}} Określmy teraz prędkość zespoloną, która jest pochodną zupełną wielkości W(z) {{LinkWzór|9.29}} względem jej argumentu z, i wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.27}} i {{LinkWzór|9.28}} i definicję prędkości względem potencjału pola prędkości {{LinkWzór|9.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>w={{dW}\over{dz}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial x}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial(iy)}}=v_x-iv_y\;</MATH>|9.30}} Zespolona sprzężona prędkość powstaje z jej odpowiednika normalnego {{LinkWzór|9.30}}. {{CentrujWzór|<MATH>w^*=\left({{\partial W}\over{\partial z}}\right)^*=v_x+iv_y\;</MATH>|9.31}} Teraz zbadajmy jak się zmienia wielkość &Psi; wzdłuż linii prądu, w tym celu należy rozpisać różniczkę funkcji &psi; z twierdzenia o różniczce zupełnej wielkości dwóch zmiennych, i wykorzystując przy tym fakt na linię prądów {{Formuła|<MATH>dx:dy=v_x:v_y\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\Psi={{\partial\Psi}\over{\partial x}}dx+{{\partial\Psi}\over{\partial y}}dy=-{{\partial\Phi}\over{\partial y}}dx+{{\partial\Phi}\over{\partial x}}dy= -v_ydx+v_xdy=-v_y{{v_x}\over{v_y}}dy+v_xdy=-v_xdy+v_xdy=0\;</MATH>|9.32}} Obliczenia wykonane w punkcie {{LinkWzór|9.32}} mówią, że wzdłuż linii prądów wielkość &Psi; jest wielkością stałą. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki x{{Sub|1}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, wtedy możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x_i=a_i+s_i\;</MATH>|9.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dx_i=da_i+ds_i\;</MATH>|9.34}}}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki da{{Sub|i}}, wiedząc, że pole s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych a{{Sub|i}}, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>dx_j=da_j+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}da_i=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\;</MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_j}}\;</MATH>}} nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami a{{Sub|i}} i a{{Sub|i}}+da{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.35}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_jdx_j-da_jda_j=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\left(\delta_{jk}+{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_k-da_jda_j=da_jda_j+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_ida_k-da_ida_i=\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_ida_k=2\epsilon_{ik}da_ida_k\;</MATH>|9.36}} Wprowadzimy teraz tensor deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)\;</MATH>|9.37}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH>da_i=dx_i-ds_i=\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k\;</math>|9.38}} Wyrażenie {{LinkWzór|9.38}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami x{{Sub|i}} i x{{Sub|i}}+dx{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_idx_i-da_ida_i=dx_idx_i-\left(\delta_{ij}-{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)dx_j\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k=2\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>|9.39}} Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} nazywamy w tym przypadku tensor: {{CentrujWzór|<math>\overline{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}-{{\partial s_l}\over{\partial x_i}}{{\partial s_l}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|9.40}} Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego {{Formuła|<MATH>{{\partial s_l}\over{\partial a_i}}<<1\;</MATH>}}, to w wyrażeniach na tensory deformacji {{LinkWzór|9.37}} i {{LinkWzór|9.40}} możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_l}}\right)\;</MATH>|9.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_k}}+{{\partial x_k}\over{\partial x_l}}\right)\;</MATH>|9.42}}}} Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną D{{Sub|ik}}, który jest tensorem asymetrycznym: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial s_l}}\right)=\epsilon_{ik}+D_{ik}\;</MATH>|9.43}} By zobaczyć, co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć wektor {{Formuła|<MATH>\vec{D}\;</MATH>}}, który ma trzy niezależne elementy: {{CentrujWzór|<MATH>D_l={{1}\over{2}}\epsilon_{lik}D_{ik}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{1}\over{4}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}=-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\;</MATH>|9.44}} Równość {{LinkWzór|9.44}} możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}} i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=-{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH>|9.45}} Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego D{{Sub|ik}}, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|9.43}} (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości D{{Sub|l}} napisanego w punkcie {{LinkWzór|9.44}} (druga równość poniżej): {{CentrujWzór|<MATH>D_{ik}=\begin{bmatrix} 0&D_{12}&D_{13}\\ -D_{12}&0&D_{23}\\ -D_{13}&-D_{23}&0\end{bmatrix}={{1}\over{2}}\begin{bmatrix}0&D_3&-D_2\\ -D_3&0&D_1\\ D_2&-D_1&0\end{bmatrix}\;</MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor <MATH>\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH> i przechodzącej przez punkt określany przez wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}}, i wykorzystując fakt {{LinkWzór|9.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>ds_i=D_{ik}da_k=-\epsilon_{ijk}D_la_k\Rightarrow d\vec{s}=-\vec{D}\times d\vec{a}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a}\;</MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze. === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe &epsilon; ciał nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;</MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość, jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.49}} * gdzie e{{Sub|i}} są to elementy składowe wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e} \;</MATH>}}, którego odkształcenie jest w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}. W takim bądź razie wielkość {{LinkWzór|9.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.50}} Wielkość &epsilon; daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}, tensor &epsilon;{{Sub|ik}} ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;</MATH>|9.51}} Wielkości &epsilon;{{Sub|i}} występujące w macierzy na &epsilon;{{Sub|ik}} są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1mucxuanhs67z4qss04j960pitjmq5v 0 20354 554857 467669 2026-09-07T20:36:41Z Persino 2851 554857 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wyprowadzimy tutaj prawa zachowania masy, a właściwie jej lokalną własność z globalnego zachowania masy, zasadę zachowania pędu, a także na samym końcu zasadę zachowania momentu pędu. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływania masy w jednostce czasu, zatem ilość masy jakie opuszcza daną objętość przestawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni i wektora prędkości, jakie obowiązują na tej omawianej powierzchni w danym punkcie, z jaką wylatuje masa z tej powierzchni, którą to przecałkujemy po tej powierzchni. Możemy napisać jaka jest ilość wylatywanej substancji na jednostkę czasu: {{CentrujWzór|<MATH>-{{dm}\over{dt}}=\oint\rho\vec{v}d\vec{S}\;</math>|10.1}} Minus znajdującej się po lewej strony równości {{LinkWzór|10.1}} ma znak ujemny, ponieważ masa ubywa z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Z drugiej jednak strony całkowita masa znajdująca się w danej objętości przestawiana jest: {{CentrujWzór|<MATH>m=\int\rho dV\;</MATH>|10.2}} Równość {{LinkWzór|10.2}} wstawiamy do równości {{LinkWzór|10.1}}, w ten sposób możemy napisać wzór przekształcając go dalej poniżej, w której wykorzystamy prawo Ostrogradskiego Gaussa: {{CentrujWzór|<math>-{{d}\over{dt}}\int_V \rho dV=\oint \rho\vec{v}d\vec{S}\Rightarrow\int_V\left[{{\partial\rho}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(\rho\vec{v})\right]dV=0\;</MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie we wzorze {{LinkWzór|10.3}} jest całkowanie po dowolnej objętości, to jedyną możliwością jest, że funkcja jej podcałkowa jest równa zero, co możemy ten wniosek przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\rho}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|10.4}} == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy tutaj wektor naprężeń, który to będziemy wprowadzać do drugiej zasady dynamiki Newtona, są to siły powierzchniowe: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=\sigma_{ij}n_j\;</MATH>|10.5}} Całkowita siła działająca na ciało znajdująca się w objętości V w wyniku naprężeń, dla której jej składowa i-ta jest przestawia się przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{S}P_idS=\oint_S\sigma_{ij}n_jdS=\oint\sigma_{ij}dS_j=\int_V\sigma_{ij,j}dV\;</MATH>|10.6}} Wśród sił działających na całą objętość są to siły, których definicja jest całką z iloczynu gęstości w danym punkcie i wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, ona wynika z tego, że wektor {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest stosunkiem różniczki siły działającej na objętość dV przez iloczyn tejże wspomnianej objętości i przez gęstość materii w danym punkcie, w której liczymy naszą wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{f}={{d\vec{F}}\over{dV\rho}}\Rightarrow d\vec{F}=\rho\vec{f}dV\Rightarrow\vec{F}=\int\rho\vec{f}dV\;</MATH>|10.7}} Jak można zauważyć, że wielkość {{LinkWzór|10.7}} dla pola grawitacyjnego jest to po prostu przyspieszenie ziemskie. Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą masę infinitezymalnej części układu znajdującej się w objętości dV, zatem nasz rozważany nieskończenie mały element objętości zawiera w sobie masę równą dm=&rho;dV. {{CentrujWzór|<MATH>\underbrace{\rho dV}_{dm}{{dv_i}\over{dt}}=dF^{(c)}_i\Rightarrow\int \rho{{dv_i}\over{dt}}dV=F^{(c)}_i\;</MATH>|10.8}} Definicja siły F{{Sup|(c)}}{{Sub|i}} jest sumą sił pochodzącą od sił naprężeń zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|10.5}} i sił działających na całą objętość pokazanego w punkcie {{LinkWzór|10.7}}, które to podstawimy do wzoru {{LinkWzór|10.8}}, w tak otrzymanej równości wszystko przenosimy na jej lewą stronę, w ten sposób w tak otrzymanym obiekcie wszystko wkładamy pod znak jednej całki całkowalną względem objętości. {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\rho{{dv_i}\over{dt}}dV=\int_V\rho f_idV+\int{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}dV\Rightarrow \int_V\left(\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}\right)dV=0\;</MATH>|10.9}} Ponieważ równość {{LinkWzór|10.7}} jest spełniona dla dowolnej objętości V, która jest ograniczoną zamkniętą objętością po której całkujemy, zatem na podstawie tego nasza rozważana funkcja podcałkowa w {{LinkWzór|10.9}} jest zawsze równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}=0\;</MATH>|10.10}} Pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie w wyrażeniu {{LinkWzór|10.10}} możemy przekształcić do innej równoważnej postaci po dokonaniu poniższych przekształceń: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{dv_i}\over{dt}}=\rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}{{dx_j}\over{dt}}= \rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}v_j={{\partial }\over{\partial t}}(\rho v_i)-v_i{{\partial \rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_jv_i)-v_i{{\partial }\over{\partial x_j}}(\rho v_j)= {{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_iv_j)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-v_i\left({{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_i)\right)={{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j\right)\;</MATH>|10.11}} Możemy wykorzystać tożsamość wynikłych z obliczeń {{LinkWzór|10.11}} do drugiego prawa Newtona {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[(\rho v_i)v_j-\sigma_{ij}\right]=\rho f_i\;</MATH>|10.12}} Tensor naprężeń &sigma;{{Sub|ij}} możemy rozłożyć na sumę tensorów pochodzącej od ciśnienia, a także od sił pochodzących od tarcia wewnętrznego, zapis tego równania w postaci tensorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+R_{ij}\;</MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, to tensor R{{Sub|ij}} jest tożsamościowo równy zero, zatem ten nasz wniosek możemy wykorzystać do punktu {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{d\vec{v}}\over{dt}}=\rho\vec{f}-\operatorname{grad}p\;</MATH>|10.14}} == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}x_k\left[{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=\epsilon_{lki}x_k\rho f_i\;</MATH>|10.15}} Wykorzystując definicję momentu sił M{{Sub|l}} i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie {{LinkWzór|10.15}} za pomocą prawa o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]+\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=M_l\;</MATH>|10.16}} Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]={{1}\over{2}}\big[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\big]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lij}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)-\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]=0</MATH>|10.17}} Wyrażenie zapisane w punkcie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}\;,</MATH>}} jest tensorem symetrycznym, wtedy równość {{LinkWzór|10.16}} jest równa: {{CentrujWzór|<math>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=M_l\;</MATH>|10.18}} == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} wymnażamy przez współrzędną prędkości v{{Sub|i}}, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i{{\partial \sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}+v_i\rho f\;</MATH>|10.19}} Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy {{LinkWzór|10.4}} i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i\rho\left({{\partial v_i}\over{\partial t}}+v_j{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\right)= {{1}\over{2}}\rho{{\partial v^2}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}\rho v_j{{\partial v^2}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^2)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v^2v_j\right)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial \rho v_j}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2))}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2v_j)}\over{\partial x_j}}</MATH>|10.20}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}={{\partial(v_i\sigma_{ij})}\over{\partial x_j}}-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.21}} Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} możemy podstawić do równania {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}{{\partial\rho v^2}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[{{\rho}\over{2}}v^2v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+v_i \rho f_i\;\;</MATH>|10.22}} Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy '''wektorem Poyntinga''', jego definicję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\rho v^2v_i-\sigma_{ij}v_i\;</MATH>|10.23}} Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>f_i={{\partial U}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|10.24}} Wtedy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|10.24}} możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho f_i=-v_i\rho{{\partial U}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho Uv_i)+U{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-U{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho U\right)+\rho{{\partial U}\over{\partial t}}</MATH>|10.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|10.25}}, którego wynik możemy wstawić do {{LinkWzór|10.22}} i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+\rho {{\partial U}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.26}} Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P{{Sub|i}} podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s_i=s_i-s_i^'\;</MATH>|10.27}} I wykorzystując fakt, że siły napięć P{{Sub|i}} są wyrażone przez tensor napięcia &sigma;{{Sub|ij}} {{LinkWzór|10.5}}, zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_SP_i\Delta s_idS=\oint \sigma_{ij}n_j\delta s_idS=\oint \sigma_{ij}\Delta s_i dS_j\;</math>|10.28}} Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor &sigma;{{Sub|ij}} jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, to wtedy dla stanu równowagi zachodzi &sigma;{{Sub|ij,j}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\sigma_{ij}s_i)_{,j}=\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|10.29}} Praca wykonana nad układem przez siły napięć {{LinkWzór|10.28}}, możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|10.29}} jako całkę objętościową deformowanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_V\sigma_{ij}\Delta s_idS_j=\int_V(\sigma_{ij}\Delta s_i)_{,j}=\int_V\sigma_{ij}\Delta \epsilon_{ij}dV\;</MATH>|10.30}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.70|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także z symetryczności tensora &sigma;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial t}}={{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}{{\partial\epsilon_{ij}}\over{\partial t}}=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)=\sigma_{ij}{{\partial}\over{\partial t}}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.31}} Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie {{LinkWzór|10.31}}, to wzór {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho\dot{s}_i\dot{s}_i}\over{2}}\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j\right)-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=-{{\partial\Phi}\over{\partial t}}+\dot{s}_i\rho f_i\;</MATH>|10.32}} Równanie {{LinkWzór|10.32}} możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\simeq{{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: {{LinkWzór|s2|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} są małe, a więc je można pominąć: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left[{{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right]+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j-\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=0\;</MATH>|10.33}} Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie {{LinkWzór|10.33}}, wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu, jako całkowanie po objętości, zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s{{Sub|i}} nie zmienia się poza ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right)=0\;</MATH>|10.34}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.34}} przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów w elemencie objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Tę energię kinetyczną T i potencjalną U: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\int_V\rho\dot{s}\dot{s}_idV\;</MATH>|10.35}}|2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_V(\Phi-\rho f_is_i)dV\;</MATH>|10.36}}}} A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej {{LinkWzór|10.35}} i potencjalnej {{LinkWzór|10.36}} jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej {{LinkWzór|10.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\operatorname{const}\;</MATH>|10.37}} Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości &rho;(p) i całkowaną względem ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{P}=\int{{dp}\over{\rho(p)}}\;</MATH>|10.38}} Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|10.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathcal{P}}\over{\partial x_j}}={{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}={{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.39}} Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie {{LinkWzór|10.4}} i pochodnej funkcji {{LinkWzór|10.38}}, względem współrzędnej j-tej: {{CentrujWzór|<MATH>-{{\partial p}\over{\partial x_i}}v_i=-\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial x_i}}v_i=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)+\mathcal{P}{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-\mathcal{P}{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.40}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} {{LinkWzór|10.39}}, której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji {{LinkWzór|10.38}} względem czasu oraz dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial t}}=\rho{{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial t}}={{\partial p}\over{\partial t}}\;</math>|10.41}} Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez {{LinkWzór|10.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial}\over{\partial x_j}}\sigma^{(p)}_{ij}=v_i{{\partial}\over{\partial x_i}}(-p\delta_{ij})=-v_i{{\partial p}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+{{\partial p}\over{\partial t}}</MATH>|10.42}} Mając ostateczny wzór {{LinkWzór|10.42}} i definicję tensora napięć {{LinkWzór|10.13}}, zatem możemy napisać równość wynikająca z {{LinkWzór|10.26}} dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho\mathcal{P}-p+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\rho\left({{v^2}\over{2}}+\mathcal{P}+U\right)v_j-R_{ij}v_j\right]=-R_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.43}} Lewa strona wzoru {{LinkWzór|10.43}} opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej, ciała zdeformowanego, na ciepło. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> s0q5ug788ml66g5fdcpb2om419o41sk 0 20361 554858 467670 2026-09-07T20:48:54Z Persino 2851 554858 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} Będziemy się tutaj zajmować równaniami materiałowymi, które np. opisuje właściwości sprężyste sprężyny, a także zobaczmy jaka jest zależność tensora napięć od temperatury w przybliżeniu liniowym i na samym końcu podamy twierdzenie o zjawisku, które się nazywa tarciem. Rysunek obok pokazuje co się stanie z ciałem, gdy na niego działamy coraz większym naprężeniem. Według rysunku obok zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a dzielimy na zakres obowiązywania prawa Hooke'a, na nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych, na zakres odkształceń plastycznych i na zakres symbolizujący zerwanie próbki. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym dla danego ciała tensor napięć jest wprost proporcjonalny do współczynnika, który określa deformację naszego badanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=c_{ijkl}\epsilon_{kl}\;</MATH>|11.1}} Współczynniki c{{Sub|ijkl}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ tensor napięć i tensor deformacji z samej definicji są tensorami symetrycznymi względem przestawień wskaźników, z symetryczności tensora c{{Sub|ijkl}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=c_{jikl}=c_{ijlk}=c_{jilk}\;</MATH>|11.2}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, w taki sam sposób, jak we wzorze {{LinkWzór|10.31|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, zatem na podstawie definicji &Phi;, piszemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}=\sigma_{ij}=c_{ijkl}\epsilon_{kl}\;</MATH>|11.3}} I jeszcze raz zróżniczkujmy tensor {{LinkWzór|11.3}} względem tensora deformacji, ale ze wskaźnikami k i l, czyli liczymy drugie pochodne względem tensora deformacji &epsilon;{{Sub|kl}} i &epsilon;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}}}=c_{ijkl}\wedge {{\partial^2\Phi}\over{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}}}=c_{klij}\;</MATH>|11.4}} W obliczeniach {{LinkWzór|11.4}} widzimy, że drugie pochodne z definicji przemienności liczenia pochodnych one są sobie równe, stąd wynika symetryczność modułu sprężystości względem przestawień wskaźników dwóch pierwszych z dwiema drugimi: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=c_{klij}\;</MATH>|11.4a}} Napiszmy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi\;</MATH>}}, jako funkcję tensorów deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (lub {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{ijkl}\epsilon_{ij}\epsilon_{kl}\;</MATH>|11.5b}} Sprawdźmy, czy zachodzi wzór {{LinkWzór|11.3}}, wykorzystując definicję {{Formuła|<MATH>\Phi\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.5b}} i wzór na przemienność wskaźników modułu sprężystości dwóch pierwszych z dwiema ostatnimi {{LinkWzór|11.4a}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{sm}}}={{1}\over{2}}c_{ijsm}\epsilon_{ij}+{{1}\over{2}}c_{smkl}\epsilon_{kl}={{1}\over{2}}\left(c_{ijsm}+c_{smij}\right)\epsilon_{ij}={{1}\over{2}}2c_{smij}\epsilon_{ij}=c_{smij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|11.5c}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|11.5c}} dla funkcji {{Formuła|<MATH>\Phi\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.5b}} zachodzi {{LinkWzór|11.3}}. Będziemy się zajmować ciałami sprężystymi, które są izotropowe i mające pewne symetrie, będziemy rozpatrywać tensor c{{Sub|ijkl}}, który jest niezmienniczy względem obrotów, a jedyną wielkością niezmienniczą jest delta Kroneckera &delta;{{Sub|ij}}, zatem tensor c{{Sub|ijkl}} jest tensorem zbudowanym za pomocą wspomnianych delt: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu\delta_{ik}\delta_{jl}+\nu\delta_{il}\delta_{jk}\;</MATH>|11.5}} Z własności symetrii tensora {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika &nu;=&mu;: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+2\mu\delta_{ik}\delta_{jl}\;</MATH>|11.5a}} Według wzoru {{LinkWzór|11.5}}, przy wykorzystaniu prawa Hooka dla tensora napięć {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=\left(\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+2\mu\delta_{ik}\delta_{jl}\right)\epsilon_{kl}=2\mu\epsilon_{ij}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}\;</MATH>|11.6}} Z tożsamości {{LinkWzór|11.6}}, będziemy teraz wyznaczać tensor deformacji, ale przedtem policzmy ślad tensora napięć zapisanego przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=2\mu\epsilon_{ll}+3\lambda\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}\Rightarrow \epsilon_{ll}=\sigma_{ll}\left(2\mu+3\lambda\right)^{-1}\;</MATH>|11.7}} Uzyskany końcowy wynik w punkcie {{LinkWzór|11.7}} możemy podstawić do wzoru na tensor napięć {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ij}+\lambda\delta_{ij}\sigma_{ll}\left(2\mu+3\lambda\right)^{-1}\Rightarrow\epsilon_{ij}=\sigma_{ij}{{1}\over{2\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(3\mu+3\lambda)}}\delta_{ij}\sigma_{ll}\;</MATH>|11.8}} Przepiszmy równanie {{LinkWzór|11.8}} z nowymi współczynnikami &mu; i &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ij}=2\mu^'\sigma_{ij}+\lambda^'\delta_{ij}\sigma_{ll}\;</MATH>|11.9}} * gdzie współczynniki &mu;' i &lambda;', są to współczynniki określane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\mu^'={{1}\over{4\mu}}\;</MATH>|11.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda^'=-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}\;</MATH>|11.11}}}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor &sigma;{{Sub|11}}, na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \epsilon_x=\epsilon_{11}=(2\mu^'+\lambda^')\sigma_{11}\\ \epsilon_y=\epsilon_{22}=\lambda^'\sigma_{11}\\ \epsilon_z=\epsilon_{33}=\lambda^'\sigma_{11} \end{cases}\;</MATH>|11.12}} Definicję modułu Younga, na podstawie naprężenia P i tensora napięć &sigma;{{Sub|11}}, piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P=\sigma_{11}=E\epsilon_{x}\Rightarrow E={{\sigma_{11}}\over{\epsilon_x}}={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.13}} A ilorazem Poissona nazywamy stosunek &epsilon;{{Sub|x}} przez &epsilon;{{Sub|y}} wziętej z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\epsilon_y}\over{\epsilon_x}}=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.14}} Wyznaczmy teraz moduł Younga {{LinkWzór|11.13}} i iloraz Poissona {{LinkWzór|11.14}} wykorzystując przy tym definicję &lambda;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.10}} i &mu;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.11}}, wtedy te współczynniki E i &nu;: {{CentrujWzór|<MATH> E={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}={{1}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\mu\lambda}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{4\mu^2+4\lambda\mu}}={{\mu(2\mu+3\lambda)}\over{\lambda+\mu}}\;</MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}=-{{-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{2\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\lambda\mu}}={{2\lambda}\over{4(\lambda+\mu)}}={{\lambda}\over{2(\lambda+\mu)}}\;</MATH>|11.16}} Z tożsamości {{LinkWzór|11.15}} wyznaczmy parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<math>E(\lambda+\mu)=\mu(2\mu+3\lambda)\Rightarrow\lambda(E-3\mu)=2\mu^2-E\mu\Rightarrow \lambda={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\;</math>|11.17}} Ze wzoru {{LinkWzór|11.16}} wyznaczmy parametr &lambda;, by potem przejść do wyznaczania parametru &mu; w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>2\nu(\lambda+\mu)=\lambda\Rightarrow\lambda={{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}</MATH>|11.18}} Porównujemy obie strony równań {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}, w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr &mu;: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\Rightarrow 2E\nu\mu-6\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu-4\mu^2\nu+2\nu E\mu\Rightarrow-2\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu\Rightarrow-2\nu\mu=2\mu-E\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 2\mu(1+\nu)=E\Rightarrow \mu={{E}\over{2(1+\nu)}}</MATH>|11.19}} Mając już wyliczony parametr &mu; wedle końcowego jego przestawienia {{LinkWzór|11.19}}, co to możemy podstawić do równości na parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{2\nu}\over{(1-2\nu)}}{{E}\over{2(1+\nu)}}={{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kaerpljl9abb3xyl2luxyaba7jwg4oq 0 20370 554859 467671 2026-09-07T21:04:09Z Persino 2851 554859 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w nim wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości stojące w drugim wyrazie pod pochodną cząstkową liczoną względem współrzędnej prostokątnego układu współrzędnych, a także zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i tą gęstość oznaczymy przez &rho;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial^2s_i}\over{\partial t^2}}-{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}=\rho f_i\;</MATH>|12.1}} Dalszym krokiem jest skorzystanie z definicji tensora napięć, którego definicja jest przy prawie Hooke'a w punkcie {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} i wykorzystaniu własności na tensor deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, w ten sposób równość {{LinkWzór|12.1}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial^2}\over{\partial t^2}}s_i-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[2\mu{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over {\partial x_i}}\right)+\lambda\delta_{ij}{{\partial s_l}\over{\partial x_l}}\right]=\rho f_i\Rightarrow \rho{{\partial^2 s_i}\over{\partial t^2}}-\mu{{\partial^2s_i}\over{\partial x_j\partial x_j}}-(\mu+\lambda){{\partial^2s_j}\over{\partial x_i\partial x_j}}=\rho f_i\;</MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, który jest określona przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, możemy zapisać w postaci wektorowej używając operatorów gradientu i dywergencji przy pomocy parametrów &mu; i &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial}\over{\partial t^2}}\vec{s}-\mu\Delta\vec{s}-(\mu+\lambda)\operatorname{grad}\mbox{ }\operatorname{div}\vec{s}=\rho \vec{f}\;</MATH>|12.3}} Jeśli się ograniczymy do problemów typowo statycznych. tzn. dla problemów całkowicie niezależnych od czasu, zatem na podstawie równości {{LinkWzór|12.3}} napiszmy równość różniczkową, pomijać we wspomnianym wzorze drugą pochodną cząstkową wektora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\mu\Delta\vec{s}+(\mu+\lambda)\operatorname{grad}\mbox{ }\operatorname{div}\vec{s}+\rho \vec{f}=0\;</MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń x{{Sub|3}}, z powodów oczywistych mamy s{{Sub|i}}=0. Naprężenia na bocznej podstawie z powodów oczywistych liczymy wzorem {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, na górnej podstawie wektor przesunięcia {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{\varphi}_0\times\vec{r}=(-\varphi_0 x_2,\varphi_0x_1,0)\;</MATH>|12.5}} Równaniem statycznym {{LinkWzór|12.4}} będziemy opisywali przypadek statyczny wałka skręceń, tzn. przez równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}=0\Leftrightarrow\mu{{\partial^2s_i}\over{\partial x_j\partial x_j}}+(\mu+\lambda){{\partial^2s_j}\over{\partial x_i\partial x_j}}=0\;</MATH>|12.6}} Zdeformowanie {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}} będziemy określać dla różnych punktów wałka skręceń: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}s_1=-\varphi(x_3)x_2\\ s_2=\varphi(x_3)x_1\\ s_3=0\\ \end{cases}\;</MATH>|12.7}} Wykorzystując wzór na tensor zdeformowania {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, w ten sposób na podstawie składowych wektorów zdeformowania {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, które określaliśmy w punkcie {{LinkWzór|12.7}}, to te tensory deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}\epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=\epsilon_{13}=0\\ \epsilon_{13}=-{{1}\over{2}}x_2{{d\varphi}\over{d x_3}}\\ \epsilon_{23}={{1}\over{2}}x_1{{d\varphi}\over{dx_3}}\\ \end{cases}</MATH>|12.8}} Przy pomocy naszej definicji tensora deformacji {{LinkWzór|12.8}} możemy policzyć je, wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0\\ \sigma_{13}=-\mu x_2{{d\phi}\over{dx_3}}\\ \sigma_{23}=\mu x_1{{d\phi}\over{dx_3}}\\ \end{cases}</MATH>|12.9}} Ponieważ zachodzi warunek statyczności, który jest opisany wzorem {{LinkWzór|12.6}}, to na podstawie tychże wzorów {{LinkWzór|12.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} 0={{\partial\sigma_{13}}\over{\partial x_3}}=-\mu x_2{{d^2\varphi}\over{dx_3^2}}\\ 0={{\partial\sigma_{23}}\over{\partial x_3}}=\mu x_1{{d^2\varphi}\over{dx_3^2}} \end{cases}</MATH>|12.10}} Z dwóch równości {{LinkWzór|12.10}} możemy wyznaczyć funkcję &phi;(x{{Sub|3}}) zależną od argumentu x{{Sub|3}}, która jest wysokością wałka skręceń: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(x_3)=ax_3+b\;</MATH>|12.11}} Ponieważ dla warunków brzegowych równość {{LinkWzór|12.11}}, z którego będziemy mogli wyznaczyć parametry a i b, a także z warunków brzegowych możemy zapisać równości, z których wyznaczymy parametry a i b. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0\;</MATH>|12.12}}|2={{CentrujWzór|<math>\varphi(l)=al+b=\varphi_0\;</MATH>|12.13}}}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.12}} i {{LinkWzór|12.13}} wzór {{LinkWzór|12.11}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(x_3)={{\varphi_0}\over{l}}x_3\;</MATH>|12.14}} Patrząc na układ równań {{LinkWzór|12.9}} możemy wyznaczyć naprężenia na ścianki boczne wałka skręceń, względem wektora normalnego do powierzchni bocznej tego obiektu, czyli względem wektora {{Formuła|<math>\vec{n}=[\cos\varphi,\sin\varphi]\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_1^{(n)}=\sigma_{11}\cos\varphi+\sigma_{12}\sin\varphi=0\;</MATH>|12.15}} {{CentrujWzór|<MATH>P_2^{(n)}=\sigma_{21}\cos\varphi+\sigma_{22}\sin\varphi=0\;</MATH>|12.16}} {{CentrujWzór|<MATH>P_3^{(n)}=\sigma_{31}\cos\varphi+\sigma_{23}\sin\varphi=-\mu R\sin\varphi{{\varphi_0}\over{l}}\cos\varphi+\mu R\cos\varphi{{\varphi_0}\over{l}}\sin\varphi=0\;</MATH>|12.17}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|12.6}}, który powstaje po podstawieniu uzyskanej tożsamości {{LinkWzór|12.7}} do ostatnio wspomnianego równości w tym tekście, z którego będziemy mogli wyznaczyć wektor przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</math>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} s_1=-{{\varphi_0}\over{l}}x_2x_3\\ s_2={{\varphi_0}\over{l}}x_1x_3\\ s_3=0\end{cases}</MATH>|12.18}} Tensory naprężeń {{LinkWzór|12.9}}, na podstawie definicji funkcji &phi;(x{{Sub|3}}) napisanego w punkcie {{LinkWzór|12.14}} i naprężenia dla wektora normalnego {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)\;</MATH>}} dla x{{Sub|3}}=l: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\sigma_{13}=-\mu x_2{{\varphi_0}\over{l}}\Rightarrow P_1=-\mu x_2{{\varphi_0}\over{l}}\;</MATH>|12.19}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_1{{\varphi_0}\over{l}}\Rightarrow P_2=\mu x_1{{\varphi_0}\over{l}}\;</MATH>|12.20}}|3={{CentrujWzór|<MATH>P_3=0\;</MATH>|12.21}}}} Siły działające na wałek skręceń są prostopadłe do osi x{{Sub|3}}, bo iloczyn skalarny wektora naprężeń i {{Formuła|<MATH>\vec{r}=[x_1,x_2,0]\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>[P_1,P_2,P_3][x_1,x_2,0]=-\mu x_2x_1{{\varphi_0}\over{l}}+\mu x_1{{\varphi}\over{l}}x_2=0\;</MATH>|12.22}} Wyznaczmy teraz moment sił działający na walec skręceń z jego definicji, a także znając definicję składowych naprężeń P{{Sub|1}}, P{{Sub|2}}, P{{Sub|3}}, które to będziemy mogli wykorzystać do wyznaczania trzeciej składowej momentu pędu M{{Sub|s}}: {{CentrujWzór|<MATH>M_s=\int\left(x_1P_2-x_3P_1\right)ds=\int\mu{{\varphi_0}\over{l}}\left(x_1^2+x_2^2\right)ds= \int\mu{{\varphi_0}\over{l}}r^2 rd\varphi=\mu{{\varphi_0}\over{l}}\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{R}r^3dr=\mu{{\varphi_0}\over{l}}=\mu{{\varphi_0}\over{l}}2\pi{{R^4}\over{4}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\mu{{\pi R^4}\over{2l}}\varphi_0\;</MATH>|12.23}} Jeśli na pręt działa siła o momencie pędu wyznaczonego z punktu {{LinkWzór|12.23}}, co stąd możemy wyznaczyć kąt &phi;{{Sub|0}}, który w zależności od momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_0={{2lM_3}\over{\mu\pi R^4}}\;</MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu s{{Sub|i}} jest opisywane przez równość {{LinkWzór|12.2}}, którą ogólne rozwiązanie spełnia równość: {{CentrujWzór|<MATH>s_i=f(\vec{n}\vec{r}-ct)\;</MATH>|12.25}} Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania {{LinkWzór|12.25}}, który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}\vec{r}-ct\;</MATH>}}. Zakładając przy tym, że mamy {{Formuła|<MATH>\vec{k}=(k,0,0)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{A}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=\vec{A}e^{i(kx-\omega t)}\;</math>|12.26}} Rozwiązanie {{LinkWzór|12.26}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|12.2}}, otrzymujemy wtedy równość algebraiczną: {{CentrujWzór|<MATH>-\rho_0\omega^2A_i+\mu k^2A_i+(\mu+\lambda)k^2\delta_{i1}A_i=0\;</math>|12.27}} Rozwiązanie równości {{LinkWzór|12.27}} jest to rozwiązanie, dla którego A{{Sub|i}} musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania {{LinkWzór|12.27}} musi mieć wartość zerową: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2&0&0\\ 0&\mu k^2-\rho_0\omega^2&0\\ 0&0&\mu k^2-\rho_0\omega^2 \end{vmatrix}=0\;</MATH>|12.28}} Wyznacznik równania {{LinkWzór|12.28}} możemy policzyć w taki sposób, by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe: {{CentrujWzór|<MATH>[(2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2](\mu k^2-\rho_0\omega^2)^2=0\;</MATH>|12.29}} Z równości {{LinkWzór|12.29}} możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_1^2={{\rho_0}\over{2\mu+\lambda}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_1^2}}\;</MATH>|12.30}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_2^2={{\rho_0}\over{\mu}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_2^2}}\;</MATH>|12.31}}}} Równaniu falowym o wartości liczby falowej {{LinkWzór|12.30}} odpowiada amplituda {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(1)}\;</MATH>}}, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego {{LinkWzór|12.31}} odpowiada wektor amplitudy {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(2)}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{A}^{(1)}=(A_1,0,0)\;</MATH>|12.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_2,A_3)\;</MATH>|12.33}}}} Fala odpowiadająca amplitudzie {{LinkWzór|12.32}} odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda {{LinkWzór|12.33}}, zatem prędkości opisywane przez te fale: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.35}}}} Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} i podłużnych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_2=\underbrace{\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_1}+\underbrace{\vec{A}_2e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_2}\;</MATH>|12.36}} Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na {{LinkWzór|12.32}} i {{LinkWzór|12.33}}, dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_1\neq 0\;</MATH>|12.38}}}} Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0\;</MATH>|12.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_2\neq 0\;</MATH>|12.40}}}} Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}-\Delta\vec{s}\;</MATH>|12.41}} Wtedy równość {{LinkWzór|12.3}} możemy przepisać do równości: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0{{\partial^2\vec{s}}\over{\partial t^2}}=\mu\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}-(2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}=0\;</MATH>|12.42}} Jeśli do równania {{LinkWzór|12.42}} podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru {{LinkWzór|12.41}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\left({{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}+{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}\right)=(2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1}+\mu\Delta\vec{s}_2\;</MATH>|12.43}} Równanie {{LinkWzór|12.43}} możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_1^2}}{{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_2^2}}{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44a}}}} Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=\operatorname{rot}\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}= \epsilon_{ijk}\nabla_j A_{1k}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\epsilon_{ijk}A_{1k}k_je^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_1\times\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.45}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.37}} i wywodów {{LinkWzór|12.45}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} dla fali podłużnej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_2=\nabla_jA_{2j}e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_2\cdot\vec{s}_2=0\;</MATH>|12.46}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.39}} i wywodów {{LinkWzór|12.46}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest falą poprzeczną. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno {{LinkWzór|10.35|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH>L=\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-\Phi+\rho f_is_i\right)dV+\oint\overline{f}_is_idS\;</MATH>|12.47}} Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian {{LinkWzór|12.47}} i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\wedge \delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0\;</math>|12.48}} Wariacja funkcjonału S {{LinkWzór|12.48}} jest tak zbudowana, by wariacja wielkości &delta;s{{Sub|i}} na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t{{Sub|1}} i t{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta s_i(t_1)=\delta s_i(t_2)=0\;</MATH>|12.49}} Napiszmy teraz funkcję &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.5b|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}, wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm}={{1}\over{2}}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right){{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}\;</MATH>|12.50}} Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie {{LinkWzór|12.48}}, zatem wariację funkcji S: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=S(s_i+\delta s_i)-S(s_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\Bigg\{\Bigg[\int_V\Bigg({{\rho}\over{2}}(\dot{s}_i+\delta \dot{s}_i)(\dot{s}_i+\delta \dot s_i)-{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_k}} (s_i+\delta s_i){{\partial}\over{\partial x_m}}(s_l+\delta s_l) +\rho f_i(s_i+\delta s_i)\Bigg)dV+\oint_S\overline{f}_i(s_i+\delta s_i)dS\Bigg]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[\int_V\Bigg ( {{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-{{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+\rho f_is_i\Bigg)dV+\oint\overline{f}_is_idS\Bigg]\Bigg\}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg (\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot s_j)}\over{\partial s_i}}\delta s_i-c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\delta s_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\delta s_i\Bigg )+\oint_S\left(\overline{f}_i\delta s_i+{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\delta s_i\right)dS\Bigg]dt </MATH>|12.51}} W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}, pomijaliśmy wyrazy &delta;s{{Sub|i}} rzędu wyższego rzędu niż pierwszego, skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}. Dalszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie {{LinkWzór|12.51}} w nawiasie klamrowym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_idVdt=\rho \dot{s}_i\delta s_i\Bigg|^{t_2}_{t_1}dV-\int_{t_1}^{t_2}{{d(\rho\dot{s})}\over{dt}}\delta s_i dV dt=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}\delta s_i dV dt-\int_{t_1}^{t_2}\dot\rho\dot{s}\delta s_i dV dt\;</MATH>|12.52}} Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt=\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+{{\partial s_m}\over{\partial x_l}}\right){{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt= \int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}=\int_{t_1}^{t_2}\left[(\sigma_{ik}\delta s_i)_{,k}-\sigma_{ik,k}\delta s_i\right]dV dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}\delta s_idS_kdt-\int_{t_1}^{t_2}{{\partial \sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}\delta s_idV dt</MATH>|12.53}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie: {{LinkWzór|12.52}} i {{LinkWzór|12.53}}, wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right\}\delta s_idV dt+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i-{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\right\}\delta s_idSdt=0\;</MATH>|12.54}} Równość {{LinkWzór|12.54}} napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\int_{t_1}^{t_2}dt\Bigg[\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS\Bigg]\;</MATH>|12.54ba}} Gdy w {{LinkWzór|12.54ba}} przyjmiemy, że deformacje {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} i prędkość deformacji {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\;</MATH>}} są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS=0\;</MATH>|12.54a}} Na podstawie {{LinkWzór|12.54ba}} i definicji cechowania {{LinkWzór|12.54a}}, wzór na równanie ruchu przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=0</MATH>|12.54b}} Równość całkowa {{LinkWzór|12.54b}} jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego &delta;s{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{s}_i={{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\;</MATH>|12.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_k=\overline{f}_i\;</MATH>|12.56}}}} Wzór {{LinkWzór|12.55}} symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|10.10|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a wzór {{LinkWzór|12.56}} jest to powtórzeniem wzoru {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> laj4ahtw93ctlu8j6v15eg2fge0wje9 0 20379 554860 467672 2026-09-07T21:53:24Z Persino 2851 554860 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera-Stokesa == Będziemy się tutaj zajmować równaniem ogólnym dla hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także korzystając z definicji tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystując twierdzenie o tarciu {{LinkWzór|11.30|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} i twierdzenie o prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, jak również wykorzystując związek pomiędzy dwoma parametrami lepkości &eta; i &xi;, to na podstawie tego możemy napisać równanie Naviera-Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\eta{{\partial^2v_i}\over{\partial x_l\partial x_l}}+{{1}\over{3}}\eta{{\partial^2v_l}\over{\partial x_i\partial x_l}}+\rho f_i\;</MATH>|13.1}} Równanie {{LinkWzór|13.1}} piszemy wektorowo: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\dot{\vec{v}}+(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}+{{1}\over{3}}\eta\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v}+\rho\vec{f}\;</math>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy &eta; jest równa zero, wtedy równanie {{LinkWzór|13.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.3}} Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz, prędkość cieczy przy jej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\cdot\vec {n}=0\;</MATH>}}. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie {{LinkWzór|13.3}} po prawej stronie w nawiasie: {{CentrujWzór|<MATH>v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}=v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}-v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\left(\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}\right)v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|13.4}} Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w {{LinkWzór|13.4}} do wzoru {{LinkWzór|13.3}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{v}_i+{{1}\over{2}}{{\partial v_lv_l}\over{\partial x_i}}-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.5}} Równanie skalarne {{LinkWzór|13.5}}, które jest przedstawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równanie piszemy wektorowo: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}+{{\rho}\over{2}}\operatorname{grad}(\vec{v}^2 )-\rho\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\rho\vec{f}\;</MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Dla spoczywającej cieczy będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0\;</MATH>|13.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>|13.8}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\;</MATH>|13.9}}}} Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu): {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}^'\;</MATH>|13.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+p^'\;</MATH>|13.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0+\rho^'\;</MATH>|13.12}}}} Napiszmy teraz równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem {{LinkWzór|13.7}}, {{LinkWzór|13.8}} i {{LinkWzór|13.9}}, a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, wtedy równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho_0+\rho^'\right)+\operatorname{div}\left[(\rho_0+\rho^')\vec{v}\right]=0\;</MATH>|13.13}} W równaniu {{LinkWzór|13.13}} po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho^'}\over{\partial t}}+\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'=0\;</MATH>|13.14}} Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru {{LinkWzór|13.5}}, które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych: {{CentrujWzór|<MATH>(\rho+\rho^')\left(\dot{v}_i+v_l^'{{\partial v^'_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial(p_0+p^')}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|13.15}} We wzorze {{LinkWzór|13.15}} pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy równość po operacji: {{CentrujWzór|<matH>\rho_0{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=-\operatorname{grad}p^'</MATH>|13.16}} Równanie stanu będziemy linearyzować, rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy &rho; wokół punktu &rho;=&rho;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}(\rho-\rho_0)+...\;</MATH>|13.17}} Biorąc definicję ciśnienia {{LinkWzór|13.11}} i gęstości ciała {{LinkWzór|13.12}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|13.17}} możemy zauważyć: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=c^2\rho^'\mbox{ dla }c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}\;</MATH>|13.18}} Wstawiamy uzyskaną równość {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, to dostajemy zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t^2}}=\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'\;</MATH>|13.19}} Równość {{LinkWzór|13.19}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\rho_0\operatorname{div}{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=0\Rightarrow {{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t}}-\operatorname{div}\operatorname{grad}p^'=0\;</math>|13.20}} Równość {{LinkWzór|13.20}} możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\Delta p=0\;</MATH>|13.21}} Równanie {{LinkWzór|13.21}} jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\Rightarrow p=\operatorname{const}\rho^{\kappa}\;</MATH>|13.22}} Będziemy wykorzystywać równość {{LinkWzór|13.18}}, to do wyznaczenia prędkości fali, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}=\kappa\rho_0^{\kappa-1}\operatorname{const}\simeq\kappa \rho_0^{\kappa-1}{{p_0}\over{\rho_0^{\kappa}}}=\kappa{{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow c=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|13.23}} Równanie {{LinkWzór|13.23}} jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej· == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> bywkeb1khiyebz8r34yxnaa0ecoa3yg 0 21224 554849 481318 2026-09-07T17:40:45Z Persino 2851 554849 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy tutaj rozpatrywali rozpad cząstki spoczywającej na dwie cząstki o pędach o takim samym kierunku, wartości, ale przeciwnych zwrotach, oraz zderzeniem doskonale sprężystym, rozpraszaniem cząstek na potencjale, a także będziemy się zajmowali wyprowadzaniem wzoru Rutherforda. Na samym końcu podamy opis rozpraszania pod małym kątem. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy, po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką sama wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}} a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem &theta;, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym &theta;{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Tangens kąta &theta; w układzie laboratoryjnym względem kąta &theta;{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cos&theta;, z którego możemy wyznaczyć deltę &Delta; (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^2V^2\operatorname{tg}^4\theta-4v_0^2(\operatorname{tg}^2\theta+1)(V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2)=4v_0^2V^2\operatorname{tg}^4\theta-4v_0^2(V^2\operatorname{tg}^4\theta-v_0^2\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -4v_0^2\left(-v^2_0\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2+V^2\operatorname{tg}^2\theta\right)=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cos&theta;{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było &theta;=0 dla &theta;{{Sub|0}}, to rozwiązanie powinno być dla naszego przypadku jednoznaczne. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości &theta;{{Sub|0}} dla jednego &theta;. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także d&sigma;{{Sub|0}}/4&pi;, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości d&theta;, to mamy d&sigma;{{Sub|0}}=2&pi;sin&theta;{{Sub|0}}d&theta;{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie towarzyszą im przemiany wewnętrzne, zatem te przemiany możemy pominąć i ich nie uwzględniać. Prędkość środka masy możemy przestawić przy pomocy prędkości cząstek przed zderzeniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.15}} Prędkości cząstek w układzie środka masy cząstki o masie m{{Sub|1}} i o masie m{{Sub|2}} przy oznaczeniu {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2\;</math>}}, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}=\vec{v}_1-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=\vec{v}_2-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.17}}}} Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu w układzie środka masy możemy przestawić z definicji pędu klasycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}\;</MATH>|2.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}\;</MATH>|2.19}}}} W układzie środka masy z zasady zachowania energii możemy napisać, biorąc pod uwagę, że pędy cząstek po zderzeniu mają ten sam kierunek, takie same wartości, ale przeciwne zwroty: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}\Rightarrow E={{{p^'}^2_0}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)\Rightarrow E={{{p^'}^2}\over{2m}}\Rightarrow {p^'}_{0}=\sqrt{2Em}\;</MATH>|2.20}} Wyznaczmy czemu są równe pędy cząstek po zderzeniem, znając ich wartości przed zderzeniem, wtedy musimy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>2Em=2m\left({{p^2_0}\over{2m_1}}+{{p^2_0}\over{2m_1}}\right)=p^2_0\;</MATH>|2.21}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|2.21}} możemy powiedzieć, że pędy cząstek przed i po zderzeniu w układzie środka masy są sobie równe co do wartości, zatem oznaczmy kierunek, w którym te dwie cząstki zostają rozproszone przez {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}} (który jest wektorem jednostkowym) dla cząstki pierwszej, ten kierunek i zwrot musi uwzględniać to by cząstki przed i po zderzeniu nie przeszły przez siebie, a także składowa równoległa dla pierwszej cząstki powinna mieć zwrot przeciwny niż pęd naszej badanej cząstki przed zderzeniem, wtedy prędkości cząstek po zderzeniu dla cząstki pierwszej i drugiej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}\;</MATH>|2.22}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}\;</MATH>|2.23}}}} Prędkości cząstek po zderzeniu możemy określić w układzie laboratoryjnym, dla którego prędkość środka masy jest wyrażona poprzez {{LinkWzór|2.15}}, jest ona określona poprzez prędkości cząstek po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.25}}}} Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu możemy określić z definicji pędu według przestawień {{LinkWzór|2.24}} i {{LinkWzór|2.25}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.26}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.27}}}} {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Zakładamy, że na rysunkach obok zachodzą następujące tożsamości: * tożsamość na promień naszej rozważanej kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}\;</MATH>|2.28}} * tożsamość na wektor odcinka {{Formuła|<MATH>\vec{AO}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.29}} * tożsamość na wektor odcinka {{Formuła|<MATH>\vec{OB}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.30}} Wzór na wektor odcinka AB możemy przestawić jako sumę z wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{AO}\;</MATH>}}{{LinkWzór|2.29}} i {{Formuła|<MATH>\vec{OB}\;</MATH>}}{{LinkWzór|2.30}} i jak można łatwo udowodnić jest ona równa sumie pędów dwóch cząstek przed zderzeniem, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{p}_1+\vec{p}_2\;</MATH>}}. Stosunek długości odcinków AO i OB, jak można udowodnić na podstawie AO {{LinkWzór|2.29}} i OB {{LinkWzór|2.30}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}\;</MATH>|2.31}} Teraz będziemy zakładać, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Z rysunków napisanych obok możemy napisać tożsamość na tangens kąta &theta;{{Sub|1}} zależącą od kąta &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{mv\sin\chi}\over{mv\cos\chi+{{m_1}\over{m_1+m_2}}m_1v}}={{mv\sin\chi}\over{mv\cos\chi+{{m}\over{m_2}}m_1v }}={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}\;</MATH>|2.32}} Z tego samego rysunku co poprzednio możemy wywnioskować, że tangens kąta &theta;{{Sub|2}} zależącą od kąta &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{mv\sin\chi}\over{{{m_2}\over{m_1+m_2}}p_1-mv\cos\chi}}={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}\;</MATH>|2.33}} Weźmy teraz zdefiniowany kąt {{Formuła|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>}}, z którego możemy wyznaczyć &chi; równą &chi;=&pi;-2&kappa;, to podstawmy do prawej strony równania {{LinkWzór|2.33}}, wtedy zobaczymy co wyjdzie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}={{\sin 2\kappa}\over{1+\cos 2\kappa}}={{2\sin\kappa\cos\kappa}\over{1+\cos^2\kappa-\sin^2\kappa}}= {{2\sin\kappa\cos\kappa}\over{2\cos^2\kappa}}={{\sin\kappa}\over{\cos\kappa}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.34}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|2.34}} dla podstawienia &kappa;, {{LinkWzór|2.33}} dochodzimy do wniosku, że związek pomiędzy kątami &theta;{{Sub|2}} i &chi;: {{CentrujWzór|<math>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.35}} Wyznaczmy teraz prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu z twierdzenia kosinusów patrząc na powyższy rysunek w tym rozdziale: {{CentrujWzór|<MATH>{p_1^'}^2=m^2v^2+{{m_1^4}\over{(m_1+m_2)^2}}v^2+2mv{{m^2_1}\over{m_1+m_2}}v\cos\chi=m_1^2{v_1^'}^2\Rightarrow{v_1^'}^2={{m_2^2}\over{(m_1+m_2)^2}}v^2+{{m_1^2}\over{(m_1+m_2)^2}}v^2+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{2m_1m_2v^2\cos\chi}\over{(m_1+m_2)^2}}\Rightarrow v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}</math>|2.36}} A także patrząc na ten sam rysunek prędkość drugiej cząstki wyrażamy przy pomocy twierdzenia kosinusów: {{CentrujWzór|<MATH>{p_2^'}^2=m^2v^2+{{m_1^2m_2^2v^2}\over{(m_1+m_2)^2}}-2mv{{m_1m_2}\over{(m_1+m_2)}}\cos\chi=m^2v^2\left(2-2\cos\chi\right)= 4m^2v^2\sin^2{{\chi}\over{2}}=m_2^2{v_2^'}^2\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.37}} Patrząc na rysunki powyżej dowiadujemy się, że dla m{{Sub|1}}<m{{Sub|2}}, że &theta;{{Sub|1}}+&theta;{{Sub|2}}>&pi;/2, a dla m{{Sub|1}}>m{{Sub|2}} mamy &theta;{{Sub|1}}+&theta;{{Sub|2}}<&pi;/2. Jeśli będziemy rozpatrywali cząstki pędzące w jednej linii, wtedy pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem, wtedy &chi;=&pi;, to prędkości cząstek po zderzeniu są sobie równe na podstawie wzorów {{LinkWzór|2.36}} i {{LinkWzór|2.37}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.39}}}} Energia maksymalna jaką druga cząstka może posiadać, gdy ta cząstka początkowo spoczywała, jest napisana przy definicji prędkości {{LinkWzór|2.39}} względem prędkości cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{m_2{v_{2max}^'}^2}\over{2}}={{4m_1^2m_2}\over{2(m_1+m_2)^2}}v^2={{4m_1m_2}\over{m_1+m_2}}E_1\;</MATH>|2.40}} Gdy m{{Sub|1}}<m{{Sub|2}} prędkość pierwszej cząstki przed zderzeniem może mieć dowolny kierunek, a dla m{{Sub|1}}>m{{Sub|2}} już nie ma dowolnego kierunku, maksymalną wartość kąta &theta;, który przyjmuje ona w tym przypadku jest taki, by kąt BAC był kątem prostym: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{OC}\over{OA}}={{mv}\over{ {{m_1}\over{m_1+m_2}}m_1v }}={{m_2}\over{m_1}}\;</MATH>|2.41}} {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Gdy mamy jednakowe masy cząstek, tzn. zachodzi m{{Sub|1}}=m{{Sub|2}}, wtedy na pewno zachodzi {{LinkWzór|2.35}}, a także {{LinkWzór|2.32}}, w którym możemy tak poskracać jednakowe masy, by zachodziło: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}\;</MATH>|2.42}} Weźmy sobie teraz &kappa;=1/2&chi; z którego wynika 2&kappa;=&chi;, w ten sposób przekształćmy prawą stronę równości {{LinkWzór|2.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}={{\sin 2\kappa}\over{1+\cos 2\kappa}}={{2\sin \kappa\cos\kappa}\over{1+2cos^2\kappa-1}}={{\sin\kappa}\over{\cos\kappa}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.43}} Według obliczeń {{LinkWzór|2.43}} i zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|2.42}}, możemy dojść do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{1}\over{2}}\chi\;</MATH>|2.44}} Posługując się udowodnionymi tożsamościami {{LinkWzór|2.36}} i {{LinkWzór|2.37}}, dostajemy wzory na prędkości cząstek po zderzeniu w zależności od kata &chi; i wartości prędkości cząstki pierwszej przed zderzeniem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{1}\over{2}}\chi\;</math>|2.45}}|2={{CentrujWzór|<math>v_2^'=v\sin{{1}\over{2}}\chi\;</MATH>|2.46}}}} == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego}} możemy przepisać dla przejrzystości wykładu, pamiętając przy okazji, ze w tej tożsamości występuje minus przed nasza całką, bo rozpatrujemy malejące położenia radialne cząstki, co prowadzi do tożsamości całkowej: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=-\int_{\infty}^{r_{min}}{{{{L}\over{r^2}}dr}\over{\sqrt{2m(E-U)-{{L^2}\over{r^2}}}}}\;</MATH>|2.47}} Jeśli będziemy badać ruch nieskończony wygodnie jest posługiwać innymi wielkościami niż "E" i "L". Zastąpimy je wielkością v{{Sub|&infin;}}, która jest prędkością cząstki w nieskończoności i przez parametrem &rho; będącym parametrem określającym odległość toru centrum pola od asymptoty dla orbity, jak by pole nie występowało. Te nowe wielkości możemy użyć do zdefiniowania "E" i "L": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E={{1}\over{2}}mv_{\infin}^2\;</MATH>|2.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infin}\;</MATH>|2.49}}}} Wzory {{LinkWzór|2.48}} i {{LinkWzór|2.49}} podstawiamy do {{LinkWzór|2.47}} i otrzymujemy następującą całkę przy zdefiniowanych parametrach v{{Sub|&infin;}} i &rho;: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\int^{\infty}_{r_{min}}{{ {{\rho}\over{r^2}}dr }\over{ \sqrt{1-{{\rho^2}\over{r^2}}-{{2U}\over{mv_{\theta}^2}} } }}\;</MATH>|2.50}} Zwykle mamy do czynienia z wiązką cząstek, które poszczególne cząstki mają różne parametry zderzenia, a zatem rozpraszają się one z różnymi kątami &chi;, które mają jednakowe prędkości równe {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{\infty}\;</MATH>}}. Oznaczmy dN, jako liczbę cząstek rozproszonych w przedziale od &chi; do &chi;+d&chi;, jest ona niewygodna do opisywania procesu rozpraszania i dlatego wprowadza się związek: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma={{dN}\over{n}}\;</MATH>|2.51}} * gdzie n jest liczbą cząstek przechodzących przez jednostkę powierzchni prostopadłych do biegu rozważanych cząstek, zakładamy przy okazji, że wiązka jest jednorodna. Stosunek {{LinkWzór|2.51}} ma wymiar powierzchni i nazywamy go przekrojem czynnym na rozpraszanie. Zakładamy, że pomiędzy wielkościami &chi; i &rho; istnieje jednoznaczny związek, czyli dla kątów rozpraszania &chi; i &chi;+d&chi; istnieje przedział na parametry zderzenia równą &rho;(&chi;) i &rho;(&chi;)+d&rho;(&chi;). Przekrój czynny, który oznaczymy poprzez &chi;, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=2\pi\rho d\rho=2\pi\rho(\chi)\left|{{d\rho(\chi)}\over{d\chi}}\right|d\chi\;</MATH>|2.52}} We wzorze posługiwaliśmy się wartością bezwzględną pochodnej d&rho;/d&chi;, która ma zazwyczaj wartość ujemną. Zazwyczaj zamiast kąta &chi; zwykle odnosimy się od zależności od kąta bryłowego według do=2&pi;sin&chi;d&chi;, który to podstawimy do wzoru {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma={{\rho(\chi)}\over{\sin\chi}}\left|{{d\rho}\over{d\chi}}\right|do\;</MATH>|2.53}} Można powiedzieć, że wzór {{LinkWzór|2.52}} określa przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania w układzie środka masy, dla której &chi;, którą jest &theta;{{Sub|1}} dla cząstek padających lub &theta;{{Sub|2}} dla cząstek pierwotnie spoczywających, wtedy taki związek możemy wyrazić poprzez tożsamość {{LinkWzór|2.32}} lub poprzez {{LinkWzór|2.35}}. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy sobie pod ostrzał wzór {{LinkWzór|2.50}}, do którego dokonamy podstawienia u=1/r, w ten sposób wzór możemy napisać przy definicji potencjału U=&alpha;/r, który opisuje pole kulistosymetryczne, wtedy kąt z jaką cząstka w tym polu wychodzi na zewnątrz jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_0=-\int^0_{{{1}\over{r_{min}}}}{{\rho du}\over{\sqrt{1-\rho^2u^2-{{2\alpha u}\over{mv_{\infty}^2}} }}}=-\int^0_{{{1}\over{r_{min}}}}{{\rho du}\over{\sqrt{-\rho^2\left(u+{{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^2}}\right)^2+{{ {{4\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^4}}+4\rho^2}\over{4\rho^2}} }}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\int_0^{{{1}\over{r_{min}}}}{{ du}\over{\sqrt{-\left(u+{{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^2}}\right)^2+{{\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^2\rho^2}}+{{1}\over{\rho^2}} }}}=-\int^0_{{{1}\over{r_{min}}}}{{d{{u}\over{ \sqrt{\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^4}}\right)^2+{{1}\over{\rho^2}} }}}}\over{\sqrt{1-\left({{u}\over{\sqrt{\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^4}}\right)^2+{{1}\over{\rho^2}}}}}+{{ {{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^2}} }\over{\sqrt{\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^4}}\right)^2+{{1}\over{\rho^2}}} }}\right)^2 }}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\operatorname{arccos}{{ {{\alpha}\over{mv^2_{\infty}\rho}}}\over{\sqrt{1+\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho}}\right)^2}}}</MATH>|2.54}} Patrząc na przeprowadzone obliczenia {{LinkWzór|2.54}}, stąd wywnioskujemy, że zachodzi równość na zależność kwadratu parametru zderzenia &rho; i kąta &theta;{{Sub|0}}, do którego podstawimy wzór wynikający z {{LinkWzór|2.35}}, którym zamiast &theta;{{Sub|2}} jest tutaj &theta;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{ctg}^2\theta_0={{\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^4\rho^2}}\Rightarrow \rho^2={{\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^4}}\operatorname{tg}^2\theta_0\Rightarrow \rho^2={{\alpha^2}\over{m^2v^4_{\infty}}}\operatorname{ctg}^2{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.55}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.55}} różniczkujemy względem &chi; obustronnie i wynik podstawiamy do końcowego wzoru {{LinkWzór|2.52}}, w ten sposób otrzymujemy końcowy wynik względem zmiennej &chi;, a także względem kąta bryłowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{\cos{{1}\over{2}}\chi}\over{\sin^3{{\chi}\over{2}}}}d\chi\;</MATH>|2.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\left({{\alpha}\over{2mv_{\infty}^2}}\right)^2{{do}\over{\sin^4{{1}\over{2}}\chi}}\;</MATH>|2.57}}}} Wzór {{LinkWzór|2.57}} opisuje przekrój czynny w układzie środka masy, aby przejść do układu laboratoryjnego należy zastosować wzór {{LinkWzór|2.35}}, który przedstawimy jako &chi;=&pi;-2&theta;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_2=2\pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{\sin\theta_2}\over{\cos^3\theta_2}}d\theta_2=\left({{\alpha}\over{mv^2_{\infty}}}\right)^2{{do_2}\over{\cos^3\theta_2}}\;</MATH>|2.58}} W ogólnym przypadku przejście do układu laboratoryjnego prowadzi do bardzo skomplikowanej zależności, zatem rozpatrzmy jego szczególne przypadki. Jeśli według wzoru {{LinkWzór|2.32}} masa cząstki m{{Sub|2}} jest o wiele większa niż masa cząstki m{{Sub|1}}, to wtedy zachodzi &chi;&asymp;&theta;{{Sub|1}} i m&asymp;m{{Sub|1}}, wtedy przekrój czynny {{LinkWzór|2.58}} ma się: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_1=\left({{\alpha}\over{4E_1}}\right)^2{{do_1}\over{\sin^4{{1}\over{2}}\theta_1}}\;</MATH>|2.59}} Jeśli masy obu cząstek są jednakowe, tzn. m{{Sub|1}}=m{{Sub|2}}, m=m{{Sub|1}}/2, to zgodnie z {{LinkWzór|2.44}} prowadzi to do tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_1=2\pi\left({{\alpha}\over{E_1}}\right)^2{{\cos\theta_1}\over{\sin^3\theta_1}}d\theta_1=\left({{\alpha}\over{E_1}}\right)^2{{\cos\theta_1}\over{\sin^4\theta_1}}do_1\;</MATH>|2.60}} Jeśli dwie nasze cząstki nie można rozróżnić, to całkowity przekrój na zderzenie obu cząstek jest sumą przekrojów czynnych {{LinkWzór|2.58}} i {{LinkWzór|2.60}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\left({{\alpha}\over{E_1}}\right)^2\left({{1}\over{\sin^4\theta}}+{{1}\over{\cos^4\theta}}\right)\cos\theta do\;</MATH>|2.61}} Rozważmy teraz przypadek ogólny {{LinkWzór|2.56}}, który opisuje cząstki dla ich różnych mas, którego przestawienie jest napisane przy pomocy wzoru {{LinkWzór|2.37}} dla drugiej cząstki początkowo będącej w spoczynku, i dla pierwszej cząstki poruszająca się z prędkością v{{Sub|&infin;}}, wzór na prędkość drugiej cząstki po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1}\over{m_1+m_2}}v_{\infty}\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.62}} Energia kinetyczna cząstki drugiej po zderzeniu możemy przestawić z jej definicji na podstawie prędkości tejże cząstki {{LinkWzór|2.62}}, i policzmy też jego różniczkę w tej samej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{m_2{v_2^'}^2}\over{2}}={{2m^2}\over{m_2}}v_{\infty}^2\sin^2{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.63}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\epsilon={{2m^2}\over{m_2}}v_{\infty}^2\sin{{\chi}\over{2}}\cos{{\chi}\over{2}}d\chi\;</MATH>|2.64}}}} Wzory {{LinkWzór|2.63}} i {{LinkWzór|2.64}} podstawiamy do ogólnego równania na przekrój czynny {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{\sin{{1}\over{2}}\chi\cos{{1}\over{2}}\chi}\over{\sin^4{{1}\over{2}}\chi}}d\chi= \pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{d\epsilon m_2}\over{2m^2v_{\infty}^2}}{{4m^4v_{\infty}^4}\over{m_2^2\epsilon^2}}=2\pi{{\alpha^2}\over{m_2v_{\infty}^2}}{{d\epsilon}\over{\epsilon^2}}\;</MATH>|2.65}} == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych katów == Będziemy rozpatrywać te zderzenia, które charakteryzują się dużym parametrem zderzenia, wtedy katy rozproszenia są zazwyczaj małe. Sinus kąta rozproszenia jest mały,jego wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_1={{p^'_{1y}}\over{p_1^'}}\;</MATH>|2.66}} Początkowo cząstka miała pęd równy p{{Sub|1}} i wyniku oddziaływania z pewnym polem nabyła pędu prostopadłego do poprzedniej wartości pędu równą p'{{Sub|1y}}. Powyżej będziemy rozpatrywali małe katy rozproszenia w układzie laboratoryjnym, a nie w układzie środka masy. Dla małych kątów rozproszenia możemy zastąpić oczywiście sin&theta;{{Sub|1}} przez &theta;{{Sub|1}}, a w mianowniku należy zastąpić p'{{Sub|1}} przez m{{Sub|1}}v{{Sub|&infin;}}, co w takim wypadku mamy w przybliżeniu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1\simeq{{p_{1y}^'}\over{m_1v_{\infty}}}\;</MATH>|2.67}} Ponieważ zachodzi {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y=F_y\;</MATH>}}, wtedy całkowity przyrost pędu w kierunku osi igrekowej, zakładając jednocześnie, że pęd igrekowy początkowy był równy zero, jest wyrażony poprzez: {{CentrujWzór|<math>p_{1y}^'=\int_{-\infty}^{\infty}F_ydt\;</math>|2.68}} Współrzędną igrekową zdefiniowaną poprzez potencjał względem współrzędnej igrekowej pola, którą piszemy jako pochodną potencjału względem współrzędnej radialnej i innych parametrów: {{CentrujWzór|<MATH>F_y=-{{\partial U}\over{\partial y}}=-{{d U}\over{dr}}{{\partial r}\over{\partial y}}=-{{d U}\over{dr}}{{y}\over{r}}\;</MATH>|2.69}} W naszych obliczeniach należy oczekiwać, że cząstka niewiele odchyliła się od swego biegu, czyli porusza się ona ruchem prawie prostoliniowym, wtedy mamy y=&rho;. a dt możemy wyrazić poprzez prędkość w nieskończoności v{{Sub|&infin;}} i różniczkę położenia iksowego, wtedy te wzory: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_y=-{{dU}\over{dr}}{{\rho}\over{r}}\;</MATH>|2.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH> dt={{dx}\over{v_{\infty}}}\;</MATH>|2.71}}}} Wzór na całkowite siłę igrekową {{LinkWzór|2.70}} i różniczkę czasu {{LinkWzór|2.71}} podstawiamy do wzoru na całkowity przyrost pędu igrekowego {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_{1y}^'=-{{\rho}\over{v_{\infty}}}\int_{-\infty}^{\infty}{{dU}\over{dr}}{{dx}\over{r}}\;</MATH>|2.72}} Z definicji promienia radialnego możemy wyrazić x, a potem przyrost dx w zależności od położenia radialnego "r" i parametru zdarzenia &rho;: {{CentrujWzór|<MATH>r^2=x^2+\rho^2\Rightarrow x=\sqrt{r^2-\rho^2}\Rightarrow dx={{rdr}\over{\sqrt{r^2-\rho^2}}}\;</MATH>|2.73}} Końcowy wzór {{LinkWzór|2.73}} podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}}, a to wzoru {{LinkWzór|2.67}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na kąt &theta;{{Sub|1}} w zależności od parametru zdarzenia &rho;: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1=-{{2\rho}\over{m_1v^2_{\infty}}}\int^{\infty}_{\rho}{{dU}\over{dr}}{{dr}\over{\sqrt{r^2-\rho^2}}}\;</MATH>|2.74}} Mając znany potencjał U możemy wyznaczyć zależność &theta;{{Sub|1}} od &rho;, co tą zależność możemy odwrócić, tak by otrzymać zależność &rho; od kąta &theta;{{Sub|1}} w układzie laboratoryjnym, co go możemy podstawić do {{LinkWzór|2.53}} i dla małych katów otrzymać wzór na przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\left|{{d\rho}\over{d\theta_1}}\right|{{\rho(\theta_1)}\over{\theta_1}}do_1\;</MATH>|2.75}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mey2ftflm1qgqm61erjf4oyua8wjuw9 0 46719 554861 548252 2026-09-07T21:54:32Z Persino 2851 /* Związek operatora rzutowego równoległego i macierzy iloczynu skalarnego */ 554861 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Formułowanie operatora rzutowego równoległego == Niech mamy wektor w przestrzeni n-wymiarowej, który jest sumą wektorów do siebie prostopadłych względem kierunku wyróżnionego {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>X=X_{||}+X_{\perp}\;</MATH>|T1}} Policzmy iloczyn skalarny wiedząc, że dla składowej równoległej do wektora {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} mamy z definicji {{Formuła|<MATH>X_{||}=\lambda\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec V,X)=(\vec V,X_{||}+X_{\perp})=(\vec V, X_{||})=(\vec V,\lambda \vec V)=\lambda V^2\Rightarrow\lambda ={{(\vec V,X)}\over{V^2}}\;</MATH>|T2}} Stąd dochodzimy do wniosku na podstawie składowej równoległej do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>X_{||}\;</MATH>}}, którą liczymy na podstawie wniosku {{LinkWzór|T2}}: {{CentrujWzór|<MATH>X_{||}=\lambda \vec V=\vec V{{(\vec V,X)}\over{V^2}}=\underbrace{{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A}_{P_{||}} X=P_{||}X\Rightarrow P_{||}={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\;</MATH>|T3}} == Właściwości kwadratu operatora rzutowego równoległego == Policzmy kwadrat operatora rzutowego {{Formuła|<math>P_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}} i dowolne jego potęgi na podstawie tego wiedząc, że zachodzi {{Formuła|<MATH>V^2=(\vec V,\vec V)=\vec V^TA\vec V\;</MATH>}}, co jest spełnione na podstawie definicji iloczynu skalarnego znanego z kursu algebry: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^2=P_{||}P_{||}={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=P_{||}\Rightarrow P_{||}^n=P_{||}\;</MATH>|T4}} == Formułowanie operatora rzutowego prostopadłego == Z warunku na wektor {{Formuła|<MATH>X\;</MATH>}} {{LinkWzór|T1}} i na wektor {{Formuła|<MATH>X_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}}, wtedy możemy otrzymać wzór na składową prostopadłą {{Formuła|<MATH>X_{\perp}\;</MATH>}} względem wyróżnionego kierunku {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>X_{\perp}=X-X_{||}=X-P_{||}X=(\underbrace{I-P_{||}}_{P_{\perp}})X=P_{\perp}X\Rightarrow P_{\perp}=I-P_{||}\;</MATH>|T5}} == Kwadrat operatora rzutowego prostopadłego == Policzmy kwadrat wektora rzutowego prostopadłego {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T5}} i dowolne jego potęgi na podstawie tego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^2=(1-P_{||})^2=1+P_{||}^2-2P_{||}=1+P_{||}-2P_{||}=1-P_{||}=P_{\perp}\Rightarrow P_{\perp}^n=P_{\perp}\;</MATH>|T6}} == Iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy == Policzmy iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy, a w przypadku odwrotnym jest podobnie, wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|T5}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}P_{||}=(1-P_{||})P_{||}=P_{||}-P_{||}^2=P_{||}-P_{||}=0\;</MATH>|T7}} Z wiadomych względów według wzoru {{LinkWzór|T5}} zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>I=P_{||}+P_{\perp}\;</MATH>|T8}} == Wektor prędkości kontrawariantny definiowany przez wektor prędkości kowariantny == Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego równoległego {{Formuła|<MATH>P_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}} obierając nowy parametr {{Formuła|<MATH>\vec V^+\;</MATH>}} w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V=A^{-1}\vec V^+\;</MATH>|T9}} == Definicja operatora rzutowego równoległego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną == Powiemy z definicji operatora {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} poprzez {{Formuła|<MATH>\vec V^+\;</MATH>}} i macierzy iloczynu skalarnego, tzn. {{LinkWzór|T9}}: {{CentrujWzór|<MATH>P^T_{||}=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^T=A^T{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}=AA^{-1}{{\vec V^+{{\vec V}^{+}}^{T}}\over{{V^+}^2}}A^{-T}={{\vec V^+{{\vec V}^{+}}^{T}}\over{{V^+}^2}}A^{-1}=P^+_{||}\Rightarrow P_{||}^T=P_{||}^+\;</MATH>|T10}} == Definicja operatora rzutowego prostopadłego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną == Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego prostopadłego {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T5}}: {{CentrujWzór|<MATH>P^T_{\perp}=(I-P_{||})^T=I^T-P_{||}^T=I-P_{||}^+=P_{\perp}^+\Rightarrow P_{\perp}^T=P_{\perp}^+\;</MATH>|T11}} == Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych równa iloczynowi skalarnemu wektorów kowariantnych == Napiszmy iloczyn skalarny z jego definicji wykorzystując {{LinkWzór|T9}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec V_1,\vec V_2)=\vec V_1^TA\vec V_2={\vec V_1}^{+T}A^{-1}AA^{-1}{\vec V_2}^+={\vec V_1}^{+T}A^{-1}{\vec V_{2}}^+=\left(\vec V_1^+,\vec V_2^+\right)^+\;</MATH>|T12}} == Związek operatora rzutowego równoległego i macierzy iloczynu skalarnego == Można udowodnić dla operatorów rzutowych, jakie zachodzą tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>AP_{||}=A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^TA={P^+}_{||}A=P^T_{||}A\;</MATH>|T13}} == Związek operatora rzutowego prostopadłego i macierzy iloczynu skalarnego == Zachodzi tożsamość na podstawie {{LinkWzór|T11}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP_{\perp}=A(I-P_{||})=A-AP_{||}=IA-P_{||}^+A=IA-P_{||}^+A=(I-P_{||}^+)A=P_{\perp}^+A=P_{\perp}^TA\;</MATH>|T14}} == Iloczyn skalarny dwóch operatorów rzutowych równoległych == Udowodnijmy jakie zachodzą dalsze wnioski na operatorach rzutowych: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^TAP_{||}=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^TA{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=AP_{||}\Rightarrow P_{||}^TAP_{||}=AP_{||}=P_{||}^TA\;</MATH>|T15}} == Iloczyn skalarny operatorów rzutowych prostopadłych == Wykorzystując wnioski z {{LinkWzór|T15}} i {{LinkWzór|T8}} zachodzące na operatorach rzutowych: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^TAP_{\perp}=(I-P_{||})^TA(I-P_{||})=A-AP_{||}-P_{||}^TA+P_{||}^TAP_{||}=A-AP_{||}-P_{||}^TAP_{||}+P_{||}^TAP_{||}=A(I-P_{||})=AP_{\perp}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow P_{\perp}^TAP_{\perp}=AP_{\perp}=P_{\perp}^TA\;</MATH>|T16}} == Iloczyn skalarny operatorów rzutowych równoległych i prostopadłych == Zachodzi na podstawie związku {{LinkWzór|T15}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^TAP_{\perp}=P_{||}^TA-P_{||}^TAP_{||}=P_{||}^TAP_{||}-P_{||}^TAP_{||}=0\Rightarrow P_{||}^TAP_{\perp}=P_{\perp}^TAP_{||}=0\;</MATH>|T17}} == Analogiczne związki dla operatorów rzutowych kowariantnych i podobieństwa do ich wersji kontrawariantnych == Podobne wnioski jak dla {{LinkWzór|T13}}, {{LinkWzór|T14}}, {{LinkWzór|T15}}, {{LinkWzór|T16}} i {{LinkWzór|T17}} zachodzą, gdy zastąpimy {{Formuła|<MATH>P_{||}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>P_{||}^+\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>P_{\perp}^+\;</MATH>}}, a także zastępując {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>A^{-1}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dd2sck2v58hismg854olitj6qefm0kj 554864 554861 2026-09-07T22:00:18Z Persino 2851 /* Iloczyn skalarny dwóch operatorów rzutowych równoległych */ 554864 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Formułowanie operatora rzutowego równoległego == Niech mamy wektor w przestrzeni n-wymiarowej, który jest sumą wektorów do siebie prostopadłych względem kierunku wyróżnionego {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>X=X_{||}+X_{\perp}\;</MATH>|T1}} Policzmy iloczyn skalarny wiedząc, że dla składowej równoległej do wektora {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} mamy z definicji {{Formuła|<MATH>X_{||}=\lambda\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec V,X)=(\vec V,X_{||}+X_{\perp})=(\vec V, X_{||})=(\vec V,\lambda \vec V)=\lambda V^2\Rightarrow\lambda ={{(\vec V,X)}\over{V^2}}\;</MATH>|T2}} Stąd dochodzimy do wniosku na podstawie składowej równoległej do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>X_{||}\;</MATH>}}, którą liczymy na podstawie wniosku {{LinkWzór|T2}}: {{CentrujWzór|<MATH>X_{||}=\lambda \vec V=\vec V{{(\vec V,X)}\over{V^2}}=\underbrace{{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A}_{P_{||}} X=P_{||}X\Rightarrow P_{||}={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\;</MATH>|T3}} == Właściwości kwadratu operatora rzutowego równoległego == Policzmy kwadrat operatora rzutowego {{Formuła|<math>P_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}} i dowolne jego potęgi na podstawie tego wiedząc, że zachodzi {{Formuła|<MATH>V^2=(\vec V,\vec V)=\vec V^TA\vec V\;</MATH>}}, co jest spełnione na podstawie definicji iloczynu skalarnego znanego z kursu algebry: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^2=P_{||}P_{||}={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=P_{||}\Rightarrow P_{||}^n=P_{||}\;</MATH>|T4}} == Formułowanie operatora rzutowego prostopadłego == Z warunku na wektor {{Formuła|<MATH>X\;</MATH>}} {{LinkWzór|T1}} i na wektor {{Formuła|<MATH>X_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}}, wtedy możemy otrzymać wzór na składową prostopadłą {{Formuła|<MATH>X_{\perp}\;</MATH>}} względem wyróżnionego kierunku {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>X_{\perp}=X-X_{||}=X-P_{||}X=(\underbrace{I-P_{||}}_{P_{\perp}})X=P_{\perp}X\Rightarrow P_{\perp}=I-P_{||}\;</MATH>|T5}} == Kwadrat operatora rzutowego prostopadłego == Policzmy kwadrat wektora rzutowego prostopadłego {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T5}} i dowolne jego potęgi na podstawie tego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^2=(1-P_{||})^2=1+P_{||}^2-2P_{||}=1+P_{||}-2P_{||}=1-P_{||}=P_{\perp}\Rightarrow P_{\perp}^n=P_{\perp}\;</MATH>|T6}} == Iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy == Policzmy iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy, a w przypadku odwrotnym jest podobnie, wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|T5}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}P_{||}=(1-P_{||})P_{||}=P_{||}-P_{||}^2=P_{||}-P_{||}=0\;</MATH>|T7}} Z wiadomych względów według wzoru {{LinkWzór|T5}} zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>I=P_{||}+P_{\perp}\;</MATH>|T8}} == Wektor prędkości kontrawariantny definiowany przez wektor prędkości kowariantny == Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego równoległego {{Formuła|<MATH>P_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}} obierając nowy parametr {{Formuła|<MATH>\vec V^+\;</MATH>}} w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V=A^{-1}\vec V^+\;</MATH>|T9}} == Definicja operatora rzutowego równoległego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną == Powiemy z definicji operatora {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} poprzez {{Formuła|<MATH>\vec V^+\;</MATH>}} i macierzy iloczynu skalarnego, tzn. {{LinkWzór|T9}}: {{CentrujWzór|<MATH>P^T_{||}=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^T=A^T{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}=AA^{-1}{{\vec V^+{{\vec V}^{+}}^{T}}\over{{V^+}^2}}A^{-T}={{\vec V^+{{\vec V}^{+}}^{T}}\over{{V^+}^2}}A^{-1}=P^+_{||}\Rightarrow P_{||}^T=P_{||}^+\;</MATH>|T10}} == Definicja operatora rzutowego prostopadłego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną == Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego prostopadłego {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T5}}: {{CentrujWzór|<MATH>P^T_{\perp}=(I-P_{||})^T=I^T-P_{||}^T=I-P_{||}^+=P_{\perp}^+\Rightarrow P_{\perp}^T=P_{\perp}^+\;</MATH>|T11}} == Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych równa iloczynowi skalarnemu wektorów kowariantnych == Napiszmy iloczyn skalarny z jego definicji wykorzystując {{LinkWzór|T9}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec V_1,\vec V_2)=\vec V_1^TA\vec V_2={\vec V_1}^{+T}A^{-1}AA^{-1}{\vec V_2}^+={\vec V_1}^{+T}A^{-1}{\vec V_{2}}^+=\left(\vec V_1^+,\vec V_2^+\right)^+\;</MATH>|T12}} == Związek operatora rzutowego równoległego i macierzy iloczynu skalarnego == Można udowodnić dla operatorów rzutowych, jakie zachodzą tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>AP_{||}=A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^TA={P^+}_{||}A=P^T_{||}A\;</MATH>|T13}} == Związek operatora rzutowego prostopadłego i macierzy iloczynu skalarnego == Zachodzi tożsamość na podstawie {{LinkWzór|T11}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP_{\perp}=A(I-P_{||})=A-AP_{||}=IA-P_{||}^+A=IA-P_{||}^+A=(I-P_{||}^+)A=P_{\perp}^+A=P_{\perp}^TA\;</MATH>|T14}} == Iloczyn skalarny dwóch operatorów rzutowych równoległych == Udowodnijmy, jakie zachodzą dalsze wnioski na operatorach rzutowych: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^TAP_{||}=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^TA{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=AP_{||}\Rightarrow P_{||}^TAP_{||}=AP_{||}=P_{||}^TA\;</MATH>|T15}} == Iloczyn skalarny operatorów rzutowych prostopadłych == Wykorzystując wnioski z {{LinkWzór|T15}} i {{LinkWzór|T8}} zachodzące na operatorach rzutowych: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^TAP_{\perp}=(I-P_{||})^TA(I-P_{||})=A-AP_{||}-P_{||}^TA+P_{||}^TAP_{||}=A-AP_{||}-P_{||}^TAP_{||}+P_{||}^TAP_{||}=A(I-P_{||})=AP_{\perp}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow P_{\perp}^TAP_{\perp}=AP_{\perp}=P_{\perp}^TA\;</MATH>|T16}} == Iloczyn skalarny operatorów rzutowych równoległych i prostopadłych == Zachodzi na podstawie związku {{LinkWzór|T15}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^TAP_{\perp}=P_{||}^TA-P_{||}^TAP_{||}=P_{||}^TAP_{||}-P_{||}^TAP_{||}=0\Rightarrow P_{||}^TAP_{\perp}=P_{\perp}^TAP_{||}=0\;</MATH>|T17}} == Analogiczne związki dla operatorów rzutowych kowariantnych i podobieństwa do ich wersji kontrawariantnych == Podobne wnioski jak dla {{LinkWzór|T13}}, {{LinkWzór|T14}}, {{LinkWzór|T15}}, {{LinkWzór|T16}} i {{LinkWzór|T17}} zachodzą, gdy zastąpimy {{Formuła|<MATH>P_{||}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>P_{||}^+\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>P_{\perp}^+\;</MATH>}}, a także zastępując {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>A^{-1}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7nlhy30en3y4m0tsfaxwz1wqg1ydftu 0 46720 554862 548366 2026-09-07T21:57:31Z Persino 2851 /* Tranformacje operatorów rzutowych */ 554862 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Transformacje iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Galileusza == Tutaj będziemy przeprowadzać dowody dotyczące transformacji Galileusza dla starego i nowego n-wymiarowego układu odniesienia ogólnie nieprostokątnego. Macierz iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} jest z oczywistych powodów symetryczna i dla każdego układu współrzędnych w zależności od ustawienia osi tego ta macierz jest liczona od nowa względem obserwatora spoczywającego w tym układzie. Dla transformacji Galileusza zachodzą: {{CentrujWzór|<MATH>(X^'_p,X^'_p)=X^{'T}_pA^'X^'_p\wedge X^'_p=C_pX_p\Rightarrow(X^'_p,X^'_p)=X_p^TC_p^TA^'C_pX_p=X_p^TAX_p=(X_p,X_p)\Rightarrow C_p^TA^'C_p=A\;</MATH>|G0}} Własność {{LinkWzór|G0}}, tzn. transformację z {{Formuła|<MATH>A^'\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} jest również spełniona w szczególnej teorii względności, jak udowodnimy. == Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza == A jeżeli {{Formuła|<MATH>A^{'T}=A^'\;</MATH>}} to z oczywistych powodów {{Formuła|<MATH>A^T=A\;</MATH>}} i odwrotnie, zatem macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} jest to ta sama macierz co występuje w transformacjach Galileusza: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable| {{Wiersz|{{Komórka|styl=text-align:center;|opcje=colspan=2|nagłówek=tak|'''Transformacje proste'''}}{{Komórka|styl=text-align:center;|opcje=colspan=2|nagłówek=tak|'''Transformacje odwrotne'''}}}} {{Wiersz|{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'=C_p(d\vec r-\vec V dt)\;</MATH>|G1}}}}{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\vec v^'=C_p(\vec v-\vec V)\;</MATH>|G2}}}} {{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{'}(d\vec r^'-\vec V^' dt)\;</MATH>|G3}}}}{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\vec v=C_p^{'}(\vec v^'-\vec V^')\;</MATH>|G4}}}}}}}} Wzory {{LinkWzór|G1}}, {{LinkWzór|G2}}, {{LinkWzór|G3}} i {{LinkWzór|G4}} są spełnione w układach odniesienia nieobracających się. Ponieważ macierze {{Formuła|<MATH>C_{p}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p}^'\;</MATH>}} (gdzie {{Formuła|<MATH>C_p=C_p^{'-1}\;</MATH>}}) są nieosobliwe dowolne (one zależą od ustawień osi starego i nowego układu odniesienia), więc transformacje {{LinkWzór|G1}}, {{LinkWzór|G2}}, {{LinkWzór|G3}} i {{LinkWzór|G4}} mają taką samą postać niezależnie z jakiego układu na który coś transformujemy przy pomocy tychże wzorów, zatem spełniają zasadę izotropowości przestrzeni, ale te macierze są stałe ze względu na przesuniecia w czasie i przestrzeni, więc spełniają zasadę jednorodności czasu i przestrzeni. W powyższych wzorach zachodzi tożsamość na podstawie absolutności czasu, tzn.: {{Formuła|<MATH>dt^'=dt\;</MATH>}}. == Macierz transformacji równoległy i prostopadły == Przyjmujemy, że zachodzi wzór na {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} w zależności od {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, które są kolejno macierzami pierwszy równoległym i prostopadłym do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>C_p=C_{p||}+C_{p\perp}\wedge C_{p||}=C_pP_{||}\wedge C_{p\perp}=C_pP_{\perp}\;</MATH>|G5}} We wzorze {{LinkWzór|G5}} przyjmujemy warunki na macierze {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, czyli zachodzą {{Formuła|<MATH>C_{p||}X_{\perp}=0\wedge C_{p\perp}X_{||}=0\;</MATH>}}. Związki {{LinkWzór|G5}} przyjmujemy również w szczególnej teorii względności. == Transformacja prędkości nowego układu odniesienia względem starego na prędkość starego układu odniesienia względem nowego == Przejrzyjmy się właściwości macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, którą udowodnimy z transformacji Galileusza. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego w transformacji Galileusza przedstawiamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V^'=C_p(0-\vec V)=-C_p\vec V=-C_{p||}\vec V\;</MATH>|G6}} == Macierz transformacji prosta i odwrotna - związki == Do {{LinkWzór|G3}} podstawmy {{LinkWzór|G1}} i {{LinkWzór|G6}}, co na podstawie tego: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{'}(d\vec r^'-\vec V^' dt)=C_p^{'}(C_p(d\vec r-\vec V dt)+C_p\vec Vdt)=C_p^'C_p(d\vec r-\vec V dt+\vec V dt)=C_p^'C_pd\vec r\Rightarrow I=C_p^'C_p\Rightarrow C_p^{'}=C_p^{-1}\;</MATH>|G7}} == Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza poprzez równoległe i prostopadłe macierze transformacji == Weźmy wektory nieskończenie małych przesunięć równoległe i prostopadłe do prędkości {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} w transformacji prostej i odwrotnej transformacji Galileusza, tzn.: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'_{||}=C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)\;</MATH>|G8}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{||}=C_{p||}^'(d\vec r_{||}^'-\vec V^' dt)\;</MATH>|G9}}|3={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'_{\perp}=C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\;</MATH>|G10}}|4={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'d\vec r^'_{\perp}\;</MATH>|G11}}}} == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległego i prostopadłego == Zachodzą tożsamości na iloczynach {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<math>C_{p||}^'C_{p\perp}(d\vec r-\vec Vdt)=C_{p||}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p||}^'d\vec r_{\perp}^'=C_p^'P_{||}^'d\vec r_{\perp}^'=0\wedge C_{p\perp}^'C_{p||}(d\vec r-\vec V dt)=C_{p\perp}^'C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)=C_{p\perp}^'d\vec r_{||}^'=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_p^'P^'_{\perp}d\vec r_{||}^'=0\Rightarrow C_{p||}^'C_{p\perp}=C_{p||}C_{p\perp}^'=C_{p\perp}^'C_{p||}=C_{p\perp}C_{p||}^'=0\;</MATH>|G12}} == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległych == Weźmy wzór {{LinkWzór|G9}} i do niego podstawmy {{LinkWzór|G8}} i {{LinkWzór|G6}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{||}=C_{p||}^'(d\vec r_{||}^'-\vec V^' dt)=C_{p||}^'(C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)+C_{p||}\vec V dt)=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r_{||}\Rightarrow d\vec r_{||}=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r_{||}=C_{p}^'P_{||}^'C_p^'P_{||}^'d\vec r_{||}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'(1-P_{\perp}^')C_pd\vec r_{||}=C_{p}^'C_pd\vec r_{||}-C_{p\perp}^'C_{p||}d\vec r_{||}=C_{p}^'C_pd\vec r_{||}=C_p^{-1}C_pd\vec r_{||}=d\vec r_{||}\;</MATH>|G13}} Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości {{LinkWzór|G7}}. == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji prostopadłych == Weźmy wzór {{LinkWzór|G11}} i podstawmy do niego wzór {{LinkWzór|G10}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'d\vec r^'_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\Rightarrow d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p}^'P_{\perp}^'C_p^'P_{\perp}^'d\vec r_{\perp}=C_{p}^'(1-P_{||}^')C_pd\vec r_{\perp}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'C_pd\vec r_{\perp}-C_{p||}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p}^{-1}C_pd\vec r_{\perp}=d\vec r_{\perp}\;</MATH>|G14}} Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości {{LinkWzór|G7}}. Własności macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}} pokazane w punkcie {{LinkWzór|G7}}, {{LinkWzór|G12}}, {{LinkWzór|G13}} i {{LinkWzór|G14}} są również spełnione w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. == Prawo Pitagorasa na macierzach transformacji równoległym i prostopadłym == Ale: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{-1}C_pd\vec r=C_p^{'}C_pd\vec r=C_{p||}^'C_{p||}d\vec{r}_{||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec{r}_{\perp}=C_{p||}^'C_{p||}(d\vec r-d\vec r_{\perp})+C_{p\perp}^'C_{p\perp}(d\vec{r}-d\vec{r}_{||})=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r=(C_{p||}^'C_{p||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp})d\vec r\Rightarrow I=C_{p||}^'C_{p||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp}\wedge I=C_{p||}C_{p||}^'+C_{p\perp}C_{p\perp}^'\;</MATH>|G15}} Związek {{LinkWzór|G15}} jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. == Definicja macierzy iloczynu skalarnego poprzez wektor bazy w przestrzeni zwykłej Galileusza == W przestrzeni n-wymiarowej zachodzi również związek: {{CentrujWzór|<MATH>A=B^T_pB_p\;</MATH>|G16}} Gdzie {{Formuła|<MATH>B_p=[\vec e_{p1},\vec e_{p2},...,\vec e_{pi},...,\vec e_{pn}]\;</MATH>}} jest macierzą wersorów w przestrzeni w przestrzeni n-wymiarowej według Galileusza. Zachodzą również związki transformacyjne Galileusza: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_pX_p^'=B_pX_p\Rightarrow B^'_pC_pX_p=B_pX_p\Rightarrow B^'_p=B_pC_p^{-1}\;</MATH>|G17}} Wzór {{LinkWzór|G17}}(ostatni wzór) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy, a {{LinkWzór|G16}} będziemy przyjmować w niej. Na podstawie wzoru możemy wyedytować jako: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_p=B_pC_p^{-1}\Rightarrow B_p=B^'_pC_p\wedge B_p=B^'_p{C_p^'}^{-1}\Rightarrow C_p^'=C_p^{-1}\;</MATH>|G17a}} Wzór {{LinkWzór|G17a}} jest również spełniony w szczególnej teorii względności i jest zgodny z {{LinkWzór|G7}}. Niech mamy {{LinkWzór|G16}} i {{LinkWzór|G17}} i sprawdźmy czy te dwa wzory są zgodne z transformacją iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0}}, zatem przystępujemy do obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>A^'={B^'}^TB^'_p=C_p^{-T}B_p^TBC_p^{-1}=C_p^{-T}AC_{p}^{-1}\;</MATH>|G18}} Po wyznaczeniu macierzy {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|G18}} dostajemy transformacje macierzy iloczynu skalarnego z układu K' do K, czyli {{LinkWzór|G0}}, zatem wzory {{LinkWzór|G16}} i {{LinkWzór|G17}} są poprawne bo otrzymujemy z nich {{LinkWzór|G0}}. Wyznaczmy macierz iloczynu skalarnego transponowaną: {{CentrujWzór|<MATH>A^T=\left(B^T_pB_p\right)^T=B^T_p\left({B^T_p}\right)^T=B^T_pB_p=A\Rightarrow A^T=A\;</MATH>|G19}} == Tranformacje operatorów rzutowych == Na podstawie {{LinkWzór|G6}} i {{LinkWzór|G0}} oraz dla operatorów rzutowych równoległych według {{LinkWzór|T3|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} możemy otrzymać transformacje: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^'={{\vec V^'\vec V^{'T}}\over{V^{'2}}}A^'=C_p{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}C_p^TA^'=C_p{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}AC_p^{-1}=C_pP_{||}C_p^{-1}\;</math>|G20}} Dla operatorów rzutowych prostopadłych na podstawie {{LinkWzór|T5|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} możemy otrzymać transformacje: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^'=I-P_{||}^'=C_pIC_{p}^{-1}-C_pP_{||}C_p^{-1}=C_p(I-P_{||})C_{p}^{-1}=C_pP_{\perp}C_{p}^{-1}\;</MATH>|G21}} == Transformacje dowolnych pochodnych wektora położenia == Na podstawie {{LinkWzór|G1}} możemy napisać transformacje, gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec r^'_0=\vec r_0=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t^'_0=t_0=0\;</MATH>}}, co na tej podstawie możemy napisać transformacje położenia i czasu, a także przyśpieszenia i dowolnej n-pochodnej położenia: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec r^'=C_p(\vec r-\vec Vt)\;</MATH>|G22}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v^'=C_p(\vec v-V)\;</MATH>|G23}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'=C_p(\vec a-\vec A)\;</MATH>|G24}}|4={{CentrujWzór|<MATH>(\vec r^{'})^{(n)}=C_p\left(\vec r^{(n)}-\vec r_0^{(n)}\right)\;</MATH>|G25}}}} == Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowa == A także zachodzi z absolutności czasu w teorii transformacji Galileusza {{Formuła|<MATH>t^'=t\;</MATH>}}. Udowodnijmy przechodność transformacji Galileusza, wtedy mamy {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^{''}_2=C_{p2}^'(d\vec r^'_2-\vec V^'_2dt')\;</MATH>|G26a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^{'}_2=C_{p1}(d\vec r_2-\vec V_1dt)\;</MATH>|G26b}}|3={{CentrujWzór|<MATH>d\vec\vec r_2^{''}=C_{p2}(d\vec r_2-\vec V_2dt)\;</MATH>|G26c}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\vec V_2^'=C_{p1}(\vec V_2-\vec V_1)\;</MATH>|G26d}}}} Policzmy wyrażenie {{LinkWzór|G26a}} podstawiając do niego wyrażenie {{LinkWzór|G26b}} na transformację położenia względem układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, która jest transformacją do układu {{Formuła|<MATH>K^{'}\;</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|G26d}} transformacje prędkości względem układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, która jest transformacją do układu {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}, co w końcu otrzymujemy wzór {{LinkWzór|G26c}}, co dalej wykorzystując wspomnianą absolutność czasu, a więc wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r^{''}_2=C_{p2}^'(d\vec r^'_2-\vec V_2^'dt^')=C _{p2}^'\left[C_{p1}(d\vec r_2-\vec V_1dt)-C_{p1}(\vec V_2-\vec V_1)dt\right]=C_{p2}^'C_{p1}\left(d\vec r_2-\vec V_1dt-\vec V_2dt+\vec V_1dt\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p2}(d\vec r_2-\vec V_2dt)\;</MATH>|G27}} Co końcowy wzór {{LinkWzór|G27}} zgadza się ze wzorem {{LinkWzór|G26c}}, te transformacje Galileusza są przechodnie. Z definicji transformacji wynika, że ta transformacja jest tożsamościowa dla {{Formuła|<MATH>C_{p2}=I\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec V_2=0\;</MATH>}}, czyli wtedy {{Formuła|<MATH>d\vec r=C_{p2}(d\vec r-\vec V_2dt)=I(d\vec r-0dt)=d\vec r\;</MATH>}}, co na podstawie tego dla tego przypadku ta sama prędkość transformuje się na to samo. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8x276t9y68jg5l0vtv1shg7yj8z60kc 554863 554862 2026-09-07T21:58:30Z Persino 2851 /* Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowa */ 554863 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Transformacje iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Galileusza == Tutaj będziemy przeprowadzać dowody dotyczące transformacji Galileusza dla starego i nowego n-wymiarowego układu odniesienia ogólnie nieprostokątnego. Macierz iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} jest z oczywistych powodów symetryczna i dla każdego układu współrzędnych w zależności od ustawienia osi tego ta macierz jest liczona od nowa względem obserwatora spoczywającego w tym układzie. Dla transformacji Galileusza zachodzą: {{CentrujWzór|<MATH>(X^'_p,X^'_p)=X^{'T}_pA^'X^'_p\wedge X^'_p=C_pX_p\Rightarrow(X^'_p,X^'_p)=X_p^TC_p^TA^'C_pX_p=X_p^TAX_p=(X_p,X_p)\Rightarrow C_p^TA^'C_p=A\;</MATH>|G0}} Własność {{LinkWzór|G0}}, tzn. transformację z {{Formuła|<MATH>A^'\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} jest również spełniona w szczególnej teorii względności, jak udowodnimy. == Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza == A jeżeli {{Formuła|<MATH>A^{'T}=A^'\;</MATH>}} to z oczywistych powodów {{Formuła|<MATH>A^T=A\;</MATH>}} i odwrotnie, zatem macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} jest to ta sama macierz co występuje w transformacjach Galileusza: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable| {{Wiersz|{{Komórka|styl=text-align:center;|opcje=colspan=2|nagłówek=tak|'''Transformacje proste'''}}{{Komórka|styl=text-align:center;|opcje=colspan=2|nagłówek=tak|'''Transformacje odwrotne'''}}}} {{Wiersz|{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'=C_p(d\vec r-\vec V dt)\;</MATH>|G1}}}}{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\vec v^'=C_p(\vec v-\vec V)\;</MATH>|G2}}}} {{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{'}(d\vec r^'-\vec V^' dt)\;</MATH>|G3}}}}{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\vec v=C_p^{'}(\vec v^'-\vec V^')\;</MATH>|G4}}}}}}}} Wzory {{LinkWzór|G1}}, {{LinkWzór|G2}}, {{LinkWzór|G3}} i {{LinkWzór|G4}} są spełnione w układach odniesienia nieobracających się. Ponieważ macierze {{Formuła|<MATH>C_{p}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p}^'\;</MATH>}} (gdzie {{Formuła|<MATH>C_p=C_p^{'-1}\;</MATH>}}) są nieosobliwe dowolne (one zależą od ustawień osi starego i nowego układu odniesienia), więc transformacje {{LinkWzór|G1}}, {{LinkWzór|G2}}, {{LinkWzór|G3}} i {{LinkWzór|G4}} mają taką samą postać niezależnie z jakiego układu na który coś transformujemy przy pomocy tychże wzorów, zatem spełniają zasadę izotropowości przestrzeni, ale te macierze są stałe ze względu na przesuniecia w czasie i przestrzeni, więc spełniają zasadę jednorodności czasu i przestrzeni. W powyższych wzorach zachodzi tożsamość na podstawie absolutności czasu, tzn.: {{Formuła|<MATH>dt^'=dt\;</MATH>}}. == Macierz transformacji równoległy i prostopadły == Przyjmujemy, że zachodzi wzór na {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} w zależności od {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, które są kolejno macierzami pierwszy równoległym i prostopadłym do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>C_p=C_{p||}+C_{p\perp}\wedge C_{p||}=C_pP_{||}\wedge C_{p\perp}=C_pP_{\perp}\;</MATH>|G5}} We wzorze {{LinkWzór|G5}} przyjmujemy warunki na macierze {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, czyli zachodzą {{Formuła|<MATH>C_{p||}X_{\perp}=0\wedge C_{p\perp}X_{||}=0\;</MATH>}}. Związki {{LinkWzór|G5}} przyjmujemy również w szczególnej teorii względności. == Transformacja prędkości nowego układu odniesienia względem starego na prędkość starego układu odniesienia względem nowego == Przejrzyjmy się właściwości macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, którą udowodnimy z transformacji Galileusza. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego w transformacji Galileusza przedstawiamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V^'=C_p(0-\vec V)=-C_p\vec V=-C_{p||}\vec V\;</MATH>|G6}} == Macierz transformacji prosta i odwrotna - związki == Do {{LinkWzór|G3}} podstawmy {{LinkWzór|G1}} i {{LinkWzór|G6}}, co na podstawie tego: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{'}(d\vec r^'-\vec V^' dt)=C_p^{'}(C_p(d\vec r-\vec V dt)+C_p\vec Vdt)=C_p^'C_p(d\vec r-\vec V dt+\vec V dt)=C_p^'C_pd\vec r\Rightarrow I=C_p^'C_p\Rightarrow C_p^{'}=C_p^{-1}\;</MATH>|G7}} == Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza poprzez równoległe i prostopadłe macierze transformacji == Weźmy wektory nieskończenie małych przesunięć równoległe i prostopadłe do prędkości {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} w transformacji prostej i odwrotnej transformacji Galileusza, tzn.: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'_{||}=C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)\;</MATH>|G8}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{||}=C_{p||}^'(d\vec r_{||}^'-\vec V^' dt)\;</MATH>|G9}}|3={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'_{\perp}=C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\;</MATH>|G10}}|4={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'d\vec r^'_{\perp}\;</MATH>|G11}}}} == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległego i prostopadłego == Zachodzą tożsamości na iloczynach {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<math>C_{p||}^'C_{p\perp}(d\vec r-\vec Vdt)=C_{p||}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p||}^'d\vec r_{\perp}^'=C_p^'P_{||}^'d\vec r_{\perp}^'=0\wedge C_{p\perp}^'C_{p||}(d\vec r-\vec V dt)=C_{p\perp}^'C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)=C_{p\perp}^'d\vec r_{||}^'=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_p^'P^'_{\perp}d\vec r_{||}^'=0\Rightarrow C_{p||}^'C_{p\perp}=C_{p||}C_{p\perp}^'=C_{p\perp}^'C_{p||}=C_{p\perp}C_{p||}^'=0\;</MATH>|G12}} == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległych == Weźmy wzór {{LinkWzór|G9}} i do niego podstawmy {{LinkWzór|G8}} i {{LinkWzór|G6}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{||}=C_{p||}^'(d\vec r_{||}^'-\vec V^' dt)=C_{p||}^'(C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)+C_{p||}\vec V dt)=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r_{||}\Rightarrow d\vec r_{||}=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r_{||}=C_{p}^'P_{||}^'C_p^'P_{||}^'d\vec r_{||}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'(1-P_{\perp}^')C_pd\vec r_{||}=C_{p}^'C_pd\vec r_{||}-C_{p\perp}^'C_{p||}d\vec r_{||}=C_{p}^'C_pd\vec r_{||}=C_p^{-1}C_pd\vec r_{||}=d\vec r_{||}\;</MATH>|G13}} Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości {{LinkWzór|G7}}. == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji prostopadłych == Weźmy wzór {{LinkWzór|G11}} i podstawmy do niego wzór {{LinkWzór|G10}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'d\vec r^'_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\Rightarrow d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p}^'P_{\perp}^'C_p^'P_{\perp}^'d\vec r_{\perp}=C_{p}^'(1-P_{||}^')C_pd\vec r_{\perp}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'C_pd\vec r_{\perp}-C_{p||}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p}^{-1}C_pd\vec r_{\perp}=d\vec r_{\perp}\;</MATH>|G14}} Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości {{LinkWzór|G7}}. Własności macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}} pokazane w punkcie {{LinkWzór|G7}}, {{LinkWzór|G12}}, {{LinkWzór|G13}} i {{LinkWzór|G14}} są również spełnione w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. == Prawo Pitagorasa na macierzach transformacji równoległym i prostopadłym == Ale: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{-1}C_pd\vec r=C_p^{'}C_pd\vec r=C_{p||}^'C_{p||}d\vec{r}_{||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec{r}_{\perp}=C_{p||}^'C_{p||}(d\vec r-d\vec r_{\perp})+C_{p\perp}^'C_{p\perp}(d\vec{r}-d\vec{r}_{||})=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r=(C_{p||}^'C_{p||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp})d\vec r\Rightarrow I=C_{p||}^'C_{p||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp}\wedge I=C_{p||}C_{p||}^'+C_{p\perp}C_{p\perp}^'\;</MATH>|G15}} Związek {{LinkWzór|G15}} jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. == Definicja macierzy iloczynu skalarnego poprzez wektor bazy w przestrzeni zwykłej Galileusza == W przestrzeni n-wymiarowej zachodzi również związek: {{CentrujWzór|<MATH>A=B^T_pB_p\;</MATH>|G16}} Gdzie {{Formuła|<MATH>B_p=[\vec e_{p1},\vec e_{p2},...,\vec e_{pi},...,\vec e_{pn}]\;</MATH>}} jest macierzą wersorów w przestrzeni w przestrzeni n-wymiarowej według Galileusza. Zachodzą również związki transformacyjne Galileusza: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_pX_p^'=B_pX_p\Rightarrow B^'_pC_pX_p=B_pX_p\Rightarrow B^'_p=B_pC_p^{-1}\;</MATH>|G17}} Wzór {{LinkWzór|G17}}(ostatni wzór) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy, a {{LinkWzór|G16}} będziemy przyjmować w niej. Na podstawie wzoru możemy wyedytować jako: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_p=B_pC_p^{-1}\Rightarrow B_p=B^'_pC_p\wedge B_p=B^'_p{C_p^'}^{-1}\Rightarrow C_p^'=C_p^{-1}\;</MATH>|G17a}} Wzór {{LinkWzór|G17a}} jest również spełniony w szczególnej teorii względności i jest zgodny z {{LinkWzór|G7}}. Niech mamy {{LinkWzór|G16}} i {{LinkWzór|G17}} i sprawdźmy czy te dwa wzory są zgodne z transformacją iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0}}, zatem przystępujemy do obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>A^'={B^'}^TB^'_p=C_p^{-T}B_p^TBC_p^{-1}=C_p^{-T}AC_{p}^{-1}\;</MATH>|G18}} Po wyznaczeniu macierzy {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|G18}} dostajemy transformacje macierzy iloczynu skalarnego z układu K' do K, czyli {{LinkWzór|G0}}, zatem wzory {{LinkWzór|G16}} i {{LinkWzór|G17}} są poprawne bo otrzymujemy z nich {{LinkWzór|G0}}. Wyznaczmy macierz iloczynu skalarnego transponowaną: {{CentrujWzór|<MATH>A^T=\left(B^T_pB_p\right)^T=B^T_p\left({B^T_p}\right)^T=B^T_pB_p=A\Rightarrow A^T=A\;</MATH>|G19}} == Tranformacje operatorów rzutowych == Na podstawie {{LinkWzór|G6}} i {{LinkWzór|G0}} oraz dla operatorów rzutowych równoległych według {{LinkWzór|T3|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} możemy otrzymać transformacje: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^'={{\vec V^'\vec V^{'T}}\over{V^{'2}}}A^'=C_p{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}C_p^TA^'=C_p{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}AC_p^{-1}=C_pP_{||}C_p^{-1}\;</math>|G20}} Dla operatorów rzutowych prostopadłych na podstawie {{LinkWzór|T5|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} możemy otrzymać transformacje: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^'=I-P_{||}^'=C_pIC_{p}^{-1}-C_pP_{||}C_p^{-1}=C_p(I-P_{||})C_{p}^{-1}=C_pP_{\perp}C_{p}^{-1}\;</MATH>|G21}} == Transformacje dowolnych pochodnych wektora położenia == Na podstawie {{LinkWzór|G1}} możemy napisać transformacje, gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec r^'_0=\vec r_0=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t^'_0=t_0=0\;</MATH>}}, co na tej podstawie możemy napisać transformacje położenia i czasu, a także przyśpieszenia i dowolnej n-pochodnej położenia: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec r^'=C_p(\vec r-\vec Vt)\;</MATH>|G22}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v^'=C_p(\vec v-V)\;</MATH>|G23}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'=C_p(\vec a-\vec A)\;</MATH>|G24}}|4={{CentrujWzór|<MATH>(\vec r^{'})^{(n)}=C_p\left(\vec r^{(n)}-\vec r_0^{(n)}\right)\;</MATH>|G25}}}} == Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowa == A także zachodzi z absolutności czasu w teorii transformacji Galileusza {{Formuła|<MATH>t^'=t\;</MATH>}}. Udowodnijmy przechodność transformacji Galileusza, wtedy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^{''}_2=C_{p2}^'(d\vec r^'_2-\vec V^'_2dt')\;</MATH>|G26a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^{'}_2=C_{p1}(d\vec r_2-\vec V_1dt)\;</MATH>|G26b}}|3={{CentrujWzór|<MATH>d\vec\vec r_2^{''}=C_{p2}(d\vec r_2-\vec V_2dt)\;</MATH>|G26c}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\vec V_2^'=C_{p1}(\vec V_2-\vec V_1)\;</MATH>|G26d}}}} Policzmy wyrażenie {{LinkWzór|G26a}} podstawiając do niego wyrażenie {{LinkWzór|G26b}} na transformację położenia względem układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, która jest transformacją do układu {{Formuła|<MATH>K^{'}\;</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|G26d}} transformacje prędkości względem układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, która jest transformacją do układu {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}, co w końcu otrzymujemy wzór {{LinkWzór|G26c}}, co dalej wykorzystując wspomnianą absolutność czasu, a więc: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r^{''}_2=C_{p2}^'(d\vec r^'_2-\vec V_2^'dt^')=C _{p2}^'\left[C_{p1}(d\vec r_2-\vec V_1dt)-C_{p1}(\vec V_2-\vec V_1)dt\right]=C_{p2}^'C_{p1}\left(d\vec r_2-\vec V_1dt-\vec V_2dt+\vec V_1dt\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p2}(d\vec r_2-\vec V_2dt)\;</MATH>|G27}} Co końcowy wzór {{LinkWzór|G27}} zgadza się ze wzorem {{LinkWzór|G26c}}, te transformacje Galileusza są przechodnie. Z definicji transformacji wynika, że ta transformacja jest tożsamościowa dla {{Formuła|<MATH>C_{p2}=I\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec V_2=0\;</MATH>}}, czyli wtedy {{Formuła|<MATH>d\vec r=C_{p2}(d\vec r-\vec V_2dt)=I(d\vec r-0dt)=d\vec r\;</MATH>}}, co na podstawie tego dla tego przypadku ta sama prędkość transformuje się na to samo. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 5he33bvr0ho16h00tamyuwdx0g5fezg 828 63668 554821 547070 2026-09-07T14:55:42Z Persino 2851 554821 Scribunto text/plain local p={}; function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu) local tekst=tabela_parametrow_szablonu["tekst"] or tabela_parametrow_szablonu["treść"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; return tekst; end; function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu) return tabela_parametrow_szablonu["bez preprocess"]; end; function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2) if(tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; for _,pozycja in ipairs(tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)do table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,pozycja); end; end; end; function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany) if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; end; function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany) local tablica_szablonu_tekstu; if(czy_artykul_korzystany)then tablica_szablonu_tekstu=tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych; else tablica_szablonu_tekstu=tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych; end; if(tablica_szablonu_tekstu)then for _,pozycja in ipairs(tablica_szablonu_tekstu)do local nazwa_obiektu_tekstu=pozycja[1][1]; local uchwyt_obiektu_tekstu=pozycja[1][2][1]; if((nazwa_obiektu_tekstu==nazwa_obiektu)and(uchwyt_obiektu_tekstu==uchwyt_obiektu))then local dodatkowe_elementy=pozycja[2]; local czy_tak=false; for _,pozycja_dodatkowe in ipairs(dodatkowe_elementy)do if((pozycja_dodatkowe[1]==obiekt)and(pozycja_dodatkowe[2]==kod))then czy_tak=true; break; end; end; if(not czy_tak)then local tab_numer; if(tablica_zmiennych)then tab_numer={}; for name,value in pairs(tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2)do tab_numer[name]=#tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[name]; end; end; table.insert(dodatkowe_elementy,{obiekt,kod,tab_numer}); break; end; end; end; end; end; function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2) if(tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane)then for _,pozycja in ipairs(tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane)do if(not pozycja[3])then pozycja[3]=true; local nazwa_obiektu=pozycja[1][1]; local uchwyt_obiektu=pozycja[1][2]; local obiekt=pozycja[2][1]; local kod=pozycja[2][2]; p.UstawianiePobierz(nil,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,true); end; end; end; end; function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane) local __tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=(pozycja[4] or{})[1] or tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; local __tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=(pozycja[4] or {})[2] or tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; local tabela_parametrow_szablonu=pozycja[3][1][1]; ---- local tekst=p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu); if(tekst)then local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); ---- local tab_analiza=szablonowe_modul.LiczbyParametroweInformacjiBazyKodowaniaWikikodu(); --local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst,nil,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local tab_numer={}; local tab_tak={}; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); tekst=szablonowe_modul:ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(tekst,nil,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,_,obiekt_rodzica,kod_rodzica,szablon_rodzica,_,_,poziom_iteracji_rodzica) obiekt_rodzica=obiekt_rodzica or true; kod_rodzica=kod_rodzica or true; local tab_tak_obiekt_rodzica=tab_tak[obiekt_rodzica]; if(not tab_tak_obiekt_rodzica)then tab_tak[obiekt_rodzica]={};tab_tak_obiekt_rodzica=tab_tak[obiekt_rodzica]end; local tab_tak_kod_rodzica=tab_tak_obiekt_rodzica[kod_rodzica]; if(not tab_tak_kod_rodzica)then tab_tak_obiekt_rodzica[kod_rodzica]={};tab_tak_kod_rodzica=tab_tak_obiekt_rodzica[kod_rodzica]end; local czy_tak=tab_tak_kod_rodzica[obiekt]; tab_tak_kod_rodzica[obiekt]=true; tab_numer[obiekt]=tab_numer[obiekt] or szablonowe_modul.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); local max_numer=tab_numer[obiekt]; local kod_temp=kod+max_numer; --tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod_temp]=szablon; local ile; if(not czy_tak)then szablon_rodzica,ile=mw.ustring.gsub(szablon_rodzica,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt),function(kod) kod=tonumber(kod) or nil; return szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod+max_numer); end); end; local TempFunc=function(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) local tab_obiekt=tab_analiza[obiekt]; if(tab_obiekt)then for _, wartosc in pairs(tab_obiekt)do local tab_wartosc=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[wartosc]; if(not tab_wartosc)then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[wartosc]={}; end; local stara_tabelka=(__tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[wartosc] or {})[kod]; local nowa_tabelka=parametry_modul.TypeTable(stara_tabelka) and parametry_modul["KopiujRekurencyjnieTabelęElementów"](stara_tabelka) or stara_tabelka; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[wartosc][kod_temp]=nowa_tabelka; end; end; end; TempFunc(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(poziom_iteracji>0)then tab_numer[obiekt_rodzica]=tab_numer[obiekt_rodzica] or szablonowe_modul.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt_rodzica); local max_numer_rodzica=tab_numer[obiekt_rodzica]; kod_rodzica=kod_rodzica+max_numer_rodzica; end; if(not czy_tak)then return nil,szablon,obiekt,kod_temp,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,max_numer_rodzica; else return nil,szablon,obiekt,kod_temp,nil,nil,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,max_numer_rodzica; end; return; end); return tekst; ---- end; return; end; function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych) local function TempFunc(tablica_szablonu_tekstu,__funkcja,czy_korzystane) for _,pozycja in ipairs(tablica_szablonu_tekstu)do local tab_obiekty=pozycja[2]; for _,pozycja2 in ipairs(tab_obiekty)do local __obiekt=pozycja2[1]; local __kod=pozycja2[2]; if((__obiekt==obiekt)and(__kod==kod))then local szablon=__funkcja(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane); if(szablon)then tab_numer=pozycja2[3]; return szablon,tab_numer; end; return; end; end; end; end; local szablon;local tab_numer; if(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then szablon,tab_numer=TempFunc(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,p.ZamienianiePobierzNaKod,true); end; if(not szablon)then if(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then szablon,tab_numer=TempFunc(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,p.ZamienianiePobierzNaKod,false); end; end; if(szablon)then return szablon,tab_numer;end; return nil; end; function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych) local tablica_szablonu_tekstu_korzystanych=tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych; for _,pozycja in ipairs(tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)do local __obiekt=pozycja[3][2]; local __kod=pozycja[3][3]; if((obiekt==__obiekt)and(kod==__kod))then local tabela_parametrow_szablonu=pozycja[3][1][1]; local tekst=p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu); if(tekst)then return tekst;end; return nil; end; end; return nil; end; function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu) if((not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)and(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych))then return nil;end; if(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then local function TempFunc(tablica_szablonu_tekstu) for _,pozycja in ipairs(tablica_szablonu_tekstu)do local tab_pobierz=pozycja[2]; for _,value in ipairs(tab_pobierz)do return true; end; end; return nil; end; if((not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)and(not TempFunc(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)))then return nil;end; end; local stronicowyparser_obiekty_modul=require("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_pobierz_szablonu_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu; local tab_szablony_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu; local czy_pobierz=nil; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=szablonowe_modul:ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji) if(czy_pobierz)then szablon,tab_numer=p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych); if(szablon)then IterowaniePoElementachTekstu(szablon,tab_numer); end; else szablon=p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych) end; if(szablon)then return szablon;end; return nil; end,nil, function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji) if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) ---- if(tab_pobierz_szablonu_tekstu[nazwa_szablonu])then czy_pobierz=true; return true; elseif(tab_szablony_tekstu[nazwa_szablonu])then czy_pobierz=false; return true; end; return nil; end); if(wynik)then return wynik;end; end; return nil; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; return p; gsw5ot8ic3c1c16nqdlrrntn79u8u28 4 63669 554808 554807 2026-09-07T12:17:40Z Persino 2851 554808 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_zmiennych2.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 3lqsg8lgbb5w5kknkg9mulwckuy181u 554809 554808 2026-09-07T12:21:24Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} */ 554809 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 6u1hch026z0ohx2ykuyjkqhkd6bs6gf 554810 554809 2026-09-07T12:24:28Z Persino 2851 554810 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 2fs243c8i1kgjj0g8y5ut660xn3ocak 554811 554810 2026-09-07T12:25:35Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} */ 554811 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> i2s6r1h4vr2rbtqeukvx5nvgjr3caqz 554812 554811 2026-09-07T12:28:47Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} */ 554812 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 0rnvzlilpqhva4rrcz16xx76cwbglzb 554813 554812 2026-09-07T12:30:49Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} */ 554813 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|{{s|Śródtekst}}}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> ibcyqymm930dmciuacqaonjrx1fu7rw 554814 554813 2026-09-07T12:34:41Z Persino 2851 554814 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}}, to są: {{s|Śródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, to są: {{s|PobierzŚródtekst}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> ne3oabv83w9by4ta9idiabevdpdi527 554815 554814 2026-09-07T12:38:36Z Persino 2851 554815 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}}, to są: {{s|Śródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, to są: {{s|PobierzŚródtekst}}. ** {{Code|Pobierz: obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} i {{Code|Pobierz: kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> kspoeosffqa14mgpkg6epgv2tj5v4mv 554816 554815 2026-09-07T12:41:22Z Persino 2851 554816 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}}, to są: {{s|Śródtekst}}. ** {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: nie {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. * Szablony typu: {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, to są: {{s|PobierzŚródtekst}}. ** {{Code|Pobierz: obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} i {{Code|Pobierz: kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu {{m|StronicowyParser}}, czy {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> egqnxpezozbzmxo0noset1wbpjwtb1m 554817 554816 2026-09-07T12:42:27Z Persino 2851 554817 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}}, to są: {{s|Śródtekst}}. ** {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: nie {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. * Szablony typu: {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, to są: {{s|PobierzŚródtekst}}. ** {{Code|Pobierz: obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} i {{Code|Pobierz: kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu: {{Code|{{m|StronicowyParser}}}}, czy: {{Code|{{m|StronicowyParser/}}}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 3o90vx3fj4x6zoegqd9e7x1wdckbna3 554818 554817 2026-09-07T12:42:56Z Persino 2851 554818 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}}, to są: {{s|Śródtekst}}. ** {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: nie {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. * Szablony typu: {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, to są: {{s|PobierzŚródtekst}}. ** {{Code|Pobierz: obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} i {{Code|Pobierz: kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu: {{m|StronicowyParser}}, czy: {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 0hmtcqsg9thd2lehn6nxbqi03qsh1md 554819 554818 2026-09-07T12:44:14Z Persino 2851 554819 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}}, to są: {{s|Śródtekst}}. ** {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: nie {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, czyli: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, to są: {{s|PobierzŚródtekst}}. ** {{Code|Pobierz: obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} i {{Code|Pobierz: kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu: {{m|StronicowyParser}}, czy: {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja zastępuje elementy typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, elementy typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je z zawartością z odpowiedniego szablonu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybieko zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> d2bbzsn4qs2trxz1jdyej5r5sv658of 554820 554819 2026-09-07T12:53:54Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} */ 554820 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/SzablonyTekstu}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Ten moduł służy do obsługi szablonów: {{s|Śródtekst}} i {{s|PobierzŚródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|Śródtekst}}, to są: {{s|Śródtekst}}. ** {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: nie {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, czyli: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. * Szablony typu: {{Code|Pobierz}} {{Patrz|Pobierz}}, to są: {{s|PobierzŚródtekst}}. ** {{Code|Pobierz: obiekt}} {{Patrz|Pobierz: obiekt}} i {{Code|Pobierz: kod}} {{Patrz|Pobierz: kod}} - to jest typ obiektu i jego numer szablonów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}. '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowy parser}}''' jak napotka szablon {{s|Śródtekst}}, to generuje tworzenie następujących tablic: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, dla tych szablonów w artykule niekorzystanej, lub korzystanej według: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jako {{ZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}: <syntaxhighlight lang="lua"> if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, {tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,}, }); else if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych={};end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_korzystanych,{ {wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,}, {}, {{tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,},obiekt,kod,}, }); end; </syntaxhighlight> Z tych tabel korzysta, nie tylko, szablon: {{s|Śródtekst}}, ale też i: {{s|PobierzŚródtekst}}, przy pomocy oprogramowania modułu: {{m|StronicowyParser}}, czy: {{m|StronicowyParser/}}. == {{Śródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}{{Code|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{Patrz|treść}} lub {{Code|1}} {{Patrz|1}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o różnych parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.SzablonTekstuBezPreProcess}}{{Code|p.SzablonTekstuBezPreProcess}} == Funkcja liczy element tablicy: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, o nazwie {{Code|bez preprocess}} {{Patrz|bez preprocess}}, i go zwraca: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{Patrz|tabela_parametrow_szablonu}} - parametry szablonu {{s|Śródtekst}}, o parametrach nazwanych lub nienazwanych. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}}{{Code|p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony}} == Funkcja elementy tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{Patrz|tablica_zmiennych2}}, przypisuje tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{Patrz|tablica_zmiennych}}, czyli do tego pierwszego dodaje elementy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, do tablicy o nazwie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a jeżeli ta tablica nie istnieje, to jest tworzona: Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, jest to tablica dla strony niekorzystanej, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest to tablica dla strony korzystanej, aktualnej strony, która jest wyświetlana na ekranie. == {{Śródtytuł|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}}{{Code|p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu}} == Szablon dodający elementy do tablicy bazy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, lub {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, szablonu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, tzn. do tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, jest równy wartości fałszywej, przeciwnie do: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tej samej tablicy co poprzednio. Te elementy są dodawane według następującego kodu: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}} lub {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|wartosc_elementu}} {{Patrz|wartosc_elementu}} - rodzaj elementu, jak: {{Code|Śródtekst}} {{Patrz|rodzaj: Śródtekst}}, dla jednego z szablonów tekstu, * {{Code|lista_dwuelementowa}} {{Patrz|lista_dwuelementowa}} - tablica elementu tablicy zbierającej dane, element posiada tylko pierwszy element, który jest uchwytem, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod}} - obiekt i kod, szablonu typu {{s|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}} w tekście zakodowanym, * {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} - jak w: {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, * {{Code|nazwa_szablonu_wywolania}} {{Patrz|nazwa_szablonu_wywolania}} - nazwa szablonu tekstu, typu, dla {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|modyfikatory_wywolania}} {{Patrz|modyfikatory_wywolania}} - tablica modyfikatorów uruchmienia szablonu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - tablica bazy kodów modułu {{m|Szablonowe}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - tablica rozkładu na czynniki pierwsze, elementów bazy {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{Patrz|czy_artykul_korzystany}} - {{Code|true}}, gdy artykuł jest taki sam,jak strona w przeglądarce. Tablica jako drugi element dodawanej tablicy w kodzie: {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}, to są tam podtablice, które są tablicami składających się z obiektu i kodu elementu {{s|PobierzŚródtekst}} {{Patrz|PobierzŚródtekst}}, tych podtablic może być wiele dla różnych tych. == {{Śródtytuł|p.UstawianiePobierz}}{{Code|p.UstawianiePobierz}} == Funkcja dodaje do danego elementu typu: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, utworzonego na podstawie obiektów nie typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, w postaci tablicy utworzonego z trzech elementów, tzn.: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, a trzeci element tablicy jest numerkiem nazwanym, ile w danym elemencie było wtedy aktualnie elenetów przed wywołaniem szablonu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, dla zmiennych w tablicach: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Ten element służy do wstawiania innych elementów do tablic nazwanych uchwytów oraz ich numerków (dla elementów numerowanych) lub nie, aby przesunąc od pewnego momentu ich zawartości do przodu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,czy_artykul_korzystany)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, * {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}} - obiekt, jak: {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, obiektu typu {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}} - numer danego obiektu typu {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|nazwa_obiektu}} {{Patrz|nazwa_obiektu}} - nazwa danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|uchwyt_obiektu}} {{Patrz|uchwyt_obiektu}} - unikalny uchwyt danego obiektu {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|czy_artykul_korzystany}} - jak w: {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}. Gdy: {{Code|czy_artykul_korzystany}} {{LinkPatrz|czy_artykul_korzystany}}, przyjmuje wartość {{Code|true}}, wtedy jest używana tablica: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tej samej tablicy, co poprzednio, ale dla elementów typu: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, na podstawie tego w ten sposób jest tworzona pewna tablica, te elementy są dodawane do drugiej podtablicy w tablicy dodawanej w {{LinkZobaczTeż|tabele szablonu tekstu}}. == {{Śródtytuł|p.UstawPobierzKorzystanie}}{{Code|p.UstawPobierzKorzystanie}} == Funkcja na podstawie stworzonych elementów w tablicy {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{Patrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, która skłąda się z tablic numerowanych, gdzie w każdej takiej jego tablicy są dwie podtablice, te elementy są zbierane dla: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, pierwsza taka podtablica jest tablicą numerowaną z: {{Code|nazwa_obiektu}} {{LinkPatrz|nazwa_obiektu}}, i {{Code|uchwyt_obiektu}} {{LinkPatrz|uchwyt_obiektu}}, a druga taka podtablica jest z: {{Code|Pobierz: obiekt}} {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, i {{Code|Pobierz: kod}} {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tablica_zmiennych2}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}. Na podstawie każdego takich elementów numerowanych w tablicy: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, jest uruchamiana funkcja: {{LinkŚródtytuł|p.UstawianiePobierz}}, dla pierwszego parametru z wartością {{Code|nil}}, drugim: {{Code|tablica_zmiennych2}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych2}}, i dalszymi. == {{Śródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}{{Code|p.ZamienianiePobierzNaKod}} == Funkcja na podstawie parametru {{ZobaczTeż|tekst}}: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, występujących w tabeli: {{Code|tabela_parametrow_szablonu}} {{LinkPatrz|tabela_parametrow_szablonu}}, zdefiniowanych jako tablica: {{Code|pozycja[3][1][1]}}. Modyfikuje też element {{ZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}: {{Code|(pozycja[4] or {})[1]}} lub {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, aby wyświetlić zamieniony, czyli zmodyfikowany, element, ewentualnie ze zmodyfikowaną bazą danych kodów. Funkcja do szybszego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|(pozycja[4] or {})[2]}} lub {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="Lua"> function p.ZamienianiePobierzNaKod(obiekt,kod,pozycja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_korzystane)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|pozycja}} - dany element numerowany, który przedstawia pozycję dla elementów typu: {{LinkPatrz|Śródtekst}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} {{Patrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - nazwa modułu aktualna lub bieżąca, w której występują elementy typu {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|czy_korzystane}} {{Patrz|czy_korzystane}} - czy wykorzystawane elementy są typu: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, gdy ta wartość przyjmuje wartość {{Code|true}}, przeciwnie: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje do modyfikacji funkcję: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}, ona seryjnie modyfikuje całe elementy tekstu {{LinkZobaczTeż|tekst}} lub elementy bazy {{LinkZobaczTeż|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} o pewnych dwuwymiarowych nazwach, co do kodów bazy. Element tekstu do modyfikacji jest uzyskiwany z funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParametrTekstowySzablonuTekstu}}, jeżeli ten tekst istnieje, a gdy nie, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, a jak jest, to ten tekst, ze zmodyfikowaną tabelą bazy: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, też ze zmodyfikowaną tabelą parametrów: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} == Funkcja zastępuje swoje odwołanie uchwytowe dla elementu typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, rodzaju: {{Code|rodzaj: Śródtekst}} {{LinkPatrz|rodzaj: Śródtekst}}, za odpowiednią treści z obiektów o tych samych uchwytach z elementów typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jeżeli jest jeden tam taki uchwyt dla tego elementu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} - treści obiektu typu: {{LinkPatrz|Pobierz}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|Pobierz: kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja wykorzystuje funkcję: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, lub {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, a także funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ZamienianiePobierzNaKod}}. Jeżeli funkcja nie wykrywała w ramach aktualnej strony elementu typu nie {{LinkPatrz|Pobierz}} swojego odpowiednika względem tej pierwszej tablicy, to szuka je w ramach tej niekaktualnej względem tej drugiej, a jeżeli funkcja znalazła taki swój odpowiednik, to go zwraca, a jeżeli nie, to zwraca wartość {{Code|nil}}. == {{Śródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}{{Code|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}} == Szablon zastępuje szablon typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością tekstową: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, jeśli istnieje, w odpowiedni sposób. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz(szablon,obiekt,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|szablon}} - jak w: {{LinkPatrz|szablon}}, * {{Code|obiekt}} - jak w: {{LinkPatrz|obiekt}}, * {{Code|kod}} - jak w: {{LinkPatrz|kod}}, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}. Funkcja do swojego działania wykorzystuje tabelę: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, by dało się to zastąpienie wykonać. == {{Śródtytuł|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}}{{Code|p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu}} == Funkcja elementy typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}, i typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, zastępuje je zawartością kolejno z odpowiedniego szablonu pierwszego typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, i drugiego typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, jej zawartością, oczywiście, biorąc zawartość tekstowa z: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, {{Code|treść}} {{LinkPatrz|treść}}, lub {{Code|1}} {{LinkPatrz|1}}, z szablonów typu: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: * {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} - tekst, na którym operujemy, modyfikując odpowiednio jego kody, dotyczące tych dwóch szablonów, * {{Code|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}} - jak w: {{LinkPatrz|nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca}}, * {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, * {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}, * {{Code|tablica_zmiennych}} - jak w: {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, * {{Code|IterowaniePoElementachTekstu}} {{Patrz|IterowaniePoElementachTekstu}} - iterator po elementach kodów szablonowych w tekście {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} i związaną z nim: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}. Funkcja wykorzystuje odpowiednio tablice: {{Code|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_niekorzystanych}}, i {{Code|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}} {{LinkPatrz|tablica_szablonu_tekstu_korzystanych}}, obie tablicy: {{Code|tablica_zmiennych}} {{LinkPatrz|tablica_zmiennych}}, do szybkiego zakończeniu funkcji, gdy by takich elementów nie było. Funkcja do swojego działania wykorzystuje funkcje: {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuPobierz}} i {{LinkŚródtytuł|p.EdytowanieSzablonoweTekstuTypuNiePobierz}}, dla dwóch tego typu obiektów. Aby wykorzystać te funkcje, uruchamiana jest najpierw: {{Code|{{sr|#p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. Funkcja do sprawdzania, czy są dwa tego typu szablony, to wykorzystuje do tego typu tabele: {{Code|{{sr|#p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu}}, dla obiektów typu: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, a: {{Code|{{sr|#p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu}}, dla obiektu typu nie: {{Code|Pobierz}} {{LinkPatrz|Pobierz}}, ale: {{Code|Śródtekst}} {{LinkPatrz|Śródtekst}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> o4jiif5z4snzujjixgat49aqxfa2v0m