Wikibooks plwikibooks https://pl.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Strona_g%C5%82%C3%B3wna MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter Media Specjalna Dyskusja Wikipedysta Dyskusja wikipedysty Wikibooks Dyskusja Wikibooks Plik Dyskusja pliku MediaWiki Dyskusja MediaWiki Szablon Dyskusja szablonu Pomoc Dyskusja pomocy Kategoria Dyskusja kategorii Wikijunior Dyskusja Wikijuniora TimedText TimedText talk Moduł Dyskusja modułu Wydarzenie Dyskusja wydarzenia 0 20265 555371 554940 2026-09-09T19:00:18Z Persino 2851 /* Spis treści */ 555371 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Status|-100%|Astronomia i fizyka|typ=z fizyki|poziom=Studia}} {{UnikalnaStronaStart | nagłówek = {{Info|Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.}} | nagłówek prawy = {{Wersja do czytania}} | stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{PierwszyArtykuł}}|{{OstatniArtykuł}}}} }}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmowali mechaniką teoretyczną w skład, których wchodzą następujące działy: kinematyka i dynamika Newtona, równiami ruchu z więzami, równaniem Lagrange pierwszego i drugiego rodzaju, ciałem sztywnym, a także teorią giroskopu, kinematyką deformowanych ciał, a także będziemy się zajmować równaniami materiałowymi, teorią sprężystości i na samym końcu teorią płynów. == Spis treści == === Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego === {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka|nazwa=Kinematyka}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika|nazwa=Dynamika}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady|nazwa=Dynamika - Przykłady}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania|nazwa=Zasady zachowania}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawa Keplera|nazwa=Prawa Keplera}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Siły centralne|nazwa=Siły centralne}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawo powszechnego ciążenia|nazwa=Prawo powszechnego ciążenia}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne|nazwa=Układy nieinercjalne}} === Inne problemy dynamiczne === {{SpisTreści|Problem zderzenia cząstek}} {{SpisTreści|Dynamika punktów masowych}} {{SpisTreści|Ruch ciał ograniczonych więzami}} {{SpisTreści|Układ ciał ograniczonych więzami}} {{SpisTreści|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}} {{SpisTreści|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} {{SpisTreści|Kanoniczne metody mechaniki klasycznej}} {{SpisTreści|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} {{SpisTreści|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} {{SpisTreści|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} {{SpisTreści|Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym}} {{SpisTreści|Wprowadzenie do hydrodynamiki}} == Bibliografia == * [[Fizyka_teoretyczna/Bibliografia|Bibliografia]] {{Licencja|Autor=[[Wikipedysta:Persino|Mirosław Makowiecki]]|Ukończone szkoły=Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie|Email=miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl}} <noinclude>{{UnikalnaStronaKoniec}}</noinclude> 3a3qhbkebziu8me3ayjyvhx7hdxc074 555432 555371 2026-09-10T00:15:06Z Persino 2851 /* Spis treści */ 555432 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Status|-100%|Astronomia i fizyka|typ=z fizyki|poziom=Studia}} {{UnikalnaStronaStart | nagłówek = {{Info|Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.}} | nagłówek prawy = {{Wersja do czytania}} | stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{PierwszyArtykuł}}|{{OstatniArtykuł}}}} }}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmowali mechaniką teoretyczną w skład, których wchodzą następujące działy: kinematyka i dynamika Newtona, równiami ruchu z więzami, równaniem Lagrange pierwszego i drugiego rodzaju, ciałem sztywnym, a także teorią giroskopu, kinematyką deformowanych ciał, a także będziemy się zajmować równaniami materiałowymi, teorią sprężystości i na samym końcu teorią płynów. == Spis treści == === Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego === {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka|nazwa=Kinematyka}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika|nazwa=Dynamika}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady|nazwa=Dynamika - Przykłady}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania|nazwa=Zasady zachowania}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawa Keplera|nazwa=Prawa Keplera|analiza=tak}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Siły centralne|nazwa=Siły centralne}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawo powszechnego ciążenia|nazwa=Prawo powszechnego ciążenia}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne|nazwa=Układy nieinercjalne}} === Inne problemy dynamiczne === {{SpisTreści|Problem zderzenia cząstek}} {{SpisTreści|Dynamika punktów masowych}} {{SpisTreści|Ruch ciał ograniczonych więzami}} {{SpisTreści|Układ ciał ograniczonych więzami}} {{SpisTreści|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}} {{SpisTreści|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} {{SpisTreści|Kanoniczne metody mechaniki klasycznej}} {{SpisTreści|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} {{SpisTreści|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} {{SpisTreści|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a|analiza=tak}} {{SpisTreści|Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym}} {{SpisTreści|Wprowadzenie do hydrodynamiki}} == Bibliografia == * [[Fizyka_teoretyczna/Bibliografia|Bibliografia]] {{Licencja|Autor=[[Wikipedysta:Persino|Mirosław Makowiecki]]|Ukończone szkoły=Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie|Email=miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl}} <noinclude>{{UnikalnaStronaKoniec}}</noinclude> ooio95kakz34b4c564xzu55xqllu616 555438 555432 2026-09-10T01:36:57Z Persino 2851 /* Spis treści */ 555438 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Status|-100%|Astronomia i fizyka|typ=z fizyki|poziom=Studia}} {{UnikalnaStronaStart | nagłówek = {{Info|Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.}} | nagłówek prawy = {{Wersja do czytania}} | stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{PierwszyArtykuł}}|{{OstatniArtykuł}}}} }}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmowali mechaniką teoretyczną w skład, których wchodzą następujące działy: kinematyka i dynamika Newtona, równiami ruchu z więzami, równaniem Lagrange pierwszego i drugiego rodzaju, ciałem sztywnym, a także teorią giroskopu, kinematyką deformowanych ciał, a także będziemy się zajmować równaniami materiałowymi, teorią sprężystości i na samym końcu teorią płynów. == Spis treści == === Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego === {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka|nazwa=Kinematyka}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika|nazwa=Dynamika}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady|nazwa=Dynamika - Przykłady}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania|nazwa=Zasady zachowania}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawa Keplera|nazwa=Prawa Keplera|dokumentacja=tak|parser=tak}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Siły centralne|nazwa=Siły centralne}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawo powszechnego ciążenia|nazwa=Prawo powszechnego ciążenia}} {{SpisTreści|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne|nazwa=Układy nieinercjalne}} === Inne problemy dynamiczne === {{SpisTreści|Problem zderzenia cząstek}} {{SpisTreści|Dynamika punktów masowych}} {{SpisTreści|Ruch ciał ograniczonych więzami}} {{SpisTreści|Układ ciał ograniczonych więzami}} {{SpisTreści|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}} {{SpisTreści|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}} {{SpisTreści|Kanoniczne metody mechaniki klasycznej}} {{SpisTreści|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} {{SpisTreści|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} {{SpisTreści|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a|analiza=tak}} {{SpisTreści|Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym}} {{SpisTreści|Wprowadzenie do hydrodynamiki}} == Bibliografia == * [[Fizyka_teoretyczna/Bibliografia|Bibliografia]] {{Licencja|Autor=[[Wikipedysta:Persino|Mirosław Makowiecki]]|Ukończone szkoły=Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie|Email=miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl}} <noinclude>{{UnikalnaStronaKoniec}}</noinclude> f85ocu3y0er38iup1tbfg2d6o4hqs56 0 20298 555386 555160 2026-09-09T20:01:19Z Persino 2851 555386 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_β\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}} określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m₁ i m₂, dla każdej zmiennej z osobna w rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda\;</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda\;</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m₂, i wykorzystanie tożsamości {{LinkWzór|5.26}}. Otrzymujemy równość, z której wyznaczamy parametr λ: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}} \Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}} \Rightarrow \lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \;</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g \;</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy sobie równanie więzów, którego zapis: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;</MATH>|5.29}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.31}} }} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.33}} }} Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0\;</MATH>|5.34}} Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;</MATH>|5.35}} Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'\;</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'\;</MATH>|5.37}} }} Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') =\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) =\vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right)\;</MATH>|5.38}} == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, zatem na podstawie {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej nie zmienia się, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E\;</MATH>|5.39}} Wyznaczmy teraz prędkość określoną jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej ciała i położenia danego punktu w danym czasie ruchu, gdzie oba te wielkości są prostopadłe do siebie. Moduł prędkości ciała: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega\;</MATH>|5.41}} }} Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2={{1}\over{2}}J\omega^2\;</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.43}} }} W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV\;</MATH>|5.44}} Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U={{1}\over{2}}J\omega^2+U(\theta)={{1}\over{2}}J\dot{\theta}^2+U(\theta)\;</MATH>|5.45}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2={{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right) \Rightarrow dt={{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}{{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}} \;</MATH>|5.46}} Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0\;</MATH>|5.47}} Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i\;</MATH>|5.48}} Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.49}} Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} \;</MATH>|5.50}} Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>{{d(J\omega)}\over{dt}}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)\;</MATH>|5.51}} == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)\;</MATH>|5.52}} Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)\;</MATH>|5.53}} Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_z=(\vec{R}\times\vec{F})_z=-\sum_i m_i g y_i=-MgR_y=-MgR\sin\theta\;</MATH>|5.54}} Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta}=-MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{{J\over{MR}}}_{l}\ddot{\theta}=-g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta}=-g\sin\theta \;</MATH>|5.55}} == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)\;</MATH>|5.57}} }} Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a\;</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b\;</MATH>|5.59}} }} Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} =\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) +\sum_i m_i(a^2+b^2) -2a\sum_i m_i x_i -2b\sum_i m_i y_i \;</MATH>|5.60}} Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy. Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2\;</MATH>|5.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> lx0tr4d2z0w2mi4tywu4o84rdz8kt5n 555387 555386 2026-09-09T20:01:49Z Persino 2851 555387 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{β}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}} określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m₁ i m₂, dla każdej zmiennej z osobna w rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda\;</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda\;</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m₂, i wykorzystanie tożsamości {{LinkWzór|5.26}}. Otrzymujemy równość, z której wyznaczamy parametr λ: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}} \Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}} \Rightarrow \lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \;</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g \;</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy sobie równanie więzów, którego zapis: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;</MATH>|5.29}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.31}} }} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.33}} }} Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0\;</MATH>|5.34}} Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;</MATH>|5.35}} Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'\;</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'\;</MATH>|5.37}} }} Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') =\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) =\vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right)\;</MATH>|5.38}} == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, zatem na podstawie {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej nie zmienia się, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E\;</MATH>|5.39}} Wyznaczmy teraz prędkość określoną jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej ciała i położenia danego punktu w danym czasie ruchu, gdzie oba te wielkości są prostopadłe do siebie. Moduł prędkości ciała: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega\;</MATH>|5.41}} }} Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2={{1}\over{2}}J\omega^2\;</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.43}} }} W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV\;</MATH>|5.44}} Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U={{1}\over{2}}J\omega^2+U(\theta)={{1}\over{2}}J\dot{\theta}^2+U(\theta)\;</MATH>|5.45}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2={{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right) \Rightarrow dt={{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}{{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}} \;</MATH>|5.46}} Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0\;</MATH>|5.47}} Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i\;</MATH>|5.48}} Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.49}} Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} \;</MATH>|5.50}} Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>{{d(J\omega)}\over{dt}}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)\;</MATH>|5.51}} == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)\;</MATH>|5.52}} Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)\;</MATH>|5.53}} Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_z=(\vec{R}\times\vec{F})_z=-\sum_i m_i g y_i=-MgR_y=-MgR\sin\theta\;</MATH>|5.54}} Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta}=-MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{{J\over{MR}}}_{l}\ddot{\theta}=-g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta}=-g\sin\theta \;</MATH>|5.55}} == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)\;</MATH>|5.57}} }} Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a\;</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b\;</MATH>|5.59}} }} Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} =\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) +\sum_i m_i(a^2+b^2) -2a\sum_i m_i x_i -2b\sum_i m_i y_i \;</MATH>|5.60}} Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy. Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2\;</MATH>|5.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 9tuzicbh5c2b9fjmndds9o9i8dl9wfz 555388 555387 2026-09-09T20:04:38Z Persino 2851 555388 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}} określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m₁ i m₂, dla każdej zmiennej z osobna w rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda\;</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda\;</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m₂, i wykorzystanie tożsamości {{LinkWzór|5.26}}. Otrzymujemy równość, z której wyznaczamy parametr λ: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}} \Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}} \Rightarrow \lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \;</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g \;</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy sobie równanie więzów, którego zapis: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;</MATH>|5.29}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.31}} }} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.33}} }} Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0\;</MATH>|5.34}} Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;</MATH>|5.35}} Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'\;</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'\;</MATH>|5.37}} }} Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') =\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) =\vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right)\;</MATH>|5.38}} == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, zatem na podstawie {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej nie zmienia się, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E\;</MATH>|5.39}} Wyznaczmy teraz prędkość określoną jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej ciała i położenia danego punktu w danym czasie ruchu, gdzie oba te wielkości są prostopadłe do siebie. Moduł prędkości ciała: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega\;</MATH>|5.41}} }} Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2={{1}\over{2}}J\omega^2\;</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.43}} }} W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV\;</MATH>|5.44}} Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U={{1}\over{2}}J\omega^2+U(\theta)={{1}\over{2}}J\dot{\theta}^2+U(\theta)\;</MATH>|5.45}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2={{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right) \Rightarrow dt={{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}{{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}} \;</MATH>|5.46}} Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0\;</MATH>|5.47}} Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i\;</MATH>|5.48}} Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.49}} Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} \;</MATH>|5.50}} Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>{{d(J\omega)}\over{dt}}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)\;</MATH>|5.51}} == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)\;</MATH>|5.52}} Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)\;</MATH>|5.53}} Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_z=(\vec{R}\times\vec{F})_z=-\sum_i m_i g y_i=-MgR_y=-MgR\sin\theta\;</MATH>|5.54}} Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta}=-MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{{J\over{MR}}}_{l}\ddot{\theta}=-g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta}=-g\sin\theta \;</MATH>|5.55}} == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)\;</MATH>|5.57}} }} Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a\;</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b\;</MATH>|5.59}} }} Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} =\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) +\sum_i m_i(a^2+b^2) -2a\sum_i m_i x_i -2b\sum_i m_i y_i \;</MATH>|5.60}} Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy. Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2\;</MATH>|5.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kjhymium02v03li3sbyy3izrtohs8t9 555389 555388 2026-09-09T20:07:00Z Persino 2851 /* Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową */ 555389 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}} określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m₁ i m₂, dla każdej zmiennej z osobna w rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda\;</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda\;</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m₂, i wykorzystanie tożsamości {{LinkWzór|5.26}}. Otrzymujemy równość, z której wyznaczamy parametr λ: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}} \Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}} \Rightarrow \lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \;</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g \;</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy sobie równanie więzów, którego zapis: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;</MATH>|5.29}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.31}} }} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.33}} }} Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0\;</MATH>|5.34}} Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;</MATH>|5.35}} Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'\;</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'\;</MATH>|5.37}} }} Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') =\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) =\vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right)\;</MATH>|5.38}} == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)\;</MATH>|5.52}} Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)\;</MATH>|5.53}} Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_z=(\vec{R}\times\vec{F})_z=-\sum_i m_i g y_i=-MgR_y=-MgR\sin\theta\;</MATH>|5.54}} Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta}=-MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{{J\over{MR}}}_{l}\ddot{\theta}=-g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta}=-g\sin\theta \;</MATH>|5.55}} == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)\;</MATH>|5.57}} }} Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a\;</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b\;</MATH>|5.59}} }} Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} =\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) +\sum_i m_i(a^2+b^2) -2a\sum_i m_i x_i -2b\sum_i m_i y_i \;</MATH>|5.60}} Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy. Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2\;</MATH>|5.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> o7giji4jdcfznt94ymwz0qiy3xtqn7z 555390 555389 2026-09-09T20:08:29Z Persino 2851 /* Wahadło fizyczne */ 555390 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}} określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m₁ i m₂, dla każdej zmiennej z osobna w rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda\;</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda\;</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m₂, i wykorzystanie tożsamości {{LinkWzór|5.26}}. Otrzymujemy równość, z której wyznaczamy parametr λ: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}} \Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}} \Rightarrow \lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \;</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g \;</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy sobie równanie więzów, którego zapis: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;</MATH>|5.29}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.31}} }} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.33}} }} Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0\;</MATH>|5.34}} Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;</MATH>|5.35}} Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'\;</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'\;</MATH>|5.37}} }} Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') =\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) =\vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right)\;</MATH>|5.38}} == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)\;</MATH>|5.57}} }} Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a\;</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b\;</MATH>|5.59}} }} Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} =\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) +\sum_i m_i(a^2+b^2) -2a\sum_i m_i x_i -2b\sum_i m_i y_i \;</MATH>|5.60}} Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy. Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2\;</MATH>|5.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rc7ndo5zdhyhnta4oje7n51581cjez2 555391 555390 2026-09-09T20:09:53Z Persino 2851 /* Twierdzenie Steinera */ 555391 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}} określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m₁ i m₂, dla każdej zmiennej z osobna w rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda\;</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda\;</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m₂, i wykorzystanie tożsamości {{LinkWzór|5.26}}. Otrzymujemy równość, z której wyznaczamy parametr λ: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}} \Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}} \Rightarrow \lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \;</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g \;</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy sobie równanie więzów, którego zapis: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;</MATH>|5.29}} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.31}} }} Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;</MATH>|5.33}} }} Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0\;</MATH>|5.34}} Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;</MATH>|5.35}} Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'\;</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'\;</MATH>|5.37}} }} Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') =\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) =\vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right)\;</MATH>|5.38}} == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> sej08cdajef6507za9z5w23s8dt0fh1 555392 555391 2026-09-09T20:11:47Z Persino 2851 /* Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 */ 555392 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0\;</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g {{LinkWzór|5.22}} określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]\;</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|5.7}} dla mas m₁ i m₂, dla każdej zmiennej z osobna w rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda\;</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda\;</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów {{LinkWzór|5.22}} możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;</MATH>|5.26}} Następnym krokiem jest podzielenie równania {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równania {{LinkWzór|5.25}} przez m₂, i wykorzystanie tożsamości {{LinkWzór|5.26}}. Otrzymujemy równość, z której wyznaczamy parametr λ: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}} \Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}} \Rightarrow \lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \;</MATH>|5.27}} Do równania {{LinkWzór|5.24}} podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|5.27}} dla ruchomego bloczka: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g \;</MATH>|5.28}} === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> i88a6kthngbn0j2wrj8taynz8x1nr1l 555393 555392 2026-09-09T20:18:31Z Persino 2851 /* Ruchomy bloczek */ 555393 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} =F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.16}} Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} charakteryzujące każdą cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{3N}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} +\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\sum_{\alpha=1}^{3N}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}} \;</MATH>|5.17}} Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy wykonywanych przez poszczególne siły, wziętą z minusem. Równocześnie opisujemy różniczkę zupełną równania więzów oraz definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek układu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\alpha}\dot{\chi}^2_{\alpha}\;</MATH>|5.20}} }} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(T+U\right) =-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}} \;</MATH>|5.21}} == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> b1cs93389magjx86s4qld3hdulnsdpa 555394 555393 2026-09-09T20:20:23Z Persino 2851 /* Twierdzenie o energii */ 555394 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}_i\;</MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;</MATH>|5.15}} }} A zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił układów mas {{LinkWzór|5.15}} jest równaniem takim samym jak w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu, jako całość {{LinkWzór|5.14}}, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych, wliczając w to siły reakcji więzów. Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8vuu2ljfbkb40ag91387i52wp3yy4o1 555395 555394 2026-09-09T20:21:32Z Persino 2851 /* Twierdzenie o momencie pędu */ 555395 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które działają siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, a także oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}. Na ciało mogą również działać siły pochodzące od więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{F}_{ij}+\sum_{j=1,\,j\neq i}^N\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec{Z}_i\;</MATH>|5.9}} Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równości na siły pomiędzy punktami masowymi oraz siły więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;</MATH>|5.11}} }} Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i=1,\dots,N. Korzystając z warunków wynikających z trzeciej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}}, otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy go do równości {{LinkWzór|5.12}}, wtedy równanie ruchu środka masy przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\;</MATH>|5.13}} Widzimy, że środek mas porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne (zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne) nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hec6wq53dnh2j24jady005odruocx7a 555396 555395 2026-09-09T20:23:05Z Persino 2851 /* Twierdzenie o środku mas */ 555396 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec{r}}_i=\vec{F}_i+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\;</MATH>|5.3}} Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy, i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;</MATH>|5.4}} Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie \delta t=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α: {{CentrujWzór|<MATH>\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i g_{\alpha}\,\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\delta \chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.5}} Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość {{LinkWzór|5.5}}, dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości {{LinkWzór|5.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;</MATH>|5.6}} Równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych \chi_{\alpha}, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;</MATH>|5.7}} Siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy, na podstawie równania {{LinkWzór|5.7}}, przy porównaniu go ze wzorem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;</MATH>|5.8}} == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> l4m08l7g8mhlffsiftth8thjed05oht 555397 555396 2026-09-09T20:24:59Z Persino 2851 /* Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta */ 555397 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy numerować liczbami od α=1,2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;</MATH>|5.1}} * gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywany powyżej ma f=3N−r stopni swobody. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}\;</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy skleronomicznym, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}}, ale jest grupa więzów, które dadzą się tak przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;</MATH>|5.2}} które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G: {{CentrujWzór|<MATH>{{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|5.3a}} Więzy opisane wzorem {{LinkWzór|5.2}}, dla których nie istnieje taka funkcja G we wzorze {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami anholonomicznymi''', a więzy dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie {{LinkWzór|5.3a}}, nazywamy '''więzami holonomicznymi'''. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła, nazywamy '''więzami doskonałymi''', a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, to one nazywamy '''więzami niedoskonałymi'''. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 5s8db4a89fzxela1bq13b9cd4n8pqax 555398 555397 2026-09-09T20:26:40Z Persino 2851 555398 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek (x_i, y_i, z_i). Będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie indeks α numerujemy liczbami od α = 1, 2, 3, …, 3N. Oznacza to, że każdemu punktowi masowemu odpowiadają trzy współrzędne, a cały układ ma łącznie 3N współrzędnych uogólnionych. Wtedy równanie więzów, zależne od tych trójek, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> g_{\beta}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_N, t) = g_{\beta}(\chi_{\alpha}, t) = 0 </MATH>|5.1}} * gdzie β = 1, 2, …, r. Układ opisywany powyżej ma f = 3N − r stopni swobody, ponieważ każdy więz redukuje liczbę niezależnych współrzędnych o jeden. Jeśli funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy **skleronomicznym**. Oznacza to, że więz jest czysto geometryczny i nie zmienia się w czasie. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} zależy od czasu, to więz jest **reonomicznym**, czyli zmienia się w czasie — na przykład gdy punkt musi poruszać się po krzywej, której położenie zmienia się w czasie. Nie wszystkie więzy dają się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}} w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu. Istnieje jednak grupa więzów, które można zapisać w postaci liniowej względem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} g_{\alpha}(\chi_{b}, t) \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + g_0(x_b, t) = 0 </MATH>|5.2}} Więzy opisane powyższym równaniem nie dają się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G spełniająca równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dG}{dt} = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial G}{\partial \chi_{\alpha}} \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t} = 0 </MATH>|5.3a}} Jeśli więzy opisane równaniem {{LinkWzór|5.2}} **nie pozwalają** na znalezienie funkcji G spełniającej równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to takie więzy nazywamy **więzami anholonomicznymi**. Są to więzy, które nie mogą być sprowadzone do zależności wyłącznie między współrzędnymi — zależą od prędkości i nie mają potencjału geometrycznego. Jeśli natomiast istnieje funkcja G spełniająca równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to więzy są **holonomiczne**. Oznacza to, że więz można zapisać w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu, bez udziału prędkości. Dodatkowo więzy dzielimy na: * '''więzy doskonałe''' — więzy, dla których siły reakcji mają tylko składową prostopadłą do kierunku wirtualnych przesunięć; nie wykonują pracy przy wirtualnych ruchach, * '''więzy niedoskonałe''' — więzy, dla których istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, przez co siły więzów mogą wykonywać pracę. Podział ten jest fundamentalny dla analizy układów z więzami, ponieważ określa, czy siły więzów wpływają na bilans energetyczny układu. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> q356aci4j689198e5yeqwsead20urm0 555399 555398 2026-09-09T20:27:51Z Persino 2851 555399 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek {{Formuła|<MATH>(x_i, y_i, z_i)\;<?MATH>}}. Będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>χ_α\;</MATH>}}, gdzie indeks α numerujemy liczbami od α = 1, 2, 3, …, 3N. Oznacza to, że każdemu punktowi masowemu odpowiadają trzy współrzędne, a cały układ ma łącznie 3N współrzędnych uogólnionych. Wtedy równanie więzów, zależne od tych trójek, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> g_{\beta}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_N, t) = g_{\beta}(\chi_{\alpha}, t) = 0 </MATH>|5.1}} * gdzie β = 1, 2, …, r. Układ opisywany powyżej ma f = 3N − r stopni swobody, ponieważ każdy więz redukuje liczbę niezależnych współrzędnych o jeden. Jeśli funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy **skleronomicznym**. Oznacza to, że więz jest czysto geometryczny i nie zmienia się w czasie. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} zależy od czasu, to więz jest **reonomicznym**, czyli zmienia się w czasie — na przykład gdy punkt musi poruszać się po krzywej, której położenie zmienia się w czasie. Nie wszystkie więzy dają się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}} w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu. Istnieje jednak grupa więzów, które można zapisać w postaci liniowej względem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} g_{\alpha}(\chi_{b}, t) \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + g_0(x_b, t) = 0 </MATH>|5.2}} Więzy opisane powyższym równaniem nie dają się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G spełniająca równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dG}{dt} = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial G}{\partial \chi_{\alpha}} \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t} = 0 </MATH>|5.3a}} Jeśli więzy opisane równaniem {{LinkWzór|5.2}} **nie pozwalają** na znalezienie funkcji G spełniającej równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to takie więzy nazywamy **więzami anholonomicznymi**. Są to więzy, które nie mogą być sprowadzone do zależności wyłącznie między współrzędnymi — zależą od prędkości i nie mają potencjału geometrycznego. Jeśli natomiast istnieje funkcja G spełniająca równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to więzy są **holonomiczne**. Oznacza to, że więz można zapisać w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu, bez udziału prędkości. Dodatkowo więzy dzielimy na: * '''więzy doskonałe''' — więzy, dla których siły reakcji mają tylko składową prostopadłą do kierunku wirtualnych przesunięć; nie wykonują pracy przy wirtualnych ruchach, * '''więzy niedoskonałe''' — więzy, dla których istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, przez co siły więzów mogą wykonywać pracę. Podział ten jest fundamentalny dla analizy układów z więzami, ponieważ określa, czy siły więzów wpływają na bilans energetyczny układu. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1afcc2soosynddw1p8lk4yut3opmwp3 555400 555399 2026-09-09T20:28:13Z Persino 2851 555400 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek {{Formuła|<MATH>(x_i, y_i, z_i)\;<?MATH>}}. Będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>χ_{\alpha}\;</MATH>}}, gdzie indeks α numerujemy liczbami od α = 1, 2, 3, …, 3N. Oznacza to, że każdemu punktowi masowemu odpowiadają trzy współrzędne, a cały układ ma łącznie 3N współrzędnych uogólnionych. Wtedy równanie więzów, zależne od tych trójek, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> g_{\beta}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_N, t) = g_{\beta}(\chi_{\alpha}, t) = 0 </MATH>|5.1}} * gdzie β = 1, 2, …, r. Układ opisywany powyżej ma f = 3N − r stopni swobody, ponieważ każdy więz redukuje liczbę niezależnych współrzędnych o jeden. Jeśli funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy **skleronomicznym**. Oznacza to, że więz jest czysto geometryczny i nie zmienia się w czasie. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} zależy od czasu, to więz jest **reonomicznym**, czyli zmienia się w czasie — na przykład gdy punkt musi poruszać się po krzywej, której położenie zmienia się w czasie. Nie wszystkie więzy dają się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}} w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu. Istnieje jednak grupa więzów, które można zapisać w postaci liniowej względem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} g_{\alpha}(\chi_{b}, t) \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + g_0(x_b, t) = 0 </MATH>|5.2}} Więzy opisane powyższym równaniem nie dają się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G spełniająca równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dG}{dt} = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial G}{\partial \chi_{\alpha}} \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t} = 0 </MATH>|5.3a}} Jeśli więzy opisane równaniem {{LinkWzór|5.2}} **nie pozwalają** na znalezienie funkcji G spełniającej równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to takie więzy nazywamy **więzami anholonomicznymi**. Są to więzy, które nie mogą być sprowadzone do zależności wyłącznie między współrzędnymi — zależą od prędkości i nie mają potencjału geometrycznego. Jeśli natomiast istnieje funkcja G spełniająca równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to więzy są **holonomiczne**. Oznacza to, że więz można zapisać w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu, bez udziału prędkości. Dodatkowo więzy dzielimy na: * '''więzy doskonałe''' — więzy, dla których siły reakcji mają tylko składową prostopadłą do kierunku wirtualnych przesunięć; nie wykonują pracy przy wirtualnych ruchach, * '''więzy niedoskonałe''' — więzy, dla których istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, przez co siły więzów mogą wykonywać pracę. Podział ten jest fundamentalny dla analizy układów z więzami, ponieważ określa, czy siły więzów wpływają na bilans energetyczny układu. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ozurgddt8rjr320edqj0ygf779b3fl9 555401 555400 2026-09-09T20:30:11Z Persino 2851 555401 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek {{Formuła|<MATH>(x_i, y_i, z_i)\;</MATH>}}. Będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>\chi_{\alpha}\;</MATH>}}, gdzie indeks α numerujemy liczbami od α = 1, 2, 3, …, 3N. Oznacza to, że każdemu punktowi masowemu odpowiadają trzy współrzędne, a cały układ ma łącznie 3N współrzędnych uogólnionych. Wtedy równanie więzów, zależne od tych trójek, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> g_{\beta}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_N, t) = g_{\beta}(\chi_{\alpha}, t) = 0 </MATH>|5.1}} * gdzie β = 1, 2, …, r. Układ opisywany powyżej ma f = 3N − r stopni swobody, ponieważ każdy więz redukuje liczbę niezależnych współrzędnych o jeden. Jeśli funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy **skleronomicznym**. Oznacza to, że więz jest czysto geometryczny i nie zmienia się w czasie. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} zależy od czasu, to więz jest **reonomicznym**, czyli zmienia się w czasie — na przykład gdy punkt musi poruszać się po krzywej, której położenie zmienia się w czasie. Nie wszystkie więzy dają się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}} w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu. Istnieje jednak grupa więzów, które można zapisać w postaci liniowej względem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} g_{\alpha}(\chi_{b}, t) \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + g_0(x_b, t) = 0 </MATH>|5.2}} Więzy opisane powyższym równaniem nie dają się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G spełniająca równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dG}{dt} = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial G}{\partial \chi_{\alpha}} \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t} = 0 </MATH>|5.3a}} Jeśli więzy opisane równaniem {{LinkWzór|5.2}} **nie pozwalają** na znalezienie funkcji G spełniającej równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to takie więzy nazywamy **więzami anholonomicznymi**. Są to więzy, które nie mogą być sprowadzone do zależności wyłącznie między współrzędnymi — zależą od prędkości i nie mają potencjału geometrycznego. Jeśli natomiast istnieje funkcja G spełniająca równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to więzy są **holonomiczne**. Oznacza to, że więz można zapisać w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu, bez udziału prędkości. Dodatkowo więzy dzielimy na: * '''więzy doskonałe''' — więzy, dla których siły reakcji mają tylko składową prostopadłą do kierunku wirtualnych przesunięć; nie wykonują pracy przy wirtualnych ruchach, * '''więzy niedoskonałe''' — więzy, dla których istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, przez co siły więzów mogą wykonywać pracę. Podział ten jest fundamentalny dla analizy układów z więzami, ponieważ określa, czy siły więzów wpływają na bilans energetyczny układu. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 68ueznjvank71xqwfy5eqws4ten8uqa 555404 555401 2026-09-09T20:50:56Z Persino 2851 555404 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek {{Formuła|<MATH>(x_i, y_i, z_i)\;</MATH>}}. Będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>\chi_{\alpha}\;</MATH>}}, gdzie indeks α numerujemy liczbami od α = 1, 2, 3, …, 3N. Oznacza to, że każdemu punktowi masowemu odpowiadają trzy współrzędne, a cały układ ma łącznie 3N współrzędnych uogólnionych. Wtedy równanie więzów, zależne od tych trójek, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> g_{\beta}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_N, t) = g_{\beta}(\chi_{\alpha}, t) = 0 </MATH>|5.1}} * gdzie β = 1, 2, …, r. Układ opisywany powyżej ma f = 3N − r stopni swobody, ponieważ każdy więz redukuje liczbę niezależnych współrzędnych o jeden. Jeśli funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy **skleronomicznym**. Oznacza to, że więz jest czysto geometryczny i nie zmienia się w czasie. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} zależy od czasu, to więz jest **reonomicznym**, czyli zmienia się w czasie — na przykład gdy punkt musi poruszać się po krzywej, której położenie zmienia się w czasie. Nie wszystkie więzy dają się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}} w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu. Istnieje jednak grupa więzów, które można zapisać w postaci liniowej względem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} g_{\alpha}(\chi_{b}, t) \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + g_0(x_b, t) = 0 </MATH>|5.2}} Więzy opisane powyższym równaniem nie dają się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G spełniająca równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dG}{dt} = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial G}{\partial \chi_{\alpha}} \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t} = 0 </MATH>|5.3a}} Jeśli więzy opisane równaniem {{LinkWzór|5.2}} **nie pozwalają** na znalezienie funkcji G spełniającej równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to takie więzy nazywamy **więzami anholonomicznymi**. Są to więzy, które nie mogą być sprowadzone do zależności wyłącznie między współrzędnymi — zależą od prędkości i nie mają potencjału geometrycznego. Jeśli natomiast istnieje funkcja G spełniająca równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to więzy są **holonomiczne**. Oznacza to, że więz można zapisać w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu, bez udziału prędkości. Dodatkowo więzy dzielimy na: * '''więzy doskonałe''' — więzy, dla których siły reakcji mają tylko składową prostopadłą do kierunku wirtualnych przesunięć; nie wykonują pracy przy wirtualnych ruchach, * '''więzy niedoskonałe''' — więzy, dla których istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, przez co siły więzów mogą wykonywać pracę. Podział ten jest fundamentalny dla analizy układów z więzami, ponieważ określa, czy siły więzów wpływają na bilans energetyczny układu. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 45di4139qopt9pmqx1mq4j1irzmmp86 555405 555404 2026-09-09T20:52:17Z Persino 2851 555405 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek {{Formuła|<MATH>(x_i, y_i, z_i)\;</MATH>}}. Będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>\chi_{\alpha}\;</MATH>}}, gdzie indeks α numerujemy liczbami od α = 1, 2, 3, …, 3N. Oznacza to, że każdemu punktowi masowemu odpowiadają trzy współrzędne, a cały układ ma łącznie 3N współrzędnych uogólnionych. Wtedy równanie więzów, zależne od tych trójek, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> g_{\beta}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_N, t) = g_{\beta}(\chi_{\alpha}, t) = 0 </MATH>|5.1}} * gdzie β = 1, 2, …, r. Układ opisywany powyżej ma f = 3N − r stopni swobody, ponieważ każdy więz redukuje liczbę niezależnych współrzędnych o jeden. Jeśli funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy '''skleronomicznym'''. Oznacza to, że więz jest czysto geometryczny i nie zmienia się w czasie. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} zależy od czasu, to więz jest '''reonomicznym''', czyli zmienia się w czasie — na przykład gdy punkt musi poruszać się po krzywej, której położenie zmienia się w czasie. Nie wszystkie więzy dają się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}} w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu. Istnieje jednak grupa więzów, które można zapisać w postaci liniowej względem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} g_{\alpha}(\chi_{b}, t) \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + g_0(x_b, t) = 0 </MATH>|5.2}} Więzy opisane powyższym równaniem nie dają się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G spełniająca równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dG}{dt} = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial G}{\partial \chi_{\alpha}} \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t} = 0 </MATH>|5.3a}} Jeśli więzy opisane równaniem {{LinkWzór|5.2}} '''nie pozwalają''' na znalezienie funkcji G spełniającej równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to takie więzy nazywamy '''więzami anholonomicznymi'''. Są to więzy, które nie mogą być sprowadzone do zależności wyłącznie między współrzędnymi — zależą od prędkości i nie mają potencjału geometrycznego. Jeśli natomiast istnieje funkcja G spełniająca równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to więzy są '''holonomiczne'''. Oznacza to, że więz można zapisać w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu, bez udziału prędkości. Dodatkowo więzy dzielimy na: * '''więzy doskonałe''' — więzy, dla których siły reakcji mają tylko składową prostopadłą do kierunku wirtualnych przesunięć; nie wykonują pracy przy wirtualnych ruchach, * '''więzy niedoskonałe''' — więzy, dla których istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, przez co siły więzów mogą wykonywać pracę. Podział ten jest fundamentalny dla analizy układów z więzami, ponieważ określa, czy siły więzów wpływają na bilans energetyczny układu. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fblgdebrb1w6feomw2ngv2lv2ku36gn 0 20312 555231 555230 2026-09-09T11:59:10Z Persino 2851 /* Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego */ 555231 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest **niezależna od wyboru osi odniesienia** — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy **tensorowym momentem bezwładności** bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest **drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego**, wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest **podparty dokładnie w swoim środku masy**. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że **moment siły ciężkości jest równy zero**. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis **precesji swobodnej giroskopu symetrycznego**, znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \tau = t\sqrt{\frac{(C-B)(K^{2}-2EA)}{ABC}} </MATH>|7.103}} |2={{CentrujWzór|<MATH> s = q\sqrt{\frac{B(C-B)}{2EC-K^{2}}} </MATH>|7.104}} }} oraz parametr eliptyczny: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{(B-A)(2EC-K^{2})}{(C-B)(K^{2}-2EA)}. </MATH>|7.105}} Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}. </MATH>|7.106}} Całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s}\frac{ds}{\sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}, </MATH>|7.107}} otrzymujemy funkcję eliptyczną Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau. </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cn}\tau = \sqrt{1 - \operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dn}\tau = \sqrt{1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} {{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Stąd: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{\frac{C(K^{2}-2EA)}{K^{2}(C-A)}}\operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{\frac{A(C-B)}{B(C-A)}}\frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}}, </MATH>|7.118}} otrzymujemy równanie, które po scałkowaniu względem czasu daje φ(t). Całka ta jest funkcją eliptyczną, zależną od τ(t), a więc od czasu. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. 52xuh1eed2gctmzlzn91evtsoo5oo3r 555366 555231 2026-09-09T18:35:50Z Persino 2851 555366 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \tau = t\sqrt{\frac{(C-B)(K^{2}-2EA)}{ABC}} </MATH>|7.103}} |2={{CentrujWzór|<MATH> s = q\sqrt{\frac{B(C-B)}{2EC-K^{2}}} </MATH>|7.104}} }} oraz parametr eliptyczny: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{(B-A)(2EC-K^{2})}{(C-B)(K^{2}-2EA)}. </MATH>|7.105}} Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}. </MATH>|7.106}} Całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s}\frac{ds}{\sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}, </MATH>|7.107}} otrzymujemy funkcję eliptyczną Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau. </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cn}\tau = \sqrt{1 - \operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dn}\tau = \sqrt{1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} {{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Stąd: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{\frac{C(K^{2}-2EA)}{K^{2}(C-A)}}\operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{\frac{A(C-B)}{B(C-A)}}\frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}}, </MATH>|7.118}} otrzymujemy równanie, które po scałkowaniu względem czasu daje φ(t). Całka ta jest funkcją eliptyczną, zależną od τ(t), a więc od czasu. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. pkscpzd8uym3y5nw27r9bx9tkbzjab9 555367 555366 2026-09-09T18:37:24Z Persino 2851 /* Prędkości kątowe */ 555367 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \tau = t\sqrt{\frac{(C-B)(K^{2}-2EA)}{ABC}} </MATH>|7.103}} |2={{CentrujWzór|<MATH> s = q\sqrt{\frac{B(C-B)}{2EC-K^{2}}} </MATH>|7.104}} }} oraz parametr eliptyczny: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{(B-A)(2EC-K^{2})}{(C-B)(K^{2}-2EA)}. </MATH>|7.105}} Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}. </MATH>|7.106}} Całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s}\frac{ds}{\sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}, </MATH>|7.107}} otrzymujemy funkcję eliptyczną Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau. </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cn}\tau = \sqrt{1 - \operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dn}\tau = \sqrt{1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Stąd: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{\frac{C(K^{2}-2EA)}{K^{2}(C-A)}}\operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{\frac{A(C-B)}{B(C-A)}}\frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}}, </MATH>|7.118}} otrzymujemy równanie, które po scałkowaniu względem czasu daje φ(t). Całka ta jest funkcją eliptyczną, zależną od τ(t), a więc od czasu. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. ouehurjcb2fql9dkfpl2iihmibgfqit 555368 555367 2026-09-09T18:52:17Z Persino 2851 /* Wektor momentu pędu równoległy do osi z' */ 555368 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \tau = t\sqrt{\frac{(C-B)(K^{2}-2EA)}{ABC}} </MATH>|7.103}} |2={{CentrujWzór|<MATH> s = q\sqrt{\frac{B(C-B)}{2EC-K^{2}}} </MATH>|7.104}} }} oraz parametr eliptyczny: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{(B-A)(2EC-K^{2})}{(C-B)(K^{2}-2EA)}. </MATH>|7.105}} Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}. </MATH>|7.106}} Całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s}\frac{ds}{\sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}, </MATH>|7.107}} otrzymujemy funkcję eliptyczną Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau. </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cn}\tau = \sqrt{1 - \operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dn}\tau = \sqrt{1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Stąd: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{\frac{C(K^{2}-2EA)}{K^{2}(C-A)}}\operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{\frac{A(C-B)}{B(C-A)}}\frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}}, </MATH>|7.118}} otrzymujemy równanie, które po scałkowaniu względem czasu daje φ(t). Całka ta jest funkcją eliptyczną, zależną od τ(t), a więc od czasu. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. 1bsefhrvi8de5udatfmu3ucnbuzjess 555369 555368 2026-09-09T18:53:13Z Persino 2851 /* Ograniczenia na wartość K² */ 555369 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \tau = t\sqrt{\frac{(C-B)(K^{2}-2EA)}{ABC}} </MATH>|7.103}} |2={{CentrujWzór|<MATH> s = q\sqrt{\frac{B(C-B)}{2EC-K^{2}}} </MATH>|7.104}} }} oraz parametr eliptyczny: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{(B-A)(2EC-K^{2})}{(C-B)(K^{2}-2EA)}. </MATH>|7.105}} Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}. </MATH>|7.106}} Całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s}\frac{ds}{\sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}, </MATH>|7.107}} otrzymujemy funkcję eliptyczną Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau. </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cn}\tau = \sqrt{1 - \operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dn}\tau = \sqrt{1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Stąd: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{\frac{C(K^{2}-2EA)}{K^{2}(C-A)}}\operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{\frac{A(C-B)}{B(C-A)}}\frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}}, </MATH>|7.118}} otrzymujemy równanie, które po scałkowaniu względem czasu daje φ(t). Całka ta jest funkcją eliptyczną, zależną od τ(t), a więc od czasu. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. 5757ulcsrigxwd4u1cgns98iwbh1yjc 555370 555369 2026-09-09T18:53:52Z Persino 2851 /* Energia i moment pędu bąka asymetrycznego */ 555370 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \tau = t\sqrt{\frac{(C-B)(K^{2}-2EA)}{ABC}} </MATH>|7.103}} |2={{CentrujWzór|<MATH> s = q\sqrt{\frac{B(C-B)}{2EC-K^{2}}} </MATH>|7.104}} }} oraz parametr eliptyczny: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{(B-A)(2EC-K^{2})}{(C-B)(K^{2}-2EA)}. </MATH>|7.105}} Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}. </MATH>|7.106}} Całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s}\frac{ds}{\sqrt{(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}, </MATH>|7.107}} otrzymujemy funkcję eliptyczną Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau. </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cn}\tau = \sqrt{1 - \operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dn}\tau = \sqrt{1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau}</MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Stąd: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{\frac{C(K^{2}-2EA)}{K^{2}(C-A)}}\operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{\frac{A(C-B)}{B(C-A)}}\frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}}, </MATH>|7.118}} otrzymujemy równanie, które po scałkowaniu względem czasu daje φ(t). Całka ta jest funkcją eliptyczną, zależną od τ(t), a więc od czasu. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. 5ba21b6jucn0m7n2dgqcr04zp8ndjdx 555402 555370 2026-09-09T20:37:51Z Persino 2851 /* Wprowadzenie zmiennych eliptycznych */ 555402 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne pomocnicze, które pozwalają sprowadzić równania ruchu bąka asymetrycznego do postaci równań eliptycznych. Zmienne te są tak dobrane, aby równanie różniczkowe opisujące ewolucję współrzędnej q(t) przyjęło postać kanoniczną równania funkcji Jacobiego. Pierwszą zmienną jest przeskalowany czas: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = t \sqrt{ \frac{(C - B)(K^{2} - 2EA)}{ABC} } </MATH>|7.103}} Zmienna τ jest czasem „eliptycznym”, czyli czasem przeskalowanym tak, aby równanie ruchu miało postać standardową dla funkcji Jacobiego. Drugą zmienną jest przeskalowana współrzędna q: {{CentrujWzór|<MATH> s = q \sqrt{ \frac{B(C - B)}{2EC - K^{2}} } </MATH>|7.104}} Zmienna s jest bezwymiarową zmienną eliptyczną, która przyjmuje wartości w przedziale od −1 do 1. Dzięki temu równanie ruchu sprowadza się do równania funkcji sn(τ). Wprowadzamy również parametr eliptyczny k², który określa „kształt” funkcji Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{ (B - A)(2EC - K^{2}) }{ (C - B)(K^{2} - 2EA) } </MATH>|7.105}} Parametr k² decyduje o okresie funkcji Jacobiego oraz o charakterze oscylacji. Dla k² bliskiego 0 funkcje Jacobiego zachowują się jak funkcje trygonometryczne, natomiast dla k² bliskiego 1 zachowują się jak funkcje hiperboliczne. Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } </MATH>|7.106}} Jest to klasyczne równanie różniczkowe funkcji eliptycznych Jacobiego. Zawiera dwa czynniki: pierwszy odpowiada oscylacjom sinusoidalnym, drugi — oscylacjom eliptycznym zależnym od parametru k². Całkując równanie {{LinkWzór|7.106}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s} \frac{ds}{ \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } } </MATH>|7.107}} Całka ta jest standardową postacią całki eliptycznej pierwszego rodzaju. Jej rozwiązaniem jest funkcja Jacobiego sn(τ): {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego definiujemy analogicznie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{cn}\tau = \sqrt{ 1 - \operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{dn}\tau = \sqrt{ 1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny. Funkcja sn(τ) opisuje oscylacje q(t), funkcja cn(τ) opisuje oscylacje p(t), a funkcja dn(τ) opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy. Funkcje Jacobiego stanowią więc naturalny język matematyczny do opisu ruchu bąka asymetrycznego, ponieważ uwzględniają zarówno oscylacje sinusoidalne, jak i eliptyczne, wynikające z asymetrii momentów bezwładności. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Stąd: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{\frac{C(K^{2}-2EA)}{K^{2}(C-A)}}\operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{\frac{A(C-B)}{B(C-A)}}\frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}}, </MATH>|7.118}} otrzymujemy równanie, które po scałkowaniu względem czasu daje φ(t). Całka ta jest funkcją eliptyczną, zależną od τ(t), a więc od czasu. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. pgupdubj0zc03a8d6dmjyaproxap721 555403 555402 2026-09-09T20:40:01Z Persino 2851 /* Składowe momentu pędu */ 555403 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- * Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi \;</MATH>|7.14|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi \;</MATH>|7.15|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'} \;</MATH>|7.32|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH> B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'} \;</MATH>|7.33|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH> C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'} \;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} |3={{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} |3={{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta + C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta = \alpha </MATH>|7.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}} = C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) = \beta </MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} |5={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} |6={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} |3={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne pomocnicze, które pozwalają sprowadzić równania ruchu bąka asymetrycznego do postaci równań eliptycznych. Zmienne te są tak dobrane, aby równanie różniczkowe opisujące ewolucję współrzędnej q(t) przyjęło postać kanoniczną równania funkcji Jacobiego. Pierwszą zmienną jest przeskalowany czas: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = t \sqrt{ \frac{(C - B)(K^{2} - 2EA)}{ABC} } </MATH>|7.103}} Zmienna τ jest czasem „eliptycznym”, czyli czasem przeskalowanym tak, aby równanie ruchu miało postać standardową dla funkcji Jacobiego. Drugą zmienną jest przeskalowana współrzędna q: {{CentrujWzór|<MATH> s = q \sqrt{ \frac{B(C - B)}{2EC - K^{2}} } </MATH>|7.104}} Zmienna s jest bezwymiarową zmienną eliptyczną, która przyjmuje wartości w przedziale od −1 do 1. Dzięki temu równanie ruchu sprowadza się do równania funkcji sn(τ). Wprowadzamy również parametr eliptyczny k², który określa „kształt” funkcji Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{ (B - A)(2EC - K^{2}) }{ (C - B)(K^{2} - 2EA) } </MATH>|7.105}} Parametr k² decyduje o okresie funkcji Jacobiego oraz o charakterze oscylacji. Dla k² bliskiego 0 funkcje Jacobiego zachowują się jak funkcje trygonometryczne, natomiast dla k² bliskiego 1 zachowują się jak funkcje hiperboliczne. Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } </MATH>|7.106}} Jest to klasyczne równanie różniczkowe funkcji eliptycznych Jacobiego. Zawiera dwa czynniki: pierwszy odpowiada oscylacjom sinusoidalnym, drugi — oscylacjom eliptycznym zależnym od parametru k². Całkując równanie {{LinkWzór|7.106}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s} \frac{ds}{ \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } } </MATH>|7.107}} Całka ta jest standardową postacią całki eliptycznej pierwszego rodzaju. Jej rozwiązaniem jest funkcja Jacobiego sn(τ): {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego definiujemy analogicznie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{cn}\tau = \sqrt{ 1 - \operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{dn}\tau = \sqrt{ 1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny. Funkcja sn(τ) opisuje oscylacje q(t), funkcja cn(τ) opisuje oscylacje p(t), a funkcja dn(τ) opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy. Funkcje Jacobiego stanowią więc naturalny język matematyczny do opisu ruchu bąka asymetrycznego, ponieważ uwzględniają zarówno oscylacje sinusoidalne, jak i eliptyczne, wynikające z asymetrii momentów bezwładności. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} |3={{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu bąka asymetrycznego wyrażają się równaniami zależnymi od kątów Eulera oraz od składowych prędkości kątowych p, q, r. Zależności te wynikają z definicji momentu pędu w układzie związanym z bryłą oraz z transformacji między układem laboratoryjnym a układem własnym bryły: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Pierwsze dwa równania wiążą składowe momentu pędu w płaszczyźnie prostopadłej do osi trzeciej, natomiast trzecie równanie wiąże składową wzdłuż osi trzeciej z prędkością kątową r. Zależności te są podstawą do wyznaczenia kątów Eulera w funkcji czasu. Z trzeciego równania {{LinkWzór|7.115}} otrzymujemy zależność na cosinus kąta nutacji θ: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{ \frac{C(K^{2} - 2EA)}{K^{2}(C - A)} } \operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{ \frac{A(C - B)}{B(C - A)} } \frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Pierwsza zależność {{LinkWzór|7.116}} pokazuje, że kąt nutacji θ(t) jest funkcją eliptyczną typu dn(τ). Oznacza to, że oś bryły wykonuje oscylacje o amplitudzie zależnej od parametrów A, B, C oraz od energii E i momentu pędu K. Druga zależność {{LinkWzór|7.117}} pokazuje, że kąt precesji własnej ψ(t) jest funkcją ilorazu cn(τ)/sn(τ), czyli funkcją eliptyczną typu cotangensowego. Oznacza to, że precesja własna jest modulowana przez oscylacje nutacji. Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}} </MATH>|7.118}} Wyrażenie to jest równaniem różniczkowym dla kąta φ(t). Po scałkowaniu względem czasu otrzymujemy funkcję φ(t), która jest funkcją eliptyczną zależną od τ(t), a więc od czasu. Całka ta jest złożona, ponieważ zawiera funkcje Jacobiego sn(τ), cn(τ), dn(τ), które modulują prędkość precesji. W rezultacie ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy: kąt nutacji θ(t) oscyluje z okresem zależnym od parametru eliptycznego k², kąt ψ(t) wykonuje oscylacje modulowane przez funkcje Jacobiego, a kąt φ(t) rośnie w sposób eliptyczny, z prędkością zależną od energii i momentu pędu. Jest to pełny opis ruchu bąka asymetrycznego w języku funkcji eliptycznych Jacobiego. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. 1can9lag7r1q6lssqpx81f7zimzfu2w 0 20318 555232 555227 2026-09-09T12:03:42Z Persino 2851 /* Ciało umieszczone na sprężynie */ 555232 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)+{{GMm}\over{r}}\;</MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_r={{\partial L}\over{\partial \dot{r}}}=m\dot{r}\;</MATH>|8.15}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}={{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}}}=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\;</MATH>|8.16}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\phi}=mr^2\dot{\phi}\;</MATH>|8.17}}}} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, która tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH>H=T+U={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}\right)</MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy, jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami, co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}v^2+q\vec {A}\vec{v}-qU\;</MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}={{\partial L}\over{\partial\vec{v}}}=m\vec{v}+q\vec{A}\;</MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>H={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+qU\;</MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,G\right\}_P=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial G}\over{\partial p_i}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial G}\over{}\partial q_i}\right)\;</MATH>|8.22}} Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne p{{Sub|i}} i q{{Sub|i}} są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego q{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego p{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial q_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial q_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)={{\partial F}\over{\partial p_i}}\;</MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego p{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego q{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial p_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial p_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)=-{{\partial F}\over{\partial q_i}}\;</MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}, wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,q_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.25}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,p_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.26}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,p_j\right\}_P=\delta_{ij}\;</MATH>|8.27}}}} Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dF}\over{dt}}=\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial q_i}}\dot{q}_i+\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial p_i}}\dot{p}_i+{{\partial F}\over{\partial t}}=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial H}\over{\partial p_k}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial H}\over{\partial q_i}}\right)=\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{q}_i=\left\{q_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{p}=\left\{p_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.30}}}} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.31}} Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}, zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona: {{CentrujWzór|<MATH>{{dH}\over{dt}}=\left\{H,H\right\}_P+{{\partial H}\over{\partial t}}\Rightarrow {{dH}\over{dt}}={{\partial H}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,g\right\}_P=-\left\{g,f\right\}_P\;</MATH>|8.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,c\right\}_P=0\;</MATH>|8.34}}}} Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu "t": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P\;</MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h, nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;</MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_P\}_P\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g", wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D{{Sub|1}}(&phi;)={g,&phi;}{{Sub|P}} i D{{Sub|2}}(&phi;)={h,&phi;}{{Sub|P}}, wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;</MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów D{{Sub|1}} i D{{Sub|2}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.39}}}} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}} i D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.41}}}} A różnica złożeń operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}}, D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} możemy przestawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D{{Sub|1}}D{{Sub|2}}-D{{Sub|2}}D{{Sub|1}}) na tą właśnie funkcję jest nawiasem {{Formuła|<math>\{f,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}}, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> j6pw4oo4181qpfjknhglqljmtkgu69d 555233 555232 2026-09-09T12:04:55Z Persino 2851 /* Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych */ 555233 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy, jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami, co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}v^2+q\vec {A}\vec{v}-qU\;</MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}={{\partial L}\over{\partial\vec{v}}}=m\vec{v}+q\vec{A}\;</MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>H={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+qU\;</MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,G\right\}_P=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial G}\over{\partial p_i}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial G}\over{}\partial q_i}\right)\;</MATH>|8.22}} Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne p{{Sub|i}} i q{{Sub|i}} są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego q{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego p{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial q_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial q_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)={{\partial F}\over{\partial p_i}}\;</MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego p{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego q{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial p_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial p_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)=-{{\partial F}\over{\partial q_i}}\;</MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}, wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,q_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.25}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,p_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.26}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,p_j\right\}_P=\delta_{ij}\;</MATH>|8.27}}}} Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dF}\over{dt}}=\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial q_i}}\dot{q}_i+\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial p_i}}\dot{p}_i+{{\partial F}\over{\partial t}}=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial H}\over{\partial p_k}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial H}\over{\partial q_i}}\right)=\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{q}_i=\left\{q_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{p}=\left\{p_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.30}}}} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.31}} Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}, zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona: {{CentrujWzór|<MATH>{{dH}\over{dt}}=\left\{H,H\right\}_P+{{\partial H}\over{\partial t}}\Rightarrow {{dH}\over{dt}}={{\partial H}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,g\right\}_P=-\left\{g,f\right\}_P\;</MATH>|8.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,c\right\}_P=0\;</MATH>|8.34}}}} Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu "t": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P\;</MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h, nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;</MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_P\}_P\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g", wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D{{Sub|1}}(&phi;)={g,&phi;}{{Sub|P}} i D{{Sub|2}}(&phi;)={h,&phi;}{{Sub|P}}, wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;</MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów D{{Sub|1}} i D{{Sub|2}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.39}}}} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}} i D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.41}}}} A różnica złożeń operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}}, D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} możemy przestawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D{{Sub|1}}D{{Sub|2}}-D{{Sub|2}}D{{Sub|1}}) na tą właśnie funkcję jest nawiasem {{Formuła|<math>\{f,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}}, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> j6d5ylulcbhqqlqf8smawofkxqfotq3 555234 555233 2026-09-09T12:06:08Z Persino 2851 /* Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym */ 555234 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,G\right\}_P=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial G}\over{\partial p_i}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial G}\over{}\partial q_i}\right)\;</MATH>|8.22}} Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne p{{Sub|i}} i q{{Sub|i}} są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego q{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego p{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial q_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial q_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)={{\partial F}\over{\partial p_i}}\;</MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego p{{Sub|i}} i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego q{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial p_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial p_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)=-{{\partial F}\over{\partial q_i}}\;</MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}, wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,q_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.25}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{p_i,p_j\right\}_P=0\;</MATH>|8.26}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\left\{q_i,p_j\right\}_P=\delta_{ij}\;</MATH>|8.27}}}} Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dF}\over{dt}}=\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial q_i}}\dot{q}_i+\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial p_i}}\dot{p}_i+{{\partial F}\over{\partial t}}=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial H}\over{\partial p_k}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial H}\over{\partial q_i}}\right)=\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{q}_i=\left\{q_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{p}=\left\{p_i,H\right\}_P\;</MATH>|8.30}}}} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.31}} Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}, zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona: {{CentrujWzór|<MATH>{{dH}\over{dt}}=\left\{H,H\right\}_P+{{\partial H}\over{\partial t}}\Rightarrow {{dH}\over{dt}}={{\partial H}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,g\right\}_P=-\left\{g,f\right\}_P\;</MATH>|8.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,c\right\}_P=0\;</MATH>|8.34}}}} Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu "t": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P\;</MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h, nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;</MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_P\}_P\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g", wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D{{Sub|1}}(&phi;)={g,&phi;}{{Sub|P}} i D{{Sub|2}}(&phi;)={h,&phi;}{{Sub|P}}, wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;</MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów D{{Sub|1}} i D{{Sub|2}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.39}}}} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}} i D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.41}}}} A różnica złożeń operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}}, D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} możemy przestawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D{{Sub|1}}D{{Sub|2}}-D{{Sub|2}}D{{Sub|1}}) na tą właśnie funkcję jest nawiasem {{Formuła|<math>\{f,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}}, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 729rgn2hiicab0od1chbmkg4vrsydx4 555235 555234 2026-09-09T12:08:03Z Persino 2851 /* Nawiasy Poissona */ 555235 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne \(p_{i}\) i \(q_{i}\) są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego \(q_{i}\) i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego \(p_{i}\): {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego \(p_{i}\) i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego \(q_{i}\): {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,g\right\}_P=-\left\{g,f\right\}_P\;</MATH>|8.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,c\right\}_P=0\;</MATH>|8.34}}}} Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu "t": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P\;</MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h, nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;</MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_P\}_P\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g", wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D{{Sub|1}}(&phi;)={g,&phi;}{{Sub|P}} i D{{Sub|2}}(&phi;)={h,&phi;}{{Sub|P}}, wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;</MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów D{{Sub|1}} i D{{Sub|2}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.39}}}} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}} i D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.41}}}} A różnica złożeń operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}}, D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} możemy przestawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D{{Sub|1}}D{{Sub|2}}-D{{Sub|2}}D{{Sub|1}}) na tą właśnie funkcję jest nawiasem {{Formuła|<math>\{f,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}}, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> eom6m5ungu27b06x1lnoptfbv0ht0a1 555236 555235 2026-09-09T12:10:08Z Persino 2851 /* Nawiasy Poissona */ 555236 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,g\right\}_P=-\left\{g,f\right\}_P\;</MATH>|8.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,c\right\}_P=0\;</MATH>|8.34}}}} Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu "t": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P\;</MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h, nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;</MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_P\}_P\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g", wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D{{Sub|1}}(&phi;)={g,&phi;}{{Sub|P}} i D{{Sub|2}}(&phi;)={h,&phi;}{{Sub|P}}, wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;</MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów D{{Sub|1}} i D{{Sub|2}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.39}}}} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}} i D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.41}}}} A różnica złożeń operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}}, D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} możemy przestawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D{{Sub|1}}D{{Sub|2}}-D{{Sub|2}}D{{Sub|1}}) na tą właśnie funkcję jest nawiasem {{Formuła|<math>\{f,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}}, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ardpy1gl3xqteqq5knaej2zatmzmy45 555237 555236 2026-09-09T12:13:23Z Persino 2851 /* Ważne elementarne tożsamości */ 555237 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h, nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;</MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_P\}_P\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g", wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D{{Sub|1}}(&phi;)={g,&phi;}{{Sub|P}} i D{{Sub|2}}(&phi;)={h,&phi;}{{Sub|P}}, wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;</MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów D{{Sub|1}} i D{{Sub|2}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;</MATH>|8.39}}}} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}} i D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.40}}|2={{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.41}}}} A różnica złożeń operatorów D{{Sub|1}} {{LinkWzór|8.38}}, D{{Sub|2}} {{LinkWzór|8.39}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} możemy przestawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;</MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D{{Sub|1}}D{{Sub|2}}-D{{Sub|2}}D{{Sub|1}}) na tą właśnie funkcję jest nawiasem {{Formuła|<math>\{f,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}}, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> diivptsfblrh5lcj972rasjx981zl7c 555238 555237 2026-09-09T12:20:18Z Persino 2851 /* Tożsamość Jacobiego */ 555238 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Fomuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qomlp87247uj9oojaaan8yrei0fsv66 555239 555238 2026-09-09T12:20:50Z Persino 2851 /* Tożsamość Jacobiego */ 555239 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;</MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}\;</MATH>}}), wtedy mając to na uwadze, więc wyrażenie {{LinkWzór|8.36}} podstawia się, wtedy h=H, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\{H,\{f,g\}_P\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;</MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>_{\{H,g\}_P=0}\;</MATH>}} (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{g,h\}_P\}_P\;</MATH>}} jest równa zero (pochodna zupełna funkcji {{Formuła|<MATH>\{g,h\}_P\;</MATH>}} jest równa zero), zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;</math>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;</MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}}, i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;</MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> pgz7enbpq885ydeb070w50iwydjrk4r 555240 555239 2026-09-09T12:24:54Z Persino 2851 /* Twierdzenie Poissona */ 555240 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;</MATH>|8.49}}}} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.51}}}} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R{{Sub|1}}, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;</MATH>|8.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;</MATH>|8.53}}}} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość {{LinkWzór|8.52}}, wnioskujemy: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;</MATH>|8.54}} Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R{{Sub|1}}, możemy rozpisać względem współrzędnych q{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.55}} Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}}, tzn. tożsamość końcową {{LinkWzór|8.54}} z {{LinkWzór|8.55}}, więc: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;</math>|8.57}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.58}}}} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i na samym końcu {{LinkWzór|8.58}} stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bądź razem możemy obrać funkcję R{{Sub|1}}, która stanowi jakoby '''funkcję tworzącą'''. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R{{Sub|1}}, którego przepis jest {{Formuła|<MATH>R_1=\sum_kq_kQ_k\;</MATH>}}, wtedy wykorzystując wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}}, to nasze funkcje tworzące: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k=Q_k\;</MATH>|8.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>P_K=-q_k\;</MATH>|8.60}}|3={{CentrujWzór|<MATH>H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;</MATH>|8.61}}}} Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;</MATH>|8.62}} Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}, ale w zmiennych q{{Sub|k}}, p{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}}, wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q{{Sub|k}},p{{Sub|k}},Q{{Sub|k}},P{{Sub|k}}), zatem wykorzystując równanie {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.63}} wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R{{Sub|1}} zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;</MATH>|8.65}}|3={{CentrujWzór|<MATH>R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.66}}}} Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R{{Sub|1}} w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle {{LinkWzór|8.64}}, {{LinkWzór|8.65}} i {{LinkWzór|8.66}}: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;</MATH>|8.69}} Jeśli równanie {{LinkWzór|8.54}} zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R{{Sub|1}}, czyli dla {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;</MATH>|8.70}} Jeśli porównamy wzory {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z odpowiednimi wzorami {{LinkWzór|8.70}}, to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p{{Sub|k}}, q{{Sub|k}}, P{{Sub|k}} i Q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.71}} |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.72}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;</MATH>|8.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.75}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.77}} |{{CentrujWzór|<MATH>q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;</MATH>|8.78}} |{{CentrujWzór|<MATH>H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_i q_iP_i\;</MATH>}}, na podstawie tego otrzymujemy p{{Sub|k}}=P{{Sub|k}}, Q{{Sub|k}}=q{{Sub|k}}, {{Formuła|<MATH>H^'=H\;</MATH>}}. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R{{Sub|2}} jest funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi Q{{Sub|k}}=f{{Sub|k}}(q{{Sub|k}},t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q{{Sub|k}} i czasu t. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> crl54tipt66oveip0236mvuhgoevaby 555241 555240 2026-09-09T12:31:21Z Persino 2851 /* Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne */ 555241 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}} Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mm2vu7l0lmd9qzd64er960o6h1iz8zh 555242 555241 2026-09-09T12:31:57Z Persino 2851 /* Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne */ 555242 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q{{Sub|k}}=const i P{{Sub|k}}=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R{{Sub|2}}=S(q{{Sub|k}},P{{Sub|k}},t), dla którego wzory: {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}}, piszemy przy oznaczeniu jej przez S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|8.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;</MATH>|8.81}}}} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, które przestawia '''równanie Hamiltona -Jacobiego''' przy warunku {{Formuła|<MATH>H^'=0\;</MATH>}}, i wykorzystując warunek z oczywistych powodów {{LinkWzór|8.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że S to jest R{{Sub|2}}, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;</MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;</MATH>|8.84}} Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru {{LinkWzór|8.84}} do równania {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}} równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q{{Sub|k}} i P{{Sub|k}} względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}, z którego, co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy {{LinkWzór|8.3}}, wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;</MATH>|8.85}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą): {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_0^tL(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;</MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fqoqujvbfb25i1kqkpppeumd5rqzxk9 555243 555242 2026-09-09T12:37:30Z Persino 2851 /* Równania Hamiltona-Jacobiego */ 555243 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H'</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>Q_{k} = \text{const}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>P_{k} = \text{const}\;</MATH>}}. Załóżmy, że istnieje pewna funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_{2} = S(q_{k},P_{k},t)\;</MATH>}}. Wtedy wzory {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}} przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}</MATH>|8.80}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}}</MATH>|8.81}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, który przedstawia równanie Hamiltona–Jacobiego przy warunku {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|8.80}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> H\!\left(q_{k},\,\frac{\partial S}{\partial q_{k}},\,t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} można wykorzystać w postaci wynikającej z {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} to jest {{Formuła|<MATH>R_{2}\;</MATH>}}. Wyznaczając pochodną zupełną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \frac{dR_{1}}{dt} + \frac{d}{dt}\sum_{k} P_{k}Q_{k} </MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} + H' - H </MATH>|8.84}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.84}} do {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i pamiętając, że pochodne zupełne {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{k}\;</MATH>}} względem czasu są równe zero. Wtedy pochodna zupełna {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} względem czasu jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}. Korzystając z definicji Hamiltonianu {{LinkWzór|8.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i} - H = L </MATH>|8.85}} Na podstawie {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony względem czasu, otrzymujemy wzór na funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{0}^{t} L(q_{k},\dot{q}_{k},t)\,dt </MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;</MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem {{LinkWzór|8.80}}, co przy takich rozważaniach możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;</MATH>|8.89}} Układ opisywany za pomocą hamiltonianu {{LinkWzór|8.87}} jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to: {{CentrujWzór|<MATH>E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;</MATH>|8.90}} Wtedy równość {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie wzoru na wielkość S {{LinkWzór|8.89}} i wzoru na energię E układu {{LinkWzór|8.90}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;</MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz występujący w {{LinkWzór|8.91}} w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=P_1x\;</MATH>|8.92}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_2=P_2y\;</MATH>|8.93}}|3={{CentrujWzór|<math>S_3=P_3z\;</math>|8.94}}}} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}} i {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}} i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, to energia układu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;</MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję S {{LinkWzór|8.90}}, to całkowite rozwiązanie na funkcję S: {{CentrujWzór|<MATH>S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;</MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości Q{{Sub|k}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}, zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}}, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu {{Formuła|<MATH>H^'\;</MATH>}}, i wykorzystując to z {{LinkWzór|8.95}} na wielkość S: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const}\;</MATH>|8.97}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const}\;</MATH>|8.98}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const}\;</MATH>|8.99}}}} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}} i {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z), z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;</MATH>|8.100}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;</MATH>|8.101}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;</MATH>|8.102}}}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> op0it08wy0kyvgblexuqt70dju8qx9z 555244 555243 2026-09-09T12:40:03Z Persino 2851 /* Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) */ 555244 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H'</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>Q_{k} = \text{const}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>P_{k} = \text{const}\;</MATH>}}. Załóżmy, że istnieje pewna funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_{2} = S(q_{k},P_{k},t)\;</MATH>}}. Wtedy wzory {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}} przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}</MATH>|8.80}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}}</MATH>|8.81}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, który przedstawia równanie Hamiltona–Jacobiego przy warunku {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|8.80}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> H\!\left(q_{k},\,\frac{\partial S}{\partial q_{k}},\,t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} można wykorzystać w postaci wynikającej z {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} to jest {{Formuła|<MATH>R_{2}\;</MATH>}}. Wyznaczając pochodną zupełną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \frac{dR_{1}}{dt} + \frac{d}{dt}\sum_{k} P_{k}Q_{k} </MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} + H' - H </MATH>|8.84}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.84}} do {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i pamiętając, że pochodne zupełne {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{k}\;</MATH>}} względem czasu są równe zero. Wtedy pochodna zupełna {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} względem czasu jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}. Korzystając z definicji Hamiltonianu {{LinkWzór|8.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i} - H = L </MATH>|8.85}} Na podstawie {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony względem czasu, otrzymujemy wzór na funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{0}^{t} L(q_{k},\dot{q}_{k},t)\,dt </MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}\right) </MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równaniem Hamiltona–Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość zapisaną we wzorze {{LinkWzór|8.80}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} \right] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję {{Formuła|<MATH>S(x,y,z,t)\;</MATH>}} jako sumę czterech składników zależnych od różnych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> S = S_{1}(x) + S_{2}(y) + S_{3}(z) + S_{4}(t) </MATH>|8.89}} Układ opisywany hamiltonianem {{LinkWzór|8.87}} jest konserwatywny, więc energia całkowita jest stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = H = -\,\frac{\partial S}{\partial t} </MATH>|8.90}} Wtedy równanie {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie {{LinkWzór|8.89}} i {{LinkWzór|8.90}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{2}}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{3}}{\partial z}\right)^{2} \right] + E = 0 </MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz zależy od innej zmiennej, możemy napisać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_{1} = P_{1}x</MATH>|8.92}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_{2} = P_{2}y</MATH>|8.93}} |3={{CentrujWzór|<MATH>S_{3} = P_{3}z</MATH>|8.94}} }} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}}, {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}}, i wykorzystując definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, energia układu wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right) = E </MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na energię {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję {{Formuła<MATH>S\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.90}}, otrzymujemy całkowite rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = P_{1}x + P_{2}y + P_{3}z - \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right)t </MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}. W takim przypadku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{1}} = x - \frac{P_{1}}{m}t = Q_{1} = \operatorname{const} </MATH>|8.97}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{2}} = y - \frac{P_{2}}{m}t = Q_{2} = \operatorname{const} </MATH>|8.98}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{3}} = z - \frac{P_{3}}{m}t = Q_{3} = \operatorname{const} </MATH>|8.99}} }} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}}, {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> x = \frac{P_{1}}{m}t + Q_{1} </MATH>|8.100}} |2={{CentrujWzór|<MATH> y = \frac{P_{2}}{m}t + Q_{2} </MATH>|8.101}} |3={{CentrujWzór|<MATH> z = \frac{P_{3}}{m}t + Q_{3} </MATH>|8.102}} }} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;</MATH>|8.103}} Teraz przestawmy potencjał U(r,&theta;,&phi;) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(&phi;), i na samym końcu od c(&theta;), i od zmiennych r, &theta;, &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;</MATH>|8.104}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|8.104}} ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać, i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;</MATH>|8.105}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, mając wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy równość różniczkowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.106}} Możemy uwzględnić, że zmienna &theta; jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania {{LinkWzór|8.106}}, w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych &theta;, "r", &phi; i "t": {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;</MATH>|8.107}} Jeśli do równości {{LinkWzór|8.106}} podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie {{LinkWzór|8.107}}, to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr &beta;, który jest w pewnym sensie parametrem stałym: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;</MATH>|8.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;</MATH>|8.109}}}} Patrząc na równości różniczkowe {{LinkWzór|8.108}} i {{LinkWzór|8.109}} możemy napisać końcową równość na funkcję S {{LinkWzór|8.107}}, gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia: {{CentrujWzór|<math>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;</MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hkxfuxp7hwryj6g2oub56yoh1smkae0 555245 555244 2026-09-09T12:43:50Z Persino 2851 /* Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych */ 555245 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H'</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>Q_{k} = \text{const}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>P_{k} = \text{const}\;</MATH>}}. Załóżmy, że istnieje pewna funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_{2} = S(q_{k},P_{k},t)\;</MATH>}}. Wtedy wzory {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}} przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}</MATH>|8.80}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}}</MATH>|8.81}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, który przedstawia równanie Hamiltona–Jacobiego przy warunku {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|8.80}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> H\!\left(q_{k},\,\frac{\partial S}{\partial q_{k}},\,t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} można wykorzystać w postaci wynikającej z {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} to jest {{Formuła|<MATH>R_{2}\;</MATH>}}. Wyznaczając pochodną zupełną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \frac{dR_{1}}{dt} + \frac{d}{dt}\sum_{k} P_{k}Q_{k} </MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} + H' - H </MATH>|8.84}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.84}} do {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i pamiętając, że pochodne zupełne {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{k}\;</MATH>}} względem czasu są równe zero. Wtedy pochodna zupełna {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} względem czasu jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}. Korzystając z definicji Hamiltonianu {{LinkWzór|8.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i} - H = L </MATH>|8.85}} Na podstawie {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony względem czasu, otrzymujemy wzór na funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{0}^{t} L(q_{k},\dot{q}_{k},t)\,dt </MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}\right) </MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równaniem Hamiltona–Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość zapisaną we wzorze {{LinkWzór|8.80}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} \right] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję {{Formuła|<MATH>S(x,y,z,t)\;</MATH>}} jako sumę czterech składników zależnych od różnych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> S = S_{1}(x) + S_{2}(y) + S_{3}(z) + S_{4}(t) </MATH>|8.89}} Układ opisywany hamiltonianem {{LinkWzór|8.87}} jest konserwatywny, więc energia całkowita jest stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = H = -\,\frac{\partial S}{\partial t} </MATH>|8.90}} Wtedy równanie {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie {{LinkWzór|8.89}} i {{LinkWzór|8.90}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{2}}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{3}}{\partial z}\right)^{2} \right] + E = 0 </MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz zależy od innej zmiennej, możemy napisać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_{1} = P_{1}x</MATH>|8.92}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_{2} = P_{2}y</MATH>|8.93}} |3={{CentrujWzór|<MATH>S_{3} = P_{3}z</MATH>|8.94}} }} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}}, {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}}, i wykorzystując definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, energia układu wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right) = E </MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na energię {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję {{Formuła<MATH>S\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.90}}, otrzymujemy całkowite rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = P_{1}x + P_{2}y + P_{3}z - \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right)t </MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}. W takim przypadku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{1}} = x - \frac{P_{1}}{m}t = Q_{1} = \operatorname{const} </MATH>|8.97}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{2}} = y - \frac{P_{2}}{m}t = Q_{2} = \operatorname{const} </MATH>|8.98}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{3}} = z - \frac{P_{3}}{m}t = Q_{3} = \operatorname{const} </MATH>|8.99}} }} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}}, {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> x = \frac{P_{1}}{m}t + Q_{1} </MATH>|8.100}} |2={{CentrujWzór|<MATH> y = \frac{P_{2}}{m}t + Q_{2} </MATH>|8.101}} |3={{CentrujWzór|<MATH> z = \frac{P_{3}}{m}t + Q_{3} </MATH>|8.102}} }} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m} \left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} \right) + U(r,\theta,\phi) </MATH>|8.103}} Teraz przedstawmy potencjał {{Formuła|<MATH>U(r,\theta,\phi)\;</MATH>}} w postaci zależnej od funkcji {{Formuła|<MATH>a(r)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>b(\phi)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c(\theta)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\theta,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} + \frac{c(\theta)}{r^{2}\sin\phi} </MATH>|8.104}} Ostatni wyraz ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc pomijamy go i piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} </MATH>|8.105}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.105}} do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}} oraz wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + a(r) + \frac{1}{2mr^{2}} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) \right] + \frac{1}{2mr^{2}\sin^{2}\phi} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.106}} Zmienna {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} jest cykliczna, więc szukamy rozwiązania w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + S_{1}(r) + S_{2}(\phi) </MATH>|8.107}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.107}} do {{LinkWzór|8.106}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy dwa równania z parametrem {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left(\frac{dS_{2}}{d\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) + \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} = \beta </MATH>|8.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{dS_{1}}{dr}\right)^{2} + a(r) + \frac{\beta}{2mr^{2}} = E </MATH>|8.109}} }} Końcowe rozwiązanie funkcji {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} zapisujemy jako sumę dwóch całek: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + \int \sqrt{ \beta - 2m\,b(\phi) - \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} }\,d\phi + \int \sqrt{ 2m\left(E - a(r)\right) - \frac{\beta}{r^{2}} }\,dr </MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne, definiujemy jako zależne od współrzędnych &xi; i &eta;, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;</MATH>|8.111}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{\xi\eta}\;</MATH>|8.112}}}} Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną &rho; {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH>r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;</mATh>|8.113}} Patrząc na wzory na promień {{LinkWzór|8.113}} i współrzędną zetową {{LinkWzór|8.111}} od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne &xi; i &eta;, w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi=r+z\;</MATH>|8.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta=r-z\;</MATH>|8.115}}}} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.116}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu {{LinkWzór|8.116}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;</MATH>|8.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;</MATH>|8.118}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;</MATH>|8.119}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.116}} i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej {{LinkWzór|8.117}}, współrzędnej η-owej {{LinkWzór|8.118}} i na samym końcu od współrzędnej θ-owej {{LinkWzór|8.119}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;</MATH>|8.120}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;</MATH>|8.121}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.121}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.120}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, wykorzystując wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|8.122}} Równość {{LinkWzór|8.122}} mnożymy przez m(&xi;+&eta;) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych &xi;, &eta; i &theta;, mając na uwadze {{LinkWzór|8.90}}, bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali: {{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;</MATH>|8.123}} Ponieważ funkcja &theta; jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", &theta;, &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.124}} Funkcję {{LinkWzór|8.124}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.123}} i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr &beta;, otrzymujemy dwa poniższe równości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;</MATH>|8.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-mE\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;</MATH>|8.126}}}} Równości {{LinkWzór|8.125}}, {{LinkWzór|8.126}} rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych &xi; i &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}-{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;</MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> cg0mnlenv07cjl7xbsc59g1rk7mzqau 555246 555245 2026-09-09T12:48:01Z Persino 2851 /* Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych */ 555246 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H'</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>Q_{k} = \text{const}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>P_{k} = \text{const}\;</MATH>}}. Załóżmy, że istnieje pewna funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_{2} = S(q_{k},P_{k},t)\;</MATH>}}. Wtedy wzory {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}} przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}</MATH>|8.80}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}}</MATH>|8.81}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, który przedstawia równanie Hamiltona–Jacobiego przy warunku {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|8.80}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> H\!\left(q_{k},\,\frac{\partial S}{\partial q_{k}},\,t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} można wykorzystać w postaci wynikającej z {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} to jest {{Formuła|<MATH>R_{2}\;</MATH>}}. Wyznaczając pochodną zupełną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \frac{dR_{1}}{dt} + \frac{d}{dt}\sum_{k} P_{k}Q_{k} </MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} + H' - H </MATH>|8.84}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.84}} do {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i pamiętając, że pochodne zupełne {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{k}\;</MATH>}} względem czasu są równe zero. Wtedy pochodna zupełna {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} względem czasu jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}. Korzystając z definicji Hamiltonianu {{LinkWzór|8.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i} - H = L </MATH>|8.85}} Na podstawie {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony względem czasu, otrzymujemy wzór na funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{0}^{t} L(q_{k},\dot{q}_{k},t)\,dt </MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}\right) </MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równaniem Hamiltona–Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość zapisaną we wzorze {{LinkWzór|8.80}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} \right] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję {{Formuła|<MATH>S(x,y,z,t)\;</MATH>}} jako sumę czterech składników zależnych od różnych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> S = S_{1}(x) + S_{2}(y) + S_{3}(z) + S_{4}(t) </MATH>|8.89}} Układ opisywany hamiltonianem {{LinkWzór|8.87}} jest konserwatywny, więc energia całkowita jest stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = H = -\,\frac{\partial S}{\partial t} </MATH>|8.90}} Wtedy równanie {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie {{LinkWzór|8.89}} i {{LinkWzór|8.90}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{2}}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{3}}{\partial z}\right)^{2} \right] + E = 0 </MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz zależy od innej zmiennej, możemy napisać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_{1} = P_{1}x</MATH>|8.92}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_{2} = P_{2}y</MATH>|8.93}} |3={{CentrujWzór|<MATH>S_{3} = P_{3}z</MATH>|8.94}} }} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}}, {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}}, i wykorzystując definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, energia układu wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right) = E </MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na energię {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję {{Formuła<MATH>S\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.90}}, otrzymujemy całkowite rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = P_{1}x + P_{2}y + P_{3}z - \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right)t </MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}. W takim przypadku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{1}} = x - \frac{P_{1}}{m}t = Q_{1} = \operatorname{const} </MATH>|8.97}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{2}} = y - \frac{P_{2}}{m}t = Q_{2} = \operatorname{const} </MATH>|8.98}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{3}} = z - \frac{P_{3}}{m}t = Q_{3} = \operatorname{const} </MATH>|8.99}} }} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}}, {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> x = \frac{P_{1}}{m}t + Q_{1} </MATH>|8.100}} |2={{CentrujWzór|<MATH> y = \frac{P_{2}}{m}t + Q_{2} </MATH>|8.101}} |3={{CentrujWzór|<MATH> z = \frac{P_{3}}{m}t + Q_{3} </MATH>|8.102}} }} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m} \left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} \right) + U(r,\theta,\phi) </MATH>|8.103}} Teraz przedstawmy potencjał {{Formuła|<MATH>U(r,\theta,\phi)\;</MATH>}} w postaci zależnej od funkcji {{Formuła|<MATH>a(r)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>b(\phi)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c(\theta)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\theta,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} + \frac{c(\theta)}{r^{2}\sin\phi} </MATH>|8.104}} Ostatni wyraz ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc pomijamy go i piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} </MATH>|8.105}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.105}} do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}} oraz wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + a(r) + \frac{1}{2mr^{2}} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) \right] + \frac{1}{2mr^{2}\sin^{2}\phi} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.106}} Zmienna {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} jest cykliczna, więc szukamy rozwiązania w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + S_{1}(r) + S_{2}(\phi) </MATH>|8.107}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.107}} do {{LinkWzór|8.106}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy dwa równania z parametrem {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left(\frac{dS_{2}}{d\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) + \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} = \beta </MATH>|8.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{dS_{1}}{dr}\right)^{2} + a(r) + \frac{\beta}{2mr^{2}} = E </MATH>|8.109}} }} Końcowe rozwiązanie funkcji {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} zapisujemy jako sumę dwóch całek: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + \int \sqrt{ \beta - 2m\,b(\phi) - \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} }\,d\phi + \int \sqrt{ 2m\left(E - a(r)\right) - \frac{\beta}{r^{2}} }\,dr </MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>z = \frac{1}{2}(\xi - \eta)</MATH>|8.111}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho = \sqrt{\xi\eta}</MATH>|8.112}} }} Wzór na promień otrzymujemy z twierdzenia Pitagorasa, podstawiając do jego definicji współrzędną {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{z^{2} + \rho^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}(\xi^{2} - 2\xi\eta + \eta^{2}) + \xi\eta} = \frac{1}{2}\sqrt{(\xi + \eta)^{2}} = \frac{1}{2}(\xi + \eta) </MATH>|8.113}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|8.113}} i {{LinkWzór|8.111}}, otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\xi = r + z</MATH>|8.114}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\eta = r - z</MATH>|8.115}} }} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^{2} + \rho^{2}\dot{\theta}^{2} + \dot{z}^{2}) - U(\rho,\theta,z) = \frac{m}{8}(\xi + \eta) \left( \frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi} + \frac{\dot{\eta}^{2}}{\eta} \right) + \frac{m}{2}\xi\eta\dot{\theta}^{2} - U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.116}} Wyznaczamy pędy uogólnione: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi} = \frac{m}{4\xi}(\xi + \eta)\dot{\xi}</MATH>|8.117}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta} = \frac{m}{4\eta}(\xi + \eta)\dot{\eta}</MATH>|8.118}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta} = m\xi\eta\dot{\theta}</MATH>|8.119}} }} Hamiltonian: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{2}{m} \frac{\xi p_{\xi}^{2} + \eta p_{\eta}^{2}}{\xi + \eta} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\xi\eta} + U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.120}} Potencjał pola w współrzędnych parabolicznych: {{CentrujWzór|<MATH> U = \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} = \frac{a(r+z) + b(r-z)}{2r} </MATH>|8.121}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.121}} do {{LinkWzór|8.120}}, korzystając z równania Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2}{m(\xi + \eta)} \left[ \xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + \eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} \right] + \frac{1}{2m\xi\eta} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.122}} Mnożymy równanie przez {{Formuła|<MATH>m(\xi+\eta)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + ma(\xi) + m\xi\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} + 2\eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} + mb(\eta) + m\eta\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = 0 </MATH>|8.123}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest zmienną cykliczną, funkcję {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + S_{1}(\xi) + S_{2}(\eta) </MATH>|8.124}} Podstawiamy do {{LinkWzór|8.123}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} + ma(\xi) - mE\xi + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} = \beta </MATH>|8.125}} |2={{CentrujWzór|<MATH> 2\eta\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} + mb(\eta) - mE\eta + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = -\beta </MATH>|8.126}} }} Końcowe rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} + \frac{\beta}{2\xi} - \frac{ma(\xi)}{2\xi} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\xi^{2}} }\,d\xi + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} - \frac{\beta}{2\eta} - \frac{mb(\eta)}{2\eta} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\eta^{2}} }\,d\eta </MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne (&xi;,&eta;,&theta;), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne &rho; i "z", których definicje: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;</MATH>|8.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z=\sigma\xi\eta\;</math>|8.129}}}} Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego &xi; zmienia się od jedynki do nieskończoności, a &eta; zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r{{Sub|1}} i r{{Sub|2}}, których definicję są {{Formuła|<MATH>r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}\;</MATH>}}, które definiujemy jako odległości od punktów z=&sigma; i z=-&sigma;, wtedy do tych odległości podstawimy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi-\eta)</MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH>r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}= \sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma(\xi+\eta)</MATH>|8.131}} Z których to z: {{LinkWzór|8.130}} i {{LinkWzór|8.131}}, wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}} i &sigma;, które są związkami na współrzędne eliptyczne &xi;, i &eta;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.132}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;</MATH>|8.133}}}} Podstawiamy wzory {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}, które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH>L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;</MATH>|8.134}} Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję {{LinkWzór|8.1}}, która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;</MATH>|8.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;</MATH>|8.136}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;</MATH>|8.137}}}} Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|8.134}} przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej &xi;-owej {{LinkWzór|8.135}}, współrzędnej &eta;-owej {{LinkWzór|8.136}} i na samym końcu od współrzędnej &theta;-owej {{LinkWzór|8.137}}: {{CentrujWzór|<MATH>H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]+U(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>|8.138}} Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola: {{CentrujWzór|<MATH>U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;</MATH>|8.139}} Wzór na potencjał pola {{LinkWzór|8.139}} podstawiamy do {{LinkWzór|8.138}}, wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}, a także wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}, który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;</MATH>|8.140}} Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;</MATH>|8.141}} Funkcję {{LinkWzór|8.141}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|8.140}} i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu, by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2m\sigma^2b(\eta)=0\;</MATH>|8.142}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.142}} możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;</MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH>2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;</MATH>|8.144}} Równości: {{LinkWzór|8.143}} i {{LinkWzór|8.144}}, rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η: {{CentrujWzór|<MATH>S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+ \int\sqrt{2m\sigma^2E-{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta</math>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 61vkba5nqec2m873yoz72oe6s1jbpxv 555247 555246 2026-09-09T12:51:24Z Persino 2851 /* Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych */ 555247 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H'</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>Q_{k} = \text{const}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>P_{k} = \text{const}\;</MATH>}}. Załóżmy, że istnieje pewna funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_{2} = S(q_{k},P_{k},t)\;</MATH>}}. Wtedy wzory {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}} przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}</MATH>|8.80}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}}</MATH>|8.81}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, który przedstawia równanie Hamiltona–Jacobiego przy warunku {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|8.80}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> H\!\left(q_{k},\,\frac{\partial S}{\partial q_{k}},\,t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} można wykorzystać w postaci wynikającej z {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} to jest {{Formuła|<MATH>R_{2}\;</MATH>}}. Wyznaczając pochodną zupełną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \frac{dR_{1}}{dt} + \frac{d}{dt}\sum_{k} P_{k}Q_{k} </MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} + H' - H </MATH>|8.84}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.84}} do {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i pamiętając, że pochodne zupełne {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{k}\;</MATH>}} względem czasu są równe zero. Wtedy pochodna zupełna {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} względem czasu jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}. Korzystając z definicji Hamiltonianu {{LinkWzór|8.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i} - H = L </MATH>|8.85}} Na podstawie {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony względem czasu, otrzymujemy wzór na funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{0}^{t} L(q_{k},\dot{q}_{k},t)\,dt </MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}\right) </MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równaniem Hamiltona–Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość zapisaną we wzorze {{LinkWzór|8.80}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} \right] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję {{Formuła|<MATH>S(x,y,z,t)\;</MATH>}} jako sumę czterech składników zależnych od różnych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> S = S_{1}(x) + S_{2}(y) + S_{3}(z) + S_{4}(t) </MATH>|8.89}} Układ opisywany hamiltonianem {{LinkWzór|8.87}} jest konserwatywny, więc energia całkowita jest stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = H = -\,\frac{\partial S}{\partial t} </MATH>|8.90}} Wtedy równanie {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie {{LinkWzór|8.89}} i {{LinkWzór|8.90}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{2}}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{3}}{\partial z}\right)^{2} \right] + E = 0 </MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz zależy od innej zmiennej, możemy napisać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_{1} = P_{1}x</MATH>|8.92}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_{2} = P_{2}y</MATH>|8.93}} |3={{CentrujWzór|<MATH>S_{3} = P_{3}z</MATH>|8.94}} }} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}}, {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}}, i wykorzystując definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, energia układu wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right) = E </MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na energię {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję {{Formuła<MATH>S\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.90}}, otrzymujemy całkowite rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = P_{1}x + P_{2}y + P_{3}z - \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right)t </MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}. W takim przypadku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{1}} = x - \frac{P_{1}}{m}t = Q_{1} = \operatorname{const} </MATH>|8.97}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{2}} = y - \frac{P_{2}}{m}t = Q_{2} = \operatorname{const} </MATH>|8.98}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{3}} = z - \frac{P_{3}}{m}t = Q_{3} = \operatorname{const} </MATH>|8.99}} }} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}}, {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> x = \frac{P_{1}}{m}t + Q_{1} </MATH>|8.100}} |2={{CentrujWzór|<MATH> y = \frac{P_{2}}{m}t + Q_{2} </MATH>|8.101}} |3={{CentrujWzór|<MATH> z = \frac{P_{3}}{m}t + Q_{3} </MATH>|8.102}} }} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m} \left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} \right) + U(r,\theta,\phi) </MATH>|8.103}} Teraz przedstawmy potencjał {{Formuła|<MATH>U(r,\theta,\phi)\;</MATH>}} w postaci zależnej od funkcji {{Formuła|<MATH>a(r)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>b(\phi)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c(\theta)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\theta,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} + \frac{c(\theta)}{r^{2}\sin\phi} </MATH>|8.104}} Ostatni wyraz ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc pomijamy go i piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} </MATH>|8.105}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.105}} do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}} oraz wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + a(r) + \frac{1}{2mr^{2}} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) \right] + \frac{1}{2mr^{2}\sin^{2}\phi} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.106}} Zmienna {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} jest cykliczna, więc szukamy rozwiązania w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + S_{1}(r) + S_{2}(\phi) </MATH>|8.107}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.107}} do {{LinkWzór|8.106}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy dwa równania z parametrem {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left(\frac{dS_{2}}{d\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) + \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} = \beta </MATH>|8.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{dS_{1}}{dr}\right)^{2} + a(r) + \frac{\beta}{2mr^{2}} = E </MATH>|8.109}} }} Końcowe rozwiązanie funkcji {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} zapisujemy jako sumę dwóch całek: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + \int \sqrt{ \beta - 2m\,b(\phi) - \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} }\,d\phi + \int \sqrt{ 2m\left(E - a(r)\right) - \frac{\beta}{r^{2}} }\,dr </MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>z = \frac{1}{2}(\xi - \eta)</MATH>|8.111}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho = \sqrt{\xi\eta}</MATH>|8.112}} }} Wzór na promień otrzymujemy z twierdzenia Pitagorasa, podstawiając do jego definicji współrzędną {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{z^{2} + \rho^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}(\xi^{2} - 2\xi\eta + \eta^{2}) + \xi\eta} = \frac{1}{2}\sqrt{(\xi + \eta)^{2}} = \frac{1}{2}(\xi + \eta) </MATH>|8.113}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|8.113}} i {{LinkWzór|8.111}}, otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\xi = r + z</MATH>|8.114}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\eta = r - z</MATH>|8.115}} }} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^{2} + \rho^{2}\dot{\theta}^{2} + \dot{z}^{2}) - U(\rho,\theta,z) = \frac{m}{8}(\xi + \eta) \left( \frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi} + \frac{\dot{\eta}^{2}}{\eta} \right) + \frac{m}{2}\xi\eta\dot{\theta}^{2} - U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.116}} Wyznaczamy pędy uogólnione: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi} = \frac{m}{4\xi}(\xi + \eta)\dot{\xi}</MATH>|8.117}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta} = \frac{m}{4\eta}(\xi + \eta)\dot{\eta}</MATH>|8.118}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta} = m\xi\eta\dot{\theta}</MATH>|8.119}} }} Hamiltonian: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{2}{m} \frac{\xi p_{\xi}^{2} + \eta p_{\eta}^{2}}{\xi + \eta} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\xi\eta} + U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.120}} Potencjał pola w współrzędnych parabolicznych: {{CentrujWzór|<MATH> U = \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} = \frac{a(r+z) + b(r-z)}{2r} </MATH>|8.121}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.121}} do {{LinkWzór|8.120}}, korzystając z równania Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2}{m(\xi + \eta)} \left[ \xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + \eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} \right] + \frac{1}{2m\xi\eta} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.122}} Mnożymy równanie przez {{Formuła|<MATH>m(\xi+\eta)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + ma(\xi) + m\xi\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} + 2\eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} + mb(\eta) + m\eta\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = 0 </MATH>|8.123}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest zmienną cykliczną, funkcję {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + S_{1}(\xi) + S_{2}(\eta) </MATH>|8.124}} Podstawiamy do {{LinkWzór|8.123}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} + ma(\xi) - mE\xi + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} = \beta </MATH>|8.125}} |2={{CentrujWzór|<MATH> 2\eta\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} + mb(\eta) - mE\eta + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = -\beta </MATH>|8.126}} }} Końcowe rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} + \frac{\beta}{2\xi} - \frac{ma(\xi)}{2\xi} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\xi^{2}} }\,d\xi + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} - \frac{\beta}{2\eta} - \frac{mb(\eta)}{2\eta} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\eta^{2}} }\,d\eta </MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne {{Formuła|<MATH>(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>}}, które definiujemy poprzez współrzędne cylindryczne {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho = \sigma\sqrt{(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})}</MATH>|8.128}} |2={{CentrujWzór|<MATH>z = \sigma\xi\eta</MATH>|8.129}} }} Współrzędne eliptyczne definiuje się tak, że {{Formuła|<MATH>\xi\in[1,\infty)</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\eta\in[-1,1]</MATH>}}. Zdefiniujmy odległości: - {{Formuła|<MATH>r_{1}=\sqrt{(z-\sigma)^{2}+\rho^{2}}</MATH>}} - {{Formuła|<MATH>r_{2}=\sqrt{(z+\sigma)^{2}+\rho^{2}}</MATH>}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH> r_{1} = \sigma(\xi-\eta) </MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH> r_{2} = \sigma(\xi+\eta) </MATH>|8.131}} Zatem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\xi = \frac{r_{2}+r_{1}}{2\sigma}</MATH>|8.132}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\eta = \frac{r_{2}-r_{1}}{2\sigma}</MATH>|8.133}} }} Podstawiamy {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}} do lagrangianu w cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m\sigma^{2}}{2}(\xi^{2}-\eta^{2}) \left( \frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi^{2}-1} + \frac{\dot{\eta}^{2}}{1-\eta^{2}} \right) + \frac{m\sigma^{2}}{2}(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})\dot{\theta}^{2} - U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.134}} Wyznaczamy pędy uogólnione: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi} = m\sigma^{2}\frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{\xi^{2}-1}\dot{\xi}</MATH>|8.135}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta} = m\sigma^{2}\frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{1-\eta^{2}}\dot{\eta}</MATH>|8.136}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta} = m\sigma^{2}(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})\dot{\theta}</MATH>|8.137}} }} Hamiltonian: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m\sigma^{2}(\xi^{2}-\eta^{2})} \left[ (\xi^{2}-1)p_{\xi}^{2} + (1-\eta^{2})p_{\eta}^{2} + \left( \frac{1}{\xi^{2}-1} + \frac{1}{1-\eta^{2}} \right)p_{\theta}^{2} \right] + U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.138}} Potencjał pola: {{CentrujWzór|<MATH> U = \frac{a(\xi)+b(\eta)}{\xi^{2}-\eta^{2}} = \frac{\sigma^{2}}{r_{1}r_{2}} \left[ a\!\left(\frac{r_{2}+r_{1}}{2\sigma}\right) + b\!\left(\frac{r_{2}-r_{1}}{2\sigma}\right) \right] </MATH>|8.139}} Równanie Hamiltona–Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> -2m\sigma^{2}\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{\xi^{2}-\eta^{2}} \Bigg[ (\xi^{2}-1)\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + (1-\eta^{2})\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} + \left( \frac{1}{\xi^{2}-1} + \frac{1}{1-\eta^{2}} \right) \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + 2m\sigma^{2}a(\xi) + 2m\sigma^{2}b(\eta) \Bigg] </MATH>|8.140}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest zmienną cykliczną: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + S_{1}(\xi) + S_{2}(\eta) </MATH>|8.141}} Podstawiamy do {{LinkWzór|8.140}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(\xi^{2}-1) - (\xi^{2}-1)\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{\xi^{2}-1} - 2m\sigma^{2}a(\xi) + 2m\sigma^{2}E(1-\eta^{2}) - (1-\eta^{2})\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{1-\eta^{2}} - 2m\sigma^{2}b(\eta) = 0 </MATH>|8.142}} Separacja zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(\xi^{2}-1) - (\xi^{2}-1)\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{\xi^{2}-1} - 2m\sigma^{2}a(\xi) = -\beta </MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(1-\eta^{2}) - (1-\eta^{2})\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{1-\eta^{2}} - 2m\sigma^{2}b(\eta) = \beta </MATH>|8.144}} Końcowe rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + \int \sqrt{ 2m\sigma^{2}E + \frac{\beta - 2m\sigma^{2}a(\xi)}{\xi^{2}-1} - \frac{p_{\theta}^{2}}{(\xi^{2}-1)^{2}} }\,d\xi + \int \sqrt{ 2m\sigma^{2}E - \frac{\beta + 2m\sigma^{2}b(\eta)}{1-\eta^{2}} - \frac{p_{\theta}^{2}}{(1-\eta^{2})^{2}} }\,d\eta </MATH>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> tujr5ldck0e4ps8wcr5gzvqtst1wj6x 555365 555247 2026-09-09T18:33:37Z Persino 2851 /* Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych */ 555365 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to [transformacja Legendre’a](ca://s?q=Co_to_jest_transformacja_Legendre_a) Lagrangianu względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} |2={{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} |3={{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} |2={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} |3={{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} |2={{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} |3={{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H'</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>Q_{k} = \text{const}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>P_{k} = \text{const}\;</MATH>}}. Załóżmy, że istnieje pewna funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_{2} = S(q_{k},P_{k},t)\;</MATH>}}. Wtedy wzory {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}} przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}</MATH>|8.80}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}}</MATH>|8.81}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, który przedstawia równanie Hamiltona–Jacobiego przy warunku {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|8.80}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> H\!\left(q_{k},\,\frac{\partial S}{\partial q_{k}},\,t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} można wykorzystać w postaci wynikającej z {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} to jest {{Formuła|<MATH>R_{2}\;</MATH>}}. Wyznaczając pochodną zupełną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \frac{dR_{1}}{dt} + \frac{d}{dt}\sum_{k} P_{k}Q_{k} </MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} + H' - H </MATH>|8.84}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.84}} do {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i pamiętając, że pochodne zupełne {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{k}\;</MATH>}} względem czasu są równe zero. Wtedy pochodna zupełna {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} względem czasu jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}. Korzystając z definicji Hamiltonianu {{LinkWzór|8.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i} - H = L </MATH>|8.85}} Na podstawie {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony względem czasu, otrzymujemy wzór na funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{0}^{t} L(q_{k},\dot{q}_{k},t)\,dt </MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}\right) </MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równaniem Hamiltona–Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość zapisaną we wzorze {{LinkWzór|8.80}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} \right] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję {{Formuła|<MATH>S(x,y,z,t)\;</MATH>}} jako sumę czterech składników zależnych od różnych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> S = S_{1}(x) + S_{2}(y) + S_{3}(z) + S_{4}(t) </MATH>|8.89}} Układ opisywany hamiltonianem {{LinkWzór|8.87}} jest konserwatywny, więc energia całkowita jest stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = H = -\,\frac{\partial S}{\partial t} </MATH>|8.90}} Wtedy równanie {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie {{LinkWzór|8.89}} i {{LinkWzór|8.90}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{2}}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{3}}{\partial z}\right)^{2} \right] + E = 0 </MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz zależy od innej zmiennej, możemy napisać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_{1} = P_{1}x</MATH>|8.92}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_{2} = P_{2}y</MATH>|8.93}} |3={{CentrujWzór|<MATH>S_{3} = P_{3}z</MATH>|8.94}} }} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}}, {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}}, i wykorzystując definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, energia układu wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right) = E </MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na energię {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję {{Formuła<MATH>S\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.90}}, otrzymujemy całkowite rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = P_{1}x + P_{2}y + P_{3}z - \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right)t </MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}. W takim przypadku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{1}} = x - \frac{P_{1}}{m}t = Q_{1} = \operatorname{const} </MATH>|8.97}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{2}} = y - \frac{P_{2}}{m}t = Q_{2} = \operatorname{const} </MATH>|8.98}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{3}} = z - \frac{P_{3}}{m}t = Q_{3} = \operatorname{const} </MATH>|8.99}} }} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}}, {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> x = \frac{P_{1}}{m}t + Q_{1} </MATH>|8.100}} |2={{CentrujWzór|<MATH> y = \frac{P_{2}}{m}t + Q_{2} </MATH>|8.101}} |3={{CentrujWzór|<MATH> z = \frac{P_{3}}{m}t + Q_{3} </MATH>|8.102}} }} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m} \left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} \right) + U(r,\theta,\phi) </MATH>|8.103}} Teraz przedstawmy potencjał {{Formuła|<MATH>U(r,\theta,\phi)\;</MATH>}} w postaci zależnej od funkcji {{Formuła|<MATH>a(r)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>b(\phi)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c(\theta)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\theta,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} + \frac{c(\theta)}{r^{2}\sin\phi} </MATH>|8.104}} Ostatni wyraz ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc pomijamy go i piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} </MATH>|8.105}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.105}} do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}} oraz wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + a(r) + \frac{1}{2mr^{2}} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) \right] + \frac{1}{2mr^{2}\sin^{2}\phi} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.106}} Zmienna {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} jest cykliczna, więc szukamy rozwiązania w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + S_{1}(r) + S_{2}(\phi) </MATH>|8.107}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.107}} do {{LinkWzór|8.106}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy dwa równania z parametrem {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \left(\frac{dS_{2}}{d\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) + \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} = \beta </MATH>|8.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{dS_{1}}{dr}\right)^{2} + a(r) + \frac{\beta}{2mr^{2}} = E </MATH>|8.109}} }} Końcowe rozwiązanie funkcji {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} zapisujemy jako sumę dwóch całek: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + \int \sqrt{ \beta - 2m\,b(\phi) - \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} }\,d\phi + \int \sqrt{ 2m\left(E - a(r)\right) - \frac{\beta}{r^{2}} }\,dr </MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>z = \frac{1}{2}(\xi - \eta)</MATH>|8.111}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho = \sqrt{\xi\eta}</MATH>|8.112}} }} Wzór na promień otrzymujemy z twierdzenia Pitagorasa, podstawiając do jego definicji współrzędną {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{z^{2} + \rho^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}(\xi^{2} - 2\xi\eta + \eta^{2}) + \xi\eta} = \frac{1}{2}\sqrt{(\xi + \eta)^{2}} = \frac{1}{2}(\xi + \eta) </MATH>|8.113}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|8.113}} i {{LinkWzór|8.111}}, otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\xi = r + z</MATH>|8.114}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\eta = r - z</MATH>|8.115}} }} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^{2} + \rho^{2}\dot{\theta}^{2} + \dot{z}^{2}) - U(\rho,\theta,z) = \frac{m}{8}(\xi + \eta) \left( \frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi} + \frac{\dot{\eta}^{2}}{\eta} \right) + \frac{m}{2}\xi\eta\dot{\theta}^{2} - U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.116}} Wyznaczamy pędy uogólnione: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi} = \frac{m}{4\xi}(\xi + \eta)\dot{\xi}</MATH>|8.117}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta} = \frac{m}{4\eta}(\xi + \eta)\dot{\eta}</MATH>|8.118}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta} = m\xi\eta\dot{\theta}</MATH>|8.119}} }} Hamiltonian: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{2}{m} \frac{\xi p_{\xi}^{2} + \eta p_{\eta}^{2}}{\xi + \eta} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\xi\eta} + U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.120}} Potencjał pola w współrzędnych parabolicznych: {{CentrujWzór|<MATH> U = \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} = \frac{a(r+z) + b(r-z)}{2r} </MATH>|8.121}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.121}} do {{LinkWzór|8.120}}, korzystając z równania Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2}{m(\xi + \eta)} \left[ \xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + \eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} \right] + \frac{1}{2m\xi\eta} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.122}} Mnożymy równanie przez {{Formuła|<MATH>m(\xi+\eta)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + ma(\xi) + m\xi\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} + 2\eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} + mb(\eta) + m\eta\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = 0 </MATH>|8.123}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest zmienną cykliczną, funkcję {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + S_{1}(\xi) + S_{2}(\eta) </MATH>|8.124}} Podstawiamy do {{LinkWzór|8.123}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} + ma(\xi) - mE\xi + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} = \beta </MATH>|8.125}} |2={{CentrujWzór|<MATH> 2\eta\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} + mb(\eta) - mE\eta + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = -\beta </MATH>|8.126}} }} Końcowe rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} + \frac{\beta}{2\xi} - \frac{ma(\xi)}{2\xi} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\xi^{2}} }\,d\xi + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} - \frac{\beta}{2\eta} - \frac{mb(\eta)}{2\eta} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\eta^{2}} }\,d\eta </MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne {{Formuła|<MATH>(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>}}, które definiujemy poprzez współrzędne cylindryczne {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho = \sigma\sqrt{(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})}</MATH>|8.128}} |2={{CentrujWzór|<MATH>z = \sigma\xi\eta</MATH>|8.129}} }} Współrzędne eliptyczne definiuje się tak, że {{Formuła|<MATH>\xi\in[1,\infty)</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\eta\in[-1,1]</MATH>}}. Zdefiniujmy odległości: * {{Formuła|<MATH>r_{1}=\sqrt{(z-\sigma)^{2}+\rho^{2}}</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>r_{2}=\sqrt{(z+\sigma)^{2}+\rho^{2}}</MATH>}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH> r_{1} = \sigma(\xi-\eta) </MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH> r_{2} = \sigma(\xi+\eta) </MATH>|8.131}} Zatem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\xi = \frac{r_{2}+r_{1}}{2\sigma}</MATH>|8.132}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\eta = \frac{r_{2}-r_{1}}{2\sigma}</MATH>|8.133}} }} Podstawiamy {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}} do lagrangianu w cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m\sigma^{2}}{2}(\xi^{2}-\eta^{2}) \left( \frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi^{2}-1} + \frac{\dot{\eta}^{2}}{1-\eta^{2}} \right) + \frac{m\sigma^{2}}{2}(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})\dot{\theta}^{2} - U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.134}} Wyznaczamy pędy uogólnione: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi} = m\sigma^{2}\frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{\xi^{2}-1}\dot{\xi}</MATH>|8.135}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta} = m\sigma^{2}\frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{1-\eta^{2}}\dot{\eta}</MATH>|8.136}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta} = m\sigma^{2}(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})\dot{\theta}</MATH>|8.137}} }} Hamiltonian: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m\sigma^{2}(\xi^{2}-\eta^{2})} \left[ (\xi^{2}-1)p_{\xi}^{2} + (1-\eta^{2})p_{\eta}^{2} + \left( \frac{1}{\xi^{2}-1} + \frac{1}{1-\eta^{2}} \right)p_{\theta}^{2} \right] + U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.138}} Potencjał pola: {{CentrujWzór|<MATH> U = \frac{a(\xi)+b(\eta)}{\xi^{2}-\eta^{2}} = \frac{\sigma^{2}}{r_{1}r_{2}} \left[ a\!\left(\frac{r_{2}+r_{1}}{2\sigma}\right) + b\!\left(\frac{r_{2}-r_{1}}{2\sigma}\right) \right] </MATH>|8.139}} Równanie Hamiltona–Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> -2m\sigma^{2}\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{\xi^{2}-\eta^{2}} \Bigg[ (\xi^{2}-1)\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + (1-\eta^{2})\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} + \left( \frac{1}{\xi^{2}-1} + \frac{1}{1-\eta^{2}} \right) \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + 2m\sigma^{2}a(\xi) + 2m\sigma^{2}b(\eta) \Bigg] </MATH>|8.140}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest zmienną cykliczną: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + S_{1}(\xi) + S_{2}(\eta) </MATH>|8.141}} Podstawiamy do {{LinkWzór|8.140}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(\xi^{2}-1) - (\xi^{2}-1)\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{\xi^{2}-1} - 2m\sigma^{2}a(\xi) + 2m\sigma^{2}E(1-\eta^{2}) - (1-\eta^{2})\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{1-\eta^{2}} - 2m\sigma^{2}b(\eta) = 0 </MATH>|8.142}} Separacja zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(\xi^{2}-1) - (\xi^{2}-1)\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{\xi^{2}-1} - 2m\sigma^{2}a(\xi) = -\beta </MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(1-\eta^{2}) - (1-\eta^{2})\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{1-\eta^{2}} - 2m\sigma^{2}b(\eta) = \beta </MATH>|8.144}} Końcowe rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + \int \sqrt{ 2m\sigma^{2}E + \frac{\beta - 2m\sigma^{2}a(\xi)}{\xi^{2}-1} - \frac{p_{\theta}^{2}}{(\xi^{2}-1)^{2}} }\,d\xi + \int \sqrt{ 2m\sigma^{2}E - \frac{\beta + 2m\sigma^{2}b(\eta)}{1-\eta^{2}} - \frac{p_{\theta}^{2}}{(1-\eta^{2})^{2}} }\,d\eta </MATH>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fg981lybig4duhs6r4pl2r89fxrph94 0 20331 555248 554856 2026-09-09T12:57:21Z Persino 2851 555248 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię S, którą definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH>\int_S\vec{v}d\vec{S}\;</MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} nazywamy wektor mówiąca jaka jest infinitezymalna powierzchnia przez którą przepływa ciecz, a zwrot tego wektora jest prostopadły do tej powierzchni i skierowanej jest na zewnątrz naszej powierzchni, jeśli mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą. Jeśli mamy tą powierzchnię, wtedy możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy strumień pola prędkości, gdy nie ma źródeł, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{S}=\int_v\operatorname{grad}\vec{v}dV=0\Rightarrow \operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>|9.9}} Jeśli ciecz podczas jego ruchu ma źródła, to wtedy nie zachodzi {{LinkWzór|9.9}}, ale zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{\Sigma}\neq 0\;</MATH>|9.10}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|9.10}} możemy powiedzieć, że jeśli Q>0, to ciecz wypływa z pewnej powierzchni, zaś jeśli Q<0, to ciecz wpływa do wewnątrz powierzchni &Sigma;. Wielkość Q nazywamy wydajnością źródła. Z drugiej jednak strony wydajność źródła Q nazywamy taką wielkość, które jest całką po objętości względem wielkości q: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int_VqdV\;</MATH>|9.11}} Porównując wzory {{LinkWzór|9.10}} ze wzorem {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{S}=\int_VqdV\Rightarrow\int_V\operatorname{grad}\vec{v}dV=\int qdV\Rightarrow q=\operatorname{grad}\vec{v}\;</MATH>|9.12}} Wprowadźmy teraz inną wielkość, która określa wirowość pola prędkości danej cieczy, którą określa cyrkulacja z wielkości, jest ona określana wzorem poniżej, którego definicja jest całką po prędkościach względem infinitezymalnego wektora określająca dany element krzywej zamkniętej. Także w naszej cyrkulacji wykorzystamy twierdzenie Stokesa, wtedy będzie to całkowanie po powierzchni ograniczonej przez naszą wspomniana krzywą: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma=\oint\vec{v}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S}\;</MATH>|9.13}} Cyrkulacja &Gamma; {{LinkWzór|9.13}} jest związana z rotacją pola prędkości, którą to jest połową rotacji pola prędkości, które opisuje prędkość kątową wirów w danej badanej cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\omega}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}\;</MATH>|9.14}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|9.14}} napiszmy, jak jest związana prędkość ciała z jej prędkością kątową, którego zapis jest taki, że jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i wektora wodzącego, który ma początek w samym środku wirów. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;</MATH>|9.15}} W tym celu prędkość kątową przestawmy w postaci wektorowej {{Formuła|<math>\vec{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)\;</MATH>}} i policzmy połówkową wartość rotacji pola prędkości {{LinkWzór|9.14}}, która jest opisany wzorem {{LinkWzór|9.15}}, który to wykorzystamy przy dowodzie wzoru wspomnianego wcześniej: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r})={{1}\over{2}}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_j\omega_l x_m={{1}\over{2}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_j\omega_lx_m= {{1}\over{2}}\left[\left(\nabla_j\omega_ix_j\right)-\nabla_{j}\omega_{j}x_{i}\right]={{1}\over{2}}\left(3\omega_i-\omega_j\delta_{ji}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}\left(3\omega_i-\omega_i\right)={{1}\over{2}}2\omega_i=\omega_i=\vec{\omega}\;</MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, to wtedy mamy do czynienia z ruchem wirowym, wtedy zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0\;</MATH>}}. Cyrkulację pola prędkości {{LinkWzór|9.13}} nazywamy całkę na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.14}}, którego to {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\;</MATH>}} nazywamy polem wirów, wielkość, którą nazywamy strumieniem wirów. {{CentrujWzór|<MATH>\int_S\vec{\omega}\cdot d\vec{S}\;</MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozparzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja tej samej wielkości względem prędkości są równe zero. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>|9.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0\;</MATH>|9.19}}}} Oznaczmy przez prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości &Phi; w przestrzeni dwuwymiarowej, która jest gradientem wspomnianego potencjału pola prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, by rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} przyjmowała wartość zerową, co dowód podamy poniżej, wykorzystując definicję rotacji i gradientu. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\Phi={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right]\Psi={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\right]\Psi=0\;</MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową, to zdefiniujemy prędkość danego punktu cieczy, to współrzędne jego zależą do współrzednej x i y w przestrzeni dwuwymiarowej, którego nasz przepływ zachodzi dla z=0, czyli ruch zachodzi w płaszczyźnie zetowej o tej współrzędnej równej zero. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=(v_x(x,y),v_y(x,y))\;</MATH>|9.22}} Jeśli dokonamy podstawienia, której współrzędna iksowa prędkości jest pochodną cząstkową pewnej wielkości &Psi; względem współrzędnej igrekowej, a współrzędna igrekowa prędkości jest pochodną cząstkową wielkości &Psi; względem współrzędnej iksowej i wziętej z minusem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_x={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;</MATH>|9.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_y=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;</MATH>|9.24}}}} Definicje współrzędnych prędkości {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak sformułowane, by dywergencja prędkości miała wartość zerową, tzn. spełniającego tożsamość poniżej, do której podstawimy wspomniane wielkości, by na końcu udowodnić, że nasze pole prędkości jest polem bezźródłowym: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}={{\partial v_x}\over{\partial x}}+{{\partial v_y}\over{\partial y}}={{\partial^2\psi}\over{\partial x\partial y}}-{{\partial^2\psi}\over{\partial y\partial x}}=0\;</MATH>|9.25}} Jeśli wprowadzimy wielkość, której wszystkie współrzędne są równe zero, oprócz ostatniej, która jest równa &Psi;, zatem tą wielkość przestawimy wzorem {{Formuła|<MATH>\vec{A}=(0,0,\Psi)\;</MATH>}}, to można zauważyć, że jeśli zachodzą związki prędkości iksowej i igrekowej, tzn. wielkości {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, to wtedy dowiemy się, że rotacja wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równa prędkości dla danego punktu cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{A}=\left({{\partial A_x}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}},{{\partial A_x}\over{\partial x}}-{{\partial A_z}\over{\partial x}},{{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)=\left({{\partial \Psi}\over{\partial y}},-{{\partial\Psi}\over{\partial x}},0\right)=\vec{v}\;</MATH>|9.26}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, a także na definicję prędkości {{LinkWzór|9.20}} poprzez potencjał pola prędkości &Phi;, wtedy dostajemy wniosek: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial x}}={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;</MATH>|9.27}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial y}}=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;</MATH>|9.28}}}} Wprowadźmy teraz funkcję W(z) , której częścią rzeczywistą jest funkcja &Phi;(x,y), a częścią urojoną jest funkcja &Psi;(x,y), zatem na podstawie tego możemy zbudować zespoloną funkcję, której zapis: {{CentrujWzór|<MATH>W(z)=\Phi(x,y)+i\Psi(x,y)\;</MATH>|9.29}} Określmy teraz prędkość zespoloną, która jest pochodną zupełną wielkości W(z) {{LinkWzór|9.29}} względem jej argumentu z, i wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.27}} i {{LinkWzór|9.28}} i definicję prędkości względem potencjału pola prędkości {{LinkWzór|9.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>w={{dW}\over{dz}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial x}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial(iy)}}=v_x-iv_y\;</MATH>|9.30}} Zespolona sprzężona prędkość powstaje z jej odpowiednika normalnego {{LinkWzór|9.30}}. {{CentrujWzór|<MATH>w^*=\left({{\partial W}\over{\partial z}}\right)^*=v_x+iv_y\;</MATH>|9.31}} Teraz zbadajmy jak się zmienia wielkość &Psi; wzdłuż linii prądu, w tym celu należy rozpisać różniczkę funkcji &psi; z twierdzenia o różniczce zupełnej wielkości dwóch zmiennych, i wykorzystując przy tym fakt na linię prądów {{Formuła|<MATH>dx:dy=v_x:v_y\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\Psi={{\partial\Psi}\over{\partial x}}dx+{{\partial\Psi}\over{\partial y}}dy=-{{\partial\Phi}\over{\partial y}}dx+{{\partial\Phi}\over{\partial x}}dy= -v_ydx+v_xdy=-v_y{{v_x}\over{v_y}}dy+v_xdy=-v_xdy+v_xdy=0\;</MATH>|9.32}} Obliczenia wykonane w punkcie {{LinkWzór|9.32}} mówią, że wzdłuż linii prądów wielkość &Psi; jest wielkością stałą. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki x{{Sub|1}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, wtedy możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x_i=a_i+s_i\;</MATH>|9.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dx_i=da_i+ds_i\;</MATH>|9.34}}}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki da{{Sub|i}}, wiedząc, że pole s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych a{{Sub|i}}, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>dx_j=da_j+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}da_i=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\;</MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_j}}\;</MATH>}} nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami a{{Sub|i}} i a{{Sub|i}}+da{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.35}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_jdx_j-da_jda_j=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\left(\delta_{jk}+{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_k-da_jda_j=da_jda_j+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_ida_k-da_ida_i=\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_ida_k=2\epsilon_{ik}da_ida_k\;</MATH>|9.36}} Wprowadzimy teraz tensor deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)\;</MATH>|9.37}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH>da_i=dx_i-ds_i=\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k\;</math>|9.38}} Wyrażenie {{LinkWzór|9.38}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami x{{Sub|i}} i x{{Sub|i}}+dx{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_idx_i-da_ida_i=dx_idx_i-\left(\delta_{ij}-{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)dx_j\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k=2\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>|9.39}} Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} nazywamy w tym przypadku tensor: {{CentrujWzór|<math>\overline{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}-{{\partial s_l}\over{\partial x_i}}{{\partial s_l}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|9.40}} Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego {{Formuła|<MATH>{{\partial s_l}\over{\partial a_i}}<<1\;</MATH>}}, to w wyrażeniach na tensory deformacji {{LinkWzór|9.37}} i {{LinkWzór|9.40}} możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_l}}\right)\;</MATH>|9.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_k}}+{{\partial x_k}\over{\partial x_l}}\right)\;</MATH>|9.42}}}} Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną D{{Sub|ik}}, który jest tensorem asymetrycznym: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial s_l}}\right)=\epsilon_{ik}+D_{ik}\;</MATH>|9.43}} By zobaczyć, co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć wektor {{Formuła|<MATH>\vec{D}\;</MATH>}}, który ma trzy niezależne elementy: {{CentrujWzór|<MATH>D_l={{1}\over{2}}\epsilon_{lik}D_{ik}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{1}\over{4}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}=-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\;</MATH>|9.44}} Równość {{LinkWzór|9.44}} możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}} i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=-{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH>|9.45}} Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego D{{Sub|ik}}, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|9.43}} (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości D{{Sub|l}} napisanego w punkcie {{LinkWzór|9.44}} (druga równość poniżej): {{CentrujWzór|<MATH>D_{ik}=\begin{bmatrix} 0&D_{12}&D_{13}\\ -D_{12}&0&D_{23}\\ -D_{13}&-D_{23}&0\end{bmatrix}={{1}\over{2}}\begin{bmatrix}0&D_3&-D_2\\ -D_3&0&D_1\\ D_2&-D_1&0\end{bmatrix}\;</MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor <MATH>\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH> i przechodzącej przez punkt określany przez wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}}, i wykorzystując fakt {{LinkWzór|9.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>ds_i=D_{ik}da_k=-\epsilon_{ijk}D_la_k\Rightarrow d\vec{s}=-\vec{D}\times d\vec{a}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a}\;</MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze. === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe &epsilon; ciał nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;</MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość, jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.49}} * gdzie e{{Sub|i}} są to elementy składowe wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e} \;</MATH>}}, którego odkształcenie jest w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}. W takim bądź razie wielkość {{LinkWzór|9.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.50}} Wielkość &epsilon; daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}, tensor &epsilon;{{Sub|ik}} ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;</MATH>|9.51}} Wielkości &epsilon;{{Sub|i}} występujące w macierzy na &epsilon;{{Sub|ik}} są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1l6kyowgkl4275kut97w8hkwb23lp2o 555250 555248 2026-09-09T13:01:22Z Persino 2851 /* Definicja źródeł i wirów */ 555250 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozparzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja tej samej wielkości względem prędkości są równe zero. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>|9.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0\;</MATH>|9.19}}}} Oznaczmy przez prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości &Phi; w przestrzeni dwuwymiarowej, która jest gradientem wspomnianego potencjału pola prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, by rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} przyjmowała wartość zerową, co dowód podamy poniżej, wykorzystując definicję rotacji i gradientu. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\Phi={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right]\Psi={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\right]\Psi=0\;</MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową, to zdefiniujemy prędkość danego punktu cieczy, to współrzędne jego zależą do współrzednej x i y w przestrzeni dwuwymiarowej, którego nasz przepływ zachodzi dla z=0, czyli ruch zachodzi w płaszczyźnie zetowej o tej współrzędnej równej zero. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=(v_x(x,y),v_y(x,y))\;</MATH>|9.22}} Jeśli dokonamy podstawienia, której współrzędna iksowa prędkości jest pochodną cząstkową pewnej wielkości &Psi; względem współrzędnej igrekowej, a współrzędna igrekowa prędkości jest pochodną cząstkową wielkości &Psi; względem współrzędnej iksowej i wziętej z minusem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_x={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;</MATH>|9.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_y=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;</MATH>|9.24}}}} Definicje współrzędnych prędkości {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak sformułowane, by dywergencja prędkości miała wartość zerową, tzn. spełniającego tożsamość poniżej, do której podstawimy wspomniane wielkości, by na końcu udowodnić, że nasze pole prędkości jest polem bezźródłowym: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}={{\partial v_x}\over{\partial x}}+{{\partial v_y}\over{\partial y}}={{\partial^2\psi}\over{\partial x\partial y}}-{{\partial^2\psi}\over{\partial y\partial x}}=0\;</MATH>|9.25}} Jeśli wprowadzimy wielkość, której wszystkie współrzędne są równe zero, oprócz ostatniej, która jest równa &Psi;, zatem tą wielkość przestawimy wzorem {{Formuła|<MATH>\vec{A}=(0,0,\Psi)\;</MATH>}}, to można zauważyć, że jeśli zachodzą związki prędkości iksowej i igrekowej, tzn. wielkości {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, to wtedy dowiemy się, że rotacja wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest równa prędkości dla danego punktu cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{A}=\left({{\partial A_x}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}},{{\partial A_x}\over{\partial x}}-{{\partial A_z}\over{\partial x}},{{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)=\left({{\partial \Psi}\over{\partial y}},-{{\partial\Psi}\over{\partial x}},0\right)=\vec{v}\;</MATH>|9.26}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, a także na definicję prędkości {{LinkWzór|9.20}} poprzez potencjał pola prędkości &Phi;, wtedy dostajemy wniosek: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial x}}={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;</MATH>|9.27}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial y}}=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;</MATH>|9.28}}}} Wprowadźmy teraz funkcję W(z) , której częścią rzeczywistą jest funkcja &Phi;(x,y), a częścią urojoną jest funkcja &Psi;(x,y), zatem na podstawie tego możemy zbudować zespoloną funkcję, której zapis: {{CentrujWzór|<MATH>W(z)=\Phi(x,y)+i\Psi(x,y)\;</MATH>|9.29}} Określmy teraz prędkość zespoloną, która jest pochodną zupełną wielkości W(z) {{LinkWzór|9.29}} względem jej argumentu z, i wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.27}} i {{LinkWzór|9.28}} i definicję prędkości względem potencjału pola prędkości {{LinkWzór|9.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>w={{dW}\over{dz}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial x}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial(iy)}}=v_x-iv_y\;</MATH>|9.30}} Zespolona sprzężona prędkość powstaje z jej odpowiednika normalnego {{LinkWzór|9.30}}. {{CentrujWzór|<MATH>w^*=\left({{\partial W}\over{\partial z}}\right)^*=v_x+iv_y\;</MATH>|9.31}} Teraz zbadajmy jak się zmienia wielkość &Psi; wzdłuż linii prądu, w tym celu należy rozpisać różniczkę funkcji &psi; z twierdzenia o różniczce zupełnej wielkości dwóch zmiennych, i wykorzystując przy tym fakt na linię prądów {{Formuła|<MATH>dx:dy=v_x:v_y\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\Psi={{\partial\Psi}\over{\partial x}}dx+{{\partial\Psi}\over{\partial y}}dy=-{{\partial\Phi}\over{\partial y}}dx+{{\partial\Phi}\over{\partial x}}dy= -v_ydx+v_xdy=-v_y{{v_x}\over{v_y}}dy+v_xdy=-v_xdy+v_xdy=0\;</MATH>|9.32}} Obliczenia wykonane w punkcie {{LinkWzór|9.32}} mówią, że wzdłuż linii prądów wielkość &Psi; jest wielkością stałą. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki x{{Sub|1}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, wtedy możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x_i=a_i+s_i\;</MATH>|9.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dx_i=da_i+ds_i\;</MATH>|9.34}}}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki da{{Sub|i}}, wiedząc, że pole s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych a{{Sub|i}}, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>dx_j=da_j+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}da_i=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\;</MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_j}}\;</MATH>}} nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami a{{Sub|i}} i a{{Sub|i}}+da{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.35}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_jdx_j-da_jda_j=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\left(\delta_{jk}+{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_k-da_jda_j=da_jda_j+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_ida_k-da_ida_i=\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_ida_k=2\epsilon_{ik}da_ida_k\;</MATH>|9.36}} Wprowadzimy teraz tensor deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)\;</MATH>|9.37}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH>da_i=dx_i-ds_i=\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k\;</math>|9.38}} Wyrażenie {{LinkWzór|9.38}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami x{{Sub|i}} i x{{Sub|i}}+dx{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_idx_i-da_ida_i=dx_idx_i-\left(\delta_{ij}-{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)dx_j\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k=2\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>|9.39}} Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} nazywamy w tym przypadku tensor: {{CentrujWzór|<math>\overline{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}-{{\partial s_l}\over{\partial x_i}}{{\partial s_l}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|9.40}} Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego {{Formuła|<MATH>{{\partial s_l}\over{\partial a_i}}<<1\;</MATH>}}, to w wyrażeniach na tensory deformacji {{LinkWzór|9.37}} i {{LinkWzór|9.40}} możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_l}}\right)\;</MATH>|9.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_k}}+{{\partial x_k}\over{\partial x_l}}\right)\;</MATH>|9.42}}}} Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną D{{Sub|ik}}, który jest tensorem asymetrycznym: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial s_l}}\right)=\epsilon_{ik}+D_{ik}\;</MATH>|9.43}} By zobaczyć, co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć wektor {{Formuła|<MATH>\vec{D}\;</MATH>}}, który ma trzy niezależne elementy: {{CentrujWzór|<MATH>D_l={{1}\over{2}}\epsilon_{lik}D_{ik}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{1}\over{4}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}=-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\;</MATH>|9.44}} Równość {{LinkWzór|9.44}} możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}} i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=-{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH>|9.45}} Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego D{{Sub|ik}}, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|9.43}} (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości D{{Sub|l}} napisanego w punkcie {{LinkWzór|9.44}} (druga równość poniżej): {{CentrujWzór|<MATH>D_{ik}=\begin{bmatrix} 0&D_{12}&D_{13}\\ -D_{12}&0&D_{23}\\ -D_{13}&-D_{23}&0\end{bmatrix}={{1}\over{2}}\begin{bmatrix}0&D_3&-D_2\\ -D_3&0&D_1\\ D_2&-D_1&0\end{bmatrix}\;</MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor <MATH>\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH> i przechodzącej przez punkt określany przez wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}}, i wykorzystując fakt {{LinkWzór|9.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>ds_i=D_{ik}da_k=-\epsilon_{ijk}D_la_k\Rightarrow d\vec{s}=-\vec{D}\times d\vec{a}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a}\;</MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze. === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe &epsilon; ciał nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;</MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość, jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.49}} * gdzie e{{Sub|i}} są to elementy składowe wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e} \;</MATH>}}, którego odkształcenie jest w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}. W takim bądź razie wielkość {{LinkWzór|9.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.50}} Wielkość &epsilon; daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}, tensor &epsilon;{{Sub|ik}} ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;</MATH>|9.51}} Wielkości &epsilon;{{Sub|i}} występujące w macierzy na &epsilon;{{Sub|ik}} są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3l8wx09r04iv4j00n7k8zdf3z8hpjw4 555251 555250 2026-09-09T13:05:36Z Persino 2851 /* Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej */ 555251 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki x{{Sub|1}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, wtedy możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x_i=a_i+s_i\;</MATH>|9.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dx_i=da_i+ds_i\;</MATH>|9.34}}}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki da{{Sub|i}}, wiedząc, że pole s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych a{{Sub|i}}, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>dx_j=da_j+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}da_i=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\;</MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_j}}\;</MATH>}} nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami a{{Sub|i}} i a{{Sub|i}}+da{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.35}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_jdx_j-da_jda_j=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\left(\delta_{jk}+{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_k-da_jda_j=da_jda_j+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_ida_k-da_ida_i=\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_ida_k=2\epsilon_{ik}da_ida_k\;</MATH>|9.36}} Wprowadzimy teraz tensor deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)\;</MATH>|9.37}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH>da_i=dx_i-ds_i=\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k\;</math>|9.38}} Wyrażenie {{LinkWzór|9.38}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami x{{Sub|i}} i x{{Sub|i}}+dx{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_idx_i-da_ida_i=dx_idx_i-\left(\delta_{ij}-{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)dx_j\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k=2\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>|9.39}} Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} nazywamy w tym przypadku tensor: {{CentrujWzór|<math>\overline{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}-{{\partial s_l}\over{\partial x_i}}{{\partial s_l}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|9.40}} Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego {{Formuła|<MATH>{{\partial s_l}\over{\partial a_i}}<<1\;</MATH>}}, to w wyrażeniach na tensory deformacji {{LinkWzór|9.37}} i {{LinkWzór|9.40}} możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_l}}\right)\;</MATH>|9.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_k}}+{{\partial x_k}\over{\partial x_l}}\right)\;</MATH>|9.42}}}} Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną D{{Sub|ik}}, który jest tensorem asymetrycznym: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial s_l}}\right)=\epsilon_{ik}+D_{ik}\;</MATH>|9.43}} By zobaczyć, co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć wektor {{Formuła|<MATH>\vec{D}\;</MATH>}}, który ma trzy niezależne elementy: {{CentrujWzór|<MATH>D_l={{1}\over{2}}\epsilon_{lik}D_{ik}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{1}\over{4}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}=-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\;</MATH>|9.44}} Równość {{LinkWzór|9.44}} możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}} i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=-{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH>|9.45}} Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego D{{Sub|ik}}, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|9.43}} (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości D{{Sub|l}} napisanego w punkcie {{LinkWzór|9.44}} (druga równość poniżej): {{CentrujWzór|<MATH>D_{ik}=\begin{bmatrix} 0&D_{12}&D_{13}\\ -D_{12}&0&D_{23}\\ -D_{13}&-D_{23}&0\end{bmatrix}={{1}\over{2}}\begin{bmatrix}0&D_3&-D_2\\ -D_3&0&D_1\\ D_2&-D_1&0\end{bmatrix}\;</MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor <MATH>\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH> i przechodzącej przez punkt określany przez wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}}, i wykorzystując fakt {{LinkWzór|9.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>ds_i=D_{ik}da_k=-\epsilon_{ijk}D_la_k\Rightarrow d\vec{s}=-\vec{D}\times d\vec{a}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a}\;</MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze. === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe &epsilon; ciał nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;</MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość, jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.49}} * gdzie e{{Sub|i}} są to elementy składowe wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e} \;</MATH>}}, którego odkształcenie jest w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}. W takim bądź razie wielkość {{LinkWzór|9.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.50}} Wielkość &epsilon; daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}, tensor &epsilon;{{Sub|ik}} ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;</MATH>|9.51}} Wielkości &epsilon;{{Sub|i}} występujące w macierzy na &epsilon;{{Sub|ik}} są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> d59zcb4c2hke3n7um5ins5fl4wq8i7d 555253 555251 2026-09-09T13:06:27Z Persino 2851 /* Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej */ 555253 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki x{{Sub|1}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, wtedy możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x_i=a_i+s_i\;</MATH>|9.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dx_i=da_i+ds_i\;</MATH>|9.34}}}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki da{{Sub|i}}, wiedząc, że pole s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych a{{Sub|i}}, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>dx_j=da_j+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}da_i=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\;</MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_j}}\;</MATH>}} nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami a{{Sub|i}} i a{{Sub|i}}+da{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.35}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_jdx_j-da_jda_j=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\left(\delta_{jk}+{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_k-da_jda_j=da_jda_j+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_ida_k-da_ida_i=\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_ida_k=2\epsilon_{ik}da_ida_k\;</MATH>|9.36}} Wprowadzimy teraz tensor deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)\;</MATH>|9.37}} Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że s{{Sub|i}} jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH>da_i=dx_i-ds_i=\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k\;</math>|9.38}} Wyrażenie {{LinkWzór|9.38}} zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami x{{Sub|i}} i x{{Sub|i}}+dx{{Sub|i}}, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2-dl^2=dx_idx_i-da_ida_i=dx_idx_i-\left(\delta_{ij}-{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)dx_j\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k=2\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>|9.39}} Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} nazywamy w tym przypadku tensor: {{CentrujWzór|<math>\overline{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}-{{\partial s_l}\over{\partial x_i}}{{\partial s_l}\over{\partial x_k}}\right)\;</MATH>|9.40}} Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego {{Formuła|<MATH>{{\partial s_l}\over{\partial a_i}}<<1\;</MATH>}}, to w wyrażeniach na tensory deformacji {{LinkWzór|9.37}} i {{LinkWzór|9.40}} możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_l}}\right)\;</MATH>|9.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_k}}+{{\partial x_k}\over{\partial x_l}}\right)\;</MATH>|9.42}}}} Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną &epsilon;{{Sub|ik}}, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną D{{Sub|ik}}, który jest tensorem asymetrycznym: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial s_l}}\right)=\epsilon_{ik}+D_{ik}\;</MATH>|9.43}} By zobaczyć, co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć wektor {{Formuła|<MATH>\vec{D}\;</MATH>}}, który ma trzy niezależne elementy: {{CentrujWzór|<MATH>D_l={{1}\over{2}}\epsilon_{lik}D_{ik}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{1}\over{4}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}=-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\;</MATH>|9.44}} Równość {{LinkWzór|9.44}} możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}} i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=-{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH>|9.45}} Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego D{{Sub|ik}}, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|9.43}} (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości D{{Sub|l}} napisanego w punkcie {{LinkWzór|9.44}} (druga równość poniżej): {{CentrujWzór|<MATH>D_{ik}=\begin{bmatrix} 0&D_{12}&D_{13}\\ -D_{12}&0&D_{23}\\ -D_{13}&-D_{23}&0\end{bmatrix}={{1}\over{2}}\begin{bmatrix}0&D_3&-D_2\\ -D_3&0&D_1\\ D_2&-D_1&0\end{bmatrix}\;</MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor <MATH>\operatorname{rot}\vec{s}\;</MATH> i przechodzącej przez punkt określany przez wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}}, i wykorzystując fakt {{LinkWzór|9.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>ds_i=D_{ik}da_k=-\epsilon_{ijk}D_la_k\Rightarrow d\vec{s}=-\vec{D}\times d\vec{a}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a}\;</MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze. === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe &epsilon; ciał nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;</MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość, jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.49}} * gdzie e{{Sub|i}} są to elementy składowe wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e} \;</MATH>}}, którego odkształcenie jest w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}. W takim bądź razie wielkość {{LinkWzór|9.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.50}} Wielkość &epsilon; daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}, tensor &epsilon;{{Sub|ik}} ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;</MATH>|9.51}} Wielkości &epsilon;{{Sub|i}} występujące w macierzy na &epsilon;{{Sub|ik}} są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rjo84qyemteusfj4njqumbazx19hhy9 555254 555253 2026-09-09T13:10:55Z Persino 2851 /* Wprowadzenie tensora deformacji */ 555254 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze. === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe &epsilon; ciał nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;</MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość, jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.49}} * gdzie e{{Sub|i}} są to elementy składowe wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e} \;</MATH>}}, którego odkształcenie jest w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}. W takim bądź razie wielkość {{LinkWzór|9.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.50}} Wielkość &epsilon; daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}, tensor &epsilon;{{Sub|ik}} ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;</MATH>|9.51}} Wielkości &epsilon;{{Sub|i}} występujące w macierzy na &epsilon;{{Sub|ik}} są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> b33zjc74sr0u4scevwlgz51vji5hc23 555255 555254 2026-09-09T13:15:59Z Persino 2851 /* Tensor deformacji i jego sens fizyczny */ 555255 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe &epsilon; ciał nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;</MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość, jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.49}} * gdzie e{{Sub|i}} są to elementy składowe wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e} \;</MATH>}}, którego odkształcenie jest w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}. W takim bądź razie wielkość {{LinkWzór|9.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;</MATH>|9.50}} Wielkość &epsilon; daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}}, tensor &epsilon;{{Sub|ik}} ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;</MATH>|9.51}} Wielkości &epsilon;{{Sub|i}} występujące w macierzy na &epsilon;{{Sub|ik}} są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> tr9q4u5ax2v7rchr5gjip701yhviyf2 555256 555255 2026-09-09T13:18:14Z Persino 2851 /* Wydłużenie liniowe ciał fizycznych */ 555256 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;</MATH>|9.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;</MATH>|9.53}}}} Określmy sobie teraz kąt &theta;, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;</MATH>|9.54}} Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez {{LinkWzór|9.54}}, zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;</math>|9.55}} * gdzie z oczywistych powodów wielkości {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}_2\;</MATH>}} możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;</MATH>|9.56}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;</MATH>|9.57}}}} Infinitezymalny iloczyn dx{{Sub|1i}}dx{{Sub|2i}} zapisujemy wzorem według {{LinkWzór|9.35}}, do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;</MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;</MATH>|9.59}} Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru {{LinkWzór|9.55}}, z którego wyznaczymy kosinus kąta &theta; oraz do którego wykorzystamy definicję wydłużenia {{Formuła|<MATH>d\tilde{l}\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.59}} i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek {{LinkWzór|9.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;</MATH>|9.60}} Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków {{Formuła|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>}}, wtedy współczynnik &gamma; na podstawie definicji kata &theta; {{LinkWzór|9.54}}, a także definicji wektorów {{LinkWzór|9.52}} i {{LinkWzór|9.53}}, możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<math>\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;</MATH>|9.61}} Wielkość określoną wzorem {{LinkWzór|9.61}} nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata &phi;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;</MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ijadurxuvtk2otww2ffi0j51ugx2ffb 555257 555256 2026-09-09T13:20:23Z Persino 2851 /* Skręcenia */ 555257 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH>\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;</MATH>|9.63}} Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru {{LinkWzór|9.59}}, ale tym razem mamy dx{{Sub|i}}=(1+&epsilon;{{Sub|ii}})da{{Sub|i}}, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;</MATH>|9.64}} === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rnt3q742d168orgdxntvelq8gupf46t 555258 555257 2026-09-09T13:22:57Z Persino 2851 /* Przypadek rozszerzalności objętościowej */ 555258 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}} Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca === Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;</MATH>|9.65}} Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;</MATH>|9.66}} Widzimy, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}\;</MATH>}} ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie {{LinkWzór|9.64}} dochodzimy do wniosku, że ten tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji &epsilon;{{Sub|ik}}, czyli: 1/3&theta;&delta;{{Sub|ik}} opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> cgcx6k2lxgjs5ugotxu5ihhaiahn0w6 555259 555258 2026-09-09T13:25:56Z Persino 2851 /* Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca */ 555259 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}} Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą === Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części: * część '''niezmieniającą objętości''' (o zerowym śladzie), * część '''zmieniającą objętość''' (izotropową). Rozkład ten zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik} </MATH>|9.65}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} — część deviatorowa (bezśladowa), * {{Formuła|<MATH>\theta = \epsilon_{ll}</MATH>}} — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji). ---- Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} ma '''zerowy ślad'''. Dowód: {{CentrujWzór|<MATH> \tilde{\epsilon}_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\cdot 3 = 0 </MATH>|9.66}} Zatem: * tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} opisuje '''deformacje niezmieniające objętości''' (czyste odkształcenia postaciowe), * człon {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} opisuje '''zmiany objętości''' — rozciąganie lub kurczenie ciała. ---- Wniosek: * '''Deviator tensora deformacji''' {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości, * '''część kulista''' {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę objętości ciała. Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy sobie tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}\;</MATH>}}, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.67}} Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze {{LinkWzór|9.67}} nazywamy tensorem prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;</MATH>|9.68}} Ślad tensora &Nu;{{Sub|ik}} {{LinkWzór|9.68}} nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|9.69}} Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} jest to po prostu tensor prędkości deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}={{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial x_r}}{{\partial x_r(a_i,t)}\over{\partial t}}+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}=(v_r\nabla_r)s_i+{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\Rightarrow v_i=\dot{s}_i={{\partial s_{i}(a_i,t)}\over{\partial t}}\simeq{{\partial s_i(x_i,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|s2}} bo w {{LinkWzór|s2}} wyraz {{Formuła|<MATH>(v_r\nabla_r)s_i\;</MATH>}} pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)\simeq{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;</MATH>|9.70}} Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|9.14}}, co możemy już zacząć te obliczenia. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;</MATH>|9.71}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ffk09aluneruszjl1za61q02vl2zou2 555260 555259 2026-09-09T13:30:10Z Persino 2851 /* Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji */ 555260 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}} Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}} Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą === Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części: * część '''niezmieniającą objętości''' (o zerowym śladzie), * część '''zmieniającą objętość''' (izotropową). Rozkład ten zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik} </MATH>|9.65}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} — część deviatorowa (bezśladowa), * {{Formuła|<MATH>\theta = \epsilon_{ll}</MATH>}} — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji). ---- Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} ma '''zerowy ślad'''. Dowód: {{CentrujWzór|<MATH> \tilde{\epsilon}_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\cdot 3 = 0 </MATH>|9.66}} Zatem: * tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} opisuje '''deformacje niezmieniające objętości''' (czyste odkształcenia postaciowe), * człon {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} opisuje '''zmiany objętości''' — rozciąganie lub kurczenie ciała. ---- Wniosek: * '''Deviator tensora deformacji''' {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości, * '''część kulista''' {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę objętości ciała. Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{k}}</MATH>}}, który możemy rozłożyć na część '''symetryczną''' i '''asymetryczną''': {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.67}} Pierwszy człon jest '''symetryczny''' (nie zmienia się przy zamianie indeksów), drugi — '''antysymetryczny''' (zmienia znak przy zamianie indeksów). === Tensor prędkości deformacji === Symetryczną część tensora prędkości przesunięć nazywamy '''tensorem prędkości deformacji''': {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.68}} Ślad tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ll} = \frac{\partial v_{l}}{\partial x_{l}} = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.69}} opisuje '''szybkość zmiany objętości''' elementu materiału. === Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji === W przybliżeniu liniowym prędkość przesunięcia jest pochodną czasową pola przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \dot{s}_{i} = \frac{\partial s_{i}(a_{i},t)}{\partial t} \simeq \frac{\partial s_{i}(x_{i},t)}{\partial t} </MATH>|s2}} Wyraz konwekcyjny {{Formuła|<MATH>(v_{r}\nabla_{r})s_{i}</MATH>}} pomijamy jako bardzo mały. Pochodna czasowa tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\epsilon_{ik}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} \right) \simeq \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) = \Nu_{ik} </MATH>|9.70}} Wniosek: * Tensor prędkości deformacji jest czasową pochodną tensora deformacji. === Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału === Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) \right] = \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \vec{\omega} </MATH>|9.71}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\epsilon_{lik}</MATH>}} — symbol Levi-Civita, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} — '''wektor prędkości kątowej''' elementu materiału. Wniosek: * Część antysymetryczna tensora prędkości przesunięć opisuje lokalny obrót elementu materiału i jest równa połowie rotacji pola prędkości. 6ihaib6ccvoo6gjp8l1ogrwbksx4gyj 555361 555260 2026-09-09T18:29:17Z Persino 2851 /* Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej */ 555361 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}} Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}}. Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}} Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą === Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części: * część '''niezmieniającą objętości''' (o zerowym śladzie), * część '''zmieniającą objętość''' (izotropową). Rozkład ten zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik} </MATH>|9.65}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} — część deviatorowa (bezśladowa), * {{Formuła|<MATH>\theta = \epsilon_{ll}</MATH>}} — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji). ---- Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} ma '''zerowy ślad'''. Dowód: {{CentrujWzór|<MATH> \tilde{\epsilon}_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\cdot 3 = 0 </MATH>|9.66}} Zatem: * tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} opisuje '''deformacje niezmieniające objętości''' (czyste odkształcenia postaciowe), * człon {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} opisuje '''zmiany objętości''' — rozciąganie lub kurczenie ciała. ---- Wniosek: * '''Deviator tensora deformacji''' {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości, * '''część kulista''' {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę objętości ciała. Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{k}}</MATH>}}, który możemy rozłożyć na część '''symetryczną''' i '''asymetryczną''': {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.67}} Pierwszy człon jest '''symetryczny''' (nie zmienia się przy zamianie indeksów), drugi — '''antysymetryczny''' (zmienia znak przy zamianie indeksów). === Tensor prędkości deformacji === Symetryczną część tensora prędkości przesunięć nazywamy '''tensorem prędkości deformacji''': {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.68}} Ślad tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ll} = \frac{\partial v_{l}}{\partial x_{l}} = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.69}} opisuje '''szybkość zmiany objętości''' elementu materiału. === Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji === W przybliżeniu liniowym prędkość przesunięcia jest pochodną czasową pola przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \dot{s}_{i} = \frac{\partial s_{i}(a_{i},t)}{\partial t} \simeq \frac{\partial s_{i}(x_{i},t)}{\partial t} </MATH>|s2}} Wyraz konwekcyjny {{Formuła|<MATH>(v_{r}\nabla_{r})s_{i}</MATH>}} pomijamy jako bardzo mały. Pochodna czasowa tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\epsilon_{ik}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} \right) \simeq \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) = \Nu_{ik} </MATH>|9.70}} Wniosek: * Tensor prędkości deformacji jest czasową pochodną tensora deformacji. === Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału === Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) \right] = \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \vec{\omega} </MATH>|9.71}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\epsilon_{lik}</MATH>}} — symbol Levi-Civita, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} — '''wektor prędkości kątowej''' elementu materiału. Wniosek: * Część antysymetryczna tensora prędkości przesunięć opisuje lokalny obrót elementu materiału i jest równa połowie rotacji pola prędkości. 6m8l7sr3jdkz8z6q1yi9k6lmk4ld27p 555362 555361 2026-09-09T18:29:58Z Persino 2851 /* Definicja źródeł i wirów */ 555362 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}}. Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}}. Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}} Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą === Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części: * część '''niezmieniającą objętości''' (o zerowym śladzie), * część '''zmieniającą objętość''' (izotropową). Rozkład ten zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik} </MATH>|9.65}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} — część deviatorowa (bezśladowa), * {{Formuła|<MATH>\theta = \epsilon_{ll}</MATH>}} — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji). ---- Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} ma '''zerowy ślad'''. Dowód: {{CentrujWzór|<MATH> \tilde{\epsilon}_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\cdot 3 = 0 </MATH>|9.66}} Zatem: * tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} opisuje '''deformacje niezmieniające objętości''' (czyste odkształcenia postaciowe), * człon {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} opisuje '''zmiany objętości''' — rozciąganie lub kurczenie ciała. ---- Wniosek: * '''Deviator tensora deformacji''' {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości, * '''część kulista''' {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę objętości ciała. Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{k}}</MATH>}}, który możemy rozłożyć na część '''symetryczną''' i '''asymetryczną''': {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.67}} Pierwszy człon jest '''symetryczny''' (nie zmienia się przy zamianie indeksów), drugi — '''antysymetryczny''' (zmienia znak przy zamianie indeksów). === Tensor prędkości deformacji === Symetryczną część tensora prędkości przesunięć nazywamy '''tensorem prędkości deformacji''': {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.68}} Ślad tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ll} = \frac{\partial v_{l}}{\partial x_{l}} = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.69}} opisuje '''szybkość zmiany objętości''' elementu materiału. === Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji === W przybliżeniu liniowym prędkość przesunięcia jest pochodną czasową pola przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \dot{s}_{i} = \frac{\partial s_{i}(a_{i},t)}{\partial t} \simeq \frac{\partial s_{i}(x_{i},t)}{\partial t} </MATH>|s2}} Wyraz konwekcyjny {{Formuła|<MATH>(v_{r}\nabla_{r})s_{i}</MATH>}} pomijamy jako bardzo mały. Pochodna czasowa tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\epsilon_{ik}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} \right) \simeq \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) = \Nu_{ik} </MATH>|9.70}} Wniosek: * Tensor prędkości deformacji jest czasową pochodną tensora deformacji. === Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału === Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) \right] = \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \vec{\omega} </MATH>|9.71}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\epsilon_{lik}</MATH>}} — symbol Levi-Civita, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} — '''wektor prędkości kątowej''' elementu materiału. Wniosek: * Część antysymetryczna tensora prędkości przesunięć opisuje lokalny obrót elementu materiału i jest równa połowie rotacji pola prędkości. 9q2r0biy2prj5aj1ynh9owtdcjc1x2u 555363 555362 2026-09-09T18:30:48Z Persino 2851 /* Skręcenia */ 555363 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}}. Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}}. Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}} Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą === Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części: * część '''niezmieniającą objętości''' (o zerowym śladzie), * część '''zmieniającą objętość''' (izotropową). Rozkład ten zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik} </MATH>|9.65}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} — część deviatorowa (bezśladowa), * {{Formuła|<MATH>\theta = \epsilon_{ll}</MATH>}} — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji). ---- Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} ma '''zerowy ślad'''. Dowód: {{CentrujWzór|<MATH> \tilde{\epsilon}_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\cdot 3 = 0 </MATH>|9.66}} Zatem: * tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} opisuje '''deformacje niezmieniające objętości''' (czyste odkształcenia postaciowe), * człon {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} opisuje '''zmiany objętości''' — rozciąganie lub kurczenie ciała. ---- Wniosek: * '''Deviator tensora deformacji''' {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości, * '''część kulista''' {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę objętości ciała. Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{k}}</MATH>}}, który możemy rozłożyć na część '''symetryczną''' i '''asymetryczną''': {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.67}} Pierwszy człon jest '''symetryczny''' (nie zmienia się przy zamianie indeksów), drugi — '''antysymetryczny''' (zmienia znak przy zamianie indeksów). === Tensor prędkości deformacji === Symetryczną część tensora prędkości przesunięć nazywamy '''tensorem prędkości deformacji''': {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.68}} Ślad tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ll} = \frac{\partial v_{l}}{\partial x_{l}} = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.69}} opisuje '''szybkość zmiany objętości''' elementu materiału. === Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji === W przybliżeniu liniowym prędkość przesunięcia jest pochodną czasową pola przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \dot{s}_{i} = \frac{\partial s_{i}(a_{i},t)}{\partial t} \simeq \frac{\partial s_{i}(x_{i},t)}{\partial t} </MATH>|s2}} Wyraz konwekcyjny {{Formuła|<MATH>(v_{r}\nabla_{r})s_{i}</MATH>}} pomijamy jako bardzo mały. Pochodna czasowa tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\epsilon_{ik}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} \right) \simeq \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) = \Nu_{ik} </MATH>|9.70}} Wniosek: * Tensor prędkości deformacji jest czasową pochodną tensora deformacji. === Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału === Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) \right] = \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \vec{\omega} </MATH>|9.71}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\epsilon_{lik}</MATH>}} — symbol Levi-Civita, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} — '''wektor prędkości kątowej''' elementu materiału. Wniosek: * Część antysymetryczna tensora prędkości przesunięć opisuje lokalny obrót elementu materiału i jest równa połowie rotacji pola prędkości. jvw21ji870hrnla9h2sn7baa0pb4xju 555364 555363 2026-09-09T18:31:16Z Persino 2851 /* Przypadek rozszerzalności objętościowej */ 555364 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}}. Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}}. Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}}. Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą === Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części: * część '''niezmieniającą objętości''' (o zerowym śladzie), * część '''zmieniającą objętość''' (izotropową). Rozkład ten zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik} </MATH>|9.65}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} — część deviatorowa (bezśladowa), * {{Formuła|<MATH>\theta = \epsilon_{ll}</MATH>}} — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji). ---- Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} ma '''zerowy ślad'''. Dowód: {{CentrujWzór|<MATH> \tilde{\epsilon}_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\cdot 3 = 0 </MATH>|9.66}} Zatem: * tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} opisuje '''deformacje niezmieniające objętości''' (czyste odkształcenia postaciowe), * człon {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} opisuje '''zmiany objętości''' — rozciąganie lub kurczenie ciała. ---- Wniosek: * '''Deviator tensora deformacji''' {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości, * '''część kulista''' {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę objętości ciała. Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{k}}</MATH>}}, który możemy rozłożyć na część '''symetryczną''' i '''asymetryczną''': {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.67}} Pierwszy człon jest '''symetryczny''' (nie zmienia się przy zamianie indeksów), drugi — '''antysymetryczny''' (zmienia znak przy zamianie indeksów). === Tensor prędkości deformacji === Symetryczną część tensora prędkości przesunięć nazywamy '''tensorem prędkości deformacji''': {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.68}} Ślad tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ll} = \frac{\partial v_{l}}{\partial x_{l}} = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.69}} opisuje '''szybkość zmiany objętości''' elementu materiału. === Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji === W przybliżeniu liniowym prędkość przesunięcia jest pochodną czasową pola przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \dot{s}_{i} = \frac{\partial s_{i}(a_{i},t)}{\partial t} \simeq \frac{\partial s_{i}(x_{i},t)}{\partial t} </MATH>|s2}} Wyraz konwekcyjny {{Formuła|<MATH>(v_{r}\nabla_{r})s_{i}</MATH>}} pomijamy jako bardzo mały. Pochodna czasowa tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\epsilon_{ik}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} \right) \simeq \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) = \Nu_{ik} </MATH>|9.70}} Wniosek: * Tensor prędkości deformacji jest czasową pochodną tensora deformacji. === Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału === Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) \right] = \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \vec{\omega} </MATH>|9.71}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\epsilon_{lik}</MATH>}} — symbol Levi-Civita, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} — '''wektor prędkości kątowej''' elementu materiału. Wniosek: * Część antysymetryczna tensora prędkości przesunięć opisuje lokalny obrót elementu materiału i jest równa połowie rotacji pola prędkości. nll3znaqonaaligz7xuk6l2u41de06o 0 20354 555261 554857 2026-09-09T13:34:05Z Persino 2851 555261 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływania masy w jednostce czasu, zatem ilość masy jakie opuszcza daną objętość przestawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni i wektora prędkości, jakie obowiązują na tej omawianej powierzchni w danym punkcie, z jaką wylatuje masa z tej powierzchni, którą to przecałkujemy po tej powierzchni. Możemy napisać jaka jest ilość wylatywanej substancji na jednostkę czasu: {{CentrujWzór|<MATH>-{{dm}\over{dt}}=\oint\rho\vec{v}d\vec{S}\;</math>|10.1}} Minus znajdującej się po lewej strony równości {{LinkWzór|10.1}} ma znak ujemny, ponieważ masa ubywa z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Z drugiej jednak strony całkowita masa znajdująca się w danej objętości przestawiana jest: {{CentrujWzór|<MATH>m=\int\rho dV\;</MATH>|10.2}} Równość {{LinkWzór|10.2}} wstawiamy do równości {{LinkWzór|10.1}}, w ten sposób możemy napisać wzór przekształcając go dalej poniżej, w której wykorzystamy prawo Ostrogradskiego Gaussa: {{CentrujWzór|<math>-{{d}\over{dt}}\int_V \rho dV=\oint \rho\vec{v}d\vec{S}\Rightarrow\int_V\left[{{\partial\rho}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(\rho\vec{v})\right]dV=0\;</MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie we wzorze {{LinkWzór|10.3}} jest całkowanie po dowolnej objętości, to jedyną możliwością jest, że funkcja jej podcałkowa jest równa zero, co możemy ten wniosek przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\rho}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|10.4}} == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy tutaj wektor naprężeń, który to będziemy wprowadzać do drugiej zasady dynamiki Newtona, są to siły powierzchniowe: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=\sigma_{ij}n_j\;</MATH>|10.5}} Całkowita siła działająca na ciało znajdująca się w objętości V w wyniku naprężeń, dla której jej składowa i-ta jest przestawia się przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{S}P_idS=\oint_S\sigma_{ij}n_jdS=\oint\sigma_{ij}dS_j=\int_V\sigma_{ij,j}dV\;</MATH>|10.6}} Wśród sił działających na całą objętość są to siły, których definicja jest całką z iloczynu gęstości w danym punkcie i wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, ona wynika z tego, że wektor {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest stosunkiem różniczki siły działającej na objętość dV przez iloczyn tejże wspomnianej objętości i przez gęstość materii w danym punkcie, w której liczymy naszą wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{f}={{d\vec{F}}\over{dV\rho}}\Rightarrow d\vec{F}=\rho\vec{f}dV\Rightarrow\vec{F}=\int\rho\vec{f}dV\;</MATH>|10.7}} Jak można zauważyć, że wielkość {{LinkWzór|10.7}} dla pola grawitacyjnego jest to po prostu przyspieszenie ziemskie. Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą masę infinitezymalnej części układu znajdującej się w objętości dV, zatem nasz rozważany nieskończenie mały element objętości zawiera w sobie masę równą dm=&rho;dV. {{CentrujWzór|<MATH>\underbrace{\rho dV}_{dm}{{dv_i}\over{dt}}=dF^{(c)}_i\Rightarrow\int \rho{{dv_i}\over{dt}}dV=F^{(c)}_i\;</MATH>|10.8}} Definicja siły F{{Sup|(c)}}{{Sub|i}} jest sumą sił pochodzącą od sił naprężeń zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|10.5}} i sił działających na całą objętość pokazanego w punkcie {{LinkWzór|10.7}}, które to podstawimy do wzoru {{LinkWzór|10.8}}, w tak otrzymanej równości wszystko przenosimy na jej lewą stronę, w ten sposób w tak otrzymanym obiekcie wszystko wkładamy pod znak jednej całki całkowalną względem objętości. {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\rho{{dv_i}\over{dt}}dV=\int_V\rho f_idV+\int{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}dV\Rightarrow \int_V\left(\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}\right)dV=0\;</MATH>|10.9}} Ponieważ równość {{LinkWzór|10.7}} jest spełniona dla dowolnej objętości V, która jest ograniczoną zamkniętą objętością po której całkujemy, zatem na podstawie tego nasza rozważana funkcja podcałkowa w {{LinkWzór|10.9}} jest zawsze równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}=0\;</MATH>|10.10}} Pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie w wyrażeniu {{LinkWzór|10.10}} możemy przekształcić do innej równoważnej postaci po dokonaniu poniższych przekształceń: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{dv_i}\over{dt}}=\rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}{{dx_j}\over{dt}}= \rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}v_j={{\partial }\over{\partial t}}(\rho v_i)-v_i{{\partial \rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_jv_i)-v_i{{\partial }\over{\partial x_j}}(\rho v_j)= {{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_iv_j)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-v_i\left({{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_i)\right)={{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j\right)\;</MATH>|10.11}} Możemy wykorzystać tożsamość wynikłych z obliczeń {{LinkWzór|10.11}} do drugiego prawa Newtona {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[(\rho v_i)v_j-\sigma_{ij}\right]=\rho f_i\;</MATH>|10.12}} Tensor naprężeń &sigma;{{Sub|ij}} możemy rozłożyć na sumę tensorów pochodzącej od ciśnienia, a także od sił pochodzących od tarcia wewnętrznego, zapis tego równania w postaci tensorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+R_{ij}\;</MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, to tensor R{{Sub|ij}} jest tożsamościowo równy zero, zatem ten nasz wniosek możemy wykorzystać do punktu {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{d\vec{v}}\over{dt}}=\rho\vec{f}-\operatorname{grad}p\;</MATH>|10.14}} == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}x_k\left[{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=\epsilon_{lki}x_k\rho f_i\;</MATH>|10.15}} Wykorzystując definicję momentu sił M{{Sub|l}} i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie {{LinkWzór|10.15}} za pomocą prawa o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]+\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=M_l\;</MATH>|10.16}} Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]={{1}\over{2}}\big[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\big]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lij}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)-\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]=0</MATH>|10.17}} Wyrażenie zapisane w punkcie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}\;,</MATH>}} jest tensorem symetrycznym, wtedy równość {{LinkWzór|10.16}} jest równa: {{CentrujWzór|<math>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=M_l\;</MATH>|10.18}} == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} wymnażamy przez współrzędną prędkości v{{Sub|i}}, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i{{\partial \sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}+v_i\rho f\;</MATH>|10.19}} Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy {{LinkWzór|10.4}} i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i\rho\left({{\partial v_i}\over{\partial t}}+v_j{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\right)= {{1}\over{2}}\rho{{\partial v^2}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}\rho v_j{{\partial v^2}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^2)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v^2v_j\right)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial \rho v_j}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2))}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2v_j)}\over{\partial x_j}}</MATH>|10.20}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}={{\partial(v_i\sigma_{ij})}\over{\partial x_j}}-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.21}} Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} możemy podstawić do równania {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}{{\partial\rho v^2}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[{{\rho}\over{2}}v^2v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+v_i \rho f_i\;\;</MATH>|10.22}} Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy '''wektorem Poyntinga''', jego definicję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\rho v^2v_i-\sigma_{ij}v_i\;</MATH>|10.23}} Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>f_i={{\partial U}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|10.24}} Wtedy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|10.24}} możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho f_i=-v_i\rho{{\partial U}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho Uv_i)+U{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-U{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho U\right)+\rho{{\partial U}\over{\partial t}}</MATH>|10.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|10.25}}, którego wynik możemy wstawić do {{LinkWzór|10.22}} i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+\rho {{\partial U}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.26}} Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P{{Sub|i}} podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s_i=s_i-s_i^'\;</MATH>|10.27}} I wykorzystując fakt, że siły napięć P{{Sub|i}} są wyrażone przez tensor napięcia &sigma;{{Sub|ij}} {{LinkWzór|10.5}}, zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_SP_i\Delta s_idS=\oint \sigma_{ij}n_j\delta s_idS=\oint \sigma_{ij}\Delta s_i dS_j\;</math>|10.28}} Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor &sigma;{{Sub|ij}} jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, to wtedy dla stanu równowagi zachodzi &sigma;{{Sub|ij,j}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\sigma_{ij}s_i)_{,j}=\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|10.29}} Praca wykonana nad układem przez siły napięć {{LinkWzór|10.28}}, możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|10.29}} jako całkę objętościową deformowanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_V\sigma_{ij}\Delta s_idS_j=\int_V(\sigma_{ij}\Delta s_i)_{,j}=\int_V\sigma_{ij}\Delta \epsilon_{ij}dV\;</MATH>|10.30}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.70|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także z symetryczności tensora &sigma;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial t}}={{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}{{\partial\epsilon_{ij}}\over{\partial t}}=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)=\sigma_{ij}{{\partial}\over{\partial t}}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.31}} Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie {{LinkWzór|10.31}}, to wzór {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho\dot{s}_i\dot{s}_i}\over{2}}\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j\right)-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=-{{\partial\Phi}\over{\partial t}}+\dot{s}_i\rho f_i\;</MATH>|10.32}} Równanie {{LinkWzór|10.32}} możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\simeq{{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: {{LinkWzór|s2|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} są małe, a więc je można pominąć: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left[{{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right]+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j-\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=0\;</MATH>|10.33}} Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie {{LinkWzór|10.33}}, wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu, jako całkowanie po objętości, zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s{{Sub|i}} nie zmienia się poza ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right)=0\;</MATH>|10.34}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.34}} przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów w elemencie objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Tę energię kinetyczną T i potencjalną U: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\int_V\rho\dot{s}\dot{s}_idV\;</MATH>|10.35}}|2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_V(\Phi-\rho f_is_i)dV\;</MATH>|10.36}}}} A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej {{LinkWzór|10.35}} i potencjalnej {{LinkWzór|10.36}} jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej {{LinkWzór|10.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\operatorname{const}\;</MATH>|10.37}} Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości &rho;(p) i całkowaną względem ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{P}=\int{{dp}\over{\rho(p)}}\;</MATH>|10.38}} Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|10.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathcal{P}}\over{\partial x_j}}={{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}={{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.39}} Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie {{LinkWzór|10.4}} i pochodnej funkcji {{LinkWzór|10.38}}, względem współrzędnej j-tej: {{CentrujWzór|<MATH>-{{\partial p}\over{\partial x_i}}v_i=-\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial x_i}}v_i=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)+\mathcal{P}{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-\mathcal{P}{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.40}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} {{LinkWzór|10.39}}, której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji {{LinkWzór|10.38}} względem czasu oraz dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial t}}=\rho{{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial t}}={{\partial p}\over{\partial t}}\;</math>|10.41}} Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez {{LinkWzór|10.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial}\over{\partial x_j}}\sigma^{(p)}_{ij}=v_i{{\partial}\over{\partial x_i}}(-p\delta_{ij})=-v_i{{\partial p}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+{{\partial p}\over{\partial t}}</MATH>|10.42}} Mając ostateczny wzór {{LinkWzór|10.42}} i definicję tensora napięć {{LinkWzór|10.13}}, zatem możemy napisać równość wynikająca z {{LinkWzór|10.26}} dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho\mathcal{P}-p+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\rho\left({{v^2}\over{2}}+\mathcal{P}+U\right)v_j-R_{ij}v_j\right]=-R_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.43}} Lewa strona wzoru {{LinkWzór|10.43}} opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej, ciała zdeformowanego, na ciepło. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> p6wepy5w2mexmodsmcklh6bwcfkj58e 555262 555261 2026-09-09T13:36:29Z Persino 2851 /* Lokalna zasada zachowania masy */ 555262 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy tutaj wektor naprężeń, który to będziemy wprowadzać do drugiej zasady dynamiki Newtona, są to siły powierzchniowe: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=\sigma_{ij}n_j\;</MATH>|10.5}} Całkowita siła działająca na ciało znajdująca się w objętości V w wyniku naprężeń, dla której jej składowa i-ta jest przestawia się przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_{S}P_idS=\oint_S\sigma_{ij}n_jdS=\oint\sigma_{ij}dS_j=\int_V\sigma_{ij,j}dV\;</MATH>|10.6}} Wśród sił działających na całą objętość są to siły, których definicja jest całką z iloczynu gęstości w danym punkcie i wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, ona wynika z tego, że wektor {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest stosunkiem różniczki siły działającej na objętość dV przez iloczyn tejże wspomnianej objętości i przez gęstość materii w danym punkcie, w której liczymy naszą wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{f}={{d\vec{F}}\over{dV\rho}}\Rightarrow d\vec{F}=\rho\vec{f}dV\Rightarrow\vec{F}=\int\rho\vec{f}dV\;</MATH>|10.7}} Jak można zauważyć, że wielkość {{LinkWzór|10.7}} dla pola grawitacyjnego jest to po prostu przyspieszenie ziemskie. Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą masę infinitezymalnej części układu znajdującej się w objętości dV, zatem nasz rozważany nieskończenie mały element objętości zawiera w sobie masę równą dm=&rho;dV. {{CentrujWzór|<MATH>\underbrace{\rho dV}_{dm}{{dv_i}\over{dt}}=dF^{(c)}_i\Rightarrow\int \rho{{dv_i}\over{dt}}dV=F^{(c)}_i\;</MATH>|10.8}} Definicja siły F{{Sup|(c)}}{{Sub|i}} jest sumą sił pochodzącą od sił naprężeń zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|10.5}} i sił działających na całą objętość pokazanego w punkcie {{LinkWzór|10.7}}, które to podstawimy do wzoru {{LinkWzór|10.8}}, w tak otrzymanej równości wszystko przenosimy na jej lewą stronę, w ten sposób w tak otrzymanym obiekcie wszystko wkładamy pod znak jednej całki całkowalną względem objętości. {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\rho{{dv_i}\over{dt}}dV=\int_V\rho f_idV+\int{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}dV\Rightarrow \int_V\left(\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}\right)dV=0\;</MATH>|10.9}} Ponieważ równość {{LinkWzór|10.7}} jest spełniona dla dowolnej objętości V, która jest ograniczoną zamkniętą objętością po której całkujemy, zatem na podstawie tego nasza rozważana funkcja podcałkowa w {{LinkWzór|10.9}} jest zawsze równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}=0\;</MATH>|10.10}} Pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie w wyrażeniu {{LinkWzór|10.10}} możemy przekształcić do innej równoważnej postaci po dokonaniu poniższych przekształceń: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{dv_i}\over{dt}}=\rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}{{dx_j}\over{dt}}= \rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}v_j={{\partial }\over{\partial t}}(\rho v_i)-v_i{{\partial \rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_jv_i)-v_i{{\partial }\over{\partial x_j}}(\rho v_j)= {{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_iv_j)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-v_i\left({{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_i)\right)={{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j\right)\;</MATH>|10.11}} Możemy wykorzystać tożsamość wynikłych z obliczeń {{LinkWzór|10.11}} do drugiego prawa Newtona {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[(\rho v_i)v_j-\sigma_{ij}\right]=\rho f_i\;</MATH>|10.12}} Tensor naprężeń &sigma;{{Sub|ij}} możemy rozłożyć na sumę tensorów pochodzącej od ciśnienia, a także od sił pochodzących od tarcia wewnętrznego, zapis tego równania w postaci tensorowej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+R_{ij}\;</MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, to tensor R{{Sub|ij}} jest tożsamościowo równy zero, zatem ten nasz wniosek możemy wykorzystać do punktu {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{d\vec{v}}\over{dt}}=\rho\vec{f}-\operatorname{grad}p\;</MATH>|10.14}} == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}x_k\left[{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=\epsilon_{lki}x_k\rho f_i\;</MATH>|10.15}} Wykorzystując definicję momentu sił M{{Sub|l}} i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie {{LinkWzór|10.15}} za pomocą prawa o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]+\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=M_l\;</MATH>|10.16}} Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]={{1}\over{2}}\big[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\big]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lij}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)-\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]=0</MATH>|10.17}} Wyrażenie zapisane w punkcie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}\;,</MATH>}} jest tensorem symetrycznym, wtedy równość {{LinkWzór|10.16}} jest równa: {{CentrujWzór|<math>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=M_l\;</MATH>|10.18}} == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} wymnażamy przez współrzędną prędkości v{{Sub|i}}, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i{{\partial \sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}+v_i\rho f\;</MATH>|10.19}} Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy {{LinkWzór|10.4}} i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i\rho\left({{\partial v_i}\over{\partial t}}+v_j{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\right)= {{1}\over{2}}\rho{{\partial v^2}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}\rho v_j{{\partial v^2}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^2)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v^2v_j\right)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial \rho v_j}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2))}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2v_j)}\over{\partial x_j}}</MATH>|10.20}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}={{\partial(v_i\sigma_{ij})}\over{\partial x_j}}-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.21}} Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} możemy podstawić do równania {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}{{\partial\rho v^2}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[{{\rho}\over{2}}v^2v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+v_i \rho f_i\;\;</MATH>|10.22}} Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy '''wektorem Poyntinga''', jego definicję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\rho v^2v_i-\sigma_{ij}v_i\;</MATH>|10.23}} Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>f_i={{\partial U}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|10.24}} Wtedy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|10.24}} możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho f_i=-v_i\rho{{\partial U}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho Uv_i)+U{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-U{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho U\right)+\rho{{\partial U}\over{\partial t}}</MATH>|10.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|10.25}}, którego wynik możemy wstawić do {{LinkWzór|10.22}} i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+\rho {{\partial U}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.26}} Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P{{Sub|i}} podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s_i=s_i-s_i^'\;</MATH>|10.27}} I wykorzystując fakt, że siły napięć P{{Sub|i}} są wyrażone przez tensor napięcia &sigma;{{Sub|ij}} {{LinkWzór|10.5}}, zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_SP_i\Delta s_idS=\oint \sigma_{ij}n_j\delta s_idS=\oint \sigma_{ij}\Delta s_i dS_j\;</math>|10.28}} Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor &sigma;{{Sub|ij}} jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, to wtedy dla stanu równowagi zachodzi &sigma;{{Sub|ij,j}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\sigma_{ij}s_i)_{,j}=\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|10.29}} Praca wykonana nad układem przez siły napięć {{LinkWzór|10.28}}, możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|10.29}} jako całkę objętościową deformowanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_V\sigma_{ij}\Delta s_idS_j=\int_V(\sigma_{ij}\Delta s_i)_{,j}=\int_V\sigma_{ij}\Delta \epsilon_{ij}dV\;</MATH>|10.30}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.70|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także z symetryczności tensora &sigma;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial t}}={{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}{{\partial\epsilon_{ij}}\over{\partial t}}=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)=\sigma_{ij}{{\partial}\over{\partial t}}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.31}} Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie {{LinkWzór|10.31}}, to wzór {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho\dot{s}_i\dot{s}_i}\over{2}}\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j\right)-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=-{{\partial\Phi}\over{\partial t}}+\dot{s}_i\rho f_i\;</MATH>|10.32}} Równanie {{LinkWzór|10.32}} możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\simeq{{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: {{LinkWzór|s2|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} są małe, a więc je można pominąć: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left[{{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right]+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j-\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=0\;</MATH>|10.33}} Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie {{LinkWzór|10.33}}, wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu, jako całkowanie po objętości, zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s{{Sub|i}} nie zmienia się poza ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right)=0\;</MATH>|10.34}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.34}} przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów w elemencie objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Tę energię kinetyczną T i potencjalną U: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\int_V\rho\dot{s}\dot{s}_idV\;</MATH>|10.35}}|2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_V(\Phi-\rho f_is_i)dV\;</MATH>|10.36}}}} A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej {{LinkWzór|10.35}} i potencjalnej {{LinkWzór|10.36}} jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej {{LinkWzór|10.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\operatorname{const}\;</MATH>|10.37}} Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości &rho;(p) i całkowaną względem ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{P}=\int{{dp}\over{\rho(p)}}\;</MATH>|10.38}} Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|10.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathcal{P}}\over{\partial x_j}}={{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}={{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.39}} Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie {{LinkWzór|10.4}} i pochodnej funkcji {{LinkWzór|10.38}}, względem współrzędnej j-tej: {{CentrujWzór|<MATH>-{{\partial p}\over{\partial x_i}}v_i=-\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial x_i}}v_i=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)+\mathcal{P}{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-\mathcal{P}{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.40}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} {{LinkWzór|10.39}}, której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji {{LinkWzór|10.38}} względem czasu oraz dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial t}}=\rho{{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial t}}={{\partial p}\over{\partial t}}\;</math>|10.41}} Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez {{LinkWzór|10.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial}\over{\partial x_j}}\sigma^{(p)}_{ij}=v_i{{\partial}\over{\partial x_i}}(-p\delta_{ij})=-v_i{{\partial p}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+{{\partial p}\over{\partial t}}</MATH>|10.42}} Mając ostateczny wzór {{LinkWzór|10.42}} i definicję tensora napięć {{LinkWzór|10.13}}, zatem możemy napisać równość wynikająca z {{LinkWzór|10.26}} dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho\mathcal{P}-p+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\rho\left({{v^2}\over{2}}+\mathcal{P}+U\right)v_j-R_{ij}v_j\right]=-R_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.43}} Lewa strona wzoru {{LinkWzór|10.43}} opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej, ciała zdeformowanego, na ciepło. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> n7ybdjiq3l7ug3759ld6zyqjsmv80ef 555265 555262 2026-09-09T13:40:46Z Persino 2851 /* Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów */ 555265 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}} Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} --- === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}x_k\left[{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=\epsilon_{lki}x_k\rho f_i\;</MATH>|10.15}} Wykorzystując definicję momentu sił M{{Sub|l}} i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie {{LinkWzór|10.15}} za pomocą prawa o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]+\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=M_l\;</MATH>|10.16}} Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]={{1}\over{2}}\big[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\big]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lij}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)-\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]=0</MATH>|10.17}} Wyrażenie zapisane w punkcie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}\;,</MATH>}} jest tensorem symetrycznym, wtedy równość {{LinkWzór|10.16}} jest równa: {{CentrujWzór|<math>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=M_l\;</MATH>|10.18}} == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} wymnażamy przez współrzędną prędkości v{{Sub|i}}, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i{{\partial \sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}+v_i\rho f\;</MATH>|10.19}} Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy {{LinkWzór|10.4}} i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i\rho\left({{\partial v_i}\over{\partial t}}+v_j{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\right)= {{1}\over{2}}\rho{{\partial v^2}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}\rho v_j{{\partial v^2}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^2)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v^2v_j\right)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial \rho v_j}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2))}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2v_j)}\over{\partial x_j}}</MATH>|10.20}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}={{\partial(v_i\sigma_{ij})}\over{\partial x_j}}-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.21}} Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} możemy podstawić do równania {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}{{\partial\rho v^2}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[{{\rho}\over{2}}v^2v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+v_i \rho f_i\;\;</MATH>|10.22}} Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy '''wektorem Poyntinga''', jego definicję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\rho v^2v_i-\sigma_{ij}v_i\;</MATH>|10.23}} Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>f_i={{\partial U}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|10.24}} Wtedy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|10.24}} możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho f_i=-v_i\rho{{\partial U}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho Uv_i)+U{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-U{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho U\right)+\rho{{\partial U}\over{\partial t}}</MATH>|10.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|10.25}}, którego wynik możemy wstawić do {{LinkWzór|10.22}} i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+\rho {{\partial U}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.26}} Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P{{Sub|i}} podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s_i=s_i-s_i^'\;</MATH>|10.27}} I wykorzystując fakt, że siły napięć P{{Sub|i}} są wyrażone przez tensor napięcia &sigma;{{Sub|ij}} {{LinkWzór|10.5}}, zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_SP_i\Delta s_idS=\oint \sigma_{ij}n_j\delta s_idS=\oint \sigma_{ij}\Delta s_i dS_j\;</math>|10.28}} Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor &sigma;{{Sub|ij}} jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, to wtedy dla stanu równowagi zachodzi &sigma;{{Sub|ij,j}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\sigma_{ij}s_i)_{,j}=\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|10.29}} Praca wykonana nad układem przez siły napięć {{LinkWzór|10.28}}, możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|10.29}} jako całkę objętościową deformowanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_V\sigma_{ij}\Delta s_idS_j=\int_V(\sigma_{ij}\Delta s_i)_{,j}=\int_V\sigma_{ij}\Delta \epsilon_{ij}dV\;</MATH>|10.30}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.70|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także z symetryczności tensora &sigma;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial t}}={{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}{{\partial\epsilon_{ij}}\over{\partial t}}=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)=\sigma_{ij}{{\partial}\over{\partial t}}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.31}} Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie {{LinkWzór|10.31}}, to wzór {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho\dot{s}_i\dot{s}_i}\over{2}}\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j\right)-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=-{{\partial\Phi}\over{\partial t}}+\dot{s}_i\rho f_i\;</MATH>|10.32}} Równanie {{LinkWzór|10.32}} możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\simeq{{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: {{LinkWzór|s2|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} są małe, a więc je można pominąć: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left[{{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right]+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j-\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=0\;</MATH>|10.33}} Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie {{LinkWzór|10.33}}, wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu, jako całkowanie po objętości, zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s{{Sub|i}} nie zmienia się poza ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right)=0\;</MATH>|10.34}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.34}} przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów w elemencie objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Tę energię kinetyczną T i potencjalną U: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\int_V\rho\dot{s}\dot{s}_idV\;</MATH>|10.35}}|2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_V(\Phi-\rho f_is_i)dV\;</MATH>|10.36}}}} A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej {{LinkWzór|10.35}} i potencjalnej {{LinkWzór|10.36}} jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej {{LinkWzór|10.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\operatorname{const}\;</MATH>|10.37}} Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości &rho;(p) i całkowaną względem ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{P}=\int{{dp}\over{\rho(p)}}\;</MATH>|10.38}} Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|10.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathcal{P}}\over{\partial x_j}}={{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}={{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.39}} Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie {{LinkWzór|10.4}} i pochodnej funkcji {{LinkWzór|10.38}}, względem współrzędnej j-tej: {{CentrujWzór|<MATH>-{{\partial p}\over{\partial x_i}}v_i=-\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial x_i}}v_i=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)+\mathcal{P}{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-\mathcal{P}{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.40}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} {{LinkWzór|10.39}}, której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji {{LinkWzór|10.38}} względem czasu oraz dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial t}}=\rho{{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial t}}={{\partial p}\over{\partial t}}\;</math>|10.41}} Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez {{LinkWzór|10.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial}\over{\partial x_j}}\sigma^{(p)}_{ij}=v_i{{\partial}\over{\partial x_i}}(-p\delta_{ij})=-v_i{{\partial p}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+{{\partial p}\over{\partial t}}</MATH>|10.42}} Mając ostateczny wzór {{LinkWzór|10.42}} i definicję tensora napięć {{LinkWzór|10.13}}, zatem możemy napisać równość wynikająca z {{LinkWzór|10.26}} dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho\mathcal{P}-p+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\rho\left({{v^2}\over{2}}+\mathcal{P}+U\right)v_j-R_{ij}v_j\right]=-R_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.43}} Lewa strona wzoru {{LinkWzór|10.43}} opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej, ciała zdeformowanego, na ciepło. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kwqeo1lebv8txq77dclmvqcwn23bbet 555266 555265 2026-09-09T13:41:13Z Persino 2851 /* Przekształcenie pochodnej substancjalnej */ 555266 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}} Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}x_k\left[{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=\epsilon_{lki}x_k\rho f_i\;</MATH>|10.15}} Wykorzystując definicję momentu sił M{{Sub|l}} i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie {{LinkWzór|10.15}} za pomocą prawa o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]+\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=M_l\;</MATH>|10.16}} Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]={{1}\over{2}}\big[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\big]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lij}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)-\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]=0</MATH>|10.17}} Wyrażenie zapisane w punkcie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}\;,</MATH>}} jest tensorem symetrycznym, wtedy równość {{LinkWzór|10.16}} jest równa: {{CentrujWzór|<math>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}x_k\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=M_l\;</MATH>|10.18}} == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} wymnażamy przez współrzędną prędkości v{{Sub|i}}, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i{{\partial \sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}+v_i\rho f\;</MATH>|10.19}} Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy {{LinkWzór|10.4}} i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i\rho\left({{\partial v_i}\over{\partial t}}+v_j{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\right)= {{1}\over{2}}\rho{{\partial v^2}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}\rho v_j{{\partial v^2}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^2)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v^2v_j\right)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial \rho v_j}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2))}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2v_j)}\over{\partial x_j}}</MATH>|10.20}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}={{\partial(v_i\sigma_{ij})}\over{\partial x_j}}-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.21}} Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} możemy podstawić do równania {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}{{\partial\rho v^2}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[{{\rho}\over{2}}v^2v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+v_i \rho f_i\;\;</MATH>|10.22}} Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy '''wektorem Poyntinga''', jego definicję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\rho v^2v_i-\sigma_{ij}v_i\;</MATH>|10.23}} Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>f_i={{\partial U}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|10.24}} Wtedy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|10.24}} możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho f_i=-v_i\rho{{\partial U}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho Uv_i)+U{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-U{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho U\right)+\rho{{\partial U}\over{\partial t}}</MATH>|10.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|10.25}}, którego wynik możemy wstawić do {{LinkWzór|10.22}} i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+\rho {{\partial U}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.26}} Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P{{Sub|i}} podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s_i=s_i-s_i^'\;</MATH>|10.27}} I wykorzystując fakt, że siły napięć P{{Sub|i}} są wyrażone przez tensor napięcia &sigma;{{Sub|ij}} {{LinkWzór|10.5}}, zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_SP_i\Delta s_idS=\oint \sigma_{ij}n_j\delta s_idS=\oint \sigma_{ij}\Delta s_i dS_j\;</math>|10.28}} Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor &sigma;{{Sub|ij}} jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, to wtedy dla stanu równowagi zachodzi &sigma;{{Sub|ij,j}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\sigma_{ij}s_i)_{,j}=\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|10.29}} Praca wykonana nad układem przez siły napięć {{LinkWzór|10.28}}, możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|10.29}} jako całkę objętościową deformowanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_V\sigma_{ij}\Delta s_idS_j=\int_V(\sigma_{ij}\Delta s_i)_{,j}=\int_V\sigma_{ij}\Delta \epsilon_{ij}dV\;</MATH>|10.30}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.70|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także z symetryczności tensora &sigma;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial t}}={{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}{{\partial\epsilon_{ij}}\over{\partial t}}=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)=\sigma_{ij}{{\partial}\over{\partial t}}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.31}} Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie {{LinkWzór|10.31}}, to wzór {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho\dot{s}_i\dot{s}_i}\over{2}}\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j\right)-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=-{{\partial\Phi}\over{\partial t}}+\dot{s}_i\rho f_i\;</MATH>|10.32}} Równanie {{LinkWzór|10.32}} możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\simeq{{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: {{LinkWzór|s2|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} są małe, a więc je można pominąć: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left[{{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right]+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j-\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=0\;</MATH>|10.33}} Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie {{LinkWzór|10.33}}, wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu, jako całkowanie po objętości, zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s{{Sub|i}} nie zmienia się poza ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right)=0\;</MATH>|10.34}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.34}} przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów w elemencie objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Tę energię kinetyczną T i potencjalną U: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\int_V\rho\dot{s}\dot{s}_idV\;</MATH>|10.35}}|2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_V(\Phi-\rho f_is_i)dV\;</MATH>|10.36}}}} A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej {{LinkWzór|10.35}} i potencjalnej {{LinkWzór|10.36}} jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej {{LinkWzór|10.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\operatorname{const}\;</MATH>|10.37}} Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości &rho;(p) i całkowaną względem ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{P}=\int{{dp}\over{\rho(p)}}\;</MATH>|10.38}} Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|10.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathcal{P}}\over{\partial x_j}}={{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}={{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.39}} Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie {{LinkWzór|10.4}} i pochodnej funkcji {{LinkWzór|10.38}}, względem współrzędnej j-tej: {{CentrujWzór|<MATH>-{{\partial p}\over{\partial x_i}}v_i=-\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial x_i}}v_i=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)+\mathcal{P}{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-\mathcal{P}{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.40}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} {{LinkWzór|10.39}}, której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji {{LinkWzór|10.38}} względem czasu oraz dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial t}}=\rho{{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial t}}={{\partial p}\over{\partial t}}\;</math>|10.41}} Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez {{LinkWzór|10.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial}\over{\partial x_j}}\sigma^{(p)}_{ij}=v_i{{\partial}\over{\partial x_i}}(-p\delta_{ij})=-v_i{{\partial p}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+{{\partial p}\over{\partial t}}</MATH>|10.42}} Mając ostateczny wzór {{LinkWzór|10.42}} i definicję tensora napięć {{LinkWzór|10.13}}, zatem możemy napisać równość wynikająca z {{LinkWzór|10.26}} dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho\mathcal{P}-p+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\rho\left({{v^2}\over{2}}+\mathcal{P}+U\right)v_j-R_{ij}v_j\right]=-R_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.43}} Lewa strona wzoru {{LinkWzór|10.43}} opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej, ciała zdeformowanego, na ciepło. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r63rnq7mfuc4ljmxayspdowi1z8idnx 555267 555266 2026-09-09T13:43:34Z Persino 2851 /* Moment sił w dynamice materiałów */ 555267 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}} Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} wymnażamy przez współrzędną prędkości v{{Sub|i}}, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i{{\partial \sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}+v_i\rho f\;</MATH>|10.19}} Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy {{LinkWzór|10.4}} i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i\rho\left({{\partial v_i}\over{\partial t}}+v_j{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\right)= {{1}\over{2}}\rho{{\partial v^2}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}\rho v_j{{\partial v^2}\over{\partial x_j}}= {{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^2)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v^2v_j\right)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial \rho v_j}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2))}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2v_j)}\over{\partial x_j}}</MATH>|10.20}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}={{\partial(v_i\sigma_{ij})}\over{\partial x_j}}-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.21}} Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} możemy podstawić do równania {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}{{\partial\rho v^2}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[{{\rho}\over{2}}v^2v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+v_i \rho f_i\;\;</MATH>|10.22}} Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy '''wektorem Poyntinga''', jego definicję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\rho v^2v_i-\sigma_{ij}v_i\;</MATH>|10.23}} Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>f_i={{\partial U}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|10.24}} Wtedy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|10.24}} możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i\rho f_i=-v_i\rho{{\partial U}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho Uv_i)+U{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-U{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho U\right)+\rho{{\partial U}\over{\partial t}}</MATH>|10.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|10.25}}, którego wynik możemy wstawić do {{LinkWzór|10.22}} i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+\rho {{\partial U}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.26}} Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P{{Sub|i}} podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s_i=s_i-s_i^'\;</MATH>|10.27}} I wykorzystując fakt, że siły napięć P{{Sub|i}} są wyrażone przez tensor napięcia &sigma;{{Sub|ij}} {{LinkWzór|10.5}}, zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_SP_i\Delta s_idS=\oint \sigma_{ij}n_j\delta s_idS=\oint \sigma_{ij}\Delta s_i dS_j\;</math>|10.28}} Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor &sigma;{{Sub|ij}} jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, to wtedy dla stanu równowagi zachodzi &sigma;{{Sub|ij,j}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\sigma_{ij}s_i)_{,j}=\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|10.29}} Praca wykonana nad układem przez siły napięć {{LinkWzór|10.28}}, możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|10.29}} jako całkę objętościową deformowanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint_V\sigma_{ij}\Delta s_idS_j=\int_V(\sigma_{ij}\Delta s_i)_{,j}=\int_V\sigma_{ij}\Delta \epsilon_{ij}dV\;</MATH>|10.30}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|9.70|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także z symetryczności tensora &sigma;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial t}}={{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}{{\partial\epsilon_{ij}}\over{\partial t}}=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)=\sigma_{ij}{{\partial}\over{\partial t}}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.31}} Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie {{LinkWzór|10.31}}, to wzór {{LinkWzór|10.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho\dot{s}_i\dot{s}_i}\over{2}}\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j\right)-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=-{{\partial\Phi}\over{\partial t}}+\dot{s}_i\rho f_i\;</MATH>|10.32}} Równanie {{LinkWzór|10.32}} możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\simeq{{\partial s_i(x_r,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: {{LinkWzór|s2|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} są małe, a więc je można pominąć: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left[{{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right]+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j-\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=0\;</MATH>|10.33}} Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie {{LinkWzór|10.33}}, wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu, jako całkowanie po objętości, zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s{{Sub|i}} nie zmienia się poza ciałem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho f_is_i\right)=0\;</MATH>|10.34}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.34}} przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów w elemencie objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Tę energię kinetyczną T i potencjalną U: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{2}}\int_V\rho\dot{s}\dot{s}_idV\;</MATH>|10.35}}|2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_V(\Phi-\rho f_is_i)dV\;</MATH>|10.36}}}} A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej {{LinkWzór|10.35}} i potencjalnej {{LinkWzór|10.36}} jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej {{LinkWzór|10.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\operatorname{const}\;</MATH>|10.37}} Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości &rho;(p) i całkowaną względem ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{P}=\int{{dp}\over{\rho(p)}}\;</MATH>|10.38}} Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi {{LinkWzór|10.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathcal{P}}\over{\partial x_j}}={{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}={{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.39}} Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie {{LinkWzór|10.4}} i pochodnej funkcji {{LinkWzór|10.38}}, względem współrzędnej j-tej: {{CentrujWzór|<MATH>-{{\partial p}\over{\partial x_i}}v_i=-\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial x_i}}v_i=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)+\mathcal{P}{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-\mathcal{P}{{\partial\rho}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.40}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}} {{LinkWzór|10.39}}, której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji {{LinkWzór|10.38}} względem czasu oraz dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial t}}=\rho{{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial t}}={{\partial p}\over{\partial t}}\;</math>|10.41}} Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez {{LinkWzór|10.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i{{\partial}\over{\partial x_j}}\sigma^{(p)}_{ij}=v_i{{\partial}\over{\partial x_i}}(-p\delta_{ij})=-v_i{{\partial p}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+{{\partial p}\over{\partial t}}</MATH>|10.42}} Mając ostateczny wzór {{LinkWzór|10.42}} i definicję tensora napięć {{LinkWzór|10.13}}, zatem możemy napisać równość wynikająca z {{LinkWzór|10.26}} dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho\mathcal{P}-p+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\rho\left({{v^2}\over{2}}+\mathcal{P}+U\right)v_j-R_{ij}v_j\right]=-R_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|10.43}} Lewa strona wzoru {{LinkWzór|10.43}} opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej, ciała zdeformowanego, na ciepło. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hvhquymvxil8acclz45jasocxxvz9su 555268 555267 2026-09-09T13:48:08Z Persino 2851 /* Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów */ 555268 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}} Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial(v_{i}\sigma_{ij})}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga'''. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. m4do42t42ibiunq3vp4phtry5yo0s80 555269 555268 2026-09-09T13:50:15Z Persino 2851 /* Przekształcenie członu kinetycznego */ 555269 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}} Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial(v_{i}\sigma_{ij})}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga'''. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. qye1y981cln8ckh1syzq2hark1r0ot2 555270 555269 2026-09-09T13:51:02Z Persino 2851 /* Przekształcenie członu naprężeniowego */ 555270 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}} Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == Równość {{LinkWzór|10.10}} mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga'''. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. 076aga3r31rkls9y3gkls9cqvihigy6 555359 555270 2026-09-09T18:25:18Z Persino 2851 /* Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów */ 555359 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}} Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. 1czdo37hrvzv5vofb0txy4o4vk1yh82 555360 555359 2026-09-09T18:27:37Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki dla elementu materiału */ 555360 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} gdzie użyliśmy twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. ff0oz5i6d2fgmki7tudqk6ot0jp2vra 555406 555360 2026-09-09T20:59:58Z Persino 2851 /* Całkowita siła powierzchniowa */ 555406 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. jlr45mzbp8no7kjoqnclb1fv4uifa7d 555407 555406 2026-09-09T21:01:41Z Persino 2851 /* Siły masowe */ 555407 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right)dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. 3wo4vj9lq7g1i45j6yv0t4qlpiwnuyw 555408 555407 2026-09-09T21:02:46Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki dla elementu materiału */ 555408 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę [[[lokalnej zasady zachowania pędu]](ca://s?q=Wyprowadz_lokalna_zasade_pedu)]. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. 0obbe0eh1jdlswpbc6i9et5lt7sfvwt 555409 555408 2026-09-09T21:03:18Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki dla elementu materiału */ 555409 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. stfbn335ux578o3g2dll2n0kbw8577g 555410 555409 2026-09-09T21:04:39Z Persino 2851 /* Przekształcenie pochodnej substancjalnej */ 555410 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) i deviatorową (tarcie wewnętrzne): {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego {{Formuła|<MATH>R_{ij}=0</MATH>}}, otrzymujemy równanie Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} To jest lokalna postać '''drugiej zasady dynamiki Newtona''' dla płynu idealnego. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. d5gkjfea37vnisewj0cx7o90dgi62pv 555411 555410 2026-09-09T21:06:36Z Persino 2851 /* Rozkład tensora naprężeń */ 555411 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. kg6hxrnoc8xiah7y4mmpti2gowau3u7 555412 555411 2026-09-09T21:07:37Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki dla elementu materiału */ 555412 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T=\frac{1}{2}\int_{V}\rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV</MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH>U=\int_{V}(\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV</MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E=T+U=\operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. 3dl10gnhzutk2749s76xdjytidi3vwp 555413 555412 2026-09-09T21:11:20Z Persino 2851 /* Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów */ 555413 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formula|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formula|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. 8jmk51qx3t3j1kwrhl9pjssi29y6bk7 555414 555413 2026-09-09T21:11:53Z Persino 2851 /* Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów */ 555414 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego-Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego-Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. brtdrllbhoi2j3vzu76xlaqlxtwe4r0 555415 555414 2026-09-09T21:14:20Z Persino 2851 /* Moment sił w dynamice materiałów */ 555415 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. aqlnw5itv219eawtif3u2l5zgojoudy 555416 555415 2026-09-09T21:23:38Z Persino 2851 /* Lokalna zasada zachowania masy */ 555416 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości''' ([[równanie ciągłości]](ca://s?q=Omow_rowananie_ciaglosci)). == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. 02j15wvnb3edc256scdt99vrguiwe7j 555417 555416 2026-09-09T21:24:02Z Persino 2851 /* Lokalna zasada zachowania masy */ 555417 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. aqlnw5itv219eawtif3u2l5zgojoudy 555418 555417 2026-09-09T21:26:08Z Persino 2851 /* Przekształcenie członu kinetycznego */ 555418 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. 6uftty9wsojifkgmlufjljkm86qokag 555419 555418 2026-09-09T21:27:12Z Persino 2851 /* Przekształcenie członu naprężeniowego */ 555419 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. ft0n48kuobkqcbnbc9w9frlj2dzm5cq 555420 555419 2026-09-09T21:28:30Z Persino 2851 /* Złożenie wyników */ 555420 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. ii66spilk5b0p0r622l2yor71e3y422 555421 555420 2026-09-09T21:29:47Z Persino 2851 /* Siły potencjalne */ 555421 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. qiw7zejtivmqgdcsfcnl89s29kc8ced 555422 555421 2026-09-09T21:31:04Z Persino 2851 /* Praca sił naprężeń */ 555422 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. kzzsjysbgcx11lopvyirp3c18wmry5f 555423 555422 2026-09-09T21:32:20Z Persino 2851 /* Funkcja energii odkształcenia */ 555423 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. 8yc9vw0p649r77vclaokwwd9bbhi59n 555424 555423 2026-09-09T21:33:44Z Persino 2851 /* Praca sił naprężeń */ 555424 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. qjamna6ih14q71usaw41wqgg5y51jpo 555425 555424 2026-09-09T21:37:39Z Persino 2851 /* Część ciśnieniowa tensora naprężeń */ 555425 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} Równość {{LinkWzór|10.42}} przedstawia wkład izotropowej części tensora naprężeń — tej związanej z ciśnieniem — do bilansu energii mechanicznej. Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać człon ciśnieniowy w formie zgodnej z równaniem ciągłości, co jest kluczowe przy budowie równania energii mechanicznej. === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. 8d8g05so8nzhpkgg1xlplkzkx04gxel 555426 555425 2026-09-09T21:39:42Z Persino 2851 /* Związek z równaniem ciągłości */ 555426 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} Równości {{LinkWzór|10.40}}–{{LinkWzór|10.41}} pokazują, że część ciśnieniowa tensora naprężeń może zostać przepisana w formie zgodnej z równaniem ciągłości {{LinkWzór|10.4}}. Wprowadzenie funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala na zamianę członu {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} na wyrażenie, które ma strukturę bilansową — z członem strumieniowym oraz członem lokalnej zmiany energii. To przekształcenie jest niezbędne, aby otrzymać spójną postać ostatecznego równania energii mechanicznej. === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} Równość {{LinkWzór|10.42}} przedstawia wkład izotropowej części tensora naprężeń — tej związanej z ciśnieniem — do bilansu energii mechanicznej. Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać człon ciśnieniowy w formie zgodnej z równaniem ciągłości, co jest kluczowe przy budowie równania energii mechanicznej. === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. g5jlebg8ar9brqmr9qqpiuhyoqg6k4y 555427 555426 2026-09-09T21:41:18Z Persino 2851 /* Funkcja ciśnienia */ 555427 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać część ciśnieniową tensora naprężeń w formie zgodnej z równaniem ciągłości. Dzięki temu człon {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} może zostać zastąpiony wyrażeniem bilansowym, zawierającym zarówno strumień energii, jak i jej lokalną zmianę. To przekształcenie jest niezbędne przy budowie ostatecznego równania energii mechanicznej. === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} Równości {{LinkWzór|10.40}}–{{LinkWzór|10.41}} pokazują, że część ciśnieniowa tensora naprężeń może zostać przepisana w formie zgodnej z równaniem ciągłości {{LinkWzór|10.4}}. Wprowadzenie funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala na zamianę członu {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} na wyrażenie, które ma strukturę bilansową — z członem strumieniowym oraz członem lokalnej zmiany energii. To przekształcenie jest niezbędne, aby otrzymać spójną postać ostatecznego równania energii mechanicznej. === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} Równość {{LinkWzór|10.42}} przedstawia wkład izotropowej części tensora naprężeń — tej związanej z ciśnieniem — do bilansu energii mechanicznej. Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać człon ciśnieniowy w formie zgodnej z równaniem ciągłości, co jest kluczowe przy budowie równania energii mechanicznej. === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. hrdmsluaypvf7fw8kja5pl6wk10zykx 555428 555427 2026-09-09T21:54:11Z Persino 2851 /* Praca sił naprężeń */ 555428 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. {{Przypisy}}=== Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać część ciśnieniową tensora naprężeń w formie zgodnej z równaniem ciągłości. Dzięki temu człon {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} może zostać zastąpiony wyrażeniem bilansowym, zawierającym zarówno strumień energii, jak i jej lokalną zmianę. To przekształcenie jest niezbędne przy budowie ostatecznego równania energii mechanicznej. === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} Równości {{LinkWzór|10.40}}–{{LinkWzór|10.41}} pokazują, że część ciśnieniowa tensora naprężeń może zostać przepisana w formie zgodnej z równaniem ciągłości {{LinkWzór|10.4}}. Wprowadzenie funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala na zamianę członu {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} na wyrażenie, które ma strukturę bilansową — z członem strumieniowym oraz członem lokalnej zmiany energii. To przekształcenie jest niezbędne, aby otrzymać spójną postać ostatecznego równania energii mechanicznej. === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} Równość {{LinkWzór|10.42}} przedstawia wkład izotropowej części tensora naprężeń — tej związanej z ciśnieniem — do bilansu energii mechanicznej. Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać człon ciśnieniowy w formie zgodnej z równaniem ciągłości, co jest kluczowe przy budowie równania energii mechanicznej. === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. od5pv17hp826mm1szwhb11ux8nlmh3y 555429 555428 2026-09-09T21:55:09Z Persino 2851 /* Praca sił naprężeń */ 555429 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} |2={{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać część ciśnieniową tensora naprężeń w formie zgodnej z równaniem ciągłości. Dzięki temu człon {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} może zostać zastąpiony wyrażeniem bilansowym, zawierającym zarówno strumień energii, jak i jej lokalną zmianę. To przekształcenie jest niezbędne przy budowie ostatecznego równania energii mechanicznej. === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} Równości {{LinkWzór|10.40}}–{{LinkWzór|10.41}} pokazują, że część ciśnieniowa tensora naprężeń może zostać przepisana w formie zgodnej z równaniem ciągłości {{LinkWzór|10.4}}. Wprowadzenie funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala na zamianę członu {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} na wyrażenie, które ma strukturę bilansową — z członem strumieniowym oraz członem lokalnej zmiany energii. To przekształcenie jest niezbędne, aby otrzymać spójną postać ostatecznego równania energii mechanicznej. === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} Równość {{LinkWzór|10.42}} przedstawia wkład izotropowej części tensora naprężeń — tej związanej z ciśnieniem — do bilansu energii mechanicznej. Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać człon ciśnieniowy w formie zgodnej z równaniem ciągłości, co jest kluczowe przy budowie równania energii mechanicznej. === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. 191oxv3w9mwy20wblufter9tvpfwl9h 0 20361 555271 554858 2026-09-09T13:53:41Z Persino 2851 555271 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym dla danego ciała tensor napięć jest wprost proporcjonalny do współczynnika, który określa deformację naszego badanego ciała: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=c_{ijkl}\epsilon_{kl}\;</MATH>|11.1}} Współczynniki c{{Sub|ijkl}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ tensor napięć i tensor deformacji z samej definicji są tensorami symetrycznymi względem przestawień wskaźników, z symetryczności tensora c{{Sub|ijkl}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=c_{jikl}=c_{ijlk}=c_{jilk}\;</MATH>|11.2}} Wprowadźmy teraz funkcję &Phi;, w taki sam sposób, jak we wzorze {{LinkWzór|10.31|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, zatem na podstawie definicji &Phi;, piszemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}=\sigma_{ij}=c_{ijkl}\epsilon_{kl}\;</MATH>|11.3}} I jeszcze raz zróżniczkujmy tensor {{LinkWzór|11.3}} względem tensora deformacji, ale ze wskaźnikami k i l, czyli liczymy drugie pochodne względem tensora deformacji &epsilon;{{Sub|kl}} i &epsilon;{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}}}=c_{ijkl}\wedge {{\partial^2\Phi}\over{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}}}=c_{klij}\;</MATH>|11.4}} W obliczeniach {{LinkWzór|11.4}} widzimy, że drugie pochodne z definicji przemienności liczenia pochodnych one są sobie równe, stąd wynika symetryczność modułu sprężystości względem przestawień wskaźników dwóch pierwszych z dwiema drugimi: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=c_{klij}\;</MATH>|11.4a}} Napiszmy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi\;</MATH>}}, jako funkcję tensorów deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} (lub {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{ijkl}\epsilon_{ij}\epsilon_{kl}\;</MATH>|11.5b}} Sprawdźmy, czy zachodzi wzór {{LinkWzór|11.3}}, wykorzystując definicję {{Formuła|<MATH>\Phi\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.5b}} i wzór na przemienność wskaźników modułu sprężystości dwóch pierwszych z dwiema ostatnimi {{LinkWzór|11.4a}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{sm}}}={{1}\over{2}}c_{ijsm}\epsilon_{ij}+{{1}\over{2}}c_{smkl}\epsilon_{kl}={{1}\over{2}}\left(c_{ijsm}+c_{smij}\right)\epsilon_{ij}={{1}\over{2}}2c_{smij}\epsilon_{ij}=c_{smij}\epsilon_{ij}\;</MATH>|11.5c}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|11.5c}} dla funkcji {{Formuła|<MATH>\Phi\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.5b}} zachodzi {{LinkWzór|11.3}}. Będziemy się zajmować ciałami sprężystymi, które są izotropowe i mające pewne symetrie, będziemy rozpatrywać tensor c{{Sub|ijkl}}, który jest niezmienniczy względem obrotów, a jedyną wielkością niezmienniczą jest delta Kroneckera &delta;{{Sub|ij}}, zatem tensor c{{Sub|ijkl}} jest tensorem zbudowanym za pomocą wspomnianych delt: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu\delta_{ik}\delta_{jl}+\nu\delta_{il}\delta_{jk}\;</MATH>|11.5}} Z własności symetrii tensora {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika &nu;=&mu;: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+2\mu\delta_{ik}\delta_{jl}\;</MATH>|11.5a}} Według wzoru {{LinkWzór|11.5}}, przy wykorzystaniu prawa Hooka dla tensora napięć {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=\left(\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+2\mu\delta_{ik}\delta_{jl}\right)\epsilon_{kl}=2\mu\epsilon_{ij}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}\;</MATH>|11.6}} Z tożsamości {{LinkWzór|11.6}}, będziemy teraz wyznaczać tensor deformacji, ale przedtem policzmy ślad tensora napięć zapisanego przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=2\mu\epsilon_{ll}+3\lambda\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}\Rightarrow \epsilon_{ll}=\sigma_{ll}\left(2\mu+3\lambda\right)^{-1}\;</MATH>|11.7}} Uzyskany końcowy wynik w punkcie {{LinkWzór|11.7}} możemy podstawić do wzoru na tensor napięć {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ij}+\lambda\delta_{ij}\sigma_{ll}\left(2\mu+3\lambda\right)^{-1}\Rightarrow\epsilon_{ij}=\sigma_{ij}{{1}\over{2\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(3\mu+3\lambda)}}\delta_{ij}\sigma_{ll}\;</MATH>|11.8}} Przepiszmy równanie {{LinkWzór|11.8}} z nowymi współczynnikami &mu; i &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ij}=2\mu^'\sigma_{ij}+\lambda^'\delta_{ij}\sigma_{ll}\;</MATH>|11.9}} * gdzie współczynniki &mu;' i &lambda;', są to współczynniki określane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\mu^'={{1}\over{4\mu}}\;</MATH>|11.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda^'=-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}\;</MATH>|11.11}}}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor &sigma;{{Sub|11}}, na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \epsilon_x=\epsilon_{11}=(2\mu^'+\lambda^')\sigma_{11}\\ \epsilon_y=\epsilon_{22}=\lambda^'\sigma_{11}\\ \epsilon_z=\epsilon_{33}=\lambda^'\sigma_{11} \end{cases}\;</MATH>|11.12}} Definicję modułu Younga, na podstawie naprężenia P i tensora napięć &sigma;{{Sub|11}}, piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P=\sigma_{11}=E\epsilon_{x}\Rightarrow E={{\sigma_{11}}\over{\epsilon_x}}={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.13}} A ilorazem Poissona nazywamy stosunek &epsilon;{{Sub|x}} przez &epsilon;{{Sub|y}} wziętej z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\epsilon_y}\over{\epsilon_x}}=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.14}} Wyznaczmy teraz moduł Younga {{LinkWzór|11.13}} i iloraz Poissona {{LinkWzór|11.14}} wykorzystując przy tym definicję &lambda;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.10}} i &mu;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.11}}, wtedy te współczynniki E i &nu;: {{CentrujWzór|<MATH> E={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}={{1}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\mu\lambda}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{4\mu^2+4\lambda\mu}}={{\mu(2\mu+3\lambda)}\over{\lambda+\mu}}\;</MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}=-{{-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{2\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\lambda\mu}}={{2\lambda}\over{4(\lambda+\mu)}}={{\lambda}\over{2(\lambda+\mu)}}\;</MATH>|11.16}} Z tożsamości {{LinkWzór|11.15}} wyznaczmy parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<math>E(\lambda+\mu)=\mu(2\mu+3\lambda)\Rightarrow\lambda(E-3\mu)=2\mu^2-E\mu\Rightarrow \lambda={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\;</math>|11.17}} Ze wzoru {{LinkWzór|11.16}} wyznaczmy parametr &lambda;, by potem przejść do wyznaczania parametru &mu; w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>2\nu(\lambda+\mu)=\lambda\Rightarrow\lambda={{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}</MATH>|11.18}} Porównujemy obie strony równań {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}, w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr &mu;: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\Rightarrow 2E\nu\mu-6\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu-4\mu^2\nu+2\nu E\mu\Rightarrow-2\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu\Rightarrow-2\nu\mu=2\mu-E\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 2\mu(1+\nu)=E\Rightarrow \mu={{E}\over{2(1+\nu)}}</MATH>|11.19}} Mając już wyliczony parametr &mu; wedle końcowego jego przestawienia {{LinkWzór|11.19}}, co to możemy podstawić do równości na parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{2\nu}\over{(1-2\nu)}}{{E}\over{2(1+\nu)}}={{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> aj7b7rkiierhb3d6n3xwjzsc6wh4dt2 555272 555271 2026-09-09T14:01:24Z Persino 2851 /* Prawo Hooke'a */ 555272 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy **modułami sprężystymi**. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} === Postać energii sprężystej === Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. === Izotropowy tensor sprężystości === Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} === Tensor naprężeń dla materiału izotropowego === Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} === Postać z nowymi współczynnikami === Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor &sigma;{{Sub|11}}, na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \epsilon_x=\epsilon_{11}=(2\mu^'+\lambda^')\sigma_{11}\\ \epsilon_y=\epsilon_{22}=\lambda^'\sigma_{11}\\ \epsilon_z=\epsilon_{33}=\lambda^'\sigma_{11} \end{cases}\;</MATH>|11.12}} Definicję modułu Younga, na podstawie naprężenia P i tensora napięć &sigma;{{Sub|11}}, piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P=\sigma_{11}=E\epsilon_{x}\Rightarrow E={{\sigma_{11}}\over{\epsilon_x}}={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.13}} A ilorazem Poissona nazywamy stosunek &epsilon;{{Sub|x}} przez &epsilon;{{Sub|y}} wziętej z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\epsilon_y}\over{\epsilon_x}}=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.14}} Wyznaczmy teraz moduł Younga {{LinkWzór|11.13}} i iloraz Poissona {{LinkWzór|11.14}} wykorzystując przy tym definicję &lambda;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.10}} i &mu;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.11}}, wtedy te współczynniki E i &nu;: {{CentrujWzór|<MATH> E={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}={{1}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\mu\lambda}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{4\mu^2+4\lambda\mu}}={{\mu(2\mu+3\lambda)}\over{\lambda+\mu}}\;</MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}=-{{-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{2\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\lambda\mu}}={{2\lambda}\over{4(\lambda+\mu)}}={{\lambda}\over{2(\lambda+\mu)}}\;</MATH>|11.16}} Z tożsamości {{LinkWzór|11.15}} wyznaczmy parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<math>E(\lambda+\mu)=\mu(2\mu+3\lambda)\Rightarrow\lambda(E-3\mu)=2\mu^2-E\mu\Rightarrow \lambda={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\;</math>|11.17}} Ze wzoru {{LinkWzór|11.16}} wyznaczmy parametr &lambda;, by potem przejść do wyznaczania parametru &mu; w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>2\nu(\lambda+\mu)=\lambda\Rightarrow\lambda={{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}</MATH>|11.18}} Porównujemy obie strony równań {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}, w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr &mu;: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\Rightarrow 2E\nu\mu-6\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu-4\mu^2\nu+2\nu E\mu\Rightarrow-2\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu\Rightarrow-2\nu\mu=2\mu-E\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 2\mu(1+\nu)=E\Rightarrow \mu={{E}\over{2(1+\nu)}}</MATH>|11.19}} Mając już wyliczony parametr &mu; wedle końcowego jego przestawienia {{LinkWzór|11.19}}, co to możemy podstawić do równości na parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{2\nu}\over{(1-2\nu)}}{{E}\over{2(1+\nu)}}={{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 65b18bq8acda24fad1eirko2ibzc3bf 555273 555272 2026-09-09T14:02:17Z Persino 2851 /* Funkcja energii odkształcenia */ 555273 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy **modułami sprężystymi**. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} === Postać energii sprężystej === Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. === Izotropowy tensor sprężystości === Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} === Tensor naprężeń dla materiału izotropowego === Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} === Postać z nowymi współczynnikami === Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor &sigma;{{Sub|11}}, na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \epsilon_x=\epsilon_{11}=(2\mu^'+\lambda^')\sigma_{11}\\ \epsilon_y=\epsilon_{22}=\lambda^'\sigma_{11}\\ \epsilon_z=\epsilon_{33}=\lambda^'\sigma_{11} \end{cases}\;</MATH>|11.12}} Definicję modułu Younga, na podstawie naprężenia P i tensora napięć &sigma;{{Sub|11}}, piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P=\sigma_{11}=E\epsilon_{x}\Rightarrow E={{\sigma_{11}}\over{\epsilon_x}}={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.13}} A ilorazem Poissona nazywamy stosunek &epsilon;{{Sub|x}} przez &epsilon;{{Sub|y}} wziętej z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\epsilon_y}\over{\epsilon_x}}=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.14}} Wyznaczmy teraz moduł Younga {{LinkWzór|11.13}} i iloraz Poissona {{LinkWzór|11.14}} wykorzystując przy tym definicję &lambda;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.10}} i &mu;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.11}}, wtedy te współczynniki E i &nu;: {{CentrujWzór|<MATH> E={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}={{1}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\mu\lambda}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{4\mu^2+4\lambda\mu}}={{\mu(2\mu+3\lambda)}\over{\lambda+\mu}}\;</MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}=-{{-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{2\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\lambda\mu}}={{2\lambda}\over{4(\lambda+\mu)}}={{\lambda}\over{2(\lambda+\mu)}}\;</MATH>|11.16}} Z tożsamości {{LinkWzór|11.15}} wyznaczmy parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<math>E(\lambda+\mu)=\mu(2\mu+3\lambda)\Rightarrow\lambda(E-3\mu)=2\mu^2-E\mu\Rightarrow \lambda={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\;</math>|11.17}} Ze wzoru {{LinkWzór|11.16}} wyznaczmy parametr &lambda;, by potem przejść do wyznaczania parametru &mu; w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>2\nu(\lambda+\mu)=\lambda\Rightarrow\lambda={{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}</MATH>|11.18}} Porównujemy obie strony równań {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}, w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr &mu;: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\Rightarrow 2E\nu\mu-6\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu-4\mu^2\nu+2\nu E\mu\Rightarrow-2\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu\Rightarrow-2\nu\mu=2\mu-E\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 2\mu(1+\nu)=E\Rightarrow \mu={{E}\over{2(1+\nu)}}</MATH>|11.19}} Mając już wyliczony parametr &mu; wedle końcowego jego przestawienia {{LinkWzór|11.19}}, co to możemy podstawić do równości na parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{2\nu}\over{(1-2\nu)}}{{E}\over{2(1+\nu)}}={{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qm4aald5v9skfxc0i2m6yui7trvc6da 555274 555273 2026-09-09T14:03:55Z Persino 2851 /* Prawo Hooke'a */ 555274 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy **modułami sprężystymi**. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor &sigma;{{Sub|11}}, na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \epsilon_x=\epsilon_{11}=(2\mu^'+\lambda^')\sigma_{11}\\ \epsilon_y=\epsilon_{22}=\lambda^'\sigma_{11}\\ \epsilon_z=\epsilon_{33}=\lambda^'\sigma_{11} \end{cases}\;</MATH>|11.12}} Definicję modułu Younga, na podstawie naprężenia P i tensora napięć &sigma;{{Sub|11}}, piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P=\sigma_{11}=E\epsilon_{x}\Rightarrow E={{\sigma_{11}}\over{\epsilon_x}}={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.13}} A ilorazem Poissona nazywamy stosunek &epsilon;{{Sub|x}} przez &epsilon;{{Sub|y}} wziętej z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\epsilon_y}\over{\epsilon_x}}=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;</MATH>|11.14}} Wyznaczmy teraz moduł Younga {{LinkWzór|11.13}} i iloraz Poissona {{LinkWzór|11.14}} wykorzystując przy tym definicję &lambda;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.10}} i &mu;{{Sup|'}} {{LinkWzór|11.11}}, wtedy te współczynniki E i &nu;: {{CentrujWzór|<MATH> E={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}={{1}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\mu\lambda}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{4\mu^2+4\lambda\mu}}={{\mu(2\mu+3\lambda)}\over{\lambda+\mu}}\;</MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH>\nu=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}=-{{-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{2\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\lambda\mu}}={{2\lambda}\over{4(\lambda+\mu)}}={{\lambda}\over{2(\lambda+\mu)}}\;</MATH>|11.16}} Z tożsamości {{LinkWzór|11.15}} wyznaczmy parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<math>E(\lambda+\mu)=\mu(2\mu+3\lambda)\Rightarrow\lambda(E-3\mu)=2\mu^2-E\mu\Rightarrow \lambda={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\;</math>|11.17}} Ze wzoru {{LinkWzór|11.16}} wyznaczmy parametr &lambda;, by potem przejść do wyznaczania parametru &mu; w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>2\nu(\lambda+\mu)=\lambda\Rightarrow\lambda={{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}</MATH>|11.18}} Porównujemy obie strony równań {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}, w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr &mu;: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\Rightarrow 2E\nu\mu-6\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu-4\mu^2\nu+2\nu E\mu\Rightarrow-2\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu\Rightarrow-2\nu\mu=2\mu-E\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 2\mu(1+\nu)=E\Rightarrow \mu={{E}\over{2(1+\nu)}}</MATH>|11.19}} Mając już wyliczony parametr &mu; wedle końcowego jego przestawienia {{LinkWzór|11.19}}, co to możemy podstawić do równości na parametr &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{2\nu}\over{(1-2\nu)}}{{E}\over{2(1+\nu)}}={{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hoa6ghv8np2its90ezcinjn1hp35kgv 555275 555274 2026-09-09T14:06:51Z Persino 2851 /* Wydłużenie liniowe */ 555275 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy **modułami sprężystymi**. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ly2qgpho03f81gxi7lh4m45vrnz6flp 555276 555275 2026-09-09T14:07:47Z Persino 2851 /* Wydłużenie liniowe */ 555276 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy **modułami sprężystymi**. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0itvedr02t2vatarc9526yhxjti3ex3 555277 555276 2026-09-09T14:08:57Z Persino 2851 /* Wyznaczenie {{Formuła|E}} i {{Formuła|\nu}} z {{Formuła|\lambda'}} i {{Formuła|\mu'}} */ 555277 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy **modułami sprężystymi**. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10a}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11a}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 94blpe5911i2ddcslbxnmc16nu3bsrb 555278 555277 2026-09-09T14:10:19Z Persino 2851 /* Prawo Hooke'a */ 555278 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10a}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11a}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> m63wuv2i0i8c3wqn92ipaersnsbyqsi 555280 555278 2026-09-09T14:11:51Z Persino 2851 /* Wyznaczenie {{Formuła|E}} i {{Formuła|\nu}} z {{Formuła|\lambda'}} i {{Formuła|\mu'}} */ 555280 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11a}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 9m0pezsqwcr0gyfyayz9i34bp4mwpa6 555281 555280 2026-09-09T14:12:13Z Persino 2851 /* Wyznaczenie {{Formuła|E}} i {{Formuła|\nu}} z {{Formuła|\lambda'}} i {{Formuła|\mu'}} */ 555281 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametr &mu; {{LinkWzór|11.19}} i na parametr &lambda; {{LinkWzór|11.20}} są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E {{LinkWzór|11.13}} i parametr Poissona &nu; {{LinkWzór|11.14}}, które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć {{LinkWzór|10.13|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów {{LinkWzór|11.7}}, a także ze wzoru na współczynnik kompresji {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{E(1-2\nu)+3\nu E}\over{3(1+\nu)(1-2\nu)}}\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta</MATH>|11.21}} Wprowadźmy teraz moduł kompresji &kappa;, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru {{LinkWzór|11.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;</MATH>|11.23}} === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 73bk1vrkrl4kucilhj9yosksx6f7u78 555282 555281 2026-09-09T14:14:22Z Persino 2851 /* Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa */ 555282 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> l8psvti1cjuwf18hpwhoo43swud1g9e 555283 555282 2026-09-09T14:15:48Z Persino 2851 /* Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa */ 555283 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy teraz tensor napięć &sigma;{{Sub|12}}, który wedle jej definicji w punkcie {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;</MATH>|11.24}} Wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} możemy wstawić do wzoru {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{12}=\mu\gamma\;</MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości G=&mu; możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika &mu; {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;</MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2d8vpshpy6kxih7bc4648kaumf4wpw8 555284 555283 2026-09-09T14:18:04Z Persino 2851 /* Skręcenia */ 555284 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{12}</MATH>}}. Z definicji naprężeń dla materiału izotropowego {{LinkWzór|11.6}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{12} = 2\mu\,\epsilon_{12} </MATH>|11.24}} Wzór końcowy na skręcenie (kąt odkształcenia postaciowego) {{LinkWzór|9.61}} możemy wstawić do {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{12} = \mu\,\gamma </MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości postaciowej {{Formuła|<MATH>G</MATH>}} jest równy parametrowi Lamego {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. Zależność tę możemy wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6ym7bktuksrskkb8jxyqg5ixkayyk1t 555285 555284 2026-09-09T14:20:01Z Persino 2851 /* Skręcenia */ 555285 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{12}</MATH>}}. Z definicji naprężeń dla materiału izotropowego {{LinkWzór|11.6}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{12} = 2\mu\,\epsilon_{12} </MATH>|11.24}} Wzór końcowy na skręcenie (kąt odkształcenia postaciowego) {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} możemy wstawić do {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{12} = \mu\,\gamma </MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości postaciowej {{Formuła|<MATH>G</MATH>}} jest równy parametrowi Lamego {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. Zależność tę możemy wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> am5118znqst6yed3jsastrqda2jy587 555286 555285 2026-09-09T14:20:50Z Persino 2851 /* Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa */ 555286 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{12}</MATH>}}. Z definicji naprężeń dla materiału izotropowego {{LinkWzór|11.6}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{12} = 2\mu\,\epsilon_{12} </MATH>|11.24}} Wzór końcowy na skręcenie (kąt odkształcenia postaciowego) {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} możemy wstawić do {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{12} = \mu\,\gamma </MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości postaciowej {{Formuła|<MATH>G</MATH>}} jest równy parametrowi Lamego {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. Zależność tę możemy wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;</MATH>|11.27}} We wzorze {{LinkWzór|11.27}} występuje wielkość &alpha;, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości &alpha; i różnicy temperatur T i T{{Sub|0}}, którego to nazwiemy przez &theta;, którą definiujemy jako względną zmianę objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\alpha(T-T_0)\;</MATH>|11.28}} == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> f585mgfla1oo0zinmj9741tywztseyg 555287 555286 2026-09-09T14:24:21Z Persino 2851 /* Rozszerzalność temperaturowa */ 555287 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{12}</MATH>}}. Z definicji naprężeń dla materiału izotropowego {{LinkWzór|11.6}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{12} = 2\mu\,\epsilon_{12} </MATH>|11.24}} Wzór końcowy na skręcenie (kąt odkształcenia postaciowego) {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} możemy wstawić do {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{12} = \mu\,\gamma </MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości postaciowej {{Formuła|<MATH>G</MATH>}} jest równy parametrowi Lamego {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. Zależność tę możemy wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę. Dlatego do tensora naprężeń {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy człon związany z rozszerzalnością cieplną. Całkowity tensor naprężeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} - \alpha\,\kappa\,\delta_{ij}(T - T_{0}) </MATH>|11.27}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}} — współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej, * {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} — moduł kompresji {{LinkWzór|11.23}}, * {{Formuła|<MATH>T</MATH>}} — aktualna temperatura, * {{Formuła|<MATH>T_{0}</MATH>}} — temperatura odniesienia. === Względna zmiana objętości wywołana temperaturą === Wprowadzamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \alpha\,(T - T_{0}) </MATH>|11.28}} która opisuje '''względną zmianę objętości''' wywołaną zmianą temperatury. Wtedy człon temperaturowy w tensorze naprężeń można interpretować jako: * naprężenie hydrostatyczne wywołane rozszerzalnością cieplną, * proporcjonalne do modułu kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, * działające izotropowo (bo zawiera {{Formuła|<MATH>\delta_{ij}</MATH>}}). == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia R{{Sub|ij}} będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a{{Sub|ikjl}}, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c{{Sub|ikjl}} przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;</MATH>|11.29}} A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości &Nu;{{Sub|jl}} oraz współczynników &eta; i &eta;{{Sup|'}}, które są nazywane współczynnikami lepkości. {{CentrujWzór|<MATH>R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;</MATH>|11.30}} Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R{{Sub|ik}}=-&delta;{{Sub|ik}}p', wtedy możemy policzyć ślad tensora {{LinkWzór|11.30}}, który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;</MATH>|11.31}} Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH>\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;</MATH>|11.32}} Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}} w równaniu {{LinkWzór|11.31}}, dla której, jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi {{LinkWzór|11.32}}, lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|11.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hhlsi8m9rd5x0elrxcaa5knc9q33o07 555288 555287 2026-09-09T14:26:55Z Persino 2851 /* Tensorowa postać prawa tarcia */ 555288 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{12}</MATH>}}. Z definicji naprężeń dla materiału izotropowego {{LinkWzór|11.6}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{12} = 2\mu\,\epsilon_{12} </MATH>|11.24}} Wzór końcowy na skręcenie (kąt odkształcenia postaciowego) {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} możemy wstawić do {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{12} = \mu\,\gamma </MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości postaciowej {{Formuła|<MATH>G</MATH>}} jest równy parametrowi Lamego {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. Zależność tę możemy wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę. Dlatego do tensora naprężeń {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy człon związany z rozszerzalnością cieplną. Całkowity tensor naprężeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} - \alpha\,\kappa\,\delta_{ij}(T - T_{0}) </MATH>|11.27}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}} — współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej, * {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} — moduł kompresji {{LinkWzór|11.23}}, * {{Formuła|<MATH>T</MATH>}} — aktualna temperatura, * {{Formuła|<MATH>T_{0}</MATH>}} — temperatura odniesienia. === Względna zmiana objętości wywołana temperaturą === Wprowadzamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \alpha\,(T - T_{0}) </MATH>|11.28}} która opisuje '''względną zmianę objętości''' wywołaną zmianą temperatury. Wtedy człon temperaturowy w tensorze naprężeń można interpretować jako: * naprężenie hydrostatyczne wywołane rozszerzalnością cieplną, * proporcjonalne do modułu kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, * działające izotropowo (bo zawiera {{Formuła|<MATH>\delta_{ij}</MATH>}}). == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia {{Formuła|<MATH>R_{ij}</MATH>}} będzie zapisany przy pomocy tensora prędkości {{Formuła|<MATH>\Nu_{jl}</MATH>}} za pomocą współczynników {{Formuła|<MATH>a_{ikjl}</MATH>}}, które zachowują się analogicznie jak współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ikjl}</MATH>}} w prawie Hooke’a. Prawo tarcia zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = a_{ikjl}\,\Nu_{jl} </MATH>|11.29}} Tensor tarcia można również zdefiniować w postaci zależnej od tensora prędkości {{Formuła|<MATH>\Nu_{jl}</MATH>}} oraz współczynników lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = 2\eta\,\Nu_{ik} + \xi\,\delta_{ik}\,\Nu_{ll} </MATH>|11.30}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} — lepkość dynamiczna (lepkość ścinania), * {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} — lepkość objętościowa (lepkość druga). === Ślad tensora tarcia === Załóżmy, że tensor tarcia ma postać hydrostatyczną: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = -\,\delta_{ik}\,p' </MATH>}} Wtedy ślad tensora tarcia z {{LinkWzór|11.30}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> -3p' = (2\eta + 3\xi)\,\Nu_{kk} </MATH>|11.31}} === Warunek Stokesa === Na ogół przyjmuje się, że ślad tensora tarcia jest równy zero. Warunek ten prowadzi — zgodnie ze Stokesem — do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH> \xi = -\frac{2}{3}\,\eta </MATH>|11.32}} === Interpretacja ciśnienia lepkościowego === Wielkość {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}}, zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> p' = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right)\Nu_{kk} = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right) \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{k}} = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right)\operatorname{div}\vec{v} </MATH>|11.33}} Widzimy więc, że: * dla warunku Stokesa {{LinkWzór|11.32}} mamy {{Formuła|<MATH>p'=0</MATH>}}, * dla płynu '''nieściśliwego''' ({{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}}) również {{Formuła|<MATH>p'=0</MATH>}}. Oznacza to, że ciśnienie lepkościowe pojawia się wyłącznie w płynach '''ściśliwych''' lub w sytuacjach, gdy warunek Stokesa nie jest spełniony. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0h5aiyx6lg4y91c5iw5m7nrt38ig83z 555289 555288 2026-09-09T14:27:49Z Persino 2851 /* Interpretacja ciśnienia lepkościowego */ 555289 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} == Wprowadzenie do równań materiałowych == W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{12}</MATH>}}. Z definicji naprężeń dla materiału izotropowego {{LinkWzór|11.6}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{12} = 2\mu\,\epsilon_{12} </MATH>|11.24}} Wzór końcowy na skręcenie (kąt odkształcenia postaciowego) {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} możemy wstawić do {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{12} = \mu\,\gamma </MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości postaciowej {{Formuła|<MATH>G</MATH>}} jest równy parametrowi Lamego {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. Zależność tę możemy wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę. Dlatego do tensora naprężeń {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy człon związany z rozszerzalnością cieplną. Całkowity tensor naprężeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} - \alpha\,\kappa\,\delta_{ij}(T - T_{0}) </MATH>|11.27}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}} — współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej, * {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} — moduł kompresji {{LinkWzór|11.23}}, * {{Formuła|<MATH>T</MATH>}} — aktualna temperatura, * {{Formuła|<MATH>T_{0}</MATH>}} — temperatura odniesienia. === Względna zmiana objętości wywołana temperaturą === Wprowadzamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \alpha\,(T - T_{0}) </MATH>|11.28}} która opisuje '''względną zmianę objętości''' wywołaną zmianą temperatury. Wtedy człon temperaturowy w tensorze naprężeń można interpretować jako: * naprężenie hydrostatyczne wywołane rozszerzalnością cieplną, * proporcjonalne do modułu kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, * działające izotropowo (bo zawiera {{Formuła|<MATH>\delta_{ij}</MATH>}}). == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia {{Formuła|<MATH>R_{ij}</MATH>}} będzie zapisany przy pomocy tensora prędkości {{Formuła|<MATH>\Nu_{jl}</MATH>}} za pomocą współczynników {{Formuła|<MATH>a_{ikjl}</MATH>}}, które zachowują się analogicznie jak współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ikjl}</MATH>}} w prawie Hooke’a. Prawo tarcia zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = a_{ikjl}\,\Nu_{jl} </MATH>|11.29}} Tensor tarcia można również zdefiniować w postaci zależnej od tensora prędkości {{Formuła|<MATH>\Nu_{jl}</MATH>}} oraz współczynników lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = 2\eta\,\Nu_{ik} + \xi\,\delta_{ik}\,\Nu_{ll} </MATH>|11.30}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} — lepkość dynamiczna (lepkość ścinania), * {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} — lepkość objętościowa (lepkość druga). === Ślad tensora tarcia === Załóżmy, że tensor tarcia ma postać hydrostatyczną: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = -\,\delta_{ik}\,p' </MATH>}} Wtedy ślad tensora tarcia z {{LinkWzór|11.30}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> -3p' = (2\eta + 3\xi)\,\Nu_{kk} </MATH>|11.31}} === Warunek Stokesa === Na ogół przyjmuje się, że ślad tensora tarcia jest równy zero. Warunek ten prowadzi — zgodnie ze Stokesem — do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH> \xi = -\frac{2}{3}\,\eta </MATH>|11.32}} === Interpretacja ciśnienia lepkościowego === Wielkość {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}}, zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> p' = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right)\Nu_{kk} = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right) \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{k}} = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right)\operatorname{div}\vec{v} </MATH>|11.33}} Widzimy więc, że: * dla warunku Stokesa {{LinkWzór|11.32}} mamy {{Formuła|<MATH>p'=0</MATH>}}, * dla płynu '''nieściśliwego''' ({{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}}) również {{Formuła|<MATH>p'=0</MATH>}}. Oznacza to, że ciśnienie lepkościowe pojawia się wyłącznie w płynach '''ściśliwych''' lub w sytuacjach, gdy warunek Stokesa nie jest spełniony. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3k4gx732d01ksi6k6vt2wkumsdofoj2 0 20370 555290 554859 2026-09-09T14:30:45Z Persino 2851 555290 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń x{{Sub|3}}, z powodów oczywistych mamy s{{Sub|i}}=0. Naprężenia na bocznej podstawie z powodów oczywistych liczymy wzorem {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, na górnej podstawie wektor przesunięcia {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{\varphi}_0\times\vec{r}=(-\varphi_0 x_2,\varphi_0x_1,0)\;</MATH>|12.5}} Równaniem statycznym {{LinkWzór|12.4}} będziemy opisywali przypadek statyczny wałka skręceń, tzn. przez równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}=0\Leftrightarrow\mu{{\partial^2s_i}\over{\partial x_j\partial x_j}}+(\mu+\lambda){{\partial^2s_j}\over{\partial x_i\partial x_j}}=0\;</MATH>|12.6}} Zdeformowanie {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}} będziemy określać dla różnych punktów wałka skręceń: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}s_1=-\varphi(x_3)x_2\\ s_2=\varphi(x_3)x_1\\ s_3=0\\ \end{cases}\;</MATH>|12.7}} Wykorzystując wzór na tensor zdeformowania {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, w ten sposób na podstawie składowych wektorów zdeformowania {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}, które określaliśmy w punkcie {{LinkWzór|12.7}}, to te tensory deformacji: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}\epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=\epsilon_{13}=0\\ \epsilon_{13}=-{{1}\over{2}}x_2{{d\varphi}\over{d x_3}}\\ \epsilon_{23}={{1}\over{2}}x_1{{d\varphi}\over{dx_3}}\\ \end{cases}</MATH>|12.8}} Przy pomocy naszej definicji tensora deformacji {{LinkWzór|12.8}} możemy policzyć je, wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0\\ \sigma_{13}=-\mu x_2{{d\phi}\over{dx_3}}\\ \sigma_{23}=\mu x_1{{d\phi}\over{dx_3}}\\ \end{cases}</MATH>|12.9}} Ponieważ zachodzi warunek statyczności, który jest opisany wzorem {{LinkWzór|12.6}}, to na podstawie tychże wzorów {{LinkWzór|12.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} 0={{\partial\sigma_{13}}\over{\partial x_3}}=-\mu x_2{{d^2\varphi}\over{dx_3^2}}\\ 0={{\partial\sigma_{23}}\over{\partial x_3}}=\mu x_1{{d^2\varphi}\over{dx_3^2}} \end{cases}</MATH>|12.10}} Z dwóch równości {{LinkWzór|12.10}} możemy wyznaczyć funkcję &phi;(x{{Sub|3}}) zależną od argumentu x{{Sub|3}}, która jest wysokością wałka skręceń: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(x_3)=ax_3+b\;</MATH>|12.11}} Ponieważ dla warunków brzegowych równość {{LinkWzór|12.11}}, z którego będziemy mogli wyznaczyć parametry a i b, a także z warunków brzegowych możemy zapisać równości, z których wyznaczymy parametry a i b. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0\;</MATH>|12.12}}|2={{CentrujWzór|<math>\varphi(l)=al+b=\varphi_0\;</MATH>|12.13}}}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.12}} i {{LinkWzór|12.13}} wzór {{LinkWzór|12.11}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(x_3)={{\varphi_0}\over{l}}x_3\;</MATH>|12.14}} Patrząc na układ równań {{LinkWzór|12.9}} możemy wyznaczyć naprężenia na ścianki boczne wałka skręceń, względem wektora normalnego do powierzchni bocznej tego obiektu, czyli względem wektora {{Formuła|<math>\vec{n}=[\cos\varphi,\sin\varphi]\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_1^{(n)}=\sigma_{11}\cos\varphi+\sigma_{12}\sin\varphi=0\;</MATH>|12.15}} {{CentrujWzór|<MATH>P_2^{(n)}=\sigma_{21}\cos\varphi+\sigma_{22}\sin\varphi=0\;</MATH>|12.16}} {{CentrujWzór|<MATH>P_3^{(n)}=\sigma_{31}\cos\varphi+\sigma_{23}\sin\varphi=-\mu R\sin\varphi{{\varphi_0}\over{l}}\cos\varphi+\mu R\cos\varphi{{\varphi_0}\over{l}}\sin\varphi=0\;</MATH>|12.17}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|12.6}}, który powstaje po podstawieniu uzyskanej tożsamości {{LinkWzór|12.7}} do ostatnio wspomnianego równości w tym tekście, z którego będziemy mogli wyznaczyć wektor przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</math>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} s_1=-{{\varphi_0}\over{l}}x_2x_3\\ s_2={{\varphi_0}\over{l}}x_1x_3\\ s_3=0\end{cases}</MATH>|12.18}} Tensory naprężeń {{LinkWzór|12.9}}, na podstawie definicji funkcji &phi;(x{{Sub|3}}) napisanego w punkcie {{LinkWzór|12.14}} i naprężenia dla wektora normalnego {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)\;</MATH>}} dla x{{Sub|3}}=l: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\sigma_{13}=-\mu x_2{{\varphi_0}\over{l}}\Rightarrow P_1=-\mu x_2{{\varphi_0}\over{l}}\;</MATH>|12.19}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_1{{\varphi_0}\over{l}}\Rightarrow P_2=\mu x_1{{\varphi_0}\over{l}}\;</MATH>|12.20}}|3={{CentrujWzór|<MATH>P_3=0\;</MATH>|12.21}}}} Siły działające na wałek skręceń są prostopadłe do osi x{{Sub|3}}, bo iloczyn skalarny wektora naprężeń i {{Formuła|<MATH>\vec{r}=[x_1,x_2,0]\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>[P_1,P_2,P_3][x_1,x_2,0]=-\mu x_2x_1{{\varphi_0}\over{l}}+\mu x_1{{\varphi}\over{l}}x_2=0\;</MATH>|12.22}} Wyznaczmy teraz moment sił działający na walec skręceń z jego definicji, a także znając definicję składowych naprężeń P{{Sub|1}}, P{{Sub|2}}, P{{Sub|3}}, które to będziemy mogli wykorzystać do wyznaczania trzeciej składowej momentu pędu M{{Sub|s}}: {{CentrujWzór|<MATH>M_s=\int\left(x_1P_2-x_3P_1\right)ds=\int\mu{{\varphi_0}\over{l}}\left(x_1^2+x_2^2\right)ds= \int\mu{{\varphi_0}\over{l}}r^2 rd\varphi=\mu{{\varphi_0}\over{l}}\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{R}r^3dr=\mu{{\varphi_0}\over{l}}=\mu{{\varphi_0}\over{l}}2\pi{{R^4}\over{4}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\mu{{\pi R^4}\over{2l}}\varphi_0\;</MATH>|12.23}} Jeśli na pręt działa siła o momencie pędu wyznaczonego z punktu {{LinkWzór|12.23}}, co stąd możemy wyznaczyć kąt &phi;{{Sub|0}}, który w zależności od momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_0={{2lM_3}\over{\mu\pi R^4}}\;</MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu s{{Sub|i}} jest opisywane przez równość {{LinkWzór|12.2}}, którą ogólne rozwiązanie spełnia równość: {{CentrujWzór|<MATH>s_i=f(\vec{n}\vec{r}-ct)\;</MATH>|12.25}} Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania {{LinkWzór|12.25}}, który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}\vec{r}-ct\;</MATH>}}. Zakładając przy tym, że mamy {{Formuła|<MATH>\vec{k}=(k,0,0)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{A}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=\vec{A}e^{i(kx-\omega t)}\;</math>|12.26}} Rozwiązanie {{LinkWzór|12.26}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|12.2}}, otrzymujemy wtedy równość algebraiczną: {{CentrujWzór|<MATH>-\rho_0\omega^2A_i+\mu k^2A_i+(\mu+\lambda)k^2\delta_{i1}A_i=0\;</math>|12.27}} Rozwiązanie równości {{LinkWzór|12.27}} jest to rozwiązanie, dla którego A{{Sub|i}} musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania {{LinkWzór|12.27}} musi mieć wartość zerową: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2&0&0\\ 0&\mu k^2-\rho_0\omega^2&0\\ 0&0&\mu k^2-\rho_0\omega^2 \end{vmatrix}=0\;</MATH>|12.28}} Wyznacznik równania {{LinkWzór|12.28}} możemy policzyć w taki sposób, by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe: {{CentrujWzór|<MATH>[(2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2](\mu k^2-\rho_0\omega^2)^2=0\;</MATH>|12.29}} Z równości {{LinkWzór|12.29}} możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_1^2={{\rho_0}\over{2\mu+\lambda}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_1^2}}\;</MATH>|12.30}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_2^2={{\rho_0}\over{\mu}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_2^2}}\;</MATH>|12.31}}}} Równaniu falowym o wartości liczby falowej {{LinkWzór|12.30}} odpowiada amplituda {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(1)}\;</MATH>}}, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego {{LinkWzór|12.31}} odpowiada wektor amplitudy {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(2)}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{A}^{(1)}=(A_1,0,0)\;</MATH>|12.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_2,A_3)\;</MATH>|12.33}}}} Fala odpowiadająca amplitudzie {{LinkWzór|12.32}} odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda {{LinkWzór|12.33}}, zatem prędkości opisywane przez te fale: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.35}}}} Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} i podłużnych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_2=\underbrace{\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_1}+\underbrace{\vec{A}_2e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_2}\;</MATH>|12.36}} Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na {{LinkWzór|12.32}} i {{LinkWzór|12.33}}, dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_1\neq 0\;</MATH>|12.38}}}} Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0\;</MATH>|12.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_2\neq 0\;</MATH>|12.40}}}} Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}-\Delta\vec{s}\;</MATH>|12.41}} Wtedy równość {{LinkWzór|12.3}} możemy przepisać do równości: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0{{\partial^2\vec{s}}\over{\partial t^2}}=\mu\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}-(2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}=0\;</MATH>|12.42}} Jeśli do równania {{LinkWzór|12.42}} podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru {{LinkWzór|12.41}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\left({{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}+{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}\right)=(2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1}+\mu\Delta\vec{s}_2\;</MATH>|12.43}} Równanie {{LinkWzór|12.43}} możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_1^2}}{{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_2^2}}{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44a}}}} Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=\operatorname{rot}\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}= \epsilon_{ijk}\nabla_j A_{1k}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\epsilon_{ijk}A_{1k}k_je^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_1\times\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.45}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.37}} i wywodów {{LinkWzór|12.45}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} dla fali podłużnej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_2=\nabla_jA_{2j}e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_2\cdot\vec{s}_2=0\;</MATH>|12.46}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.39}} i wywodów {{LinkWzór|12.46}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest falą poprzeczną. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno {{LinkWzór|10.35|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH>L=\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-\Phi+\rho f_is_i\right)dV+\oint\overline{f}_is_idS\;</MATH>|12.47}} Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian {{LinkWzór|12.47}} i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\wedge \delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0\;</math>|12.48}} Wariacja funkcjonału S {{LinkWzór|12.48}} jest tak zbudowana, by wariacja wielkości &delta;s{{Sub|i}} na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t{{Sub|1}} i t{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta s_i(t_1)=\delta s_i(t_2)=0\;</MATH>|12.49}} Napiszmy teraz funkcję &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.5b|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}, wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm}={{1}\over{2}}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right){{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}\;</MATH>|12.50}} Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie {{LinkWzór|12.48}}, zatem wariację funkcji S: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=S(s_i+\delta s_i)-S(s_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\Bigg\{\Bigg[\int_V\Bigg({{\rho}\over{2}}(\dot{s}_i+\delta \dot{s}_i)(\dot{s}_i+\delta \dot s_i)-{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_k}} (s_i+\delta s_i){{\partial}\over{\partial x_m}}(s_l+\delta s_l) +\rho f_i(s_i+\delta s_i)\Bigg)dV+\oint_S\overline{f}_i(s_i+\delta s_i)dS\Bigg]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[\int_V\Bigg ( {{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-{{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+\rho f_is_i\Bigg)dV+\oint\overline{f}_is_idS\Bigg]\Bigg\}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg (\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot s_j)}\over{\partial s_i}}\delta s_i-c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\delta s_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\delta s_i\Bigg )+\oint_S\left(\overline{f}_i\delta s_i+{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\delta s_i\right)dS\Bigg]dt </MATH>|12.51}} W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}, pomijaliśmy wyrazy &delta;s{{Sub|i}} rzędu wyższego rzędu niż pierwszego, skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}. Dalszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie {{LinkWzór|12.51}} w nawiasie klamrowym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_idVdt=\rho \dot{s}_i\delta s_i\Bigg|^{t_2}_{t_1}dV-\int_{t_1}^{t_2}{{d(\rho\dot{s})}\over{dt}}\delta s_i dV dt=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}\delta s_i dV dt-\int_{t_1}^{t_2}\dot\rho\dot{s}\delta s_i dV dt\;</MATH>|12.52}} Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt=\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+{{\partial s_m}\over{\partial x_l}}\right){{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt= \int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}=\int_{t_1}^{t_2}\left[(\sigma_{ik}\delta s_i)_{,k}-\sigma_{ik,k}\delta s_i\right]dV dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}\delta s_idS_kdt-\int_{t_1}^{t_2}{{\partial \sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}\delta s_idV dt</MATH>|12.53}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie: {{LinkWzór|12.52}} i {{LinkWzór|12.53}}, wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right\}\delta s_idV dt+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i-{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\right\}\delta s_idSdt=0\;</MATH>|12.54}} Równość {{LinkWzór|12.54}} napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\int_{t_1}^{t_2}dt\Bigg[\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS\Bigg]\;</MATH>|12.54ba}} Gdy w {{LinkWzór|12.54ba}} przyjmiemy, że deformacje {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} i prędkość deformacji {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\;</MATH>}} są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS=0\;</MATH>|12.54a}} Na podstawie {{LinkWzór|12.54ba}} i definicji cechowania {{LinkWzór|12.54a}}, wzór na równanie ruchu przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=0</MATH>|12.54b}} Równość całkowa {{LinkWzór|12.54b}} jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego &delta;s{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{s}_i={{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\;</MATH>|12.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_k=\overline{f}_i\;</MATH>|12.56}}}} Wzór {{LinkWzór|12.55}} symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|10.10|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a wzór {{LinkWzór|12.56}} jest to powtórzeniem wzoru {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> da79iqz71mo84tougzd2z98bsac84of 555291 555290 2026-09-09T14:35:13Z Persino 2851 /* Wałek skręceń w teorii sprężystości */ 555291 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu s{{Sub|i}} jest opisywane przez równość {{LinkWzór|12.2}}, którą ogólne rozwiązanie spełnia równość: {{CentrujWzór|<MATH>s_i=f(\vec{n}\vec{r}-ct)\;</MATH>|12.25}} Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania {{LinkWzór|12.25}}, który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}\vec{r}-ct\;</MATH>}}. Zakładając przy tym, że mamy {{Formuła|<MATH>\vec{k}=(k,0,0)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{A}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=\vec{A}e^{i(kx-\omega t)}\;</math>|12.26}} Rozwiązanie {{LinkWzór|12.26}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|12.2}}, otrzymujemy wtedy równość algebraiczną: {{CentrujWzór|<MATH>-\rho_0\omega^2A_i+\mu k^2A_i+(\mu+\lambda)k^2\delta_{i1}A_i=0\;</math>|12.27}} Rozwiązanie równości {{LinkWzór|12.27}} jest to rozwiązanie, dla którego A{{Sub|i}} musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania {{LinkWzór|12.27}} musi mieć wartość zerową: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2&0&0\\ 0&\mu k^2-\rho_0\omega^2&0\\ 0&0&\mu k^2-\rho_0\omega^2 \end{vmatrix}=0\;</MATH>|12.28}} Wyznacznik równania {{LinkWzór|12.28}} możemy policzyć w taki sposób, by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe: {{CentrujWzór|<MATH>[(2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2](\mu k^2-\rho_0\omega^2)^2=0\;</MATH>|12.29}} Z równości {{LinkWzór|12.29}} możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_1^2={{\rho_0}\over{2\mu+\lambda}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_1^2}}\;</MATH>|12.30}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_2^2={{\rho_0}\over{\mu}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_2^2}}\;</MATH>|12.31}}}} Równaniu falowym o wartości liczby falowej {{LinkWzór|12.30}} odpowiada amplituda {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(1)}\;</MATH>}}, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego {{LinkWzór|12.31}} odpowiada wektor amplitudy {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(2)}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{A}^{(1)}=(A_1,0,0)\;</MATH>|12.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_2,A_3)\;</MATH>|12.33}}}} Fala odpowiadająca amplitudzie {{LinkWzór|12.32}} odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda {{LinkWzór|12.33}}, zatem prędkości opisywane przez te fale: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.35}}}} Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} i podłużnych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_2=\underbrace{\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_1}+\underbrace{\vec{A}_2e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_2}\;</MATH>|12.36}} Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na {{LinkWzór|12.32}} i {{LinkWzór|12.33}}, dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_1\neq 0\;</MATH>|12.38}}}} Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0\;</MATH>|12.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_2\neq 0\;</MATH>|12.40}}}} Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}-\Delta\vec{s}\;</MATH>|12.41}} Wtedy równość {{LinkWzór|12.3}} możemy przepisać do równości: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0{{\partial^2\vec{s}}\over{\partial t^2}}=\mu\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}-(2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}=0\;</MATH>|12.42}} Jeśli do równania {{LinkWzór|12.42}} podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru {{LinkWzór|12.41}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\left({{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}+{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}\right)=(2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1}+\mu\Delta\vec{s}_2\;</MATH>|12.43}} Równanie {{LinkWzór|12.43}} możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_1^2}}{{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_2^2}}{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44a}}}} Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=\operatorname{rot}\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}= \epsilon_{ijk}\nabla_j A_{1k}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\epsilon_{ijk}A_{1k}k_je^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_1\times\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.45}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.37}} i wywodów {{LinkWzór|12.45}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} dla fali podłużnej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_2=\nabla_jA_{2j}e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_2\cdot\vec{s}_2=0\;</MATH>|12.46}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.39}} i wywodów {{LinkWzór|12.46}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest falą poprzeczną. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno {{LinkWzór|10.35|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH>L=\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-\Phi+\rho f_is_i\right)dV+\oint\overline{f}_is_idS\;</MATH>|12.47}} Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian {{LinkWzór|12.47}} i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\wedge \delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0\;</math>|12.48}} Wariacja funkcjonału S {{LinkWzór|12.48}} jest tak zbudowana, by wariacja wielkości &delta;s{{Sub|i}} na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t{{Sub|1}} i t{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta s_i(t_1)=\delta s_i(t_2)=0\;</MATH>|12.49}} Napiszmy teraz funkcję &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.5b|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}, wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm}={{1}\over{2}}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right){{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}\;</MATH>|12.50}} Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie {{LinkWzór|12.48}}, zatem wariację funkcji S: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=S(s_i+\delta s_i)-S(s_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\Bigg\{\Bigg[\int_V\Bigg({{\rho}\over{2}}(\dot{s}_i+\delta \dot{s}_i)(\dot{s}_i+\delta \dot s_i)-{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_k}} (s_i+\delta s_i){{\partial}\over{\partial x_m}}(s_l+\delta s_l) +\rho f_i(s_i+\delta s_i)\Bigg)dV+\oint_S\overline{f}_i(s_i+\delta s_i)dS\Bigg]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[\int_V\Bigg ( {{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-{{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+\rho f_is_i\Bigg)dV+\oint\overline{f}_is_idS\Bigg]\Bigg\}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg (\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot s_j)}\over{\partial s_i}}\delta s_i-c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\delta s_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\delta s_i\Bigg )+\oint_S\left(\overline{f}_i\delta s_i+{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\delta s_i\right)dS\Bigg]dt </MATH>|12.51}} W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}, pomijaliśmy wyrazy &delta;s{{Sub|i}} rzędu wyższego rzędu niż pierwszego, skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}. Dalszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie {{LinkWzór|12.51}} w nawiasie klamrowym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_idVdt=\rho \dot{s}_i\delta s_i\Bigg|^{t_2}_{t_1}dV-\int_{t_1}^{t_2}{{d(\rho\dot{s})}\over{dt}}\delta s_i dV dt=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}\delta s_i dV dt-\int_{t_1}^{t_2}\dot\rho\dot{s}\delta s_i dV dt\;</MATH>|12.52}} Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt=\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+{{\partial s_m}\over{\partial x_l}}\right){{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt= \int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}=\int_{t_1}^{t_2}\left[(\sigma_{ik}\delta s_i)_{,k}-\sigma_{ik,k}\delta s_i\right]dV dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}\delta s_idS_kdt-\int_{t_1}^{t_2}{{\partial \sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}\delta s_idV dt</MATH>|12.53}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie: {{LinkWzór|12.52}} i {{LinkWzór|12.53}}, wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right\}\delta s_idV dt+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i-{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\right\}\delta s_idSdt=0\;</MATH>|12.54}} Równość {{LinkWzór|12.54}} napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\int_{t_1}^{t_2}dt\Bigg[\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS\Bigg]\;</MATH>|12.54ba}} Gdy w {{LinkWzór|12.54ba}} przyjmiemy, że deformacje {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} i prędkość deformacji {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\;</MATH>}} są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS=0\;</MATH>|12.54a}} Na podstawie {{LinkWzór|12.54ba}} i definicji cechowania {{LinkWzór|12.54a}}, wzór na równanie ruchu przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=0</MATH>|12.54b}} Równość całkowa {{LinkWzór|12.54b}} jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego &delta;s{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{s}_i={{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\;</MATH>|12.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_k=\overline{f}_i\;</MATH>|12.56}}}} Wzór {{LinkWzór|12.55}} symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|10.10|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a wzór {{LinkWzór|12.56}} jest to powtórzeniem wzoru {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6ixp1dn5ae6hgpy6iddj1tqyraebc7n 555292 555291 2026-09-09T14:36:10Z Persino 2851 /* Tensor deformacji */ 555292 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu s{{Sub|i}} jest opisywane przez równość {{LinkWzór|12.2}}, którą ogólne rozwiązanie spełnia równość: {{CentrujWzór|<MATH>s_i=f(\vec{n}\vec{r}-ct)\;</MATH>|12.25}} Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania {{LinkWzór|12.25}}, który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}\vec{r}-ct\;</MATH>}}. Zakładając przy tym, że mamy {{Formuła|<MATH>\vec{k}=(k,0,0)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{A}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=\vec{A}e^{i(kx-\omega t)}\;</math>|12.26}} Rozwiązanie {{LinkWzór|12.26}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|12.2}}, otrzymujemy wtedy równość algebraiczną: {{CentrujWzór|<MATH>-\rho_0\omega^2A_i+\mu k^2A_i+(\mu+\lambda)k^2\delta_{i1}A_i=0\;</math>|12.27}} Rozwiązanie równości {{LinkWzór|12.27}} jest to rozwiązanie, dla którego A{{Sub|i}} musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania {{LinkWzór|12.27}} musi mieć wartość zerową: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2&0&0\\ 0&\mu k^2-\rho_0\omega^2&0\\ 0&0&\mu k^2-\rho_0\omega^2 \end{vmatrix}=0\;</MATH>|12.28}} Wyznacznik równania {{LinkWzór|12.28}} możemy policzyć w taki sposób, by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe: {{CentrujWzór|<MATH>[(2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2](\mu k^2-\rho_0\omega^2)^2=0\;</MATH>|12.29}} Z równości {{LinkWzór|12.29}} możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_1^2={{\rho_0}\over{2\mu+\lambda}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_1^2}}\;</MATH>|12.30}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_2^2={{\rho_0}\over{\mu}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_2^2}}\;</MATH>|12.31}}}} Równaniu falowym o wartości liczby falowej {{LinkWzór|12.30}} odpowiada amplituda {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(1)}\;</MATH>}}, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego {{LinkWzór|12.31}} odpowiada wektor amplitudy {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(2)}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{A}^{(1)}=(A_1,0,0)\;</MATH>|12.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_2,A_3)\;</MATH>|12.33}}}} Fala odpowiadająca amplitudzie {{LinkWzór|12.32}} odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda {{LinkWzór|12.33}}, zatem prędkości opisywane przez te fale: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.35}}}} Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} i podłużnych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_2=\underbrace{\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_1}+\underbrace{\vec{A}_2e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_2}\;</MATH>|12.36}} Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na {{LinkWzór|12.32}} i {{LinkWzór|12.33}}, dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_1\neq 0\;</MATH>|12.38}}}} Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0\;</MATH>|12.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_2\neq 0\;</MATH>|12.40}}}} Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}-\Delta\vec{s}\;</MATH>|12.41}} Wtedy równość {{LinkWzór|12.3}} możemy przepisać do równości: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0{{\partial^2\vec{s}}\over{\partial t^2}}=\mu\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}-(2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}=0\;</MATH>|12.42}} Jeśli do równania {{LinkWzór|12.42}} podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru {{LinkWzór|12.41}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\left({{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}+{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}\right)=(2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1}+\mu\Delta\vec{s}_2\;</MATH>|12.43}} Równanie {{LinkWzór|12.43}} możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_1^2}}{{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_2^2}}{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44a}}}} Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=\operatorname{rot}\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}= \epsilon_{ijk}\nabla_j A_{1k}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\epsilon_{ijk}A_{1k}k_je^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_1\times\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.45}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.37}} i wywodów {{LinkWzór|12.45}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} dla fali podłużnej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_2=\nabla_jA_{2j}e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_2\cdot\vec{s}_2=0\;</MATH>|12.46}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.39}} i wywodów {{LinkWzór|12.46}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest falą poprzeczną. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno {{LinkWzór|10.35|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH>L=\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-\Phi+\rho f_is_i\right)dV+\oint\overline{f}_is_idS\;</MATH>|12.47}} Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian {{LinkWzór|12.47}} i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\wedge \delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0\;</math>|12.48}} Wariacja funkcjonału S {{LinkWzór|12.48}} jest tak zbudowana, by wariacja wielkości &delta;s{{Sub|i}} na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t{{Sub|1}} i t{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta s_i(t_1)=\delta s_i(t_2)=0\;</MATH>|12.49}} Napiszmy teraz funkcję &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.5b|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}, wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm}={{1}\over{2}}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right){{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}\;</MATH>|12.50}} Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie {{LinkWzór|12.48}}, zatem wariację funkcji S: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=S(s_i+\delta s_i)-S(s_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\Bigg\{\Bigg[\int_V\Bigg({{\rho}\over{2}}(\dot{s}_i+\delta \dot{s}_i)(\dot{s}_i+\delta \dot s_i)-{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_k}} (s_i+\delta s_i){{\partial}\over{\partial x_m}}(s_l+\delta s_l) +\rho f_i(s_i+\delta s_i)\Bigg)dV+\oint_S\overline{f}_i(s_i+\delta s_i)dS\Bigg]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[\int_V\Bigg ( {{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-{{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+\rho f_is_i\Bigg)dV+\oint\overline{f}_is_idS\Bigg]\Bigg\}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg (\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot s_j)}\over{\partial s_i}}\delta s_i-c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\delta s_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\delta s_i\Bigg )+\oint_S\left(\overline{f}_i\delta s_i+{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\delta s_i\right)dS\Bigg]dt </MATH>|12.51}} W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}, pomijaliśmy wyrazy &delta;s{{Sub|i}} rzędu wyższego rzędu niż pierwszego, skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}. Dalszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie {{LinkWzór|12.51}} w nawiasie klamrowym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_idVdt=\rho \dot{s}_i\delta s_i\Bigg|^{t_2}_{t_1}dV-\int_{t_1}^{t_2}{{d(\rho\dot{s})}\over{dt}}\delta s_i dV dt=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}\delta s_i dV dt-\int_{t_1}^{t_2}\dot\rho\dot{s}\delta s_i dV dt\;</MATH>|12.52}} Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt=\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+{{\partial s_m}\over{\partial x_l}}\right){{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt= \int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}=\int_{t_1}^{t_2}\left[(\sigma_{ik}\delta s_i)_{,k}-\sigma_{ik,k}\delta s_i\right]dV dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}\delta s_idS_kdt-\int_{t_1}^{t_2}{{\partial \sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}\delta s_idV dt</MATH>|12.53}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie: {{LinkWzór|12.52}} i {{LinkWzór|12.53}}, wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right\}\delta s_idV dt+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i-{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\right\}\delta s_idSdt=0\;</MATH>|12.54}} Równość {{LinkWzór|12.54}} napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\int_{t_1}^{t_2}dt\Bigg[\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS\Bigg]\;</MATH>|12.54ba}} Gdy w {{LinkWzór|12.54ba}} przyjmiemy, że deformacje {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} i prędkość deformacji {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\;</MATH>}} są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS=0\;</MATH>|12.54a}} Na podstawie {{LinkWzór|12.54ba}} i definicji cechowania {{LinkWzór|12.54a}}, wzór na równanie ruchu przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=0</MATH>|12.54b}} Równość całkowa {{LinkWzór|12.54b}} jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego &delta;s{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{s}_i={{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\;</MATH>|12.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_k=\overline{f}_i\;</MATH>|12.56}}}} Wzór {{LinkWzór|12.55}} symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|10.10|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a wzór {{LinkWzór|12.56}} jest to powtórzeniem wzoru {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ab22n7l2ywawzcupr56cz0psxdjrsjn 555293 555292 2026-09-09T14:37:14Z Persino 2851 /* Tensor naprężeń */ 555293 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu s{{Sub|i}} jest opisywane przez równość {{LinkWzór|12.2}}, którą ogólne rozwiązanie spełnia równość: {{CentrujWzór|<MATH>s_i=f(\vec{n}\vec{r}-ct)\;</MATH>|12.25}} Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania {{LinkWzór|12.25}}, który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}\vec{r}-ct\;</MATH>}}. Zakładając przy tym, że mamy {{Formuła|<MATH>\vec{k}=(k,0,0)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{A}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=\vec{A}e^{i(kx-\omega t)}\;</math>|12.26}} Rozwiązanie {{LinkWzór|12.26}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|12.2}}, otrzymujemy wtedy równość algebraiczną: {{CentrujWzór|<MATH>-\rho_0\omega^2A_i+\mu k^2A_i+(\mu+\lambda)k^2\delta_{i1}A_i=0\;</math>|12.27}} Rozwiązanie równości {{LinkWzór|12.27}} jest to rozwiązanie, dla którego A{{Sub|i}} musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania {{LinkWzór|12.27}} musi mieć wartość zerową: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2&0&0\\ 0&\mu k^2-\rho_0\omega^2&0\\ 0&0&\mu k^2-\rho_0\omega^2 \end{vmatrix}=0\;</MATH>|12.28}} Wyznacznik równania {{LinkWzór|12.28}} możemy policzyć w taki sposób, by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe: {{CentrujWzór|<MATH>[(2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2](\mu k^2-\rho_0\omega^2)^2=0\;</MATH>|12.29}} Z równości {{LinkWzór|12.29}} możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_1^2={{\rho_0}\over{2\mu+\lambda}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_1^2}}\;</MATH>|12.30}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_2^2={{\rho_0}\over{\mu}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_2^2}}\;</MATH>|12.31}}}} Równaniu falowym o wartości liczby falowej {{LinkWzór|12.30}} odpowiada amplituda {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(1)}\;</MATH>}}, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego {{LinkWzór|12.31}} odpowiada wektor amplitudy {{Formuła|<MATH>\vec{A}^{(2)}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{A}^{(1)}=(A_1,0,0)\;</MATH>|12.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_2,A_3)\;</MATH>|12.33}}}} Fala odpowiadająca amplitudzie {{LinkWzór|12.32}} odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda {{LinkWzór|12.33}}, zatem prędkości opisywane przez te fale: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.35}}}} Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} i podłużnych {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_2=\underbrace{\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_1}+\underbrace{\vec{A}_2e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_2}\;</MATH>|12.36}} Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na {{LinkWzór|12.32}} i {{LinkWzór|12.33}}, dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_1\neq 0\;</MATH>|12.38}}}} Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0\;</MATH>|12.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_2\neq 0\;</MATH>|12.40}}}} Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}-\Delta\vec{s}\;</MATH>|12.41}} Wtedy równość {{LinkWzór|12.3}} możemy przepisać do równości: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0{{\partial^2\vec{s}}\over{\partial t^2}}=\mu\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}-(2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}=0\;</MATH>|12.42}} Jeśli do równania {{LinkWzór|12.42}} podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru {{LinkWzór|12.41}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\left({{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}+{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}\right)=(2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1}+\mu\Delta\vec{s}_2\;</MATH>|12.43}} Równanie {{LinkWzór|12.43}} możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_1^2}}{{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_2^2}}{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|12.44a}}}} Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_1=\operatorname{rot}\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}= \epsilon_{ijk}\nabla_j A_{1k}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\epsilon_{ijk}A_{1k}k_je^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_1\times\vec{s}_1=0\;</MATH>|12.45}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.37}} i wywodów {{LinkWzór|12.45}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_1\;</MATH>}} jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} dla fali podłużnej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_2=\nabla_jA_{2j}e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_2\cdot\vec{s}_2=0\;</MATH>|12.46}} Na podstawie założenia {{LinkWzór|12.39}} i wywodów {{LinkWzór|12.46}} otrzymujemy, że fala {{Formuła|<MATH>\vec{s}_2\;</MATH>}} jest falą poprzeczną. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno {{LinkWzór|10.35|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH>L=\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-\Phi+\rho f_is_i\right)dV+\oint\overline{f}_is_idS\;</MATH>|12.47}} Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian {{LinkWzór|12.47}} i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\wedge \delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0\;</math>|12.48}} Wariacja funkcjonału S {{LinkWzór|12.48}} jest tak zbudowana, by wariacja wielkości &delta;s{{Sub|i}} na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t{{Sub|1}} i t{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta s_i(t_1)=\delta s_i(t_2)=0\;</MATH>|12.49}} Napiszmy teraz funkcję &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.5b|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}, wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm}={{1}\over{2}}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right){{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}\;</MATH>|12.50}} Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie {{LinkWzór|12.48}}, zatem wariację funkcji S: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=S(s_i+\delta s_i)-S(s_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\Bigg\{\Bigg[\int_V\Bigg({{\rho}\over{2}}(\dot{s}_i+\delta \dot{s}_i)(\dot{s}_i+\delta \dot s_i)-{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_k}} (s_i+\delta s_i){{\partial}\over{\partial x_m}}(s_l+\delta s_l) +\rho f_i(s_i+\delta s_i)\Bigg)dV+\oint_S\overline{f}_i(s_i+\delta s_i)dS\Bigg]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[\int_V\Bigg ( {{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-{{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+\rho f_is_i\Bigg)dV+\oint\overline{f}_is_idS\Bigg]\Bigg\}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg (\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot s_j)}\over{\partial s_i}}\delta s_i-c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\delta s_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\delta s_i\Bigg )+\oint_S\left(\overline{f}_i\delta s_i+{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\delta s_i\right)dS\Bigg]dt </MATH>|12.51}} W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}, pomijaliśmy wyrazy &delta;s{{Sub|i}} rzędu wyższego rzędu niż pierwszego, skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}. Dalszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie {{LinkWzór|12.51}} w nawiasie klamrowym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_idVdt=\rho \dot{s}_i\delta s_i\Bigg|^{t_2}_{t_1}dV-\int_{t_1}^{t_2}{{d(\rho\dot{s})}\over{dt}}\delta s_i dV dt=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}\delta s_i dV dt-\int_{t_1}^{t_2}\dot\rho\dot{s}\delta s_i dV dt\;</MATH>|12.52}} Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt=\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+{{\partial s_m}\over{\partial x_l}}\right){{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt= \int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}=\int_{t_1}^{t_2}\left[(\sigma_{ik}\delta s_i)_{,k}-\sigma_{ik,k}\delta s_i\right]dV dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}\delta s_idS_kdt-\int_{t_1}^{t_2}{{\partial \sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}\delta s_idV dt</MATH>|12.53}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie: {{LinkWzór|12.52}} i {{LinkWzór|12.53}}, wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right\}\delta s_idV dt+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i-{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\right\}\delta s_idSdt=0\;</MATH>|12.54}} Równość {{LinkWzór|12.54}} napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\int_{t_1}^{t_2}dt\Bigg[\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS\Bigg]\;</MATH>|12.54ba}} Gdy w {{LinkWzór|12.54ba}} przyjmiemy, że deformacje {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} i prędkość deformacji {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\;</MATH>}} są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS=0\;</MATH>|12.54a}} Na podstawie {{LinkWzór|12.54ba}} i definicji cechowania {{LinkWzór|12.54a}}, wzór na równanie ruchu przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=0</MATH>|12.54b}} Równość całkowa {{LinkWzór|12.54b}} jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego &delta;s{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{s}_i={{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\;</MATH>|12.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_k=\overline{f}_i\;</MATH>|12.56}}}} Wzór {{LinkWzór|12.55}} symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|10.10|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a wzór {{LinkWzór|12.56}} jest to powtórzeniem wzoru {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rjpwmbs2j5deh9siewd7fpw38r1dq1q 555294 555293 2026-09-09T14:41:45Z Persino 2851 /* Matematyczny opis fal sprężystych */ 555294 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno {{LinkWzór|10.35|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH>L=\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-\Phi+\rho f_is_i\right)dV+\oint\overline{f}_is_idS\;</MATH>|12.47}} Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian {{LinkWzór|12.47}} i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt\wedge \delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0\;</math>|12.48}} Wariacja funkcjonału S {{LinkWzór|12.48}} jest tak zbudowana, by wariacja wielkości &delta;s{{Sub|i}} na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t{{Sub|1}} i t{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta s_i(t_1)=\delta s_i(t_2)=0\;</MATH>|12.49}} Napiszmy teraz funkcję &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.5b|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}, wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi={{1}\over{2}}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm}={{1}\over{2}}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right){{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}\;</MATH>|12.50}} Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie {{LinkWzór|12.48}}, zatem wariację funkcji S: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta S=S(s_i+\delta s_i)-S(s_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\Bigg\{\Bigg[\int_V\Bigg({{\rho}\over{2}}(\dot{s}_i+\delta \dot{s}_i)(\dot{s}_i+\delta \dot s_i)-{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_k}} (s_i+\delta s_i){{\partial}\over{\partial x_m}}(s_l+\delta s_l) +\rho f_i(s_i+\delta s_i)\Bigg)dV+\oint_S\overline{f}_i(s_i+\delta s_i)dS\Bigg]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[\int_V\Bigg ( {{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-{{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+\rho f_is_i\Bigg)dV+\oint\overline{f}_is_idS\Bigg]\Bigg\}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg (\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot s_j)}\over{\partial s_i}}\delta s_i-c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\delta s_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\delta s_i\Bigg )+\oint_S\left(\overline{f}_i\delta s_i+{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\delta s_i\right)dS\Bigg]dt </MATH>|12.51}} W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}, pomijaliśmy wyrazy &delta;s{{Sub|i}} rzędu wyższego rzędu niż pierwszego, skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}. Dalszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie {{LinkWzór|12.51}} w nawiasie klamrowym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_idVdt=\rho \dot{s}_i\delta s_i\Bigg|^{t_2}_{t_1}dV-\int_{t_1}^{t_2}{{d(\rho\dot{s})}\over{dt}}\delta s_i dV dt=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}\delta s_i dV dt-\int_{t_1}^{t_2}\dot\rho\dot{s}\delta s_i dV dt\;</MATH>|12.52}} Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie {{LinkWzór|11.1|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt=\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+{{\partial s_m}\over{\partial x_l}}\right){{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt= \int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}=\int_{t_1}^{t_2}\left[(\sigma_{ik}\delta s_i)_{,k}-\sigma_{ik,k}\delta s_i\right]dV dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}\delta s_idS_kdt-\int_{t_1}^{t_2}{{\partial \sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}\delta s_idV dt</MATH>|12.53}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie: {{LinkWzór|12.52}} i {{LinkWzór|12.53}}, wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i+{{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right\}\delta s_idV dt+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i-{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_j\right\}\delta s_idSdt=0\;</MATH>|12.54}} Równość {{LinkWzór|12.54}} napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\int_{t_1}^{t_2}dt\Bigg[\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS\Bigg]\;</MATH>|12.54ba}} Gdy w {{LinkWzór|12.54ba}} przyjmiemy, że deformacje {{Formuła|<MATH>s_i\;</MATH>}} i prędkość deformacji {{Formuła|<MATH>\dot{s}_i\;</MATH>}} są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left({{\partial (\rho\dot{s}_j\dot{s}_j)}\over{\partial s_i}}-\dot\rho\dot{s}_i+{{\partial(\rho f_j)}\over{\partial s_i}}s_j\right)dV+\oint_S{{\partial\overline f_j}\over{\partial s_i}} s_jdS=0\;</MATH>|12.54a}} Na podstawie {{LinkWzór|12.54ba}} i definicji cechowania {{LinkWzór|12.54a}}, wzór na równanie ruchu przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=0</MATH>|12.54b}} Równość całkowa {{LinkWzór|12.54b}} jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego &delta;s{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{s}_i={{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\;</MATH>|12.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_k=\overline{f}_i\;</MATH>|12.56}}}} Wzór {{LinkWzór|12.55}} symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|10.10|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a wzór {{LinkWzór|12.56}} jest to powtórzeniem wzoru {{LinkWzór|10.5|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 4edgmaboh6ilect5p8ougj02zlo3spl 555295 555294 2026-09-09T14:44:42Z Persino 2851 /* Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała */ 555295 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35}} i {{LinkWzór|10.36}}. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} Funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Wariacja przesunięć na końcach przedziału czasu jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} --- === Energia sprężysta === Z definicji {{LinkWzór|11.5b}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} === Wariacja działania === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} === Część sprężysta === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego \(\delta s_{i}\), otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> jblb40sbsje2h4p06q6chhj9zc8n2jr 555296 555295 2026-09-09T14:46:06Z Persino 2851 /* Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała */ 555296 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} Funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Wariacja przesunięć na końcach przedziału czasu jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} --- === Energia sprężysta === Z definicji {{LinkWzór|11.5b}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} === Wariacja działania === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} === Część sprężysta === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego \(\delta s_{i}\), otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8wt4l4iiriwiz6ab82lp3207iydxlo1 555297 555296 2026-09-09T14:46:34Z Persino 2851 /* Energia sprężysta */ 555297 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} Funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Wariacja przesunięć na końcach przedziału czasu jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} --- === Energia sprężysta === Z definicji {{LinkWzór|11.5b}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} === Wariacja działania === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} === Część sprężysta === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego \(\delta s_{i}\), otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2wie6bskznehwe9t0q4p4zcj1c1b4y9 555298 555297 2026-09-09T14:47:15Z Persino 2851 /* Energia sprężysta */ 555298 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} Funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Wariacja przesunięć na końcach przedziału czasu jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} --- === Energia sprężysta === Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} === Wariacja działania === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} === Część sprężysta === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego \(\delta s_{i}\), otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hqjk1y8a7jdtajojnjgoztzxpzge449 555299 555298 2026-09-09T14:48:25Z Persino 2851 /* Złożenie wyników */ 555299 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} Funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Wariacja przesunięć na końcach przedziału czasu jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} --- === Energia sprężysta === Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} === Wariacja działania === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} === Część sprężysta === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego \(\delta s_{i}\), otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 11zhlgd7sctjldhj6ah82nq4kt9def5 555300 555299 2026-09-09T14:49:49Z Persino 2851 /* Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała */ 555300 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} Funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Wariacja przesunięć na końcach przedziału czasu jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} === Wariacja działania === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} === Część sprężysta === {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego \(\delta s_{i}\), otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gvqainkejn5ajrz5lesd5gh4ll27sn3 555352 555300 2026-09-09T17:51:28Z Persino 2851 /* Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała */ 555352 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu {{Formuła|<MATH>\,s_{i}\,</MATH>}} względem położenia równowagi jest dane równaniem {{LinkWzór|12.2}}. Ogólne rozwiązanie ma postać fali biegnącej: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} Stosując analizę Fouriera, rozwiązanie można rozłożyć na składowe harmoniczne. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} Wtedy rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} Podstawiamy {{LinkWzór|12.26}} do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} === Dwie liczby falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''', druga — '''poprzeczna'''. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} === Superpozycja fal sprężystych === {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} === Tożsamość wektorowa === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == W mechanice ośrodków ciągłych jednym z najbardziej fundamentalnych i eleganckich sposobów wyprowadzenia równań ruchu jest metoda wariacyjna. Polega ona na tym, że zamiast analizować równania równowagi bezpośrednio, konstruujemy funkcjonał działania, który opisuje całkowitą historię energetyczną układu w czasie. Rzeczywisty ruch ciała jest taki, że działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. W ten sposób otrzymujemy równania Eulera–Lagrange’a dla ośrodka sprężystego, które są równoważne klasycznym równaniom równowagi, lecz wyprowadzone w sposób bardziej ogólny i strukturalny. Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Pole przemieszczeń opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>s_{i}(x,t)</MATH>}}, która określa, jak każdy punkt materiału zmienia swoje położenie w czasie. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} W tym wyrażeniu: * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}</MATH>}} jest energią kinetyczną jednostki objętości, * {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} jest gęstością energii sprężystej, zależną od tensora odkształceń, * {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił masowych, * {{Formuła|<MATH>\overline{f}_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił powierzchniowych na brzegu {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Lagrangian jest więc sumą energii kinetycznej, potencjalnej sprężystej oraz energii związanej z siłami zewnętrznymi. Jego całka po czasie definiuje funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Warunek {{Formuła|<MATH>\delta S = 0</MATH>}} oznacza, że rzeczywisty ruch ciała jest taki, iż działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. Wariacje te muszą jednak spełniać warunek brzegowy w czasie — na końcach przedziału czasowego przemieszczenia nie mogą się zmieniać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Energia sprężysta jest zdefiniowana przez tensor odkształceń oraz tensor sprężystości. Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} Tensor sprężystości {{Formuła|<MATH>c_{iklm}</MATH>}} określa własności materiału, a tensor odkształceń {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} opisuje lokalną deformację. Energia sprężysta jest więc kwadratową formą tensora odkształceń. === Wariacja działania === Wariacja działania polega na obliczeniu {{Formuła|<MATH>\delta S</MATH>}} dla dowolnych dopuszczalnych wariacji {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}. Po podstawieniu definicji Lagrangianu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === Wariacja części kinetycznej wymaga całkowania przez części: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0</MATH>}}, wyraz brzegowy znika. === Część sprężysta === Wariacja części sprężystej wymaga zastosowania twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === Po zsumowaniu części kinetycznej, sprężystej i sił zewnętrznych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}, otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qxwy6vbjyhmbu2o1uwro3nvl106vaer 555353 555352 2026-09-09T17:54:40Z Persino 2851 /* Matematyczny opis fal sprężystych */ 555353 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu materiału względem położenia równowagi jest dane równaniem Lamego {{LinkWzór|12.2}}, które wynika z liniowej teorii sprężystości. Równanie to jest równaniem falowym dla pola przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}(\vec{r},t)</MATH>}}, a jego ogólne rozwiązania mają postać fal biegnących w ośrodku sprężystym. Najbardziej ogólna fala sprężysta może być zapisana jako funkcja jednej zmiennej — argumentu fali: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} jest kierunkiem propagacji, {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} prędkością fali, a {{Formuła|<MATH>f</MATH>}} dowolną funkcją opisującą kształt zaburzenia. W praktyce, aby analizować fale sprężyste, stosujemy analizę Fouriera, która pozwala rozłożyć dowolne rozwiązanie na składowe harmoniczne. Każda składowa harmoniczna ma postać fali płaskiej o określonym wektorze falowym. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} co oznacza, że fala rozchodzi się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. Wtedy rozwiązanie harmoniczne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest wektorem amplitudy, {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} częstością kołową, a {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} liczbą falową. Podstawiamy to rozwiązanie do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}, otrzymując równanie algebraiczne dla amplitudy: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Równanie to jest układem trzech równań liniowych dla składowych amplitudy {{Formuła|<MATH>(A_{1},A_{2},A_{3})</MATH>}}. Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} co oznacza, że istnieją **dwie różne liczby falowe**, a więc dwie różne fale sprężyste: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest **podłużna** — jej amplituda jest równoległa do kierunku propagacji. Druga fala jest **poprzeczna** — jej amplituda jest prostopadła do kierunku propagacji. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} Fala podłużna jest szybsza, ponieważ zależy od kombinacji {{Formuła|<MATH>2\mu+\lambda</MATH>}}, natomiast fala poprzeczna zależy tylko od modułu Kirchhoffa {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. --- === Superpozycja fal sprężystych === Ogólne rozwiązanie jest sumą obu fal: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} co oznacza, że w ośrodku sprężystym zawsze propagują się jednocześnie fale podłużne i poprzeczne. --- === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} To rozróżnienie jest fundamentalne: fala podłużna jest falą **dywergencyjną**, fala poprzeczna — **wirową**. --- === Tożsamość wektorowa === Korzystamy z klasycznej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} --- === Dwa równania falowe === Ostatecznie otrzymujemy dwa niezależne równania falowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} Pierwsze równanie opisuje fale podłużne, drugie — fale poprzeczne. --- === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą **podłużną**. --- === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą **poprzeczną**. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == W mechanice ośrodków ciągłych jednym z najbardziej fundamentalnych i eleganckich sposobów wyprowadzenia równań ruchu jest metoda wariacyjna. Polega ona na tym, że zamiast analizować równania równowagi bezpośrednio, konstruujemy funkcjonał działania, który opisuje całkowitą historię energetyczną układu w czasie. Rzeczywisty ruch ciała jest taki, że działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. W ten sposób otrzymujemy równania Eulera–Lagrange’a dla ośrodka sprężystego, które są równoważne klasycznym równaniom równowagi, lecz wyprowadzone w sposób bardziej ogólny i strukturalny. Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Pole przemieszczeń opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>s_{i}(x,t)</MATH>}}, która określa, jak każdy punkt materiału zmienia swoje położenie w czasie. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} W tym wyrażeniu: * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}</MATH>}} jest energią kinetyczną jednostki objętości, * {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} jest gęstością energii sprężystej, zależną od tensora odkształceń, * {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił masowych, * {{Formuła|<MATH>\overline{f}_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił powierzchniowych na brzegu {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Lagrangian jest więc sumą energii kinetycznej, potencjalnej sprężystej oraz energii związanej z siłami zewnętrznymi. Jego całka po czasie definiuje funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Warunek {{Formuła|<MATH>\delta S = 0</MATH>}} oznacza, że rzeczywisty ruch ciała jest taki, iż działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. Wariacje te muszą jednak spełniać warunek brzegowy w czasie — na końcach przedziału czasowego przemieszczenia nie mogą się zmieniać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Energia sprężysta jest zdefiniowana przez tensor odkształceń oraz tensor sprężystości. Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} Tensor sprężystości {{Formuła|<MATH>c_{iklm}</MATH>}} określa własności materiału, a tensor odkształceń {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} opisuje lokalną deformację. Energia sprężysta jest więc kwadratową formą tensora odkształceń. === Wariacja działania === Wariacja działania polega na obliczeniu {{Formuła|<MATH>\delta S</MATH>}} dla dowolnych dopuszczalnych wariacji {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}. Po podstawieniu definicji Lagrangianu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === Wariacja części kinetycznej wymaga całkowania przez części: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0</MATH>}}, wyraz brzegowy znika. === Część sprężysta === Wariacja części sprężystej wymaga zastosowania twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === Po zsumowaniu części kinetycznej, sprężystej i sił zewnętrznych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}, otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> i9009zql97qdwibtc5hrwis6fldwyni 555355 555353 2026-09-09T17:57:18Z Persino 2851 555355 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu materiału względem położenia równowagi jest dane równaniem Lamego {{LinkWzór|12.2}}, które wynika z liniowej teorii sprężystości. Równanie to jest równaniem falowym dla pola przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}(\vec{r},t)</MATH>}}, a jego ogólne rozwiązania mają postać fal biegnących w ośrodku sprężystym. Najbardziej ogólna fala sprężysta może być zapisana jako funkcja jednej zmiennej — argumentu fali: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} jest kierunkiem propagacji, {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} prędkością fali, a {{Formuła|<MATH>f</MATH>}} dowolną funkcją opisującą kształt zaburzenia. W praktyce, aby analizować fale sprężyste, stosujemy analizę Fouriera, która pozwala rozłożyć dowolne rozwiązanie na składowe harmoniczne. Każda składowa harmoniczna ma postać fali płaskiej o określonym wektorze falowym. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} co oznacza, że fala rozchodzi się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. Wtedy rozwiązanie harmoniczne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest wektorem amplitudy, {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} częstością kołową, a {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} liczbą falową. Podstawiamy to rozwiązanie do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}, otrzymując równanie algebraiczne dla amplitudy: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Równanie to jest układem trzech równań liniowych dla składowych amplitudy {{Formuła|<MATH>(A_{1},A_{2},A_{3})</MATH>}}. Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} co oznacza, że istnieją '''dwie różne liczby falowe''', a więc dwie różne fale sprężyste: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''' — jej amplituda jest równoległa do kierunku propagacji. Druga fala jest '''poprzeczna''' — jej amplituda jest prostopadła do kierunku propagacji. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} Fala podłużna jest szybsza, ponieważ zależy od kombinacji {{Formuła|<MATH>2\mu+\lambda</MATH>}}, natomiast fala poprzeczna zależy tylko od modułu Kirchhoffa {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. --- === Superpozycja fal sprężystych === Ogólne rozwiązanie jest sumą obu fal: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} co oznacza, że w ośrodku sprężystym zawsze propagują się jednocześnie fale podłużne i poprzeczne. --- === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} To rozróżnienie jest fundamentalne: fala podłużna jest falą '''dywergencyjną''', fala poprzeczna — '''wirową'''. --- === Tożsamość wektorowa === Korzystamy z klasycznej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} --- === Dwa równania falowe === Ostatecznie otrzymujemy dwa niezależne równania falowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} Pierwsze równanie opisuje fale podłużne, drugie — fale poprzeczne. --- === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. --- === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == W mechanice ośrodków ciągłych jednym z najbardziej fundamentalnych i eleganckich sposobów wyprowadzenia równań ruchu jest metoda wariacyjna. Polega ona na tym, że zamiast analizować równania równowagi bezpośrednio, konstruujemy funkcjonał działania, który opisuje całkowitą historię energetyczną układu w czasie. Rzeczywisty ruch ciała jest taki, że działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. W ten sposób otrzymujemy równania Eulera–Lagrange’a dla ośrodka sprężystego, które są równoważne klasycznym równaniom równowagi, lecz wyprowadzone w sposób bardziej ogólny i strukturalny. Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Pole przemieszczeń opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>s_{i}(x,t)</MATH>}}, która określa, jak każdy punkt materiału zmienia swoje położenie w czasie. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} W tym wyrażeniu: * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}</MATH>}} jest energią kinetyczną jednostki objętości, * {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} jest gęstością energii sprężystej, zależną od tensora odkształceń, * {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił masowych, * {{Formuła|<MATH>\overline{f}_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił powierzchniowych na brzegu {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Lagrangian jest więc sumą energii kinetycznej, potencjalnej sprężystej oraz energii związanej z siłami zewnętrznymi. Jego całka po czasie definiuje funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Warunek {{Formuła|<MATH>\delta S = 0</MATH>}} oznacza, że rzeczywisty ruch ciała jest taki, iż działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. Wariacje te muszą jednak spełniać warunek brzegowy w czasie — na końcach przedziału czasowego przemieszczenia nie mogą się zmieniać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Energia sprężysta jest zdefiniowana przez tensor odkształceń oraz tensor sprężystości. Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} Tensor sprężystości {{Formuła|<MATH>c_{iklm}</MATH>}} określa własności materiału, a tensor odkształceń {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} opisuje lokalną deformację. Energia sprężysta jest więc kwadratową formą tensora odkształceń. === Wariacja działania === Wariacja działania polega na obliczeniu {{Formuła|<MATH>\delta S</MATH>}} dla dowolnych dopuszczalnych wariacji {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}. Po podstawieniu definicji Lagrangianu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === Wariacja części kinetycznej wymaga całkowania przez części: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0</MATH>}}, wyraz brzegowy znika. === Część sprężysta === Wariacja części sprężystej wymaga zastosowania twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === Po zsumowaniu części kinetycznej, sprężystej i sił zewnętrznych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}, otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> emn62loungy45kk5oiar4mrkiasq815 555356 555355 2026-09-09T17:58:54Z Persino 2851 /* Matematyczny opis fal sprężystych */ 555356 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} === Równanie statyczne wałka skręceń === Korzystamy z równania statycznego {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} === Moment skręcający === {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} === Kąt skręcenia wałka === {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu materiału względem położenia równowagi jest dane równaniem Lamego {{LinkWzór|12.2}}, które wynika z liniowej teorii sprężystości. Równanie to jest równaniem falowym dla pola przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}(\vec{r},t)</MATH>}}, a jego ogólne rozwiązania mają postać fal biegnących w ośrodku sprężystym. Najbardziej ogólna fala sprężysta może być zapisana jako funkcja jednej zmiennej — argumentu fali: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} jest kierunkiem propagacji, {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} prędkością fali, a {{Formuła|<MATH>f</MATH>}} dowolną funkcją opisującą kształt zaburzenia. W praktyce, aby analizować fale sprężyste, stosujemy analizę Fouriera, która pozwala rozłożyć dowolne rozwiązanie na składowe harmoniczne. Każda składowa harmoniczna ma postać fali płaskiej o określonym wektorze falowym. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} co oznacza, że fala rozchodzi się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. Wtedy rozwiązanie harmoniczne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest wektorem amplitudy, {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} częstością kołową, a {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} liczbą falową. Podstawiamy to rozwiązanie do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}, otrzymując równanie algebraiczne dla amplitudy: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Równanie to jest układem trzech równań liniowych dla składowych amplitudy {{Formuła|<MATH>(A_{1},A_{2},A_{3})</MATH>}}. Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} co oznacza, że istnieją '''dwie różne liczby falowe''', a więc dwie różne fale sprężyste: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''' — jej amplituda jest równoległa do kierunku propagacji. Druga fala jest '''poprzeczna''' — jej amplituda jest prostopadła do kierunku propagacji. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} Fala podłużna jest szybsza, ponieważ zależy od kombinacji {{Formuła|<MATH>2\mu+\lambda</MATH>}}, natomiast fala poprzeczna zależy tylko od modułu Kirchhoffa {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. === Superpozycja fal sprężystych === Ogólne rozwiązanie jest sumą obu fal: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} co oznacza, że w ośrodku sprężystym zawsze propagują się jednocześnie fale podłużne i poprzeczne. === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} To rozróżnienie jest fundamentalne: fala podłużna jest falą '''dywergencyjną''', fala poprzeczna — '''wirową'''. === Tożsamość wektorowa === Korzystamy z klasycznej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === Ostatecznie otrzymujemy dwa niezależne równania falowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} Pierwsze równanie opisuje fale podłużne, drugie — fale poprzeczne. === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == W mechanice ośrodków ciągłych jednym z najbardziej fundamentalnych i eleganckich sposobów wyprowadzenia równań ruchu jest metoda wariacyjna. Polega ona na tym, że zamiast analizować równania równowagi bezpośrednio, konstruujemy funkcjonał działania, który opisuje całkowitą historię energetyczną układu w czasie. Rzeczywisty ruch ciała jest taki, że działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. W ten sposób otrzymujemy równania Eulera–Lagrange’a dla ośrodka sprężystego, które są równoważne klasycznym równaniom równowagi, lecz wyprowadzone w sposób bardziej ogólny i strukturalny. Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Pole przemieszczeń opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>s_{i}(x,t)</MATH>}}, która określa, jak każdy punkt materiału zmienia swoje położenie w czasie. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} W tym wyrażeniu: * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}</MATH>}} jest energią kinetyczną jednostki objętości, * {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} jest gęstością energii sprężystej, zależną od tensora odkształceń, * {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił masowych, * {{Formuła|<MATH>\overline{f}_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił powierzchniowych na brzegu {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Lagrangian jest więc sumą energii kinetycznej, potencjalnej sprężystej oraz energii związanej z siłami zewnętrznymi. Jego całka po czasie definiuje funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Warunek {{Formuła|<MATH>\delta S = 0</MATH>}} oznacza, że rzeczywisty ruch ciała jest taki, iż działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. Wariacje te muszą jednak spełniać warunek brzegowy w czasie — na końcach przedziału czasowego przemieszczenia nie mogą się zmieniać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Energia sprężysta jest zdefiniowana przez tensor odkształceń oraz tensor sprężystości. Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} Tensor sprężystości {{Formuła|<MATH>c_{iklm}</MATH>}} określa własności materiału, a tensor odkształceń {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} opisuje lokalną deformację. Energia sprężysta jest więc kwadratową formą tensora odkształceń. === Wariacja działania === Wariacja działania polega na obliczeniu {{Formuła|<MATH>\delta S</MATH>}} dla dowolnych dopuszczalnych wariacji {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}. Po podstawieniu definicji Lagrangianu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === Wariacja części kinetycznej wymaga całkowania przez części: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0</MATH>}}, wyraz brzegowy znika. === Część sprężysta === Wariacja części sprężystej wymaga zastosowania twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === Po zsumowaniu części kinetycznej, sprężystej i sił zewnętrznych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}, otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> n4t0uvq8lgpo5bv8mmqaky3h3bpwi72 555357 555356 2026-09-09T18:02:21Z Persino 2851 /* Wałek skręceń w teorii sprężystości */ 555357 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Rozpatrujemy klasyczny problem skręcania pręta kołowego, który jest jednym z fundamentalnych zagadnień teorii sprężystości. Pręt (wałek) jest zamocowany na jednej podstawie, natomiast na drugiej podstawie wymuszamy obrót o zadany kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}. Pole przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}} opisuje deformację materiału w każdym punkcie wałka. Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} co oznacza, że podstawa jest całkowicie unieruchomiona. Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}. Przemieszczenie punktu o położeniu {{Formuła|<MATH>\vec{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})</MATH>}} wynika z iloczynu wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} co jest klasycznym opisem skręcenia ciała sztywnego. === Równanie statyczne wałka skręceń === W stanie statycznym obowiązuje równanie równowagi naprężeń {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>\varphi(x_{3})</MATH>}}, która określa lokalny kąt skręcenia: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} co oznacza, że jedynymi niezerowymi odkształceniami są odkształcenia postaciowe związane z gradientem kąta skręcenia. === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Są to naprężenia styczne, które powstają wskutek skręcania wałka. Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} co oznacza, że: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} co oznacza liniowy rozkład kąta skręcenia wzdłuż długości wałka. === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} co oznacza, że siły styczne nie wykonują pracy względem osi wałka. === Moment skręcający === Moment skręcający jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} co jest klasycznym wynikiem dla skręcania pręta kołowego. === Kąt skręcenia wałka === Zależność odwrotna: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} wiąże moment skręcający z kątem skręcenia. Jest to podstawowa zależność w teorii skręcania prętów kołowych. == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu materiału względem położenia równowagi jest dane równaniem Lamego {{LinkWzór|12.2}}, które wynika z liniowej teorii sprężystości. Równanie to jest równaniem falowym dla pola przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}(\vec{r},t)</MATH>}}, a jego ogólne rozwiązania mają postać fal biegnących w ośrodku sprężystym. Najbardziej ogólna fala sprężysta może być zapisana jako funkcja jednej zmiennej — argumentu fali: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} jest kierunkiem propagacji, {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} prędkością fali, a {{Formuła|<MATH>f</MATH>}} dowolną funkcją opisującą kształt zaburzenia. W praktyce, aby analizować fale sprężyste, stosujemy analizę Fouriera, która pozwala rozłożyć dowolne rozwiązanie na składowe harmoniczne. Każda składowa harmoniczna ma postać fali płaskiej o określonym wektorze falowym. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} co oznacza, że fala rozchodzi się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. Wtedy rozwiązanie harmoniczne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest wektorem amplitudy, {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} częstością kołową, a {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} liczbą falową. Podstawiamy to rozwiązanie do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}, otrzymując równanie algebraiczne dla amplitudy: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Równanie to jest układem trzech równań liniowych dla składowych amplitudy {{Formuła|<MATH>(A_{1},A_{2},A_{3})</MATH>}}. Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} co oznacza, że istnieją '''dwie różne liczby falowe''', a więc dwie różne fale sprężyste: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''' — jej amplituda jest równoległa do kierunku propagacji. Druga fala jest '''poprzeczna''' — jej amplituda jest prostopadła do kierunku propagacji. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} Fala podłużna jest szybsza, ponieważ zależy od kombinacji {{Formuła|<MATH>2\mu+\lambda</MATH>}}, natomiast fala poprzeczna zależy tylko od modułu Kirchhoffa {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. === Superpozycja fal sprężystych === Ogólne rozwiązanie jest sumą obu fal: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} co oznacza, że w ośrodku sprężystym zawsze propagują się jednocześnie fale podłużne i poprzeczne. === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} To rozróżnienie jest fundamentalne: fala podłużna jest falą '''dywergencyjną''', fala poprzeczna — '''wirową'''. === Tożsamość wektorowa === Korzystamy z klasycznej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === Ostatecznie otrzymujemy dwa niezależne równania falowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} Pierwsze równanie opisuje fale podłużne, drugie — fale poprzeczne. === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == W mechanice ośrodków ciągłych jednym z najbardziej fundamentalnych i eleganckich sposobów wyprowadzenia równań ruchu jest metoda wariacyjna. Polega ona na tym, że zamiast analizować równania równowagi bezpośrednio, konstruujemy funkcjonał działania, który opisuje całkowitą historię energetyczną układu w czasie. Rzeczywisty ruch ciała jest taki, że działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. W ten sposób otrzymujemy równania Eulera–Lagrange’a dla ośrodka sprężystego, które są równoważne klasycznym równaniom równowagi, lecz wyprowadzone w sposób bardziej ogólny i strukturalny. Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Pole przemieszczeń opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>s_{i}(x,t)</MATH>}}, która określa, jak każdy punkt materiału zmienia swoje położenie w czasie. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} W tym wyrażeniu: * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}</MATH>}} jest energią kinetyczną jednostki objętości, * {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} jest gęstością energii sprężystej, zależną od tensora odkształceń, * {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił masowych, * {{Formuła|<MATH>\overline{f}_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił powierzchniowych na brzegu {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Lagrangian jest więc sumą energii kinetycznej, potencjalnej sprężystej oraz energii związanej z siłami zewnętrznymi. Jego całka po czasie definiuje funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Warunek {{Formuła|<MATH>\delta S = 0</MATH>}} oznacza, że rzeczywisty ruch ciała jest taki, iż działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. Wariacje te muszą jednak spełniać warunek brzegowy w czasie — na końcach przedziału czasowego przemieszczenia nie mogą się zmieniać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Energia sprężysta jest zdefiniowana przez tensor odkształceń oraz tensor sprężystości. Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} Tensor sprężystości {{Formuła|<MATH>c_{iklm}</MATH>}} określa własności materiału, a tensor odkształceń {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} opisuje lokalną deformację. Energia sprężysta jest więc kwadratową formą tensora odkształceń. === Wariacja działania === Wariacja działania polega na obliczeniu {{Formuła|<MATH>\delta S</MATH>}} dla dowolnych dopuszczalnych wariacji {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}. Po podstawieniu definicji Lagrangianu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === Wariacja części kinetycznej wymaga całkowania przez części: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0</MATH>}}, wyraz brzegowy znika. === Część sprężysta === Wariacja części sprężystej wymaga zastosowania twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === Po zsumowaniu części kinetycznej, sprężystej i sił zewnętrznych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}, otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> pfsiq8jg76ytpkzz8rlm0w0dbj61d2u 555358 555357 2026-09-09T18:05:05Z Persino 2851 /* Wałek skręceń w teorii sprężystości */ 555358 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Rozpatrujemy klasyczny problem skręcania pręta kołowego, który jest jednym z fundamentalnych zagadnień teorii sprężystości. Pręt (wałek) jest zamocowany na jednej podstawie, natomiast na drugiej podstawie wymuszamy obrót o zadany kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}. Pole przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}} opisuje deformację materiału w każdym punkcie wałka. Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} co oznacza, że podstawa jest całkowicie unieruchomiona. Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}. Przemieszczenie punktu o położeniu {{Formuła|<MATH>\vec{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})</MATH>}} wynika z iloczynu wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} co jest klasycznym opisem skręcenia ciała sztywnego. === Równanie statyczne wałka skręceń === W stanie statycznym obowiązuje równanie równowagi naprężeń {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>\varphi(x_{3})</MATH>}}, która określa lokalny kąt skręcenia: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} co oznacza, że jedynymi niezerowymi odkształceniami są odkształcenia postaciowe związane z gradientem kąta skręcenia. === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Są to naprężenia styczne, które powstają wskutek skręcania wałka. Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} co oznacza, że: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} co oznacza liniowy rozkład kąta skręcenia wzdłuż długości wałka. === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} |3={{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} co oznacza, że siły styczne nie wykonują pracy względem osi wałka. === Moment skręcający === Moment skręcający jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} co jest klasycznym wynikiem dla skręcania pręta kołowego. === Kąt skręcenia wałka === Zależność odwrotna: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} wiąże moment skręcający z kątem skręcenia. Jest to podstawowa zależność w teorii skręcania prętów kołowych. == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu materiału względem położenia równowagi jest dane równaniem Lamego {{LinkWzór|12.2}}, które wynika z liniowej teorii sprężystości. Równanie to jest równaniem falowym dla pola przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}(\vec{r},t)</MATH>}}, a jego ogólne rozwiązania mają postać fal biegnących w ośrodku sprężystym. Najbardziej ogólna fala sprężysta może być zapisana jako funkcja jednej zmiennej — argumentu fali: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} jest kierunkiem propagacji, {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} prędkością fali, a {{Formuła|<MATH>f</MATH>}} dowolną funkcją opisującą kształt zaburzenia. W praktyce, aby analizować fale sprężyste, stosujemy analizę Fouriera, która pozwala rozłożyć dowolne rozwiązanie na składowe harmoniczne. Każda składowa harmoniczna ma postać fali płaskiej o określonym wektorze falowym. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} co oznacza, że fala rozchodzi się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. Wtedy rozwiązanie harmoniczne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest wektorem amplitudy, {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} częstością kołową, a {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} liczbą falową. Podstawiamy to rozwiązanie do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}, otrzymując równanie algebraiczne dla amplitudy: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Równanie to jest układem trzech równań liniowych dla składowych amplitudy {{Formuła|<MATH>(A_{1},A_{2},A_{3})</MATH>}}. Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} co oznacza, że istnieją '''dwie różne liczby falowe''', a więc dwie różne fale sprężyste: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} |2={{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''' — jej amplituda jest równoległa do kierunku propagacji. Druga fala jest '''poprzeczna''' — jej amplituda jest prostopadła do kierunku propagacji. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} Fala podłużna jest szybsza, ponieważ zależy od kombinacji {{Formuła|<MATH>2\mu+\lambda</MATH>}}, natomiast fala poprzeczna zależy tylko od modułu Kirchhoffa {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. === Superpozycja fal sprężystych === Ogólne rozwiązanie jest sumą obu fal: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} co oznacza, że w ośrodku sprężystym zawsze propagują się jednocześnie fale podłużne i poprzeczne. === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} To rozróżnienie jest fundamentalne: fala podłużna jest falą '''dywergencyjną''', fala poprzeczna — '''wirową'''. === Tożsamość wektorowa === Korzystamy z klasycznej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === Ostatecznie otrzymujemy dwa niezależne równania falowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} Pierwsze równanie opisuje fale podłużne, drugie — fale poprzeczne. === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == W mechanice ośrodków ciągłych jednym z najbardziej fundamentalnych i eleganckich sposobów wyprowadzenia równań ruchu jest metoda wariacyjna. Polega ona na tym, że zamiast analizować równania równowagi bezpośrednio, konstruujemy funkcjonał działania, który opisuje całkowitą historię energetyczną układu w czasie. Rzeczywisty ruch ciała jest taki, że działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. W ten sposób otrzymujemy równania Eulera–Lagrange’a dla ośrodka sprężystego, które są równoważne klasycznym równaniom równowagi, lecz wyprowadzone w sposób bardziej ogólny i strukturalny. Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Pole przemieszczeń opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>s_{i}(x,t)</MATH>}}, która określa, jak każdy punkt materiału zmienia swoje położenie w czasie. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} W tym wyrażeniu: * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}</MATH>}} jest energią kinetyczną jednostki objętości, * {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} jest gęstością energii sprężystej, zależną od tensora odkształceń, * {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił masowych, * {{Formuła|<MATH>\overline{f}_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił powierzchniowych na brzegu {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Lagrangian jest więc sumą energii kinetycznej, potencjalnej sprężystej oraz energii związanej z siłami zewnętrznymi. Jego całka po czasie definiuje funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Warunek {{Formuła|<MATH>\delta S = 0</MATH>}} oznacza, że rzeczywisty ruch ciała jest taki, iż działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. Wariacje te muszą jednak spełniać warunek brzegowy w czasie — na końcach przedziału czasowego przemieszczenia nie mogą się zmieniać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Energia sprężysta jest zdefiniowana przez tensor odkształceń oraz tensor sprężystości. Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} Tensor sprężystości {{Formuła|<MATH>c_{iklm}</MATH>}} określa własności materiału, a tensor odkształceń {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} opisuje lokalną deformację. Energia sprężysta jest więc kwadratową formą tensora odkształceń. === Wariacja działania === Wariacja działania polega na obliczeniu {{Formuła|<MATH>\delta S</MATH>}} dla dowolnych dopuszczalnych wariacji {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}. Po podstawieniu definicji Lagrangianu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === Wariacja części kinetycznej wymaga całkowania przez części: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0</MATH>}}, wyraz brzegowy znika. === Część sprężysta === Wariacja części sprężystej wymaga zastosowania twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === Po zsumowaniu części kinetycznej, sprężystej i sił zewnętrznych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}, otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qy0ycj4h395by29wqjh19sgsz25ihc2 0 20379 555301 554860 2026-09-09T14:53:11Z Persino 2851 /* Równanie Naviera-Stokesa */ 555301 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy &eta; jest równa zero, wtedy równanie {{LinkWzór|13.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.3}} Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz, prędkość cieczy przy jej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\cdot\vec {n}=0\;</MATH>}}. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie {{LinkWzór|13.3}} po prawej stronie w nawiasie: {{CentrujWzór|<MATH>v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}=v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}-v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\left(\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}\right)v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|13.4}} Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w {{LinkWzór|13.4}} do wzoru {{LinkWzór|13.3}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{v}_i+{{1}\over{2}}{{\partial v_lv_l}\over{\partial x_i}}-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.5}} Równanie skalarne {{LinkWzór|13.5}}, które jest przedstawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równanie piszemy wektorowo: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}+{{\rho}\over{2}}\operatorname{grad}(\vec{v}^2 )-\rho\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\rho\vec{f}\;</MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Dla spoczywającej cieczy będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0\;</MATH>|13.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>|13.8}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\;</MATH>|13.9}}}} Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu): {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}^'\;</MATH>|13.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+p^'\;</MATH>|13.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0+\rho^'\;</MATH>|13.12}}}} Napiszmy teraz równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem {{LinkWzór|13.7}}, {{LinkWzór|13.8}} i {{LinkWzór|13.9}}, a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, wtedy równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho_0+\rho^'\right)+\operatorname{div}\left[(\rho_0+\rho^')\vec{v}\right]=0\;</MATH>|13.13}} W równaniu {{LinkWzór|13.13}} po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho^'}\over{\partial t}}+\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'=0\;</MATH>|13.14}} Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru {{LinkWzór|13.5}}, które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych: {{CentrujWzór|<MATH>(\rho+\rho^')\left(\dot{v}_i+v_l^'{{\partial v^'_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial(p_0+p^')}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|13.15}} We wzorze {{LinkWzór|13.15}} pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy równość po operacji: {{CentrujWzór|<matH>\rho_0{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=-\operatorname{grad}p^'</MATH>|13.16}} Równanie stanu będziemy linearyzować, rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy &rho; wokół punktu &rho;=&rho;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}(\rho-\rho_0)+...\;</MATH>|13.17}} Biorąc definicję ciśnienia {{LinkWzór|13.11}} i gęstości ciała {{LinkWzór|13.12}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|13.17}} możemy zauważyć: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=c^2\rho^'\mbox{ dla }c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}\;</MATH>|13.18}} Wstawiamy uzyskaną równość {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, to dostajemy zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t^2}}=\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'\;</MATH>|13.19}} Równość {{LinkWzór|13.19}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\rho_0\operatorname{div}{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=0\Rightarrow {{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t}}-\operatorname{div}\operatorname{grad}p^'=0\;</math>|13.20}} Równość {{LinkWzór|13.20}} możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\Delta p=0\;</MATH>|13.21}} Równanie {{LinkWzór|13.21}} jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\Rightarrow p=\operatorname{const}\rho^{\kappa}\;</MATH>|13.22}} Będziemy wykorzystywać równość {{LinkWzór|13.18}}, to do wyznaczenia prędkości fali, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}=\kappa\rho_0^{\kappa-1}\operatorname{const}\simeq\kappa \rho_0^{\kappa-1}{{p_0}\over{\rho_0^{\kappa}}}=\kappa{{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow c=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|13.23}} Równanie {{LinkWzór|13.23}} jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej· == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> tpdcuva78ofownx1nfsbtt91676lkcl 555302 555301 2026-09-09T14:55:54Z Persino 2851 /* Równanie Naviera–Stokesa */ 555302 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Wprowadzenie do hydrodynamiki}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Wprowadzenie do hydrodynamiki}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy &eta; jest równa zero, wtedy równanie {{LinkWzór|13.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.3}} Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz, prędkość cieczy przy jej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\cdot\vec {n}=0\;</MATH>}}. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie {{LinkWzór|13.3}} po prawej stronie w nawiasie: {{CentrujWzór|<MATH>v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}=v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}-v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\left(\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}\right)v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|13.4}} Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w {{LinkWzór|13.4}} do wzoru {{LinkWzór|13.3}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{v}_i+{{1}\over{2}}{{\partial v_lv_l}\over{\partial x_i}}-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.5}} Równanie skalarne {{LinkWzór|13.5}}, które jest przedstawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równanie piszemy wektorowo: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}+{{\rho}\over{2}}\operatorname{grad}(\vec{v}^2 )-\rho\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\rho\vec{f}\;</MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Dla spoczywającej cieczy będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0\;</MATH>|13.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>|13.8}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\;</MATH>|13.9}}}} Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu): {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}^'\;</MATH>|13.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+p^'\;</MATH>|13.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0+\rho^'\;</MATH>|13.12}}}} Napiszmy teraz równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem {{LinkWzór|13.7}}, {{LinkWzór|13.8}} i {{LinkWzór|13.9}}, a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, wtedy równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho_0+\rho^'\right)+\operatorname{div}\left[(\rho_0+\rho^')\vec{v}\right]=0\;</MATH>|13.13}} W równaniu {{LinkWzór|13.13}} po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho^'}\over{\partial t}}+\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'=0\;</MATH>|13.14}} Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru {{LinkWzór|13.5}}, które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych: {{CentrujWzór|<MATH>(\rho+\rho^')\left(\dot{v}_i+v_l^'{{\partial v^'_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial(p_0+p^')}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|13.15}} We wzorze {{LinkWzór|13.15}} pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy równość po operacji: {{CentrujWzór|<matH>\rho_0{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=-\operatorname{grad}p^'</MATH>|13.16}} Równanie stanu będziemy linearyzować, rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy &rho; wokół punktu &rho;=&rho;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}(\rho-\rho_0)+...\;</MATH>|13.17}} Biorąc definicję ciśnienia {{LinkWzór|13.11}} i gęstości ciała {{LinkWzór|13.12}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|13.17}} możemy zauważyć: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=c^2\rho^'\mbox{ dla }c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}\;</MATH>|13.18}} Wstawiamy uzyskaną równość {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, to dostajemy zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t^2}}=\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'\;</MATH>|13.19}} Równość {{LinkWzór|13.19}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\rho_0\operatorname{div}{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=0\Rightarrow {{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t}}-\operatorname{div}\operatorname{grad}p^'=0\;</math>|13.20}} Równość {{LinkWzór|13.20}} możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\Delta p=0\;</MATH>|13.21}} Równanie {{LinkWzór|13.21}} jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\Rightarrow p=\operatorname{const}\rho^{\kappa}\;</MATH>|13.22}} Będziemy wykorzystywać równość {{LinkWzór|13.18}}, to do wyznaczenia prędkości fali, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}=\kappa\rho_0^{\kappa-1}\operatorname{const}\simeq\kappa \rho_0^{\kappa-1}{{p_0}\over{\rho_0^{\kappa}}}=\kappa{{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow c=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|13.23}} Równanie {{LinkWzór|13.23}} jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej· == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6j492gl26iravnbgykhhbevby5lo10c 555303 555302 2026-09-09T14:58:12Z Persino 2851 /* Równanie Naviera–Stokesa */ 555303 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy &eta; jest równa zero, wtedy równanie {{LinkWzór|13.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.3}} Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz, prędkość cieczy przy jej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\cdot\vec {n}=0\;</MATH>}}. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie {{LinkWzór|13.3}} po prawej stronie w nawiasie: {{CentrujWzór|<MATH>v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}=v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}-v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\left(\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}\right)v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|13.4}} Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w {{LinkWzór|13.4}} do wzoru {{LinkWzór|13.3}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{v}_i+{{1}\over{2}}{{\partial v_lv_l}\over{\partial x_i}}-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.5}} Równanie skalarne {{LinkWzór|13.5}}, które jest przedstawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równanie piszemy wektorowo: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}+{{\rho}\over{2}}\operatorname{grad}(\vec{v}^2 )-\rho\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\rho\vec{f}\;</MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Dla spoczywającej cieczy będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0\;</MATH>|13.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>|13.8}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\;</MATH>|13.9}}}} Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu): {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}^'\;</MATH>|13.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+p^'\;</MATH>|13.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0+\rho^'\;</MATH>|13.12}}}} Napiszmy teraz równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem {{LinkWzór|13.7}}, {{LinkWzór|13.8}} i {{LinkWzór|13.9}}, a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, wtedy równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho_0+\rho^'\right)+\operatorname{div}\left[(\rho_0+\rho^')\vec{v}\right]=0\;</MATH>|13.13}} W równaniu {{LinkWzór|13.13}} po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho^'}\over{\partial t}}+\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'=0\;</MATH>|13.14}} Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru {{LinkWzór|13.5}}, które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych: {{CentrujWzór|<MATH>(\rho+\rho^')\left(\dot{v}_i+v_l^'{{\partial v^'_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial(p_0+p^')}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|13.15}} We wzorze {{LinkWzór|13.15}} pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy równość po operacji: {{CentrujWzór|<matH>\rho_0{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=-\operatorname{grad}p^'</MATH>|13.16}} Równanie stanu będziemy linearyzować, rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy &rho; wokół punktu &rho;=&rho;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}(\rho-\rho_0)+...\;</MATH>|13.17}} Biorąc definicję ciśnienia {{LinkWzór|13.11}} i gęstości ciała {{LinkWzór|13.12}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|13.17}} możemy zauważyć: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=c^2\rho^'\mbox{ dla }c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}\;</MATH>|13.18}} Wstawiamy uzyskaną równość {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, to dostajemy zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t^2}}=\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'\;</MATH>|13.19}} Równość {{LinkWzór|13.19}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\rho_0\operatorname{div}{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=0\Rightarrow {{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t}}-\operatorname{div}\operatorname{grad}p^'=0\;</math>|13.20}} Równość {{LinkWzór|13.20}} możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\Delta p=0\;</MATH>|13.21}} Równanie {{LinkWzór|13.21}} jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\Rightarrow p=\operatorname{const}\rho^{\kappa}\;</MATH>|13.22}} Będziemy wykorzystywać równość {{LinkWzór|13.18}}, to do wyznaczenia prędkości fali, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}=\kappa\rho_0^{\kappa-1}\operatorname{const}\simeq\kappa \rho_0^{\kappa-1}{{p_0}\over{\rho_0^{\kappa}}}=\kappa{{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow c=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|13.23}} Równanie {{LinkWzór|13.23}} jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej· == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ime9jekymc81ubtudzf2cofkcjhds1c 555304 555303 2026-09-09T14:59:22Z Persino 2851 /* Równanie Naviera–Stokesa */ 555304 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy &eta; jest równa zero, wtedy równanie {{LinkWzór|13.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.3}} Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz, prędkość cieczy przy jej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\cdot\vec {n}=0\;</MATH>}}. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie {{LinkWzór|13.3}} po prawej stronie w nawiasie: {{CentrujWzór|<MATH>v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}=v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}-v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\left(\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}\right)v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}\;</MATH>|13.4}} Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w {{LinkWzór|13.4}} do wzoru {{LinkWzór|13.3}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{v}_i+{{1}\over{2}}{{\partial v_lv_l}\over{\partial x_i}}-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;</MATH>|13.5}} Równanie skalarne {{LinkWzór|13.5}}, które jest przedstawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równanie piszemy wektorowo: {{CentrujWzór|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}+{{\rho}\over{2}}\operatorname{grad}(\vec{v}^2 )-\rho\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\rho\vec{f}\;</MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Dla spoczywającej cieczy będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0\;</MATH>|13.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>|13.8}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\;</MATH>|13.9}}}} Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu): {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}^'\;</MATH>|13.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+p^'\;</MATH>|13.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0+\rho^'\;</MATH>|13.12}}}} Napiszmy teraz równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem {{LinkWzór|13.7}}, {{LinkWzór|13.8}} i {{LinkWzór|13.9}}, a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, wtedy równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho_0+\rho^'\right)+\operatorname{div}\left[(\rho_0+\rho^')\vec{v}\right]=0\;</MATH>|13.13}} W równaniu {{LinkWzór|13.13}} po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho^'}\over{\partial t}}+\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'=0\;</MATH>|13.14}} Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru {{LinkWzór|13.5}}, które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych: {{CentrujWzór|<MATH>(\rho+\rho^')\left(\dot{v}_i+v_l^'{{\partial v^'_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial(p_0+p^')}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|13.15}} We wzorze {{LinkWzór|13.15}} pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy równość po operacji: {{CentrujWzór|<matH>\rho_0{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=-\operatorname{grad}p^'</MATH>|13.16}} Równanie stanu będziemy linearyzować, rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy &rho; wokół punktu &rho;=&rho;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}(\rho-\rho_0)+...\;</MATH>|13.17}} Biorąc definicję ciśnienia {{LinkWzór|13.11}} i gęstości ciała {{LinkWzór|13.12}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|13.17}} możemy zauważyć: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=c^2\rho^'\mbox{ dla }c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}\;</MATH>|13.18}} Wstawiamy uzyskaną równość {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, to dostajemy zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t^2}}=\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'\;</MATH>|13.19}} Równość {{LinkWzór|13.19}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\rho_0\operatorname{div}{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=0\Rightarrow {{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t}}-\operatorname{div}\operatorname{grad}p^'=0\;</math>|13.20}} Równość {{LinkWzór|13.20}} możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\Delta p=0\;</MATH>|13.21}} Równanie {{LinkWzór|13.21}} jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\Rightarrow p=\operatorname{const}\rho^{\kappa}\;</MATH>|13.22}} Będziemy wykorzystywać równość {{LinkWzór|13.18}}, to do wyznaczenia prędkości fali, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}=\kappa\rho_0^{\kappa-1}\operatorname{const}\simeq\kappa \rho_0^{\kappa-1}{{p_0}\over{\rho_0^{\kappa}}}=\kappa{{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow c=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|13.23}} Równanie {{LinkWzór|13.23}} jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej· == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gazbfosypt01w842f08j94acvq0izzb 555305 555304 2026-09-09T15:02:09Z Persino 2851 /* Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego */ 555305 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Dla spoczywającej cieczy będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0\;</MATH>|13.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>|13.8}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\;</MATH>|13.9}}}} Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu): {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}^'\;</MATH>|13.10}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+p^'\;</MATH>|13.11}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_0+\rho^'\;</MATH>|13.12}}}} Napiszmy teraz równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem {{LinkWzór|13.7}}, {{LinkWzór|13.8}} i {{LinkWzór|13.9}}, a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, wtedy równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho_0+\rho^'\right)+\operatorname{div}\left[(\rho_0+\rho^')\vec{v}\right]=0\;</MATH>|13.13}} W równaniu {{LinkWzór|13.13}} po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho^'}\over{\partial t}}+\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'=0\;</MATH>|13.14}} Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru {{LinkWzór|13.5}}, które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków {{LinkWzór|13.10}}, {{LinkWzór|13.11}} i {{LinkWzór|13.12}}, to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych: {{CentrujWzór|<MATH>(\rho+\rho^')\left(\dot{v}_i+v_l^'{{\partial v^'_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial(p_0+p^')}\over{\partial x_i}}\;</MATH>|13.15}} We wzorze {{LinkWzór|13.15}} pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy równość po operacji: {{CentrujWzór|<matH>\rho_0{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=-\operatorname{grad}p^'</MATH>|13.16}} Równanie stanu będziemy linearyzować, rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy &rho; wokół punktu &rho;=&rho;{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}(\rho-\rho_0)+...\;</MATH>|13.17}} Biorąc definicję ciśnienia {{LinkWzór|13.11}} i gęstości ciała {{LinkWzór|13.12}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|13.17}} możemy zauważyć: {{CentrujWzór|<MATH>p^'=c^2\rho^'\mbox{ dla }c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}\;</MATH>|13.18}} Wstawiamy uzyskaną równość {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, to dostajemy zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t^2}}=\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'\;</MATH>|13.19}} Równość {{LinkWzór|13.19}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\rho_0\operatorname{div}{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=0\Rightarrow {{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t}}-\operatorname{div}\operatorname{grad}p^'=0\;</math>|13.20}} Równość {{LinkWzór|13.20}} możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\Delta p=0\;</MATH>|13.21}} Równanie {{LinkWzór|13.21}} jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\Rightarrow p=\operatorname{const}\rho^{\kappa}\;</MATH>|13.22}} Będziemy wykorzystywać równość {{LinkWzór|13.18}}, to do wyznaczenia prędkości fali, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}=\kappa\rho_0^{\kappa-1}\operatorname{const}\simeq\kappa \rho_0^{\kappa-1}{{p_0}\over{\rho_0^{\kappa}}}=\kappa{{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow c=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|13.23}} Równanie {{LinkWzór|13.23}} jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej· == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2esuz6xp2cz2bgzpaclg72ncxetjeiz 555306 555305 2026-09-09T15:04:45Z Persino 2851 /* Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów */ 555306 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 238nvbodz064nl9eb74p364q2eltzh4 555307 555306 2026-09-09T15:05:46Z Persino 2851 /* Linearyzacja równania ciągłości */ 555307 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość {{LinkWzór|13.6}} po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość &rho;, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;</MATH>|13.24}} Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości &Phi;, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|9.20|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}, a także wprowadzimy, że wielkość {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} jest gradientem potencjału U wziętej z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a także wykorzystamy definicję wielkości {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}\;</MATH>}}, czyli poprzez {{LinkWzór|10.38|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, a co z niego wynika równość {{LinkWzór|10.41|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;</MATH>|13.25}} Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości {{LinkWzór|13.25}} jest równa wielkości stałej zależnej od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;</MATH>|13.26}} Dla przepływów stacjonarnych równość {{LinkWzór|13.26}}, dla której pochodna funkcji &Phi; znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;</MATH>|13.27}} Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania {{LinkWzór|13.6}} i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy {{Formuła|<MATH>(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0\;</MATH>}}, co jest podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|13.27}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}\;</MATH>}} równego zero. Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}\;</MATH>}}, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>{{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;</MATH>|13.29}} == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 9ra750am9i73qhw5zfu7hykptjllnmv 555308 555307 2026-09-09T15:10:35Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie równania Bernoulliego */ 555308 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem ({{LinkWzór|10.24}}): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> glsd3ro45s3hjgueq6i2q26cmvpzx7d 555309 555308 2026-09-09T15:11:39Z Persino 2851 /* Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych */ 555309 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;</MATH>|12.30}} Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|12.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;</MATH>|13.30}} Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem {{LinkWzór|13.30}}, są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;</MATH>|13.31}} Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;</MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn &rho;Sv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go, otrzymując własność: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;</MATH>|13.33}} Równość końcową wynikową {{LinkWzór|13.32}} podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;</MATH>|13.34}} Wielkość występująca w punkcie {{LinkWzór|13.18}}, która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości {{LinkWzór|13.34}} i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|13.35}} Równanie {{LinkWzór|13.35}} jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha: {{CentrujWzór|<MATH>m={{v}\over{c}}\;</MATH>|13.36}} Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej &rho; jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku {{LinkWzór|13.18}} w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość {{LinkWzór|13.35}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;</MATH>|13.37}} == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gq8av16m4xttjkhud7mpcbach7rtd72 555310 555309 2026-09-09T15:14:34Z Persino 2851 /* Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju */ 555310 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota**. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> lhyirr2fbu425bqnpqzc8ars1rdmjp1 555311 555310 2026-09-09T15:16:08Z Persino 2851 /* Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota */ 555311 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 28gs73i9038838vymyvv9zoblak3te7 555312 555311 2026-09-09T15:17:18Z Persino 2851 /* Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia */ 555312 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;</MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;</MATH>|13.39}} Końcową równość {{LinkWzór|13.39}} będziemy mogli podstawić do wzoru {{LinkWzór|13.38}}, w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>{{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;</MATH>|13.40}} Z równości {{LinkWzór|13.40}} możemy wyznaczyć, jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\exp\left(-{{\rho_0g}\over{p_0}}h\right)\;</MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> m12g71yi83ixgxkmlpd57cat2i4e8w6 555313 555312 2026-09-09T15:19:21Z Persino 2851 /* Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością */ 555313 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0\;</MATH>}}, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w równość wektorową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.42}} Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;</MATH>|13.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;</MATH>|13.44}}}} Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;</MATH>|13.45}} Z równości różniczkowej {{LinkWzór|13.45}} wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;</MATH>|13.46}} W równości {{LinkWzór|13.42}}, jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika: {{CentrujWzór|<MATH>0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.47}} Równość {{LinkWzór|13.47}}, którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;</MATH>|13.48}} Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x{{Sub|1}} i współrzędnej x{{Sub|2}}, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x{{Sub|3}}, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań {{LinkWzór|13.48}}, bo prędkość v{{Sub|3}} zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;</MATH>|13.49}} Na podstawie zależności {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} oraz zależności ciśnienia od długości rury x{{Sub|3}}, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p{{Sub|1}}-p{{Sub|2}}, a także jest zależna ona od długości rurki "l": {{CentrujWzór|<MATH>p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;</MATH>|13.50}} Jeśli wykorzystamy przedstawienie {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość {{LinkWzór|13.49}}, na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie {{LinkWzór|13.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;</MATH>|13.51}} Równość {{LinkWzór|13.49}} możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r": {{CentrujWzór|<math>r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;</MATH>|13.52}} Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c{{Sub|2}} jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v{{Sub|3}} jest równa zero, wtedy rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;</MATH>|13.53}} Wykorzystując wzór na stałą c{{Sub|1}} {{LinkWzór|13.53}} i wzór na stałą c{{Sub|2}}, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej {{LinkWzór|13.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;</MATH>|13.54}} Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a {{LinkWzór|13.54}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^4-{{1}\over{4}}R^4\right)={{\pi R^4\rho}\over{8\eta l}}(p_1-p_2)\;</MATH>|13.55}} Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy, jako iloraz dwóch ściśle określonych całek, i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_1-p_2)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;</MATH>|13.56}} Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy {{LinkWzór|13.56}}: {{CentrujWzór|<MATH>p_1-p_2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;</MATH>|13.57}} Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy: {{CentrujWzór|<MATH>F_3=(p_1-p_2)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;</MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> m1u618yje2uw9glbz1i7y427axrp946 555314 555313 2026-09-09T15:21:43Z Persino 2851 /* Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a */ 555314 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu \(R\). Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * \(v_{1}=v_{2}=0\), * tylko \(v_{3}\neq 0\), * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza \(c_{2}=0\). Warunek \(v_{3}(R)=0\) daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1j9x245kpnmilob8bga7gkpun67ebf4 555315 555314 2026-09-09T15:22:37Z Persino 2851 /* Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a */ 555315 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1bohvalc6a1un14aa4purk8dg3yc1oh 555316 555315 2026-09-09T15:24:17Z Persino 2851 /* Laplasjan w układzie cylindrycznym */ 555316 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hiqgeclxaoaoiw53f874tx3v50zhu9l 555317 555316 2026-09-09T15:26:51Z Persino 2851 /* Laplasjan w układzie cylindrycznym */ 555317 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\ \[4pt] \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 9nx68q9oaik2evnbb3szbe42v4db2it 555318 555317 2026-09-09T15:29:37Z Persino 2851 /* Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego */ 555318 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v{{Sub|0}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v{{Sub|0}}. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.59}} W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.60}} Zatem równanie {{LinkWzór|13.59}} na podstawie warunku {{LinkWzór|13.60}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.61}} Podziałajmy obustronnie równość {{LinkWzór|13.61}} operatorem rotacji i dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;</MATH>|13.62}} Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do {{LinkWzór|13.61}}, jest to równanie na prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}}, której laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{v}_2=0\;</MATH>|13.63}} Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości {{LinkWzór|13.61}} spełniające {{LinkWzór|13.62}}, jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;</MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe {{LinkWzór|13.61}} jest sumą prędkości opisaną wzorem {{LinkWzór|13.64}}, która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;</MATH>|13.65}} Ponieważ prędkość płynu {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</math>}} możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}} i funkcji r, która jest odległością od środka kuli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;</MATH>|13.66}} Jeśli wzór {{LinkWzór|13.66}} wstawimy do wzoru {{LinkWzór|13.63}}, na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze {{LinkWzór|13.66}}, jest on równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta g(r)=0\;</MATH>|13.67}} Ponieważ funkcja występująca pod operatorem &Delta; jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} możemy zapisać równoważną do równości {{LinkWzór|13.67}} postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r): {{CentrujWzór|<math>{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;</MATH>|13.68}} Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(&infin;)=0, czyli w równaniu {{LinkWzór|13.68}} należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc {{LinkWzór|13.66}} i {{LinkWzór|13.65}}, dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r": {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;</MATH>|13.69}} Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie {{LinkWzór|13.69}} jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\operatorname{div}\vec{v}\;</MATH>|13.70}} to wtedy prędkość opisana wzorem {{LinkWzór|13.69}} podstawiamy do równości {{LinkWzór|13.70}}. wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji &Phi;, który jest w definicji prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.71}} Będziemy szukali rozwiązania równania {{LinkWzór|13.71}} dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{v}=(0,0,v_0)\;</MATH>}} w postaci funkcji zależnej od prędkości v{{Sub|0}} i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej: {{CentrujWzór|<math>\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;</MATH>|13.72}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji &Phi;, wychodząc od wzoru {{LinkWzór|13.72}}, wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji &Phi; jest zależny od wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, wektora wodzącego danego punktu cieczy {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i położenia radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}=v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)</MATH>|13.73}} Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami {{LinkWzór|13.71}} i {{LinkWzór|13.72}} do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;</MATH>|13.74}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|13.74}} jest rozwiązanie, takie że jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;</MATH>|13.75}} Wyznaczmy teraz prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|13.64}}, mając funkcję &Phi; zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|13.72}}, w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|13.76}} Równość {{LinkWzór|13.76}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.69}} i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}, który zależy natomiast od funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;</MATH>|13.77}} Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;</MATH>|13.78}} Do wzoru {{LinkWzór|13.77}} możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według {{LinkWzór|13.78}}, czylibardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;</MATH>|13.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;</MATH>|13.80}}}} Z warunku {{LinkWzór|13.79}} dla funkcji {{LinkWzór|13.75}}, otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór {{LinkWzór|13.77}}, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+{{a}\over{R}}=0\;</MATH>|13.81}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f^'(R)=0\;</MATH>|13.82}}}} Wzór {{LinkWzór|13.75}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}, wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;</MATH>|13.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;</MATH>|13.84}}}} Wzór końcowy {{LinkWzór|13.84}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|13.83}}, i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;</MATH>|13.85}} A równość na stałą B {{LinkWzór|13.84}}, do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie {{LinkWzór|13.85}}, otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;</MATH>|13.86}} Prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} {{LinkWzór|13.76}} możemy policzyć, wykorzystując definicję funkcji f(r) {{LinkWzór|13.75}} i mając także, że A=1 i {{LinkWzór|13.85}} jako definicję stałej "a" i {{LinkWzór|13.86}} jako definicja stałej B, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;</MATH>|13.87}} Równanie Naviera-Stokesa {{LinkWzór|13.62}}, który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt {{LinkWzór|13.65}}, a także {{LinkWzór|13.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;</MATH>|13.88}} Końcową równość {{LinkWzór|13.88}} możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości &Phi; dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|13.71}}, a także wzór na definicję stałej "a" jest według {{LinkWzór|13.85}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;</MATH>|13.89}} Możemy teraz policzyć całkowitą siłę, wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.89}}, wiedząc że całka po ciśnieniu p{{Sub|0}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\Rightarrow\vec{F}=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;</MATH>|13.90}} Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.90}} możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> g58750yt7anlfifodl2t4dkqyu39fm9 555319 555318 2026-09-09T15:34:10Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555319 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} można rozważyć tak, jakby kulka spoczywała, a ciecz opływała wokół niej. W nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa i stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.2}}: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Dla dużej lepkości: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Działając rotacją: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Równanie jednorodne: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Całkowita prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Przyjmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} Laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} We współrzędnych radialnych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Warunek {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} Ciecz jest nieściśliwa: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} Szukamy: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) = v_{0}x_{3}f(r) </MATH>|13.72}} Laplasjan: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} Porównując z {{LinkWzór|13.71}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} Rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Prędkość bezwirowa: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Całkowita prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} Warunek daleki: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Daje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Warunek na powierzchni kuli: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Podstawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>1+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0</MATH>|13.83}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>|13.84}} }} Wyznaczamy {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Wyznaczamy {{Formuła|<MATH>B</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=-\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} Prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} Ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Siła oporu: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} f1amy4m0iqhuv015e8ixwymk6a416xw 555320 555319 2026-09-09T15:36:51Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555320 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. Ciecz jest nieściśliwa i stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Dlatego równanie ruchu upraszcza się do zależności między gradientem ciśnienia a laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Działamy rotacją na obie strony równania, wykorzystując fakt, że rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Oznacza to, że część prędkości musi być bezwirowa, a część harmoniczna. Równanie jednorodne dla części harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem pewnego potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Całkowita prędkość jest sumą części bezwirowej i harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, część harmoniczną zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} W układzie radialnym równanie Laplace’a dla funkcji zależnej tylko od r ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Warunek {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} wymusza {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}, dlatego całkowita prędkość cieczy ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} Ciecz jest nieściśliwa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Podstawiając prędkość do warunku nieściśliwości otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) = v_{0}x_{3}f(r) </MATH>|13.72}} Obliczamy laplasjan tej funkcji: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} Porównując z równaniem na laplasjan potencjału otrzymujemy równanie różniczkowe dla funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} Rozwiązanie tego równania ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Prędkość bezwirowa wynikająca z potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Całkowita prędkość cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} Warunek daleki: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Daje dwa warunki na funkcję f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Warunek na powierzchni kulki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Podstawiamy f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>1+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0</MATH>|13.83}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>|13.84}} }} Wyznaczamy stałą a: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Wyznaczamy stałą B: {{CentrujWzór|<MATH> B=-\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} Prędkość bezwirowa: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} Ciśnienie w cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Siła oporu działająca na kulkę: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} jy5re20y9i3urltbhhvqwruxbngfa4h 555321 555320 2026-09-09T15:40:33Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555321 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. Ciecz jest nieściśliwa (gęstość nie zależy od czasu) i bezźródłowa (brak źródeł i lejów w polu prędkości) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Dlatego równanie ruchu upraszcza się do zależności między gradientem ciśnienia a laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Działamy rotacją na obie strony równania, wykorzystując fakt, że rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Oznacza to, że część prędkości musi być bezwirowa, a część harmoniczna. Równanie jednorodne dla części harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem pewnego potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Całkowita prędkość jest sumą części bezwirowej i harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, część harmoniczną zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} W układzie radialnym równanie Laplace’a dla funkcji zależnej tylko od r ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Warunek {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} wymusza {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}, dlatego całkowita prędkość cieczy ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Podstawiając prędkość do warunku nieściśliwości otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) = v_{0}x_{3}f(r) </MATH>|13.72}} Obliczamy laplasjan tej funkcji: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} Porównując z równaniem na laplasjan potencjału otrzymujemy równanie różniczkowe dla funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} Rozwiązanie tego równania ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Prędkość bezwirowa wynikająca z potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Całkowita prędkość cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} Warunek daleki: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Daje dwa warunki na funkcję f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Warunek na powierzchni kulki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Podstawiamy f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>1+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0</MATH>|13.83}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>|13.84}} }} Wyznaczamy stałą a: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Wyznaczamy stałą B: {{CentrujWzór|<MATH> B=-\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} Prędkość bezwirowa: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} Ciśnienie w cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Siła oporu działająca na kulkę: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} dnd1hl573fd550jrnmhh82yvnu9g38i 555322 555321 2026-09-09T15:45:04Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555322 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z bezźródłowości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Dlatego równanie ruchu upraszcza się do zależności między gradientem ciśnienia a laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Działamy rotacją na obie strony równania, wykorzystując fakt, że rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Oznacza to, że część prędkości musi być bezwirowa, a część harmoniczna. Równanie jednorodne dla części harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem pewnego potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Całkowita prędkość jest sumą części bezwirowej i harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, część harmoniczną zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} W układzie radialnym równanie Laplace’a dla funkcji zależnej tylko od r ma postać ({{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Warunek {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} wymusza {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}, dlatego całkowita prędkość cieczy ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Podstawiając prędkość do warunku nieściśliwości otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) = v_{0}x_{3}f(r) </MATH>|13.72}} Obliczamy laplasjan tej funkcji: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} Porównując z {{LinkWzór|13.71}} otrzymujemy równanie różniczkowe dla funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} Rozwiązanie tego równania ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Prędkość bezwirowa wynikająca z potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Całkowita prędkość cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} Warunek daleki: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Daje dwa warunki na funkcję f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Warunek na powierzchni kulki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Podstawiamy f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>1+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0</MATH>|13.83}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>|13.84}} }} Wyznaczamy stałą a: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Wyznaczamy stałą B: {{CentrujWzór|<MATH> B=-\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} Prędkość bezwirowa: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} Ciśnienie w cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Siła oporu działająca na kulkę: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} kh03o1p22zovtaxpjmh580ff11fugyb 555323 555322 2026-09-09T15:51:51Z Persino 2851 /* Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a */ 555323 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.1}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z warunku nieściśliwości i braku źródeł {{LinkWzór|13.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Dlatego równanie ruchu upraszcza się do zależności między gradientem ciśnienia a laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Działamy rotacją na obie strony równania, wykorzystując fakt, że rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Oznacza to, że część prędkości musi być bezwirowa, a część harmoniczna. Równanie jednorodne dla części harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem pewnego potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Całkowita prędkość jest sumą części bezwirowej i harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, część harmoniczną zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} W układzie radialnym równanie Laplace’a dla funkcji zależnej tylko od r ma postać ({{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Warunek {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} wymusza {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}, dlatego całkowita prędkość cieczy ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Podstawiając prędkość do warunku nieściśliwości otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) = v_{0}x_{3}f(r) </MATH>|13.72}} Obliczamy laplasjan tej funkcji: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} Porównując z {{LinkWzór|13.71}} otrzymujemy równanie różniczkowe dla funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} Rozwiązanie tego równania ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Prędkość bezwirowa wynikająca z potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Całkowita prędkość cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} Warunek daleki: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Daje dwa warunki na funkcję f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Warunek na powierzchni kulki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Podstawiamy f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>1+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0</MATH>|13.83}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>|13.84}} }} Wyznaczamy stałą a: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Wyznaczamy stałą B: {{CentrujWzór|<MATH> B=-\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} Prędkość bezwirowa: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} Ciśnienie w cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Siła oporu działająca na kulkę: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} 46nm3c763xa0mz2to8y0w9qnauo5g6k 555324 555323 2026-09-09T15:54:31Z Persino 2851 /* Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a */ 555324 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.42a}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z warunku nieściśliwości i braku źródeł {{LinkWzór|13.42a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Dlatego równanie ruchu upraszcza się do zależności między gradientem ciśnienia a laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Działamy rotacją na obie strony równania, wykorzystując fakt, że rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Oznacza to, że część prędkości musi być bezwirowa, a część harmoniczna. Równanie jednorodne dla części harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem pewnego potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Całkowita prędkość jest sumą części bezwirowej i harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, część harmoniczną zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} W układzie radialnym równanie Laplace’a dla funkcji zależnej tylko od r ma postać ({{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Warunek {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} wymusza {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}, dlatego całkowita prędkość cieczy ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Podstawiając prędkość do warunku nieściśliwości otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) = v_{0}x_{3}f(r) </MATH>|13.72}} Obliczamy laplasjan tej funkcji: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} Porównując z {{LinkWzór|13.71}} otrzymujemy równanie różniczkowe dla funkcji f(r): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} Rozwiązanie tego równania ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Prędkość bezwirowa wynikająca z potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Całkowita prędkość cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} Warunek daleki: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Daje dwa warunki na funkcję f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Warunek na powierzchni kulki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Podstawiamy f(r): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>1+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0</MATH>|13.83}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>|13.84}} }} Wyznaczamy stałą a: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Wyznaczamy stałą B: {{CentrujWzór|<MATH> B=-\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} Prędkość bezwirowa: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} Ciśnienie w cieczy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Siła oporu działająca na kulkę: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} fge7zzq2xybwqs6o5rz2vl6l2gz8u1n 555325 555324 2026-09-09T15:59:00Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555325 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.42a}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z warunku nieściśliwości i braku źródeł {{LinkWzór|13.42a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Dlatego równanie ruchu upraszcza się do zależności między gradientem ciśnienia a laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Działamy rotacją na obie strony równania, wykorzystując fakt, że rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Część harmoniczna spełnia: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, podstawiamy to do części harmonicznej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} Funkcja g(r) spełnia równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} Korzystając z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} podstawiamy g(r) do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Warunek {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} podstawiamy do {{LinkWzór|13.68}}, co daje: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Zatem podstawiamy g(r)=a/r do {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc podstawiamy prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Po podstawieniu otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} Szukamy rozwiązania potencjału w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Podstawiamy tę postać do laplasjanu: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} Porównujemy {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}} — podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} podstawiamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Podstawiamy f(r) do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz g(r)=a/r do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} Warunek daleki: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}, co daje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Warunek na powierzchni kulki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Podstawiamy f(r) z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>1+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0</MATH>|13.83}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>|13.84}} }} Podstawiamy {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}: {{CentrujWzór|<MATH> a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Podstawiamy a do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=-\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} Podstawiamy A=1, a, B do {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} Podstawiamy laplasjan {{LinkWzór|13.71}} do równania ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Podstawiamy p do całki po powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} kg22w3cfvwlfjtw3mht4n7dgp68r5f3 555326 555325 2026-09-09T16:07:25Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555326 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.42a}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z warunku nieściśliwości i braku źródeł {{LinkWzór|13.42a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} --- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 6wbh0ip59hgupjc0gwu96lgvc30xttk 555327 555326 2026-09-09T16:09:03Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555327 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.42a}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z warunku nieściśliwości i braku źródeł {{LinkWzór|13.42a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} --- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. nyzmsgc0s8m398j54vfq8qe8k5x7kct 555328 555327 2026-09-09T16:11:43Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555328 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.42a}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z warunku nieściśliwości i braku źródeł {{LinkWzór|13.42a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} --- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. csxauvdhd83ybstftxkqllk40cgi10q 555330 555328 2026-09-09T16:34:15Z Persino 2851 /* Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością */ 555330 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.42a}} Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Na jej końcach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} }} Symetria rury narzuca, że: * {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, * tylko {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}, * z warunku nieściśliwości i braku źródeł {{LinkWzór|13.42a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} Rozpisujemy względem współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}} dają: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} \quad\Rightarrow\quad v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Warunek skończoności na osi wymusza {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Warunek {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Zatem profil prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} === Średnia prędkość przepływu === {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} === Różnica ciśnień === {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} === Siła działająca na rurkę === {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 7euiuoboe5nbbpi9wn0xfqmpz9u4asr 555331 555330 2026-09-09T16:48:39Z Persino 2851 /* Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a */ 555331 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|13.42a}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.6}} po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.42}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|13.43}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|13.44}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|13.42a}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|13.45}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|13.46}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|13.42}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.47}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|13.47}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|13.48}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|13.49}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|13.48}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|13.43}} i {{LinkWzór|13.44}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}} Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}} Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|13.50}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|13.49}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, który podaje postać laplasjanu dla funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}} laplasjan w układzie cylindrycznym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|13.51}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|13.51}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right)\,dr = \int-\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r\,dr </MATH>}} Po lewej stronie całka z pochodnej daje funkcję {{Formuła|<MATH>r\frac{dv_{3}}{dr}</MATH>}}. Po prawej stronie całkujemy {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}\int r\,dr = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}\cdot\frac{r^{2}}{2} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} </MATH>}} Dodajemy stałą całkowania {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|13.52}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \int\left( -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} \right)\,dr </MATH>}} Całka z pierwszego członu: {{CentrujWzór|<MATH> \int-\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r\,dr = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}\cdot\frac{r^{2}}{2} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} </MATH>}} Całka z drugiego członu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\frac{c_{2}}{r}\,dr = c_{2}\ln r </MATH>}} Dodajemy kolejną stałą całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|13.52}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|13.51}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|13.52}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|13.53}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>}} Wyciągamy wspólny czynnik {{Formuła|<MATH>\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|13.54}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|13.54}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS = \rho\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi} \left( -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) \right)r\,dr\,d\theta </MATH>}} Odwracamy znak różnicy ciśnień, aby mieć {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>-\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}=\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}</MATH>}}. Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = R^{2}\cdot\frac{R^{2}}{2} = \frac{R^{4}}{2} </MATH>}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot\frac{\pi R^{4}}{2} = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|13.55}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|13.55}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{\pi R^{2}}\cdot\frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>}} Jeśli gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} traktujemy jako stałą i nieistotną dla samej prędkości, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|13.56}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|13.54}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-0^{2}) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}R^{2} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}\cdot\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>}} Zapisujemy wynik: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|13.56}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|13.56}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|13.57}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|13.57}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = \left( \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} \right)\pi R^{2} </MATH>}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|13.58}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 8q0yx71y1ccoy6m38ufzawaoo35mm4i 555332 555331 2026-09-09T16:51:56Z Persino 2851 /* Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a */ 555332 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}} Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}} Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 0ilzvhvpp0jgz84hil1kt6bz3icsqpw 555333 555332 2026-09-09T16:52:59Z Persino 2851 /* Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego */ 555333 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}}, które będziemy mogli wykorzystać, wiedząc, że różne punkty w cieczy są w spoczynku: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|13.38}} Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne. Wzór izotermy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|13.39}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.39}} do {{LinkWzór|13.38}} i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|13.40}} Zatem zależność ciśnienia od wysokości: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|13.41}} == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 4jo8704oih8qhsjqas8ydjz8998rmch 555334 555333 2026-09-09T16:55:20Z Persino 2851 /* Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością */ 555334 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. bcgom78izux8sx3x6crm3fb775nh6ts 555335 555334 2026-09-09T17:08:48Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie równania Bernoulliego */ 555335 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>|BR-01}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość można wyrazić jako gradient pewnego potencjału. Zanim jednak to zrobimy, przechodzimy do równania ruchu cieczy idealnej. Równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|BR-02}} To równanie wiąże przyspieszenie cząstki cieczy z gradientem ciśnienia oraz siłami objętościowymi. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>|BR-03}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>|BR-04}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>|BR-05}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|BR-06}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|BR-07}} To równanie jest uogólnioną postacią zasady Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|BR-08}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|BR-09}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>|BR-10}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|BR-11}} Równość {{LinkWzór|BR-11}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. ieb1sy39ziq7y0ci3b3mm6k4naqhsqq 555336 555335 2026-09-09T17:10:41Z Persino 2851 Anulowano wersję [[Special:Diff/555335|555335]] autorstwa [[Special:Contributions/Persino|Persino]] ([[User talk:Persino|dyskusja]]) 555336 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, tzn. takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C=</MATH>}} const. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}=</MATH>}} const, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Otrzymujemy klasyczne równanie Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. bcgom78izux8sx3x6crm3fb775nh6ts 555337 555336 2026-09-09T17:13:22Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie równania Bernoulliego */ 555337 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrzmy przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem równanie ciągłości przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} Wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, z {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie wycieka przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do przekrojów {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.32}} do {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Wstawiamy do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota'''. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. ahqyrbcuq5fxa1nka1mp30ijf7d13lf 555338 555337 2026-09-09T17:15:38Z Persino 2851 /* Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju */ 555338 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} ==== Przekształcenie członu konwekcyjnego ==== Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} ==== Podstawienie do równania ruchu ==== {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} ==== Postać wektorowa ==== Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} ==== Linearyzacja równania ciągłości ==== Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} ==== Linearyzacja równania ruchu ==== Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} ==== Linearyzacja równania stanu ==== Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} ==== Połączenie równań ==== Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} ==== Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia ==== Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} ==== Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) ==== Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. k8xpq66c3005u6w2255x7pbv8rqfi11 555339 555338 2026-09-09T17:22:33Z Persino 2851 /* Równanie Naviera–Stokesa */ 555339 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Wtedy równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} === Podstawienie do równania ruchu === {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} === Postać wektorowa === Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} === Linearyzacja równania ruchu === Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 1tzrp75ks13hhge89yee8454zjlsmrn 555340 555339 2026-09-09T17:23:59Z Persino 2851 /* Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego */ 555340 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} === Podstawienie do równania ruchu === {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} === Postać wektorowa === Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} === Linearyzacja równania ruchu === Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 3yee7lxwnl1wagq0j1zscy0fyqi7t94 555341 555340 2026-09-09T17:25:09Z Persino 2851 /* Przekształcenie członu konwekcyjnego */ 555341 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} === Postać wektorowa === Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} === Linearyzacja równania ruchu === Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. jotu9vk2t2dntu0ljt16ii652vyesyo 555342 555341 2026-09-09T17:26:23Z Persino 2851 /* Podstawienie do równania ruchu */ 555342 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === Używamy tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} === Linearyzacja równania ruchu === Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. drv75pii10xzar7hyhuijj1pqxaqbl9 555343 555342 2026-09-09T17:27:53Z Persino 2851 /* Postać wektorowa */ 555343 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, dla której przed zaburzeniem: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Po zaburzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} === Linearyzacja równania ruchu === Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 9kjlbodsasy1x3wkl22ygb3waq07gzf 555344 555343 2026-09-09T17:29:19Z Persino 2851 /* Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów */ 555344 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} === Linearyzacja równania ruchu === Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. iiw5phujjtiac8q0eg6p2iqwjpftm8t 555345 555344 2026-09-09T17:30:31Z Persino 2851 /* Linearyzacja równania ciągłości */ 555345 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy **małe zaburzenia**, pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże **zmianę gęstości** z **dywergencją prędkości zaburzenia**. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i sił objętościowych {{LinkWzór|13.5}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po zaniedbaniu członów kwadratowych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. hjqlloj4d115nq6txekxj14euo6optg 555346 555345 2026-09-09T17:32:03Z Persino 2851 /* Linearyzacja równania ruchu */ 555346 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy **małe zaburzenia**, pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże **zmianę gęstości** z **dywergencją prędkości zaburzenia**. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} To równanie jest kluczowe: wiąże **przyspieszenie zaburzenia prędkości** z **gradientem zaburzenia ciśnienia**. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. my7jieaabjiuc2tvoyk1rqsntt6njx7 555347 555346 2026-09-09T17:33:07Z Persino 2851 /* Linearyzacja równania stanu */ 555347 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy **małe zaburzenia**, pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże **zmianę gęstości** z **dywergencją prędkości zaburzenia**. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} To równanie jest kluczowe: wiąże **przyspieszenie zaburzenia prędkości** z **gradientem zaburzenia ciśnienia**. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Aby powiązać zaburzenia ciśnienia z zaburzeniami gęstości, korzystamy z równania stanu. Wprowadzamy niewielkie przyrosty gęstości i ciśnienia, a następnie rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora wokół punktu równowagi {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} W tym rozwinięciu: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} — ciśnienie w stanie równowagi, * {{Formuła|<MATH>\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}</MATH>}} — pochodna ciśnienia względem gęstości, obliczona w stanie równowagi, * człony wyższego rzędu (oznaczone wielokropkiem) pomijamy w linearyzacji. Z definicji zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'=p-p_{0}</MATH>}} oraz zaburzenia gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'=\rho-\rho_{0}</MATH>}} otrzymujemy zależność liniową: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest **prędkością dźwięku** w ośrodku — wynika bezpośrednio z równania stanu. Zależność {{LinkWzór|13.18}} jest kluczowa: pozwala zastąpić zaburzenia gęstości zaburzeniami ciśnienia, co umożliwia połączenie równania ciągłości z równaniem ruchu i otrzymanie równania falowego. W kolejnych krokach ta zależność zostanie podstawiona do równań liniowych hydrodynamiki, prowadząc do równania falowego {{LinkWzór|13.21}}. === Połączenie równań === Wstawiamy {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} Różniczkujemy względem czasu i korzystamy z {{LinkWzór|13.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 6i338x4391ennapnv9kmdpnljw9axew 555348 555347 2026-09-09T17:34:38Z Persino 2851 /* Połączenie równań */ 555348 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy **małe zaburzenia**, pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże **zmianę gęstości** z **dywergencją prędkości zaburzenia**. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} To równanie jest kluczowe: wiąże **przyspieszenie zaburzenia prędkości** z **gradientem zaburzenia ciśnienia**. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Aby powiązać zaburzenia ciśnienia z zaburzeniami gęstości, korzystamy z równania stanu. Wprowadzamy niewielkie przyrosty gęstości i ciśnienia, a następnie rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora wokół punktu równowagi {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} W tym rozwinięciu: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} — ciśnienie w stanie równowagi, * {{Formuła|<MATH>\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}</MATH>}} — pochodna ciśnienia względem gęstości, obliczona w stanie równowagi, * człony wyższego rzędu (oznaczone wielokropkiem) pomijamy w linearyzacji. Z definicji zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'=p-p_{0}</MATH>}} oraz zaburzenia gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'=\rho-\rho_{0}</MATH>}} otrzymujemy zależność liniową: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest **prędkością dźwięku** w ośrodku — wynika bezpośrednio z równania stanu. Zależność {{LinkWzór|13.18}} jest kluczowa: pozwala zastąpić zaburzenia gęstości zaburzeniami ciśnienia, co umożliwia połączenie równania ciągłości z równaniem ruchu i otrzymanie równania falowego. W kolejnych krokach ta zależność zostanie podstawiona do równań liniowych hydrodynamiki, prowadząc do równania falowego {{LinkWzór|13.21}}. === Połączenie równań === Aby otrzymać równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia, łączymy teraz trzy wcześniej zlinearyzowane równania: równanie ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, równanie ruchu {{LinkWzór|13.16}} oraz równanie stanu {{LinkWzór|13.18}}. Najpierw podstawiamy zależność między zaburzeniem ciśnienia i gęstości z równania stanu {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} W ten sposób eliminujemy zaburzenie gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} i otrzymujemy równanie wiążące zaburzenie ciśnienia z dywergencją prędkości zaburzenia. Następnie różniczkujemy równanie {{LinkWzór|13.19}} względem czasu i korzystamy z równania ruchu {{LinkWzór|13.16}}, które wiąże przyspieszenie zaburzenia prędkości z gradientem zaburzenia ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} Podstawiamy tę zależność do pochodnej czasowej dywergencji w równaniu {{LinkWzór|13.19}}. W wyniku otrzymujemy równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w cieczy lub gazie w stanie spoczynku. Prędkość fazowa fali jest równa {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, zgodnie z definicją z równania stanu {{LinkWzór|13.18}}. To równanie jest fundamentem akustyki liniowej: pokazuje, że niewielkie zaburzenia ciśnienia rozchodzą się w ośrodku jako fale o prędkości zależnej wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest równaniem falowym dla fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Prędkość fazowa fali: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 0nw4aakqhn6q0n869tuz7xz2avhkm0b 555349 555348 2026-09-09T17:35:41Z Persino 2851 /* Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia */ 555349 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy **małe zaburzenia**, pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże **zmianę gęstości** z **dywergencją prędkości zaburzenia**. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} To równanie jest kluczowe: wiąże **przyspieszenie zaburzenia prędkości** z **gradientem zaburzenia ciśnienia**. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Aby powiązać zaburzenia ciśnienia z zaburzeniami gęstości, korzystamy z równania stanu. Wprowadzamy niewielkie przyrosty gęstości i ciśnienia, a następnie rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora wokół punktu równowagi {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} W tym rozwinięciu: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} — ciśnienie w stanie równowagi, * {{Formuła|<MATH>\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}</MATH>}} — pochodna ciśnienia względem gęstości, obliczona w stanie równowagi, * człony wyższego rzędu (oznaczone wielokropkiem) pomijamy w linearyzacji. Z definicji zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'=p-p_{0}</MATH>}} oraz zaburzenia gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'=\rho-\rho_{0}</MATH>}} otrzymujemy zależność liniową: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest **prędkością dźwięku** w ośrodku — wynika bezpośrednio z równania stanu. Zależność {{LinkWzór|13.18}} jest kluczowa: pozwala zastąpić zaburzenia gęstości zaburzeniami ciśnienia, co umożliwia połączenie równania ciągłości z równaniem ruchu i otrzymanie równania falowego. W kolejnych krokach ta zależność zostanie podstawiona do równań liniowych hydrodynamiki, prowadząc do równania falowego {{LinkWzór|13.21}}. === Połączenie równań === Aby otrzymać równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia, łączymy teraz trzy wcześniej zlinearyzowane równania: równanie ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, równanie ruchu {{LinkWzór|13.16}} oraz równanie stanu {{LinkWzór|13.18}}. Najpierw podstawiamy zależność między zaburzeniem ciśnienia i gęstości z równania stanu {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} W ten sposób eliminujemy zaburzenie gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} i otrzymujemy równanie wiążące zaburzenie ciśnienia z dywergencją prędkości zaburzenia. Następnie różniczkujemy równanie {{LinkWzór|13.19}} względem czasu i korzystamy z równania ruchu {{LinkWzór|13.16}}, które wiąże przyspieszenie zaburzenia prędkości z gradientem zaburzenia ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} Podstawiamy tę zależność do pochodnej czasowej dywergencji w równaniu {{LinkWzór|13.19}}. W wyniku otrzymujemy równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w cieczy lub gazie w stanie spoczynku. Prędkość fazowa fali jest równa {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, zgodnie z definicją z równania stanu {{LinkWzór|13.18}}. To równanie jest fundamentem akustyki liniowej: pokazuje, że niewielkie zaburzenia ciśnienia rozchodzą się w ośrodku jako fale o prędkości zależnej wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Pokazuje ono, że niewielkie zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} rozchodzą się w ośrodku jako fale, których prędkość zależy wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. Prędkość fazowa fali akustycznej jest równa: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest prędkością dźwięku — wynika bezpośrednio z równania stanu i określa, jak szybko zaburzenia ciśnienia przemieszczają się w ośrodku. W połączeniu z równaniem falowym {{LinkWzór|13.21}} opisuje pełną dynamikę liniowych fal akustycznych. === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Z równania adiabaty: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Dla dużych amplitud równanie falowe nie linearyzuje się — pojawia się fala uderzeniowa (fala Riemanna). == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 1ch5rszqyx2ohc992de044j3i1kxows 555350 555349 2026-09-09T17:36:51Z Persino 2851 /* Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) */ 555350 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy **małe zaburzenia**, pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże **zmianę gęstości** z **dywergencją prędkości zaburzenia**. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} To równanie jest kluczowe: wiąże **przyspieszenie zaburzenia prędkości** z **gradientem zaburzenia ciśnienia**. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Aby powiązać zaburzenia ciśnienia z zaburzeniami gęstości, korzystamy z równania stanu. Wprowadzamy niewielkie przyrosty gęstości i ciśnienia, a następnie rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora wokół punktu równowagi {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} W tym rozwinięciu: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} — ciśnienie w stanie równowagi, * {{Formuła|<MATH>\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}</MATH>}} — pochodna ciśnienia względem gęstości, obliczona w stanie równowagi, * człony wyższego rzędu (oznaczone wielokropkiem) pomijamy w linearyzacji. Z definicji zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'=p-p_{0}</MATH>}} oraz zaburzenia gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'=\rho-\rho_{0}</MATH>}} otrzymujemy zależność liniową: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest **prędkością dźwięku** w ośrodku — wynika bezpośrednio z równania stanu. Zależność {{LinkWzór|13.18}} jest kluczowa: pozwala zastąpić zaburzenia gęstości zaburzeniami ciśnienia, co umożliwia połączenie równania ciągłości z równaniem ruchu i otrzymanie równania falowego. W kolejnych krokach ta zależność zostanie podstawiona do równań liniowych hydrodynamiki, prowadząc do równania falowego {{LinkWzór|13.21}}. === Połączenie równań === Aby otrzymać równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia, łączymy teraz trzy wcześniej zlinearyzowane równania: równanie ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, równanie ruchu {{LinkWzór|13.16}} oraz równanie stanu {{LinkWzór|13.18}}. Najpierw podstawiamy zależność między zaburzeniem ciśnienia i gęstości z równania stanu {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} W ten sposób eliminujemy zaburzenie gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} i otrzymujemy równanie wiążące zaburzenie ciśnienia z dywergencją prędkości zaburzenia. Następnie różniczkujemy równanie {{LinkWzór|13.19}} względem czasu i korzystamy z równania ruchu {{LinkWzór|13.16}}, które wiąże przyspieszenie zaburzenia prędkości z gradientem zaburzenia ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} Podstawiamy tę zależność do pochodnej czasowej dywergencji w równaniu {{LinkWzór|13.19}}. W wyniku otrzymujemy równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w cieczy lub gazie w stanie spoczynku. Prędkość fazowa fali jest równa {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, zgodnie z definicją z równania stanu {{LinkWzór|13.18}}. To równanie jest fundamentem akustyki liniowej: pokazuje, że niewielkie zaburzenia ciśnienia rozchodzą się w ośrodku jako fale o prędkości zależnej wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Pokazuje ono, że niewielkie zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} rozchodzą się w ośrodku jako fale, których prędkość zależy wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. Prędkość fazowa fali akustycznej jest równa: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest prędkością dźwięku — wynika bezpośrednio z równania stanu i określa, jak szybko zaburzenia ciśnienia przemieszczają się w ośrodku. W połączeniu z równaniem falowym {{LinkWzór|13.21}} opisuje pełną dynamikę liniowych fal akustycznych. === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Aby wyznaczyć prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym, korzystamy z równania adiabaty opisującego przemianę bezwymienną. Dla gazu doskonałego obowiązuje zależność: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Zależność ta wiąże ciśnienie z gęstością poprzez wykładnik adiabatyczny {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, który dla gazów jednoatomowych wynosi {{Formuła|<MATH>\frac{5}{3}</MATH>}}, a dla dwuatomowych około {{Formuła|<MATH>1.4</MATH>}}. Różniczkujemy równanie adiabaty i korzystamy z definicji prędkości dźwięku {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, aby otrzymać: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Wynika z niej, że prędkość dźwięku zależy wyłącznie od ciśnienia, gęstości i wykładnika adiabatycznego — a więc od własności termodynamicznych ośrodka. Dla dużych amplitud zaburzeń równanie falowe {{LinkWzór|13.21}} nie linearyzuje się. W takim przypadku pojawia się **fala uderzeniowa (fala Riemanna)**, w której front fali staje się stromy, a prędkość propagacji zależy od nieliniowych efektów sprężystości gazu. To zjawisko jest podstawą teorii fal uderzeniowych i dynamiki gazów w przepływach nadźwiękowych. == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. 85bvk3atgpoigglserjmqqmsb3od2wf 555351 555350 2026-09-09T17:38:50Z Persino 2851 /* Linearyzacja równania ruchu */ 555351 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że **zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu**, a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy **małe zaburzenia**, pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże **zmianę gęstości** z **dywergencją prędkości zaburzenia**. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{LinkWzór|13.16}}. To równanie jest kluczowe: wiąże **przyspieszenie zaburzenia prędkości** z **gradientem zaburzenia ciśnienia**. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Aby powiązać zaburzenia ciśnienia z zaburzeniami gęstości, korzystamy z równania stanu. Wprowadzamy niewielkie przyrosty gęstości i ciśnienia, a następnie rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora wokół punktu równowagi {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} W tym rozwinięciu: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} — ciśnienie w stanie równowagi, * {{Formuła|<MATH>\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}</MATH>}} — pochodna ciśnienia względem gęstości, obliczona w stanie równowagi, * człony wyższego rzędu (oznaczone wielokropkiem) pomijamy w linearyzacji. Z definicji zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'=p-p_{0}</MATH>}} oraz zaburzenia gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'=\rho-\rho_{0}</MATH>}} otrzymujemy zależność liniową: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest **prędkością dźwięku** w ośrodku — wynika bezpośrednio z równania stanu. Zależność {{LinkWzór|13.18}} jest kluczowa: pozwala zastąpić zaburzenia gęstości zaburzeniami ciśnienia, co umożliwia połączenie równania ciągłości z równaniem ruchu i otrzymanie równania falowego. W kolejnych krokach ta zależność zostanie podstawiona do równań liniowych hydrodynamiki, prowadząc do równania falowego {{LinkWzór|13.21}}. === Połączenie równań === Aby otrzymać równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia, łączymy teraz trzy wcześniej zlinearyzowane równania: równanie ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, równanie ruchu {{LinkWzór|13.16}} oraz równanie stanu {{LinkWzór|13.18}}. Najpierw podstawiamy zależność między zaburzeniem ciśnienia i gęstości z równania stanu {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} W ten sposób eliminujemy zaburzenie gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} i otrzymujemy równanie wiążące zaburzenie ciśnienia z dywergencją prędkości zaburzenia. Następnie różniczkujemy równanie {{LinkWzór|13.19}} względem czasu i korzystamy z równania ruchu {{LinkWzór|13.16}}, które wiąże przyspieszenie zaburzenia prędkości z gradientem zaburzenia ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} Podstawiamy tę zależność do pochodnej czasowej dywergencji w równaniu {{LinkWzór|13.19}}. W wyniku otrzymujemy równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w cieczy lub gazie w stanie spoczynku. Prędkość fazowa fali jest równa {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, zgodnie z definicją z równania stanu {{LinkWzór|13.18}}. To równanie jest fundamentem akustyki liniowej: pokazuje, że niewielkie zaburzenia ciśnienia rozchodzą się w ośrodku jako fale o prędkości zależnej wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Pokazuje ono, że niewielkie zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} rozchodzą się w ośrodku jako fale, których prędkość zależy wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. Prędkość fazowa fali akustycznej jest równa: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest prędkością dźwięku — wynika bezpośrednio z równania stanu i określa, jak szybko zaburzenia ciśnienia przemieszczają się w ośrodku. W połączeniu z równaniem falowym {{LinkWzór|13.21}} opisuje pełną dynamikę liniowych fal akustycznych. === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Aby wyznaczyć prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym, korzystamy z równania adiabaty opisującego przemianę bezwymienną. Dla gazu doskonałego obowiązuje zależność: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Zależność ta wiąże ciśnienie z gęstością poprzez wykładnik adiabatyczny {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, który dla gazów jednoatomowych wynosi {{Formuła|<MATH>\frac{5}{3}</MATH>}}, a dla dwuatomowych około {{Formuła|<MATH>1.4</MATH>}}. Różniczkujemy równanie adiabaty i korzystamy z definicji prędkości dźwięku {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, aby otrzymać: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Wynika z niej, że prędkość dźwięku zależy wyłącznie od ciśnienia, gęstości i wykładnika adiabatycznego — a więc od własności termodynamicznych ośrodka. Dla dużych amplitud zaburzeń równanie falowe {{LinkWzór|13.21}} nie linearyzuje się. W takim przypadku pojawia się **fala uderzeniowa (fala Riemanna)**, w której front fali staje się stromy, a prędkość propagacji zależy od nieliniowych efektów sprężystości gazu. To zjawisko jest podstawą teorii fal uderzeniowych i dynamiki gazów w przepływach nadźwiękowych. == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest **równaniem Hugoniota** — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy **liczbą Macha**: {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. ohjhrmuh9n54l71t4xid8aulh5636cj 555354 555351 2026-09-09T17:55:40Z Persino 2851 555354 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} |3={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że '''zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu''', a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy '''małe zaburzenia''', pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże '''zmianę gęstości''' z '''dywergencją prędkości zaburzenia'''. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{LinkWzór|13.16}}. To równanie jest kluczowe: wiąże '''przyspieszenie zaburzenia prędkości''' z '''gradientem zaburzenia ciśnienia'''. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Aby powiązać zaburzenia ciśnienia z zaburzeniami gęstości, korzystamy z równania stanu. Wprowadzamy niewielkie przyrosty gęstości i ciśnienia, a następnie rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora wokół punktu równowagi {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} W tym rozwinięciu: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} — ciśnienie w stanie równowagi, * {{Formuła|<MATH>\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}</MATH>}} — pochodna ciśnienia względem gęstości, obliczona w stanie równowagi, * człony wyższego rzędu (oznaczone wielokropkiem) pomijamy w linearyzacji. Z definicji zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'=p-p_{0}</MATH>}} oraz zaburzenia gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'=\rho-\rho_{0}</MATH>}} otrzymujemy zależność liniową: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest '''prędkością dźwięku''' w ośrodku — wynika bezpośrednio z równania stanu. Zależność {{LinkWzór|13.18}} jest kluczowa: pozwala zastąpić zaburzenia gęstości zaburzeniami ciśnienia, co umożliwia połączenie równania ciągłości z równaniem ruchu i otrzymanie równania falowego. W kolejnych krokach ta zależność zostanie podstawiona do równań liniowych hydrodynamiki, prowadząc do równania falowego {{LinkWzór|13.21}}. === Połączenie równań === Aby otrzymać równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia, łączymy teraz trzy wcześniej zlinearyzowane równania: równanie ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, równanie ruchu {{LinkWzór|13.16}} oraz równanie stanu {{LinkWzór|13.18}}. Najpierw podstawiamy zależność między zaburzeniem ciśnienia i gęstości z równania stanu {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} W ten sposób eliminujemy zaburzenie gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} i otrzymujemy równanie wiążące zaburzenie ciśnienia z dywergencją prędkości zaburzenia. Następnie różniczkujemy równanie {{LinkWzór|13.19}} względem czasu i korzystamy z równania ruchu {{LinkWzór|13.16}}, które wiąże przyspieszenie zaburzenia prędkości z gradientem zaburzenia ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} Podstawiamy tę zależność do pochodnej czasowej dywergencji w równaniu {{LinkWzór|13.19}}. W wyniku otrzymujemy równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w cieczy lub gazie w stanie spoczynku. Prędkość fazowa fali jest równa {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, zgodnie z definicją z równania stanu {{LinkWzór|13.18}}. To równanie jest fundamentem akustyki liniowej: pokazuje, że niewielkie zaburzenia ciśnienia rozchodzą się w ośrodku jako fale o prędkości zależnej wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Pokazuje ono, że niewielkie zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} rozchodzą się w ośrodku jako fale, których prędkość zależy wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. Prędkość fazowa fali akustycznej jest równa: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest prędkością dźwięku — wynika bezpośrednio z równania stanu i określa, jak szybko zaburzenia ciśnienia przemieszczają się w ośrodku. W połączeniu z równaniem falowym {{LinkWzór|13.21}} opisuje pełną dynamikę liniowych fal akustycznych. === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Aby wyznaczyć prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym, korzystamy z równania adiabaty opisującego przemianę bezwymienną. Dla gazu doskonałego obowiązuje zależność: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Zależność ta wiąże ciśnienie z gęstością poprzez wykładnik adiabatyczny {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, który dla gazów jednoatomowych wynosi {{Formuła|<MATH>\frac{5}{3}</MATH>}}, a dla dwuatomowych około {{Formuła|<MATH>1.4</MATH>}}. Różniczkujemy równanie adiabaty i korzystamy z definicji prędkości dźwięku {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, aby otrzymać: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Wynika z niej, że prędkość dźwięku zależy wyłącznie od ciśnienia, gęstości i wykładnika adiabatycznego — a więc od własności termodynamicznych ośrodka. Dla dużych amplitud zaburzeń równanie falowe {{LinkWzór|13.21}} nie linearyzuje się. W takim przypadku pojawia się '''fala uderzeniowa (fala Riemanna)''', w której front fali staje się stromy, a prędkość propagacji zależy od nieliniowych efektów sprężystości gazu. To zjawisko jest podstawą teorii fal uderzeniowych i dynamiki gazów w przepływach nadźwiękowych. == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota''' — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} |2={{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. atlgdlplzmcgyyi2rn9gzzi9cgtlowb 0 21224 555378 555138 2026-09-09T19:21:59Z Persino 2851 /* Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek */ 555378 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W szczególności nie występuje tarcie wewnętrzne, deformacje trwałe ani emisja energii w postaci ciepła — zderzenie jest idealne, a energia kinetyczna jest jedyną formą energii mechanicznej. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.15}} Wprowadzamy prędkości cząstek w układzie środka masy. Przy oznaczeniu {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2\;</MATH>}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}=\vec{v}_1-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=\vec{v}_2-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.17}} }} W układzie środka masy pędy cząstek przed zderzeniem są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}\;</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}\;</MATH>|2.19}} }} Z zasady zachowania energii w układzie środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}\Rightarrow E={{{p^'}^2_0}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)\Rightarrow E={{{p^'}^2}\over{2m}}\Rightarrow {p^'}_{0}=\sqrt{2Em}\;</MATH>|2.20}} Wyznaczamy pędy po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>2Em=2m\left({{p^2_0}\over{2m_1}}+{{p^2_0}\over{2m_1}}\right)=p^2_0\;</MATH>|2.21}} Zatem pędy cząstek przed i po zderzeniu w układzie środka masy są sobie równe co do wartości. Niech {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} będzie jednostkowym wektorem kierunku rozproszenia. Wtedy prędkości po zderzeniu w układzie środka masy wynoszą: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}\;</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}\;</MATH>|2.23}} }} Przechodzimy do układu laboratoryjnego: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.25}} }} Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.27}} }} {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Tożsamości geometryczne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}\;</MATH>|2.28}} {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.29}} {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.30}} Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}\;</MATH>|2.31}} Zakładamy, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Tangens kąta {{Formuła|<MATH>\theta_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}\;</MATH>|2.32}} Tangens kąta {{Formuła|<MATH>\theta_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}\;</MATH>|2.33}} Wprowadzamy kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>}} Po podstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.34}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.35}} Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu (twierdzenie cosinusów): {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.36}} Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.37}} Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.39}} }} Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1\;</MATH>|2.40}} Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}\;</MATH>|2.41}} {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}\;</MATH>|2.42}} Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.43}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.44}} Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.46}} }} == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} możemy przepisać w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię E i moment pędu L parametrami: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech dN będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie n jest strumieniem cząstek. Zakładamy jednoznaczny związek między χ i ρ: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania χ jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla θ₁, * {{LinkWzór|2.35}} – dla θ₂. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u\;</MATH>}}. Wtedy kąt wychylenia cząstki w polu centralnym: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi\;</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Wzór {{LinkWzór|2.57}} jest klasycznym '''wzorem Rutherforda''' na przekrój czynny w układzie środka masy. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2\;</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} ---- # Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2\;</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}. W takim przypadku kąt rozproszenia jest mały, a sinus kąta rozproszenia: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}\;</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}\;</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y\;</MATH>}}, to całkowity przyrost pędu poprzecznego: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho\;</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)\;</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)\;</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} To jest ogólny wzór na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> lzf6bmjn535cnlfto8pj8zsfq16cxws 555379 555378 2026-09-09T19:28:39Z Persino 2851 /* Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek */ 555379 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W takim procesie nie występuje ani tarcie wewnętrzne, ani deformacje trwałe, ani emisja energii w postaci ciepła — zderzenie jest idealne, a energia kinetyczna pozostaje jedyną formą energii mechanicznej. Analiza takiego zderzenia wymaga przejścia do układu środka masy, w którym równania przyjmują najprostszą postać, a zależności między pędami i prędkościami stają się przejrzyste. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.15}} Przechodzimy następnie do układu środka masy, wprowadzając względną prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}}, co pozwala zapisać prędkości cząstek w tym układzie w postaci: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}=\vec{v}_1-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=\vec{v}_2-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.17}} }} W układzie środka masy całkowity pęd układu jest równy zero, a pędy cząstek są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}\;</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}\;</MATH>|2.19}} }} Zasada zachowania energii w układzie środka masy prowadzi do równania: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}\Rightarrow E={{{p^'}^2_0}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)\Rightarrow E={{{p^'}^2}\over{2m}}\Rightarrow {p^'}_{0}=\sqrt{2Em}\;</MATH>|2.20}} Wyznaczamy pędy po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>2Em=2m\left({{p^2_0}\over{2m_1}}+{{p^2_0}\over{2m_1}}\right)=p^2_0\;</MATH>|2.21}} Zatem pędy cząstek przed i po zderzeniu w układzie środka masy są sobie równe co do wartości, a zderzenie zmienia jedynie kierunek pędu. Kierunek ten opisujemy za pomocą jednostkowego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}, co prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}\;</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}\;</MATH>|2.23}} }} Aby powrócić do układu laboratoryjnego, dodajemy prędkość środka masy do prędkości w układzie środka masy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.25}} }} Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.27}} }} {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Tożsamości geometryczne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}\;</MATH>|2.28}} {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.29}} {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.30}} Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}\;</MATH>|2.31}} Zakładamy, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Tangens kąta {{Formuła|<MATH>\theta_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}\;</MATH>|2.32}} Tangens kąta {{Formuła|<MATH>\theta_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}\;</MATH>|2.33}} Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>}} Po podstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.34}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.35}} Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu (twierdzenie cosinusów): {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.36}} Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.37}} Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.39}} }} Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1\;</MATH>|2.40}} Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}\;</MATH>|2.41}} {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}\;</MATH>|2.42}} Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.43}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.44}} Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.46}} }} == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} możemy przepisać w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię E i moment pędu L parametrami: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech dN będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie n jest strumieniem cząstek. Zakładamy jednoznaczny związek między χ i ρ: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania χ jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla θ₁, * {{LinkWzór|2.35}} – dla θ₂. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u\;</MATH>}}. Wtedy kąt wychylenia cząstki w polu centralnym: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi\;</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Wzór {{LinkWzór|2.57}} jest klasycznym '''wzorem Rutherforda''' na przekrój czynny w układzie środka masy. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2\;</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} ---- # Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2\;</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}. W takim przypadku kąt rozproszenia jest mały, a sinus kąta rozproszenia: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}\;</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}\;</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y\;</MATH>}}, to całkowity przyrost pędu poprzecznego: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho\;</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)\;</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)\;</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} To jest ogólny wzór na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> grqrfcp36gup9uahqb4aeqtuwbxeej7 555380 555379 2026-09-09T19:31:06Z Persino 2851 /* Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek */ 555380 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. Oznacza to, że cząstki nie ulegają trwałym deformacjom, nie emitują energii w postaci ciepła, nie zmieniają struktury wewnętrznej, a jedyną formą energii mechanicznej pozostaje energia kinetyczna. Zderzenie takie jest idealizacją, lecz stanowi fundamentalny model w mechanice klasycznej, ponieważ pozwala na precyzyjne wyprowadzenie zależności między prędkościami, pędami i kątami rozproszenia w dwóch układach odniesienia: laboratoryjnym i środka masy. Pierwszym krokiem jest wyznaczenie prędkości środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}}. Prędkość środka masy jest średnią ważoną prędkości cząstek, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.15}} Prędkość ta wyznacza układ odniesienia, w którym całkowity pęd układu jest równy zero. Wprowadzenie względnej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}} pozwala zapisać prędkości cząstek w układzie środka masy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}=\vec{v}_1-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=\vec{v}_2-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.17}} }} W układzie środka masy pędy cząstek są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku, co wynika z definicji pędu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}\;</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}\;</MATH>|2.19}} }} Zasada zachowania energii w układzie środka masy prowadzi do równania: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}\Rightarrow E={{{p^'}^2_0}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)\Rightarrow E={{{p^'}^2}\over{2m}}\Rightarrow {p^'}_{0}=\sqrt{2Em}\;</MATH>|2.20}} co oznacza, że wartość pędu po zderzeniu jest identyczna jak przed zderzeniem: {{CentrujWzór|<MATH>2Em=2m\left({{p^2_0}\over{2m_1}}+{{p^2_0}\over{2m_1}}\right)=p^2_0\;</MATH>|2.21}} Zderzenie doskonale sprężyste zmienia więc jedynie kierunek pędu, nie jego wartość. Kierunek ten opisujemy jednostkowym wektorem {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}, co prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}\;</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}\;</MATH>|2.23}} }} Aby powrócić do układu laboratoryjnego, dodajemy prędkość środka masy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.25}} }} Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.27}} }} {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Wektory geometryczne opisujące konstrukcję pędów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}\;</MATH>|2.28}} {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.29}} {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;</MATH>|2.30}} Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}\;</MATH>|2.31}} Zakładamy, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Tangens kąta rozproszenia pierwszej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}\;</MATH>|2.32}} Tangens kąta drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}\;</MATH>|2.33}} Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>}} Po podstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.34}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.35}} Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu (twierdzenie cosinusów): {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|2.36}} Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.37}} Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;</MATH>|2.39}} }} Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1\;</MATH>|2.40}} Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}\;</MATH>|2.41}} {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}\;</MATH>|2.42}} Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa\;</MATH>|2.43}} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.44}} Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}\;</MATH>|2.46}} }} == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} możemy przepisać w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię E i moment pędu L parametrami: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech dN będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie n jest strumieniem cząstek. Zakładamy jednoznaczny związek między χ i ρ: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania χ jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla θ₁, * {{LinkWzór|2.35}} – dla θ₂. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u\;</MATH>}}. Wtedy kąt wychylenia cząstki w polu centralnym: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi\;</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Wzór {{LinkWzór|2.57}} jest klasycznym '''wzorem Rutherforda''' na przekrój czynny w układzie środka masy. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2\;</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} ---- # Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2\;</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}. W takim przypadku kąt rozproszenia jest mały, a sinus kąta rozproszenia: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}\;</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}\;</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y\;</MATH>}}, to całkowity przyrost pędu poprzecznego: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho\;</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)\;</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)\;</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} To jest ogólny wzór na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7qjnuf03k3m0126m5y33u2p9bwl146l 555381 555380 2026-09-09T19:47:46Z Persino 2851 /* Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek */ 555381 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W całym rozdziale wykonujemy kolejne operacje matematyczne, każdą z nich opisując szczegółowo: dlaczego jest wykonywana, jaki ma sens fizyczny, geometryczny i matematyczny oraz jak prowadzi do kolejnych zależności. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.15}} Wyrażenie to jest średnią ważoną prędkości cząstek. Przejście do układu środka masy upraszcza analizę zderzenia, ponieważ w tym układzie całkowity pęd układu jest równy {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}, co oznacza, że pędy cząstek są przeciwne i leżą na jednej prostej. Przechodzimy do układu środka masy, wprowadzając względną prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.17}} }} Prędkości w układzie środka masy są proporcjonalne do mas cząstek, co zapewnia równanie równowagi pędu {{Formuła|<MATH>m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20}=0</MATH>}}. Oznacza to, że środek masy jest nieruchomy, a cząstki poruszają się względem niego w przeciwnych kierunkach. Pędy cząstek w tym układzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}</MATH>|2.19}} }} Z definicji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}</MATH>}} otrzymujemy pędy równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Jest to fundamentalna własność układu środka masy: całkowity pęd układu wynosi zero, a wektory pędu są współliniowe. Z zasady zachowania energii: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}=\cdots={{{p^'}_0}^2\over{2m}}</MATH>|2.20}} Energia kinetyczna układu w układzie środka masy zależy wyłącznie od wartości pędu. Przekształcenie pokazuje, że pęd po zderzeniu ma tę samą wartość co przed zderzeniem, co jest charakterystyczne dla zderzenia doskonale sprężystego. {{CentrujWzór|<MATH>2Em=p_0^2</MATH>|2.21}} Wynik ten potwierdza, że wartość pędu nie zmienia się podczas zderzenia — zmienia się jedynie jego kierunek. Jest to fundament konstrukcji geometrycznej zderzenia. Wektor kierunku rozproszenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}</MATH>|2.23}} }} Zmiana kierunku pędu jest opisana przez wektor jednostkowy {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}. Wartość pędu pozostaje niezmieniona, co oznacza, że zderzenie jest czysto geometrycznym obrotem wektora pędu. Prędkości w układzie laboratoryjnym: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.25}} }} Dodanie prędkości środka masy jest odwrotną transformacją Galileusza. W ten sposób otrzymujemy prędkości w układzie laboratoryjnym, czyli takie, jakie obserwuje eksperymentator. Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.27}} }} Pęd po zderzeniu składa się z części wspólnej (pochodzącej od ruchu środka masy) oraz części rozproszonej (pochodzącej od zmiany kierunku pędu). Geometrycznie jest to dodawanie wektorów w przestrzeni pędu. {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Wektory konstrukcyjne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}</MATH>|2.28}} Wektor OC reprezentuje czystą zmianę kierunku pędu wynikającą z rozproszenia. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.29}} Wektor AO jest częścią pędu wspólną dla obu cząstek, wynikającą z ruchu środka masy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.30}} Analogicznie OB jest częścią pędu wspólną dla cząstki drugiej. Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}</MATH>|2.31}} Stosunek długości odcinków AO i OB jest równy stosunkowi mas cząstek, co jest geometryczną interpretacją równania pędu. Tangens kąta rozproszenia pierwszej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}</MATH>|2.32}} Kąt rozproszenia pierwszej cząstki wynika z konstrukcji geometrycznej trójkąta pędów. Tangens kąta drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}</MATH>|2.33}} Druga cząstka ma prostszą zależność, ponieważ początkowo jej pęd jest równy zero. Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>}} Kąt pomocniczy upraszcza zależności trygonometryczne. Tożsamość trygonometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.34}} Przekształcenie upraszcza zależność kąta rozproszenia. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>|2.35}} Kąt rozproszenia drugiej cząstki jest połową kąta odbicia w układzie środka masy. Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.36}} Wartość prędkości wynika z twierdzenia cosinusów w trójkącie pędów. Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.37}} Zależność wynika z geometrii połowy kąta zderzenia. Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.39}} }} W przypadku zderzenia centralnego cząstki odbijają się wzdłuż jednej prostej, co upraszcza zależności. Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1</MATH>|2.40}} Maksimum energii przekazywanej drugiej cząstce występuje dla równych mas. Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}</MATH>|2.41}} Zależność ta wynika z ograniczeń geometrycznych trójkąta pędów. {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}</MATH>|2.42}} Zależność upraszcza się dla równych mas. Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.43}} Przekształcenie trygonometryczne upraszcza zależność kąta. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}</MATH>|2.44}} Kąt rozproszenia jest połową kąta zderzenia. Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.46}} }} Składowe prędkości rozdzielają się zgodnie z funkcjami trygonometrycznymi połowy kąta zderzenia, co jest klasycznym wynikiem dla zderzenia dwóch kul o równych masach. == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} możemy przepisać w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię E i moment pędu L parametrami: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech dN będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie n jest strumieniem cząstek. Zakładamy jednoznaczny związek między χ i ρ: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania χ jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla θ₁, * {{LinkWzór|2.35}} – dla θ₂. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u\;</MATH>}}. Wtedy kąt wychylenia cząstki w polu centralnym: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi\;</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Wzór {{LinkWzór|2.57}} jest klasycznym '''wzorem Rutherforda''' na przekrój czynny w układzie środka masy. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2\;</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} ---- # Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2\;</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}. W takim przypadku kąt rozproszenia jest mały, a sinus kąta rozproszenia: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}\;</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}\;</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y\;</MATH>}}, to całkowity przyrost pędu poprzecznego: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho\;</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)\;</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)\;</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} To jest ogólny wzór na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 5zltejc5qw9kf73k428z0jmagaonpm3 555382 555381 2026-09-09T19:51:02Z Persino 2851 /* Rozpraszanie cząstek na potencjale */ 555382 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W całym rozdziale wykonujemy kolejne operacje matematyczne, każdą z nich opisując szczegółowo: dlaczego jest wykonywana, jaki ma sens fizyczny, geometryczny i matematyczny oraz jak prowadzi do kolejnych zależności. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.15}} Wyrażenie to jest średnią ważoną prędkości cząstek. Przejście do układu środka masy upraszcza analizę zderzenia, ponieważ w tym układzie całkowity pęd układu jest równy {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}, co oznacza, że pędy cząstek są przeciwne i leżą na jednej prostej. Przechodzimy do układu środka masy, wprowadzając względną prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.17}} }} Prędkości w układzie środka masy są proporcjonalne do mas cząstek, co zapewnia równanie równowagi pędu {{Formuła|<MATH>m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20}=0</MATH>}}. Oznacza to, że środek masy jest nieruchomy, a cząstki poruszają się względem niego w przeciwnych kierunkach. Pędy cząstek w tym układzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}</MATH>|2.19}} }} Z definicji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}</MATH>}} otrzymujemy pędy równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Jest to fundamentalna własność układu środka masy: całkowity pęd układu wynosi zero, a wektory pędu są współliniowe. Z zasady zachowania energii: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}=\cdots={{{p^'}_0}^2\over{2m}}</MATH>|2.20}} Energia kinetyczna układu w układzie środka masy zależy wyłącznie od wartości pędu. Przekształcenie pokazuje, że pęd po zderzeniu ma tę samą wartość co przed zderzeniem, co jest charakterystyczne dla zderzenia doskonale sprężystego. {{CentrujWzór|<MATH>2Em=p_0^2</MATH>|2.21}} Wynik ten potwierdza, że wartość pędu nie zmienia się podczas zderzenia — zmienia się jedynie jego kierunek. Jest to fundament konstrukcji geometrycznej zderzenia. Wektor kierunku rozproszenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}</MATH>|2.23}} }} Zmiana kierunku pędu jest opisana przez wektor jednostkowy {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}. Wartość pędu pozostaje niezmieniona, co oznacza, że zderzenie jest czysto geometrycznym obrotem wektora pędu. Prędkości w układzie laboratoryjnym: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.25}} }} Dodanie prędkości środka masy jest odwrotną transformacją Galileusza. W ten sposób otrzymujemy prędkości w układzie laboratoryjnym, czyli takie, jakie obserwuje eksperymentator. Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.27}} }} Pęd po zderzeniu składa się z części wspólnej (pochodzącej od ruchu środka masy) oraz części rozproszonej (pochodzącej od zmiany kierunku pędu). Geometrycznie jest to dodawanie wektorów w przestrzeni pędu. {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Wektory konstrukcyjne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}</MATH>|2.28}} Wektor OC reprezentuje czystą zmianę kierunku pędu wynikającą z rozproszenia. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.29}} Wektor AO jest częścią pędu wspólną dla obu cząstek, wynikającą z ruchu środka masy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.30}} Analogicznie OB jest częścią pędu wspólną dla cząstki drugiej. Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}</MATH>|2.31}} Stosunek długości odcinków AO i OB jest równy stosunkowi mas cząstek, co jest geometryczną interpretacją równania pędu. Tangens kąta rozproszenia pierwszej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}</MATH>|2.32}} Kąt rozproszenia pierwszej cząstki wynika z konstrukcji geometrycznej trójkąta pędów. Tangens kąta drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}</MATH>|2.33}} Druga cząstka ma prostszą zależność, ponieważ początkowo jej pęd jest równy zero. Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>}} Kąt pomocniczy upraszcza zależności trygonometryczne. Tożsamość trygonometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.34}} Przekształcenie upraszcza zależność kąta rozproszenia. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>|2.35}} Kąt rozproszenia drugiej cząstki jest połową kąta odbicia w układzie środka masy. Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.36}} Wartość prędkości wynika z twierdzenia cosinusów w trójkącie pędów. Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.37}} Zależność wynika z geometrii połowy kąta zderzenia. Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.39}} }} W przypadku zderzenia centralnego cząstki odbijają się wzdłuż jednej prostej, co upraszcza zależności. Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1</MATH>|2.40}} Maksimum energii przekazywanej drugiej cząstce występuje dla równych mas. Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}</MATH>|2.41}} Zależność ta wynika z ograniczeń geometrycznych trójkąta pędów. {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}</MATH>|2.42}} Zależność upraszcza się dla równych mas. Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.43}} Przekształcenie trygonometryczne upraszcza zależność kąta. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}</MATH>|2.44}} Kąt rozproszenia jest połową kąta zderzenia. Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.46}} }} Składowe prędkości rozdzielają się zgodnie z funkcjami trygonometrycznymi połowy kąta zderzenia, co jest klasycznym wynikiem dla zderzenia dwóch kul o równych masach. == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} przepisujemy w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} Wyrażenie to opisuje zmianę kąta polarnego cząstki podczas jej ruchu w polu centralnym. W liczniku pojawia się moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej {{Formuła|<MATH>2m(E-U(r))</MATH>}} pomniejszonej o część odśrodkową {{Formuła|<MATH>L^{2}/r^{2}</MATH>}}. Całka biegnie od nieskończoności do minimalnej odległości {{Formuła|<MATH>r_{\min}</MATH>}}, co odpowiada fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum potencjału. ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}} parametrami asymptotycznymi: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Energia w nieskończoności jest czysto kinetyczna, ponieważ potencjał {{Formuła|<MATH>U(\infty)=0</MATH>}}. Moment pędu jest iloczynem masy, prędkości asymptotycznej i parametru zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, który geometrycznie jest odległością asymptoty toru od centrum pola. Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} Wyrażenie to pokazuje, że kąt odchylenia zależy od stosunku {{Formuła|<MATH>\rho/r</MATH>}} oraz od znormalizowanego potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)/(mv_{\infty}^{2})</MATH>}}. Całka jest dodatnia, ponieważ kierunek całkowania został odwrócony względem poprzedniego wzoru. ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech {{Formuła|<MATH>dN</MATH>}} będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\chi+d\chi</MATH>}}. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} jest strumieniem cząstek. Przekrój czynny ma wymiar powierzchni i określa efektywną „powierzchnię” oddziaływania potencjału. Zakładamy jednoznaczny związek między {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} Pierwsza równość {{Formuła|<MATH>d\sigma=2\pi\rho\,d\rho</MATH>}} wynika z geometrii: pierścień o promieniu {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i grubości {{Formuła|<MATH>d\rho</MATH>}} ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>2\pi\rho\,d\rho</MATH>}}. Druga równość przekształca zmienną z {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} na kąt rozproszenia {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}, co pozwala wyrazić przekrój czynny jako funkcję kąta. ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Element kąta bryłowego dla rozpraszania osiowo symetrycznego ma postać {{Formuła|<MATH>d\Omega=2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}}. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem kąta bryłowego. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)/\sin\chi</MATH>}} jest geometryczną korektą wynikającą z przejścia między zmiennymi {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}}, * {{LinkWzór|2.35}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}}. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. Zależności te są kluczowe w fizyce zderzeń, ponieważ pozwalają przejść od opisu laboratoryjnego do opisu w układzie środka masy, gdzie geometria zderzenia jest najprostsza. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u\;</MATH>}}. Wtedy kąt wychylenia cząstki w polu centralnym: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi\;</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Wzór {{LinkWzór|2.57}} jest klasycznym '''wzorem Rutherforda''' na przekrój czynny w układzie środka masy. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2\;</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} ---- # Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2\;</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}. W takim przypadku kąt rozproszenia jest mały, a sinus kąta rozproszenia: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}\;</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}\;</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y\;</MATH>}}, to całkowity przyrost pędu poprzecznego: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho\;</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)\;</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)\;</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} To jest ogólny wzór na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fk8ls1cxkmrq62fzidbhsc9uw0z35g0 555383 555382 2026-09-09T19:53:45Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie wzoru Rutherforda */ 555383 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W całym rozdziale wykonujemy kolejne operacje matematyczne, każdą z nich opisując szczegółowo: dlaczego jest wykonywana, jaki ma sens fizyczny, geometryczny i matematyczny oraz jak prowadzi do kolejnych zależności. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.15}} Wyrażenie to jest średnią ważoną prędkości cząstek. Przejście do układu środka masy upraszcza analizę zderzenia, ponieważ w tym układzie całkowity pęd układu jest równy {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}, co oznacza, że pędy cząstek są przeciwne i leżą na jednej prostej. Przechodzimy do układu środka masy, wprowadzając względną prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.17}} }} Prędkości w układzie środka masy są proporcjonalne do mas cząstek, co zapewnia równanie równowagi pędu {{Formuła|<MATH>m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20}=0</MATH>}}. Oznacza to, że środek masy jest nieruchomy, a cząstki poruszają się względem niego w przeciwnych kierunkach. Pędy cząstek w tym układzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}</MATH>|2.19}} }} Z definicji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}</MATH>}} otrzymujemy pędy równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Jest to fundamentalna własność układu środka masy: całkowity pęd układu wynosi zero, a wektory pędu są współliniowe. Z zasady zachowania energii: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}=\cdots={{{p^'}_0}^2\over{2m}}</MATH>|2.20}} Energia kinetyczna układu w układzie środka masy zależy wyłącznie od wartości pędu. Przekształcenie pokazuje, że pęd po zderzeniu ma tę samą wartość co przed zderzeniem, co jest charakterystyczne dla zderzenia doskonale sprężystego. {{CentrujWzór|<MATH>2Em=p_0^2</MATH>|2.21}} Wynik ten potwierdza, że wartość pędu nie zmienia się podczas zderzenia — zmienia się jedynie jego kierunek. Jest to fundament konstrukcji geometrycznej zderzenia. Wektor kierunku rozproszenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}</MATH>|2.23}} }} Zmiana kierunku pędu jest opisana przez wektor jednostkowy {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}. Wartość pędu pozostaje niezmieniona, co oznacza, że zderzenie jest czysto geometrycznym obrotem wektora pędu. Prędkości w układzie laboratoryjnym: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.25}} }} Dodanie prędkości środka masy jest odwrotną transformacją Galileusza. W ten sposób otrzymujemy prędkości w układzie laboratoryjnym, czyli takie, jakie obserwuje eksperymentator. Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.27}} }} Pęd po zderzeniu składa się z części wspólnej (pochodzącej od ruchu środka masy) oraz części rozproszonej (pochodzącej od zmiany kierunku pędu). Geometrycznie jest to dodawanie wektorów w przestrzeni pędu. {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Wektory konstrukcyjne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}</MATH>|2.28}} Wektor OC reprezentuje czystą zmianę kierunku pędu wynikającą z rozproszenia. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.29}} Wektor AO jest częścią pędu wspólną dla obu cząstek, wynikającą z ruchu środka masy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.30}} Analogicznie OB jest częścią pędu wspólną dla cząstki drugiej. Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}</MATH>|2.31}} Stosunek długości odcinków AO i OB jest równy stosunkowi mas cząstek, co jest geometryczną interpretacją równania pędu. Tangens kąta rozproszenia pierwszej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}</MATH>|2.32}} Kąt rozproszenia pierwszej cząstki wynika z konstrukcji geometrycznej trójkąta pędów. Tangens kąta drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}</MATH>|2.33}} Druga cząstka ma prostszą zależność, ponieważ początkowo jej pęd jest równy zero. Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>}} Kąt pomocniczy upraszcza zależności trygonometryczne. Tożsamość trygonometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.34}} Przekształcenie upraszcza zależność kąta rozproszenia. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>|2.35}} Kąt rozproszenia drugiej cząstki jest połową kąta odbicia w układzie środka masy. Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.36}} Wartość prędkości wynika z twierdzenia cosinusów w trójkącie pędów. Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.37}} Zależność wynika z geometrii połowy kąta zderzenia. Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.39}} }} W przypadku zderzenia centralnego cząstki odbijają się wzdłuż jednej prostej, co upraszcza zależności. Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1</MATH>|2.40}} Maksimum energii przekazywanej drugiej cząstce występuje dla równych mas. Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}</MATH>|2.41}} Zależność ta wynika z ograniczeń geometrycznych trójkąta pędów. {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}</MATH>|2.42}} Zależność upraszcza się dla równych mas. Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.43}} Przekształcenie trygonometryczne upraszcza zależność kąta. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}</MATH>|2.44}} Kąt rozproszenia jest połową kąta zderzenia. Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.46}} }} Składowe prędkości rozdzielają się zgodnie z funkcjami trygonometrycznymi połowy kąta zderzenia, co jest klasycznym wynikiem dla zderzenia dwóch kul o równych masach. == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} przepisujemy w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} Wyrażenie to opisuje zmianę kąta polarnego cząstki podczas jej ruchu w polu centralnym. W liczniku pojawia się moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej {{Formuła|<MATH>2m(E-U(r))</MATH>}} pomniejszonej o część odśrodkową {{Formuła|<MATH>L^{2}/r^{2}</MATH>}}. Całka biegnie od nieskończoności do minimalnej odległości {{Formuła|<MATH>r_{\min}</MATH>}}, co odpowiada fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum potencjału. ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}} parametrami asymptotycznymi: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Energia w nieskończoności jest czysto kinetyczna, ponieważ potencjał {{Formuła|<MATH>U(\infty)=0</MATH>}}. Moment pędu jest iloczynem masy, prędkości asymptotycznej i parametru zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, który geometrycznie jest odległością asymptoty toru od centrum pola. Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} Wyrażenie to pokazuje, że kąt odchylenia zależy od stosunku {{Formuła|<MATH>\rho/r</MATH>}} oraz od znormalizowanego potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)/(mv_{\infty}^{2})</MATH>}}. Całka jest dodatnia, ponieważ kierunek całkowania został odwrócony względem poprzedniego wzoru. ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech {{Formuła|<MATH>dN</MATH>}} będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\chi+d\chi</MATH>}}. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} jest strumieniem cząstek. Przekrój czynny ma wymiar powierzchni i określa efektywną „powierzchnię” oddziaływania potencjału. Zakładamy jednoznaczny związek między {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} Pierwsza równość {{Formuła|<MATH>d\sigma=2\pi\rho\,d\rho</MATH>}} wynika z geometrii: pierścień o promieniu {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i grubości {{Formuła|<MATH>d\rho</MATH>}} ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>2\pi\rho\,d\rho</MATH>}}. Druga równość przekształca zmienną z {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} na kąt rozproszenia {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}, co pozwala wyrazić przekrój czynny jako funkcję kąta. ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Element kąta bryłowego dla rozpraszania osiowo symetrycznego ma postać {{Formuła|<MATH>d\Omega=2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}}. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem kąta bryłowego. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)/\sin\chi</MATH>}} jest geometryczną korektą wynikającą z przejścia między zmiennymi {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}}, * {{LinkWzór|2.35}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}}. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. Zależności te są kluczowe w fizyce zderzeń, ponieważ pozwalają przejść od opisu laboratoryjnego do opisu w układzie środka masy, gdzie geometria zderzenia jest najprostsza. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u</MATH>}}. Podstawienie zmiennej {{Formuła|<MATH>u</MATH>}} upraszcza całkę, ponieważ przekształca wyrażenia odśrodkowe i potencjałowe do postaci liniowej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}, co pozwala na zamianę całki z funkcją pierwiastkową na całkę elementarną. {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Całka opisuje zmianę kąta polarnego cząstki w polu centralnym. W liczniku pojawia się parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej zredukowanej o część odśrodkową oraz o część potencjałową. Granice całkowania od {{Formuła|<MATH>u=0</MATH>}} (nieskończoność) do {{Formuła|<MATH>u=1/r_{\min}</MATH>}} odpowiadają fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum pola. Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} Wyrażenie to jest wynikiem całkowania funkcji wymiernej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}. Otrzymana postać arccos wynika z faktu, że całka sprowadza się do standardowej formy całki typu {{Formuła|<MATH>\int du/\sqrt{a - bu - cu^{2}}</MATH>}}, która prowadzi do funkcji trygonometrycznych odwróconych. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\alpha/(mv_{\infty}^{2}\rho)</MATH>}} jest miarą siły oddziaływania potencjału względem energii kinetycznej cząstki. ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Zależność ta jest kluczowa: łączy parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} z kątem rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. Wynika ona z geometrii toru cząstki w polu centralnym — im większy parametr zderzenia, tym mniejsze odchylenie toru. Zależność {{Formuła|<MATH>\cot(\chi/2)</MATH>}} jest charakterystyczna dla potencjału typu Coulomba. Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Pierwsza postać {{Formuła|<MATH>d\sigma</MATH>}} wyrażona względem {{Formuła|<MATH>d\chi</MATH>}} wynika z różniczkowania zależności {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)</MATH>}}. Druga postać, {{LinkWzór|2.57}}, jest klasycznym wzorem Rutherforda — pokazuje, że przekrój czynny maleje jak {{Formuła|<MATH>1/\sin^{4}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla oddziaływania długozasięgowego typu Coulomba. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} Zależność ta jest użyteczna, gdy jedna z cząstek początkowo spoczywa. Wtedy kąt rozpraszania w układzie laboratoryjnym jest inny niż w układzie środka masy, a przekrój czynny wymaga odpowiedniej transformacji. ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} W tym przypadku cząstka ciężka praktycznie nie zmienia kierunku ruchu, a cząstka lekka zachowuje geometrię rozpraszania Rutherforda. Energia {{Formuła|<MATH>E_1</MATH>}} zastępuje asymptotyczną energię kinetyczną. ---- # Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} Dla mas jednakowych rozpraszanie jest bardziej symetryczne. Zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1=\chi/2</MATH>}} upraszcza przekrój czynny i prowadzi do charakterystycznej postaci z funkcją {{Formuła|<MATH>\cos\theta_1</MATH>}} w liczniku. ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} Dla cząstek nierozróżnialnych należy uwzględnić oba kanały rozpraszania: *kanał przedni* ({{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}) oraz *kanał tylny* ({{Formuła|<MATH>\pi/2-\theta</MATH>}}). Stąd pojawia się suma dwóch członów. ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Prędkość cząstki drugiej zależy od połowy kąta rozpraszania i od stosunku mas. Im większy kąt rozproszenia, tym większa energia przekazana cząstce drugiej. Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Energia {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} rośnie jak {{Formuła|<MATH>\sin^{2}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla zderzeń sprężystych. Różniczka energii pozwala przejść z opisu kątowego do opisu energetycznego. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem energii cząstki rozproszonej. Zależność {{Formuła|<MATH>d\sigma\propto d\epsilon/\epsilon^{2}</MATH>}} jest charakterystyczna dla oddziaływania Coulombowskiego i pokazuje, że małe energie są znacznie bardziej prawdopodobne niż duże. == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}. W takim przypadku kąt rozproszenia jest mały, a sinus kąta rozproszenia: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}\;</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}\;</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y\;</MATH>}}, to całkowity przyrost pędu poprzecznego: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho\;</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)\;</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)\;</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} To jest ogólny wzór na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 96xc434lnqd8t5v68wbxk2s0b10keia 555384 555383 2026-09-09T19:56:47Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie wzoru Rutherforda */ 555384 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W całym rozdziale wykonujemy kolejne operacje matematyczne, każdą z nich opisując szczegółowo: dlaczego jest wykonywana, jaki ma sens fizyczny, geometryczny i matematyczny oraz jak prowadzi do kolejnych zależności. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.15}} Wyrażenie to jest średnią ważoną prędkości cząstek. Przejście do układu środka masy upraszcza analizę zderzenia, ponieważ w tym układzie całkowity pęd układu jest równy {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}, co oznacza, że pędy cząstek są przeciwne i leżą na jednej prostej. Przechodzimy do układu środka masy, wprowadzając względną prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.17}} }} Prędkości w układzie środka masy są proporcjonalne do mas cząstek, co zapewnia równanie równowagi pędu {{Formuła|<MATH>m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20}=0</MATH>}}. Oznacza to, że środek masy jest nieruchomy, a cząstki poruszają się względem niego w przeciwnych kierunkach. Pędy cząstek w tym układzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}</MATH>|2.19}} }} Z definicji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}</MATH>}} otrzymujemy pędy równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Jest to fundamentalna własność układu środka masy: całkowity pęd układu wynosi zero, a wektory pędu są współliniowe. Z zasady zachowania energii: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}=\cdots={{{p^'}_0}^2\over{2m}}</MATH>|2.20}} Energia kinetyczna układu w układzie środka masy zależy wyłącznie od wartości pędu. Przekształcenie pokazuje, że pęd po zderzeniu ma tę samą wartość co przed zderzeniem, co jest charakterystyczne dla zderzenia doskonale sprężystego. {{CentrujWzór|<MATH>2Em=p_0^2</MATH>|2.21}} Wynik ten potwierdza, że wartość pędu nie zmienia się podczas zderzenia — zmienia się jedynie jego kierunek. Jest to fundament konstrukcji geometrycznej zderzenia. Wektor kierunku rozproszenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}</MATH>|2.23}} }} Zmiana kierunku pędu jest opisana przez wektor jednostkowy {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}. Wartość pędu pozostaje niezmieniona, co oznacza, że zderzenie jest czysto geometrycznym obrotem wektora pędu. Prędkości w układzie laboratoryjnym: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.25}} }} Dodanie prędkości środka masy jest odwrotną transformacją Galileusza. W ten sposób otrzymujemy prędkości w układzie laboratoryjnym, czyli takie, jakie obserwuje eksperymentator. Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.27}} }} Pęd po zderzeniu składa się z części wspólnej (pochodzącej od ruchu środka masy) oraz części rozproszonej (pochodzącej od zmiany kierunku pędu). Geometrycznie jest to dodawanie wektorów w przestrzeni pędu. {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Wektory konstrukcyjne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}</MATH>|2.28}} Wektor OC reprezentuje czystą zmianę kierunku pędu wynikającą z rozproszenia. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.29}} Wektor AO jest częścią pędu wspólną dla obu cząstek, wynikającą z ruchu środka masy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.30}} Analogicznie OB jest częścią pędu wspólną dla cząstki drugiej. Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}</MATH>|2.31}} Stosunek długości odcinków AO i OB jest równy stosunkowi mas cząstek, co jest geometryczną interpretacją równania pędu. Tangens kąta rozproszenia pierwszej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}</MATH>|2.32}} Kąt rozproszenia pierwszej cząstki wynika z konstrukcji geometrycznej trójkąta pędów. Tangens kąta drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}</MATH>|2.33}} Druga cząstka ma prostszą zależność, ponieważ początkowo jej pęd jest równy zero. Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>}} Kąt pomocniczy upraszcza zależności trygonometryczne. Tożsamość trygonometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.34}} Przekształcenie upraszcza zależność kąta rozproszenia. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>|2.35}} Kąt rozproszenia drugiej cząstki jest połową kąta odbicia w układzie środka masy. Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.36}} Wartość prędkości wynika z twierdzenia cosinusów w trójkącie pędów. Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.37}} Zależność wynika z geometrii połowy kąta zderzenia. Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.39}} }} W przypadku zderzenia centralnego cząstki odbijają się wzdłuż jednej prostej, co upraszcza zależności. Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1</MATH>|2.40}} Maksimum energii przekazywanej drugiej cząstce występuje dla równych mas. Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}</MATH>|2.41}} Zależność ta wynika z ograniczeń geometrycznych trójkąta pędów. {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}</MATH>|2.42}} Zależność upraszcza się dla równych mas. Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.43}} Przekształcenie trygonometryczne upraszcza zależność kąta. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}</MATH>|2.44}} Kąt rozproszenia jest połową kąta zderzenia. Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.46}} }} Składowe prędkości rozdzielają się zgodnie z funkcjami trygonometrycznymi połowy kąta zderzenia, co jest klasycznym wynikiem dla zderzenia dwóch kul o równych masach. == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} przepisujemy w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} Wyrażenie to opisuje zmianę kąta polarnego cząstki podczas jej ruchu w polu centralnym. W liczniku pojawia się moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej {{Formuła|<MATH>2m(E-U(r))</MATH>}} pomniejszonej o część odśrodkową {{Formuła|<MATH>L^{2}/r^{2}</MATH>}}. Całka biegnie od nieskończoności do minimalnej odległości {{Formuła|<MATH>r_{\min}</MATH>}}, co odpowiada fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum potencjału. ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}} parametrami asymptotycznymi: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Energia w nieskończoności jest czysto kinetyczna, ponieważ potencjał {{Formuła|<MATH>U(\infty)=0</MATH>}}. Moment pędu jest iloczynem masy, prędkości asymptotycznej i parametru zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, który geometrycznie jest odległością asymptoty toru od centrum pola. Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} Wyrażenie to pokazuje, że kąt odchylenia zależy od stosunku {{Formuła|<MATH>\rho/r</MATH>}} oraz od znormalizowanego potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)/(mv_{\infty}^{2})</MATH>}}. Całka jest dodatnia, ponieważ kierunek całkowania został odwrócony względem poprzedniego wzoru. ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech {{Formuła|<MATH>dN</MATH>}} będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\chi+d\chi</MATH>}}. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} jest strumieniem cząstek. Przekrój czynny ma wymiar powierzchni i określa efektywną „powierzchnię” oddziaływania potencjału. Zakładamy jednoznaczny związek między {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} Pierwsza równość {{Formuła|<MATH>d\sigma=2\pi\rho\,d\rho</MATH>}} wynika z geometrii: pierścień o promieniu {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i grubości {{Formuła|<MATH>d\rho</MATH>}} ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>2\pi\rho\,d\rho</MATH>}}. Druga równość przekształca zmienną z {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} na kąt rozproszenia {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}, co pozwala wyrazić przekrój czynny jako funkcję kąta. ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Element kąta bryłowego dla rozpraszania osiowo symetrycznego ma postać {{Formuła|<MATH>d\Omega=2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}}. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem kąta bryłowego. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)/\sin\chi</MATH>}} jest geometryczną korektą wynikającą z przejścia między zmiennymi {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}}, * {{LinkWzór|2.35}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}}. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. Zależności te są kluczowe w fizyce zderzeń, ponieważ pozwalają przejść od opisu laboratoryjnego do opisu w układzie środka masy, gdzie geometria zderzenia jest najprostsza. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u</MATH>}}. Podstawienie zmiennej {{Formuła|<MATH>u</MATH>}} upraszcza całkę, ponieważ przekształca wyrażenia odśrodkowe i potencjałowe do postaci liniowej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}, co pozwala na zamianę całki z funkcją pierwiastkową na całkę elementarną. {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Całka opisuje zmianę kąta polarnego cząstki w polu centralnym. W liczniku pojawia się parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej zredukowanej o część odśrodkową oraz o część potencjałową. Granice całkowania od {{Formuła|<MATH>u=0</MATH>}} (nieskończoność) do {{Formuła|<MATH>u=1/r_{\min}</MATH>}} odpowiadają fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum pola. Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} Wyrażenie to jest wynikiem całkowania funkcji wymiernej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}. Otrzymana postać arccos wynika z faktu, że całka sprowadza się do standardowej formy całki typu {{Formuła|<MATH>\int du/\sqrt{a - bu - cu^{2}}</MATH>}}, która prowadzi do funkcji trygonometrycznych odwróconych. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\alpha/(mv_{\infty}^{2}\rho)</MATH>}} jest miarą siły oddziaływania potencjału względem energii kinetycznej cząstki. ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Zależność ta jest kluczowa: łączy parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} z kątem rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. Wynika ona z geometrii toru cząstki w polu centralnym — im większy parametr zderzenia, tym mniejsze odchylenie toru. Zależność {{Formuła|<MATH>\cot(\chi/2)</MATH>}} jest charakterystyczna dla potencjału typu Coulomba. Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Pierwsza postać {{Formuła|<MATH>d\sigma</MATH>}} wyrażona względem {{Formuła|<MATH>d\chi</MATH>}} wynika z różniczkowania zależności {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)</MATH>}}. Druga postać, {{LinkWzór|2.57}}, jest klasycznym wzorem Rutherforda — pokazuje, że przekrój czynny maleje jak {{Formuła|<MATH>1/\sin^{4}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla oddziaływania długozasięgowego typu Coulomba. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} Zależność ta jest użyteczna, gdy jedna z cząstek początkowo spoczywa. Wtedy kąt rozpraszania w układzie laboratoryjnym jest inny niż w układzie środka masy, a przekrój czynny wymaga odpowiedniej transformacji. ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} W tym przypadku cząstka ciężka praktycznie nie zmienia kierunku ruchu, a cząstka lekka zachowuje geometrię rozpraszania Rutherforda. Energia {{Formuła|<MATH>E_1</MATH>}} zastępuje asymptotyczną energię kinetyczną. ---- * Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} Dla mas jednakowych rozpraszanie jest bardziej symetryczne. Zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1=\chi/2</MATH>}} upraszcza przekrój czynny i prowadzi do charakterystycznej postaci z funkcją {{Formuła|<MATH>\cos\theta_1</MATH>}} w liczniku. ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} Dla cząstek nierozróżnialnych należy uwzględnić oba kanały rozpraszania: * '''kanał przedni''' ({{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}) oraz '''kanał tylny''' ({{Formuła|<MATH>\pi/2-\theta</MATH>}}). Stąd pojawia się suma dwóch członów. ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Prędkość cząstki drugiej zależy od połowy kąta rozpraszania i od stosunku mas. Im większy kąt rozproszenia, tym większa energia przekazana cząstce drugiej. Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Energia {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} rośnie jak {{Formuła|<MATH>\sin^{2}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla zderzeń sprężystych. Różniczka energii pozwala przejść z opisu kątowego do opisu energetycznego. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem energii cząstki rozproszonej. Zależność {{Formuła|<MATH>d\sigma\propto d\epsilon/\epsilon^{2}</MATH>}} jest charakterystyczna dla oddziaływania Coulombowskiego i pokazuje, że małe energie są znacznie bardziej prawdopodobne niż duże. == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}. W takim przypadku kąt rozproszenia jest mały, a sinus kąta rozproszenia: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}\;</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}\;</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y\;</MATH>}}, to całkowity przyrost pędu poprzecznego: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho\;</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)\;</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)\;</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} To jest ogólny wzór na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8pd7oh7sboywtu14yxdh2yg3rr6wk26 555385 555384 2026-09-09T19:59:09Z Persino 2851 /* Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów */ 555385 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W całym rozdziale wykonujemy kolejne operacje matematyczne, każdą z nich opisując szczegółowo: dlaczego jest wykonywana, jaki ma sens fizyczny, geometryczny i matematyczny oraz jak prowadzi do kolejnych zależności. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.15}} Wyrażenie to jest średnią ważoną prędkości cząstek. Przejście do układu środka masy upraszcza analizę zderzenia, ponieważ w tym układzie całkowity pęd układu jest równy {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}, co oznacza, że pędy cząstek są przeciwne i leżą na jednej prostej. Przechodzimy do układu środka masy, wprowadzając względną prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.17}} }} Prędkości w układzie środka masy są proporcjonalne do mas cząstek, co zapewnia równanie równowagi pędu {{Formuła|<MATH>m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20}=0</MATH>}}. Oznacza to, że środek masy jest nieruchomy, a cząstki poruszają się względem niego w przeciwnych kierunkach. Pędy cząstek w tym układzie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}</MATH>|2.18}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}</MATH>|2.19}} }} Z definicji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}</MATH>}} otrzymujemy pędy równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Jest to fundamentalna własność układu środka masy: całkowity pęd układu wynosi zero, a wektory pędu są współliniowe. Z zasady zachowania energii: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}=\cdots={{{p^'}_0}^2\over{2m}}</MATH>|2.20}} Energia kinetyczna układu w układzie środka masy zależy wyłącznie od wartości pędu. Przekształcenie pokazuje, że pęd po zderzeniu ma tę samą wartość co przed zderzeniem, co jest charakterystyczne dla zderzenia doskonale sprężystego. {{CentrujWzór|<MATH>2Em=p_0^2</MATH>|2.21}} Wynik ten potwierdza, że wartość pędu nie zmienia się podczas zderzenia — zmienia się jedynie jego kierunek. Jest to fundament konstrukcji geometrycznej zderzenia. Wektor kierunku rozproszenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}</MATH>|2.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}</MATH>|2.23}} }} Zmiana kierunku pędu jest opisana przez wektor jednostkowy {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}. Wartość pędu pozostaje niezmieniona, co oznacza, że zderzenie jest czysto geometrycznym obrotem wektora pędu. Prędkości w układzie laboratoryjnym: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.25}} }} Dodanie prędkości środka masy jest odwrotną transformacją Galileusza. W ten sposób otrzymujemy prędkości w układzie laboratoryjnym, czyli takie, jakie obserwuje eksperymentator. Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.27}} }} Pęd po zderzeniu składa się z części wspólnej (pochodzącej od ruchu środka masy) oraz części rozproszonej (pochodzącej od zmiany kierunku pędu). Geometrycznie jest to dodawanie wektorów w przestrzeni pędu. {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Wektory konstrukcyjne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}</MATH>|2.28}} Wektor OC reprezentuje czystą zmianę kierunku pędu wynikającą z rozproszenia. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.29}} Wektor AO jest częścią pędu wspólną dla obu cząstek, wynikającą z ruchu środka masy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.30}} Analogicznie OB jest częścią pędu wspólną dla cząstki drugiej. Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}</MATH>|2.31}} Stosunek długości odcinków AO i OB jest równy stosunkowi mas cząstek, co jest geometryczną interpretacją równania pędu. Tangens kąta rozproszenia pierwszej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}</MATH>|2.32}} Kąt rozproszenia pierwszej cząstki wynika z konstrukcji geometrycznej trójkąta pędów. Tangens kąta drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}</MATH>|2.33}} Druga cząstka ma prostszą zależność, ponieważ początkowo jej pęd jest równy zero. Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>}} Kąt pomocniczy upraszcza zależności trygonometryczne. Tożsamość trygonometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.34}} Przekształcenie upraszcza zależność kąta rozproszenia. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>|2.35}} Kąt rozproszenia drugiej cząstki jest połową kąta odbicia w układzie środka masy. Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.36}} Wartość prędkości wynika z twierdzenia cosinusów w trójkącie pędów. Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.37}} Zależność wynika z geometrii połowy kąta zderzenia. Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.39}} }} W przypadku zderzenia centralnego cząstki odbijają się wzdłuż jednej prostej, co upraszcza zależności. Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1</MATH>|2.40}} Maksimum energii przekazywanej drugiej cząstce występuje dla równych mas. Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}</MATH>|2.41}} Zależność ta wynika z ograniczeń geometrycznych trójkąta pędów. {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}</MATH>|2.42}} Zależność upraszcza się dla równych mas. Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.43}} Przekształcenie trygonometryczne upraszcza zależność kąta. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}</MATH>|2.44}} Kąt rozproszenia jest połową kąta zderzenia. Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.46}} }} Składowe prędkości rozdzielają się zgodnie z funkcjami trygonometrycznymi połowy kąta zderzenia, co jest klasycznym wynikiem dla zderzenia dwóch kul o równych masach. == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} przepisujemy w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} Wyrażenie to opisuje zmianę kąta polarnego cząstki podczas jej ruchu w polu centralnym. W liczniku pojawia się moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej {{Formuła|<MATH>2m(E-U(r))</MATH>}} pomniejszonej o część odśrodkową {{Formuła|<MATH>L^{2}/r^{2}</MATH>}}. Całka biegnie od nieskończoności do minimalnej odległości {{Formuła|<MATH>r_{\min}</MATH>}}, co odpowiada fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum potencjału. ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}} parametrami asymptotycznymi: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Energia w nieskończoności jest czysto kinetyczna, ponieważ potencjał {{Formuła|<MATH>U(\infty)=0</MATH>}}. Moment pędu jest iloczynem masy, prędkości asymptotycznej i parametru zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, który geometrycznie jest odległością asymptoty toru od centrum pola. Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} Wyrażenie to pokazuje, że kąt odchylenia zależy od stosunku {{Formuła|<MATH>\rho/r</MATH>}} oraz od znormalizowanego potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)/(mv_{\infty}^{2})</MATH>}}. Całka jest dodatnia, ponieważ kierunek całkowania został odwrócony względem poprzedniego wzoru. ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech {{Formuła|<MATH>dN</MATH>}} będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\chi+d\chi</MATH>}}. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} jest strumieniem cząstek. Przekrój czynny ma wymiar powierzchni i określa efektywną „powierzchnię” oddziaływania potencjału. Zakładamy jednoznaczny związek między {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} Pierwsza równość {{Formuła|<MATH>d\sigma=2\pi\rho\,d\rho</MATH>}} wynika z geometrii: pierścień o promieniu {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i grubości {{Formuła|<MATH>d\rho</MATH>}} ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>2\pi\rho\,d\rho</MATH>}}. Druga równość przekształca zmienną z {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} na kąt rozproszenia {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}, co pozwala wyrazić przekrój czynny jako funkcję kąta. ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Element kąta bryłowego dla rozpraszania osiowo symetrycznego ma postać {{Formuła|<MATH>d\Omega=2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}}. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem kąta bryłowego. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)/\sin\chi</MATH>}} jest geometryczną korektą wynikającą z przejścia między zmiennymi {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}}, * {{LinkWzór|2.35}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}}. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. Zależności te są kluczowe w fizyce zderzeń, ponieważ pozwalają przejść od opisu laboratoryjnego do opisu w układzie środka masy, gdzie geometria zderzenia jest najprostsza. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u</MATH>}}. Podstawienie zmiennej {{Formuła|<MATH>u</MATH>}} upraszcza całkę, ponieważ przekształca wyrażenia odśrodkowe i potencjałowe do postaci liniowej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}, co pozwala na zamianę całki z funkcją pierwiastkową na całkę elementarną. {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Całka opisuje zmianę kąta polarnego cząstki w polu centralnym. W liczniku pojawia się parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej zredukowanej o część odśrodkową oraz o część potencjałową. Granice całkowania od {{Formuła|<MATH>u=0</MATH>}} (nieskończoność) do {{Formuła|<MATH>u=1/r_{\min}</MATH>}} odpowiadają fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum pola. Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} Wyrażenie to jest wynikiem całkowania funkcji wymiernej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}. Otrzymana postać arccos wynika z faktu, że całka sprowadza się do standardowej formy całki typu {{Formuła|<MATH>\int du/\sqrt{a - bu - cu^{2}}</MATH>}}, która prowadzi do funkcji trygonometrycznych odwróconych. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\alpha/(mv_{\infty}^{2}\rho)</MATH>}} jest miarą siły oddziaływania potencjału względem energii kinetycznej cząstki. ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Zależność ta jest kluczowa: łączy parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} z kątem rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. Wynika ona z geometrii toru cząstki w polu centralnym — im większy parametr zderzenia, tym mniejsze odchylenie toru. Zależność {{Formuła|<MATH>\cot(\chi/2)</MATH>}} jest charakterystyczna dla potencjału typu Coulomba. Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Pierwsza postać {{Formuła|<MATH>d\sigma</MATH>}} wyrażona względem {{Formuła|<MATH>d\chi</MATH>}} wynika z różniczkowania zależności {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)</MATH>}}. Druga postać, {{LinkWzór|2.57}}, jest klasycznym wzorem Rutherforda — pokazuje, że przekrój czynny maleje jak {{Formuła|<MATH>1/\sin^{4}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla oddziaływania długozasięgowego typu Coulomba. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} Zależność ta jest użyteczna, gdy jedna z cząstek początkowo spoczywa. Wtedy kąt rozpraszania w układzie laboratoryjnym jest inny niż w układzie środka masy, a przekrój czynny wymaga odpowiedniej transformacji. ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} W tym przypadku cząstka ciężka praktycznie nie zmienia kierunku ruchu, a cząstka lekka zachowuje geometrię rozpraszania Rutherforda. Energia {{Formuła|<MATH>E_1</MATH>}} zastępuje asymptotyczną energię kinetyczną. ---- * Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} Dla mas jednakowych rozpraszanie jest bardziej symetryczne. Zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1=\chi/2</MATH>}} upraszcza przekrój czynny i prowadzi do charakterystycznej postaci z funkcją {{Formuła|<MATH>\cos\theta_1</MATH>}} w liczniku. ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} Dla cząstek nierozróżnialnych należy uwzględnić oba kanały rozpraszania: * '''kanał przedni''' ({{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}) oraz '''kanał tylny''' ({{Formuła|<MATH>\pi/2-\theta</MATH>}}). Stąd pojawia się suma dwóch członów. ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Prędkość cząstki drugiej zależy od połowy kąta rozpraszania i od stosunku mas. Im większy kąt rozproszenia, tym większa energia przekazana cząstce drugiej. Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} |2={{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Energia {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} rośnie jak {{Formuła|<MATH>\sin^{2}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla zderzeń sprężystych. Różniczka energii pozwala przejść z opisu kątowego do opisu energetycznego. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem energii cząstki rozproszonej. Zależność {{Formuła|<MATH>d\sigma\propto d\epsilon/\epsilon^{2}</MATH>}} jest charakterystyczna dla oddziaływania Coulombowskiego i pokazuje, że małe energie są znacznie bardziej prawdopodobne niż duże. == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}. Duża wartość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} oznacza, że cząstka przechodzi daleko od centrum potencjału, a więc oddziaływanie jest słabe i kąt rozproszenia niewielki. W takim przypadku tor cząstki jest prawie prostoliniowy, a odchylenie wynika jedynie z niewielkiej składowej poprzecznej pędu. {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Zależność ta wynika z definicji kąta między wektorem pędu po zderzeniu a kierunkiem osiowym. Składowa poprzeczna {{Formuła|<MATH>p'_{1y}</MATH>}} jest odpowiedzialna za odchylenie toru, natomiast {{Formuła|<MATH>p'_1</MATH>}} jest wartością pędu po zderzeniu. Dla małych kątów zależność ta jest szczególnie prosta, ponieważ sinus kąta jest równy stosunkowi składowej poprzecznej do całkowitej. Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Wartość {{Formuła|<MATH>p'_1</MATH>}} jest przybliżona przez asymptotyczny pęd {{Formuła|<MATH>m_1 v_{\infty}</MATH>}}, ponieważ oddziaływanie jest słabe. Kąt rozproszenia jest więc proporcjonalny do składowej poprzecznej pędu i odwrotnie proporcjonalny do asymptotycznej prędkości cząstki. Ponieważ {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y</MATH>}}, całkowity przyrost pędu poprzecznego wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} Całka ta opisuje sumaryczny wpływ siły poprzecznej na cząstkę podczas jej przejścia przez obszar oddziaływania. Granice od {{Formuła|<MATH>t=-\infty</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>t=\infty</MATH>}} odpowiadają ruchowi cząstki od nieskończoności do nieskończoności. ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Wyrażenie to wynika z faktu, że potencjał zależy tylko od odległości {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, a więc siła jest skierowana radialnie. Składowa poprzeczna jest proporcjonalna do {{Formuła|<MATH>y/r</MATH>}}, czyli do stosunku odległości poprzecznej do promienia. Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Pierwsza zależność zastępuje {{Formuła|<MATH>y</MATH>}} przez parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}. Druga zależność wynika z faktu, że dla małych kątów ruch odbywa się praktycznie wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}, a prędkość jest stała i równa {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}}. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} Wyrażenie to pokazuje, że przyrost pędu poprzecznego zależy od całki z siły radialnej przeskalowanej przez czynnik geometryczny {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}. ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Zależność ta wynika z geometrii toru cząstki: odległość od centrum pola jest dana przez twierdzenie Pitagorasa. Różniczka {{Formuła|<MATH>dx</MATH>}} pozwala na zamianę zmiennej całkowania z {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, co upraszcza całkę. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} Otrzymujemy ogólny wzór na kąt rozproszenia w przybliżeniu małych kątów. Całka ta zależy wyłącznie od potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)</MATH>}} oraz od parametru zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}. Im większy {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, tym mniejszy wpływ potencjału i mniejszy kąt rozproszenia. ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} Wyrażenie to jest ogólnym wzorem na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. Zależność {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)</MATH>}} określa, jak zmienia się parametr zderzenia w funkcji kąta, a czynnik {{Formuła|<MATH>\rho/\theta_1</MATH>}} jest korektą geometryczną wynikającą z osiowej symetrii rozpraszania. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3di94ugxoc3s6zvut3uc5b8krazrmim 828 34347 555430 551509 2026-09-10T00:07:13Z Persino 2851 555430 Scribunto text/plain local p = {} function p.SpreparowanyWikikodStrony(nazwa_modulu,dokumentacja,inkludowana) local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); return stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(nil,nazwa_modulu,dokumentacja,inkludowana); end; function p.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,inkludowana) local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); local tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony=stronicowyparser_tekst_modul.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(nil,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,inkludowana,nil); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony; end; p["DaneUkładuAutonawigacji"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); local spis,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni,tab_lista_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki,tab_lista_artykulow_w_ksiazce,tab_lista_zmiennych_w_artykule=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if(not spis)then return nil;end; return tab_lista_artykulow_w_ksiazce.nazwa_bazowego_spisu,tab_lista_artykulow_w_ksiazce.tab_inne_spisy,tab_lista_artykulow_w_ksiazce.dodatkowe_strony_woluminu; end; p["SpisyTreści"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,bez_json) local nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly=p["DaneUkładuAutonawigacji"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); local tabela={}; tabela.spis_tresci=nazwa_glownego_spisu; tabela.inne_spisy=tab_inne_spisy; tabela.dodatkowe_strony_woluminu=dodatkowe_artykuly; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local czy_json=((not bez_json)and(parametry_modul.CzyTak(PobierzParametr("json")))) and true or false; return czy_json and mw.text.jsonEncode(tabela,mw.text.JSON_PRESERVE_KEYS) or tabela; end; p["CzySpisTreści"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local spisy=p["SpisyTreści"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,true); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local artykul=PobierzParametr("artykuł"); ---- if(artykul)then artykul=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=artykul,[2]="tak",}; if((spisy.spis_tresci)and((parametry_modul.TypeTable(spisy.spis_tresci))and((spisy.spis_tresci[1]==artykul)or(spisy.spis_tresci[2]==artykul))or(spisy.spis_tresci==artykul)))then return "tak"; else if((spisy.inne_spisy)and(parametry_modul.TypeTable(spisy.inne_spisy)))then for _,spis_tresci in ipairs(spisy.inne_spisy)do if((parametry_modul.TypeTable(spis_tresci))and((spis_tresci[1]==artykul)or(spis_tresci[2]==artykul))or(spis_tresci==artykul))then return "tak"; end; end; end; end; end; end; p["TekstRozdziałuStrony"]=function(frame) local stronicowyparser_rozdzialy=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); return stronicowyparser_rozdzialy.TekstPoNapisieWprowadzeniaTekstuStrony(frame); end; p["KtóraSekcjaStrony"]=function(frame) local stronicowyparser_rozdzialy=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); return stronicowyparser_rozdzialy.NumerSekcjiStrony(frame); end; p["ZwróćSekcjęNagłówkaStrony"]=function(frame) local stronicowyparser_rozdzialy=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); return stronicowyparser_rozdzialy.ZwracanieSekcjiNapisuWprowadzeniaTekstuStrony(frame); end; p["NastępnyArtykuł"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); --- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); local html_modul=require("Module:Html"); local nazwa_artykulu_bez_naglowka=html_modul["NazwaStronyAdresu"](nazwa_artykulu,true); local nazwa_artykulu=(not naglowek) and nazwa_artykulu_bez_naglowka or nazwa_artykulu; ---- local juz_tak=false; local nadstrona_artykulu=(numer>0) and stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka,numer) or nil; ---- for nazwa_artykulu_w_bazie,nazwa_linku_artykulu_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie in iterator do local nazwa_artykulu_w_bazie2=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(nazwa_artykulu_w_bazie,naglowek); local function Nastepny() if(not nazwa)then return stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana); end; return nazwa_linku_artykulu_w_bazie or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana); end; if(juz_tak)then if(numer>0)then local nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieTylkoNazwyLubTabeliNazwyLinkuStronyWoluminuZTabeliZParametramiOrazIdentyfikatorem(nazwa_artykulu_w_bazie,false); local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie); local nadstrona_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie,numer); if((numer==numer_artykulu_w_bazie)and(nadstrona_artykulu==nadstrona_artykulu_w_bazie))then return Nastepny(); end; else return Nastepny(); end; else if(nazwa_artykulu_w_bazie2==nazwa_artykulu)then juz_tak=true; end; end; end; if(juz_tak)then return ""; else return "(błąd)"; end; end; p["PoprzedniArtykuł"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); --- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); local html_modul=require("Module:Html"); local nazwa_artykulu_bez_naglowka=html_modul["NazwaStronyAdresu"](nazwa_artykulu,true); local nazwa_artykulu=(not naglowek) and nazwa_artykulu_bez_naglowka or nazwa_artykulu; ---- local juz_tak=false; local nadstrona_artykulu=(numer>0) and stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka,numer) or nil; ---- local artykul=""; ---- for nazwa_artykulu_w_bazie,nazwa_linku_artykulu_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie in iterator do local nazwa_artykulu_w_bazie2=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(nazwa_artykulu_w_bazie,naglowek); if(numer>0)then local nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieTylkoNazwyLubTabeliNazwyLinkuStronyWoluminuZTabeliZParametramiOrazIdentyfikatorem(nazwa_artykulu_w_bazie,false); local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie); local nadstrona_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie,numer); if((numer==numer_artykulu_w_bazie)and(nadstrona_artykulu==nadstrona_artykulu_w_bazie))then if(nazwa_artykulu_w_bazie2==nazwa_artykulu)then return artykul; else artykul=(not nazwa) and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana) or (nazwa_linku_artykulu_w_bazie or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana)); end; else if(artykul~="")then return artykul; else artykul=""; end; end; else if(nazwa_artykulu_w_bazie2==nazwa_artykulu)then return artykul; else artykul=(not nazwa) and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana) or (nazwa_linku_artykulu_w_bazie or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana)); end; end; end; return "(błąd)"; end; p["PoziomNazwyArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(nazwa_artykulu); end; p["PierwszyArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); for tab_artykul,nazwa_linku,przekierowanie,pelna_nazwa_ksiazki in iterator do local artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(tab_artykul,czy_naglowek); local function PierwszyArtykul() if(not nazwa)then return stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); else return nazwa_linku or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); end; end; if(numer==0)then return PierwszyArtykul(); else local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(artykul); if(numer==numer_artykulu_w_bazie)then return PierwszyArtykul(); end; end; end; return "(błąd)"; end; p["OstatniArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local ostatni_artykul=nil; for tab_artykul,nazwa_linku,przekierowanie,pelna_nazwa_ksiazki in iterator do local artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(tab_artykul,czy_naglowek); local function OstatniArtykul() if(not nazwa)then ostatni_artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); else ostatni_artykul=nazwa_linku or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); end; end; if(numer==0)then OstatniArtykul(); else local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(artykul); if(numer==numer_artykulu_w_bazie)then OstatniArtykul(); end; end; end; if(ostatni_artykul)then return ostatni_artykul;end; return "(błąd)"; end; p["PomiędzyNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowyNapisProwadzeniaTekstuBezPierwszegoOrazOstatniegoNapisuSpisuRzeczy(frame); end; p["LosowyNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowyNapisProwadzeniaTekstuWoluminu(frame); end; p["PierwszyNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:PierwszyNapisWprowadzeniaTekstu(frame); end; p["OstatniNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:OstatniNapisWprowadzeniaTekstu(frame); end; p["LiczbaNagłówkówSpisu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:LiczbaNapisowaWprowadzeniaTekstu(frame); end; p["PomiędzyArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local val=stronicowyparser_potrzebne_modul:ObliczeniaInformacje(frame); if(not val)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local element=stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowaStronaBezPierwszejOrazOstatniejStronyWoluminu(frame,numer) or nil; if(not element)then return "(błąd)";end; local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_table=parametry_modul.TypeTable(element); if(not nazwa)then return czy_table and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana) or ((not czy_table) and element or "(błąd)");end; return czy_table and (element[2] or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana)) or ((not czy_table) and element or "(błąd)"); end; p["LosowyArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local val=stronicowyparser_potrzebne_modul:ObliczeniaInformacje(frame); if(not val)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local element=stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowaStronaWoluminu(frame,numer); if(not element)then return "(błąd)";end; local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_table=parametry_modul.TypeTable(element); if(not nazwa)then return czy_table and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana) or ((not czy_table) and element or "(błąd)");end; return czy_table and (element[2] or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana)) or ((not czy_table) and element or "(błąd)"); end; p["SubNazwaNadArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local krok=tonumber(args[2])or 1; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul.SubNazwaNadStrony(nazwa_artykulu,numer,krok); end; p["NazwaNadArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 1; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul.SubNazwaNadStrony(nazwa_artykulu,1,numer); end; p["NazwaLinkuArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); if(not czy_tabela_artykulu)then local nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(artykul_w_bazie[1],czy_naglowek); if(nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem==nazwa_artykulu)then return artykul_w_bazie[1]; end; else local nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(artykul_w_bazie[1][1],czy_naglowek); if(nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem==nazwa_artykulu)then return artykul_w_bazie[1][2]; end; end; end; end; end; return "(błąd)"; end; p["LiczbaArtykułówKsiążki"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local tab_artykul=(not naglowek) and {} or nil; local i=0; for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); local nazwa_artykulu=czy_tabela_artykulu and artykul_w_bazie[1][1] or artykul_w_bazie[1]; local artykul=(not naglowek) and stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieTylkoNazwyLubTabeliNazwyLinkuStronyWoluminuZTabeliZParametramiOrazIdentyfikatorem(nazwa_artykulu,false) or nil; if(naglowek or not tab_artykul[artykul])then if(not naglowek)then tab_artykul[artykul]=true; end; i=i+1; end; end; end; end; return i; end; p["LiniaArtykułuKsiążki"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local czy_analiza=parametry_modul.CzyTak(args["analiza"]); local uzupelniaj_sekcje_artykulow=parametry_modul.CzyTak(args["uzupełniaj sekcje artykułów"]); if(not uzupelniaj_sekcje_artykulow)then for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); local artykul_ksiazki=czy_tabela_artykulu and artykul_w_bazie[1][1] or artykul_w_bazie[1]; artykul_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(artykul_ksiazki,czy_naglowek); if(artykul_ksiazki==nazwa_artykulu)then if(not czy_analiza)then return artykul_w_bazie[3]; else local function AnalizaLiniiArtykolow() local czy_spis_tresci=mw.ustring.match(artykul_w_bazie[3],"({{%s*[Ss]pisTreści%s*|[^{}]*}})"); if(czy_spis_tresci)then local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_szablony,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](czy_spis_tresci); local nazwa_artykulu=parametry_szablony[1]; ------ local nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local pelna_nazwa_strony=(nazwa_artykulu=="")and nazwa_ksiazki or nazwa_ksiazki.."/"..nazwa_artykulu; local link= "[["..pelna_nazwa_strony.."|"..nazwa_artykulu.."]]"; local linia2,_=mw.ustring.gsub(artykul_w_bazie[3],"({{%s*[Ss]pisTreści%s*|[^{}]*}})",link); return linia2; else local linia2=artykul_w_bazie[3]; local czy_spis_tresci=mw.ustring.match(linia2,"({{%s*[Ss]ekcja[%s_]+referencyjna%s*|[^{}]*}})") or mw.ustring.match(linia2,"({{%s*[Ss]r%s*|[^{}]*}})"); if(czy_spis_tresci)then local linia2,_=mw.ustring.gsub(linia2,"({{%s*[Ss]ekcja[%s_]+referencyjna%s*|)","%1astandardowo=tak|"); local linia2,_=mw.ustring.gsub(linia2,"({{%s*[Ss]r%s*|)","%1astandardowo=tak|"); return linia2; else local nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local function adresuj_linki(a,b) return "[["..nazwa_ksiazki.."/"..a..(b or ("|"..a)).."]]"; end; local artykul=mw.ustring.gsub(artykul_w_bazie[3],"%[%[%s*/([^%[%]|]-)/*%s*(|.*)%]%]",adresuj_linki); artykul=mw.ustring.gsub(artykul,"%[%[%s*/([^%[%]|]-)/*%s*%]%]",adresuj_linki); return artykul; end; end; end; return AnalizaLiniiArtykolow(); end end; end; end; end; else if(mw.ustring.match(nazwa_artykulu,"^[^#]*#(.+)$"))then local naglowek=mw.ustring.match(nazwa_artykulu,"^[^#]*#(.+)$"); if(parametry_modul["CzyTakCiąg"](naglowek))then local pelna_nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame) return "[["..pelna_nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="")and("/"..nazwa_artykulu) or "").."|"..naglowek.."]]"; end; end; end; end; p["AktualnaKsiążka"]=function(frame,__error) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame) or ((not __error)and "(błąd)" or nil); end; p["AktualnaKsiążkaArtykułu"]=function(frame,__error) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); ---- local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local nazwa_artykulu_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); ---- for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); local nazwa_artykulu_dana=czy_tabela_artykulu and artykul_w_bazie[1][1] or artykul_w_bazie[1]; nazwa_artykulu_dana=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(nazwa_artykulu_dana,czy_naglowek); if(nazwa_artykulu_ksiazki==nazwa_artykulu_dana)then if(not czy_tabela_artykulu)then return nazwa_ksiazki; else local pelna_nazwa_ksiazki=artykul_w_bazie[1][4]; if((pelna_nazwa_ksiazki)and(pelna_nazwa_ksiazki[4]))then return nazwy_modul["NazwaModułu"](pelna_nazwa_ksiazki[1],pelna_nazwa_ksiazki[2],pelna_nazwa_ksiazki[3],"") else return nazwa_ksiazki; end; end; end; end; end; end; return ((not __error)and "(błąd)" or nil) end; p["NazwaAktualnyArtykuł"]=function(frame,__error) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame) or ((not __error)and "(błąd)" or nil); end; p["PobierzNumerNagłówka"]=function(frame) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaNagłówkówKsiążek"); return stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNumerNagłówka"](frame); end; p["PobierzNazwęNagłówka"]=function(frame) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaNagłówkówKsiążek"); return stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNazwęNagłówka"](frame); end; p["PobierzNumerArtykułu"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek"); local wartosc,_=stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNumerArtykułu"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); return wartosc; end; p["PobierzNazwęArtykułu"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek"); local wartosc,_=stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNazwęArtykułu"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); return wartosc; end; p["PobierzDaneKsiążki"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,kodowanie_nie_json) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek"); return stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzDaneKsiążki"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,kodowanie_nie_json); end; p["ListaNagłówkówKsiążki"] = function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local stronicowyparser_obiekty=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local odczyt_tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu=stronicowyparser_obiekty.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu; local tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu=parametry_modul["KopiujTabelęElementów"](odczyt_tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu); setmetatable(tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu,parametry_modul.metatablica_dla_elementowych_miar_tablicy_wedle_niewielkich_liter); local czy_sa_rozdzialy=nil; local pelna_nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local wikikod=""; local linki_modul=require("Module:Linki"); for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do local rozdzial=tab_lista[1][1]; local numer_rozdzialu=tab_lista[1][2][1]; local czy_centrowany=tab_lista[1][2][4]; if((numer_rozdzialu)and(numer_rozdzialu>0)and(not czy_centrowany))then if(not tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu[rozdzial])then wikikod=((wikikod~="")and (wikikod.." &nbsp;—&nbsp; ") or "")..linki_modul["Link wewnętrzny"]{["strona"]=pelna_nazwa_ksiazki,["nagłówek"]=rozdzial,["nazwa"]=rozdzial,["bez znaczników"]=args["bez znaczników"],["bez przetwarzania"]=args["bez przetwarzania"],}; end; czy_sa_rozdzialy=true; end; end; if(not czy_sa_rozdzialy)then return "(błąd: brak rozdziałów)";end; return wikikod; end; p["ArtykułSubst"] = function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame,true); local pobierz_nazwa_artykulu=PobierzParametr("pobierz pełną nazwę artykułu"); local pobierz_adres_ksiazki=PobierzParametr("pobierz pełną nazwę książki"); local czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu=parametry_modul.CzyTak(pobierz_nazwa_artykulu); local czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki=parametry_modul.CzyTak(pobierz_adres_ksiazki); if(czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu and not czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki)then return ((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and "/" or "")..nazwa_artykulu; elseif(not czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu and czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki)then return ((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; elseif(czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu and czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki)then return "(błąd)"; end; local nazwa_strony=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and "/" or "")..nazwa_artykulu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); if(nazwa_strony==nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"]())then local blad_modul=require("Module:Błąd"); return blad_modul.error{args={[1]="Próbowano załadować bieżącą stronę.",},}; end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local szablon=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(nazwa_strony); local zawartosc=frame:expandTemplate{title=szablon,args={},}; --Tworzenie ramek div-- local divramka=mw.html.create('div'); divramka:addClass('artykułsubst'); local poddivramka=mw.html.create('div'); poddivramka:wikitext(nazwa_strony); poddivramka:addClass("adres"); poddivramka:css("display","none"); divramka:node(poddivramka); local divzawartosc=mw.html.create('div'); divzawartosc:addClass("zawartość"); divzawartosc:css("display","block"); divzawartosc:wikitext(zawartosc); divramka:node(divzawartosc) --Zwracanie ramki div-- return tostring(divramka:allDone()); end; p["KsiążkaSubst"] = function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa_przestrzeni_nazw=PobierzParametr("nazwa przestrzeni nazw"); local nazwa_jednostki=PobierzParametr("nazwa jednostki"); if((not nazwa_przestrzeni_nazw)and(not nazwa_jednostki))then local str=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["KsiążkaSubst"]; if(str)then str=frame:preprocess(str); return str; end; return nil; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local tabela_nazw={}; local pelnanazwastrony=(nazwa_przestrzeni_nazw or nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nil,tabela_nazwy))..":"..(nazwa_jednostki or nazwy_modul["NAZWASTRONY"](nil,tabela_nazwy)); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeniKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and ksiazkowe_modul["NazwaTytułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw) or ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local str=((((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["KsiążkaSubstInneRozdział"]or{})[nazwa_przestrzeni]or{})[nazwa_przestrzeni_ksiazki]or{})[nazwa_ksiazki]or{})[nazwa_artykulu]; if(str)then str=frame:preprocess(str); return str; end; local str=(((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["KsiążkaSubstInne"]or{})[nazwa_przestrzeni]or{})[nazwa_przestrzeni_ksiazki]or{})[nazwa_ksiazki]; if(str)then str=frame:preprocess(str); return str; end; return nil; end; p["StronaSubst"] = function(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=parametry_modul.PobierzArgsParametry(frame,true); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa_przestrzeni_nazw=PobierzParametr("nazwa przestrzeni nazw"); local nazwa_jednostki=PobierzParametr("nazwa jednostki"); local tab_stronasubst; if((not nazwa_przestrzeni_nazw)and(not nazwa_jednostki))then tab_stronasubst=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["StronaSubst"]; if(not tab_stronasubst)then return;end; else local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local tabela_nazw={}; local pelnanazwastrony=(nazwa_przestrzeni_nazw or nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nil,tabela_nazwy))..":"..(nazwa_jednostki or nazwy_modul["NAZWASTRONY"](nil,tabela_nazwy)); local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeniKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and ksiazkowe_modul["NazwaTytułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw) or ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); tab_stronasubst=(((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["StronaSubstInne"] or {})[nazwa_przestrzeni]or{})[nazwa_przestrzeni_ksiazki]or{})[nazwa_ksiazki]; if(not tab_stronasubst)then return;end; end; local pierwszy=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=args[1],["wewnątrz"]="tak",}; local tab_strona=tab_stronasubst[pierwszy]; if(not tab_strona)then return;end; local link=args["link"]; local czy_link=parametry_modul.CzyTak(link); local stronasubst=tab_strona[(czy_link and "tak" or "")]; stronasubst=frame:preprocess(stronasubst); return stronasubst; end; p["CzyStronęNumerować"] = function(frame) local strona=frame.args[1]; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); strona=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](strona); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); if(strona==pudelko_modul["Strona główna tego projektu"](frame))then return; end; if(strona==pudelko_modul["Strona główna dla dzieci tego projektu"](frame))then return; end; if(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Strona główna/"))then return; end; local zbiory={ ["Szablon:Nowe podręczniki miesiąca/Zwycięzca"]=true, ["Wikibooks:Polecane książki"]=true, ["Szablon:Wyróżnienia książek miesiąca/Wyróżniony"]=true, } if(zbiory[strona])then return; end; if(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Polecane książki/") or(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Nowe podręczniki miesiąca/")) or(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Wyróżnienia książek miesiąca/")) )then return; end; return "tak"; end; function p.HNumer(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local p=parametry_modul.PobierzFrameEwentualnieParent(frame); if((not p) or (not p.args[1]))then local blad_module=require("Module:Błąd"); local frame2=p:newChild{args={[1]="Podano złe parametry w szablonie: [[Szablon:HLiczba]].",["tag"]="span",},} blad_module.error(frame2); return; end; local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local naglowek,licznik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(p.args[1]); if(licznik>6)then local id=p.args["id"]; local styl=p.args["styl"]; local klasa=p.args["klasa"]; local atrybuty=p.args["atrybuty"]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); return "<h6"..(parametry_modul.CzyTak(id)and " id=\""..id.."\"" or "") ..(parametry_modul.CzyTak(styl)and " style=\""..styl.."\"" or "") .." class=\"mw-hnumber mw-hnumber-"..licznik..((parametry_modul.CzyTak(klasa)) and (" "..klasa) or "").."\"" ..(parametry_modul.CzyTak(atrybuty)and " "..atrybuty or "") ..">"..naglowek.."</h6>"; elseif(licznik<1)then local blad_module=require("Module:Błąd"); return blad_module.error{args={[1]="Nie podano nagłówka w szablonie: [[Szablon:HLiczba]].",["tag"]="strong",},}; else local id=p.args["id"]; local styl=p.args["styl"]; local klasa=p.args["klasa"]; local atrybuty=p.args["atrybuty"]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); return "<h"..licznik..(parametry_modul.CzyTak(id)and " id=\""..id.."\"" or "") ..(parametry_modul.CzyTak(styl)and " style=\""..styl.."\"" or "") ..((parametry_modul.CzyTak(klasa)) and " class=\""..klasa.."\"" or "") ..(parametry_modul.CzyTak(atrybuty)and " "..atrybuty or "")..">"..naglowek.."</h"..licznik..">"; end; end; function p.TOC(frame,czy_rozciagnij,gdy_pusty_spis_tresci) local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local html_modul=require("Module:Html"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local uzyskana_nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local uzyskana_nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local uzyskana_nazwa_artykulu=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local pelna_nazwa_strony=((uzyskana_nazwa_przestrzeni~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni..":") or "")..((uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..uzyskana_nazwa_ksiazki..((uzyskana_nazwa_artykulu~="")and ("/"..uzyskana_nazwa_artykulu) or ""); local args=parametry_modul.PobierzArgsParametry(frame,true); local nazwa_ksiazki;local nazwa_artykulu; if(args[1])then nazwa_artykulu=args[1]; nazwa_artykulu=html_modul.DecodeHtml(nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_artykulu=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_artykulu,[2]="",}; end; if(args[2])then nazwa_ksiazki=args[2]; nazwa_ksiazki=html_modul.DecodeHtml(nazwa_ksiazki,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_ksiazki=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_ksiazki,[2]=pelna_nazwa_strony,}; end; local nazwa_artykulu=parametry_modul.CzyTak(nazwa_artykulu) and nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](pelna_nazwa_strony); local czy_nazwa_ksiazki=parametry_modul.CzyTak(nazwa_ksiazki); local podana_nazwa_przestrzeni_nazw=czy_nazwa_ksiazki and (nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa_ksiazki)) or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](pelna_nazwa_strony); local podana_nazwa_jednostki=czy_nazwa_ksiazki and (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](nazwa_ksiazki)..((nazwa_artykulu~="")and ("/"..nazwa_artykulu) or "")) or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułu"](pelna_nazwa_strony); local args_nowe={ ["nazwa przestrzeni nazw"] = podana_nazwa_przestrzeni_nazw, ["nazwa jednostki"] = podana_nazwa_jednostki, }; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu{args=args_nowe}; stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu{args=args_nowe}; local spis,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni_ksiazki,tab_lista_artykulow_w_ksiazce,tab_lista_zmiennych_w_artykule=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu{args=args_nowe}; local self_zmienna,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:Self(); if((not tab_lista_zmiennych_w_artykule)and(not tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.TOC_StronaZbiorcza))then local blad_modul=require("Module:Błąd"); return blad_modul.error{tab="span",tekst="Nie znalazłem takiej książki."}; end; local czy_nie_aktualny=( (self_zmienna.nazwa_przestrzeni_podana~=self_zmienna.nazwa_przestrzeni) or(self_zmienna.nazwa_przestrzeni_woluminu_podana~=self_zmienna.nazwa_przestrzeni_woluminu) or(self_zmienna.nazwa_woluminu_podana~=self_zmienna.nazwa_woluminu) or (self_zmienna.nazwa_podstrony_woluminu_podana~=self_zmienna.nazwa_podstrony_woluminu) ); local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); if ((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.TOC_StronaZbiorcza)or(tab_lista_zmiennych_w_artykule and tab_lista_zmiennych_w_artykule.TOC or nil)) then local spis_tresci_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.TOC(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.TOC_StronaZbiorcza or tab_lista_zmiennych_w_artykule.TOC, czy_nie_aktualny,czy_rozciagnij); return spis_tresci_artykulu; elseif(not gdy_pusty_spis_tresci)then local spis_tresci_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.TOC(frame,nil,czy_nie_aktualny,czy_rozciagnij); return spis_tresci_artykulu; end; end; p["WykazModułówKsiążki"]=function(frame,czy_rozciagnij) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return nil;end; local self_zmienna=stronicowyparser_potrzebne_modul:Self(); local nazwa_ksiazki=self_zmienna.nazwa_woluminu; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=self_zmienna.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_przestrzeni=self_zmienna.nazwa_przestrzeni; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local spis_ksiazkowy=parametry_modul.CzyTak(frame.args["spis książkowy"]); local spis_rzeczy=parametry_modul.CzyTak(frame.args["spis rzeczy"]); local tylko_naglowki=parametry_modul.CzyTak(frame.args["nagłówki"]); local artykul=frame.args["artykuł"]; local wysokosc=frame.args["wysokość"]; local szerokosc=frame.args["szerokość"]; local wykaz_modulow_w_liscie=""; local czy_spis_tresci=nil; local i=1; local czy_spisy=nil; for m,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do local czy_nienilowy_rozdzial=tab_lista[1][2][1]; local poziom_rozdzialu=czy_nienilowy_rozdzial or 0; if((artykul)and(poziom_rozdzialu==1))then if(((m==1)and(not czy_spisy))or((m>1)and(czy_spisy)))then local spis=tab_lista[1]["spis"]; if(spis)then if(not czy_spis_tresci)then local spis_tresci_dany=spis[1]; czy_spis_tresci=(artykul==spis_tresci_dany); czy_spisy=true; else break; end; else local dodatkowe=tab_lista[1]["dodatkowe"]; if(dodatkowe)then break; end; end; end; end; if((not artykul)or((artykul)and((not czy_spisy)or((czy_spisy)and(czy_spis_tresci)))))then if(tab_lista[2])then for _,tab_pozycja in ipairs(tab_lista[2])do local sformatowana_nazwa_artykulu; if(type(tab_pozycja[1])~="table")then sformatowana_nazwa_artykulu=mw.ustring.gsub(tab_pozycja[1],"_"," "); else sformatowana_nazwa_artykulu=mw.ustring.gsub(tab_pozycja[1][1],"_"," "); end; local id=tab_pozycja[4] if(not tylko_naglowki or id)then if(not spis_ksiazkowy)then wykaz_modulow_w_liscie=((wykaz_modulow_w_liscie~="") and (wykaz_modulow_w_liscie.."\n") or "")..'<li>[['..((not spis_rzeczy or not id)and (((nazwa_przestrzeni~="")and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki.."/") or "#")..sformatowana_nazwa_artykulu.."|<span class=\"tocnumber\">"..i.."</span><span class=\"toctext\">"..sformatowana_nazwa_artykulu..'</span>]]</li>'; else wykaz_modulow_w_liscie=((wykaz_modulow_w_liscie~="") and (wykaz_modulow_w_liscie.."\n") or "")..'{{SpisZw||[['..((not spis_rzeczy or not id)and (((nazwa_przestrzeni~="")and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki.."/") or "#")..sformatowana_nazwa_artykulu.."|"..sformatowana_nazwa_artykulu.."]]|"..i.."|100%}}"; end; i=i+1; end; end; end; end; end; if(wykaz_modulow_w_liscie=="")then return nil;end; if(not spis_ksiazkowy)then wykaz_modulow_w_liscie="<ul>"..wykaz_modulow_w_liscie.."</ul>"; wykaz_modulow_w_liscie='<div class="toc_ogólnie_spis toc_wykaz" style="width:100%;max-height:25rem;overflow:auto;">'..wykaz_modulow_w_liscie.."</div>"; wykaz_modulow_w_liscie='{{Tabela nawigacyjna|styl=width:'..(czy_rozciagnij and "100%" or (szerokosc or "auto"))..';max-width:100%;font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;|tytuł=<div style="font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;text-align:left;white-space:nowrap;">Wykaz modułów w książce</div>|spis='..wykaz_modulow_w_liscie..'|funkcja=UkrytaWikitabelowaListaMenu}}'; else wykaz_modulow_w_liscie="<div class=\"toc_wykaz mw-overflow-y\" style=\""..(wysokosc and ("max-height:"..wysokosc..";overflow:auto;") or "").."border:solid #aaa 1px;padding:0.625rem;width:"..(czy_rozciagnij and "100%" or (szerokosc or "auto"))..";max-width:100%;box-sizing:border-box;background-color:white;\">"..wykaz_modulow_w_liscie.."</div>"; end; local rozwiniety_wikikod=frame:preprocess(wykaz_modulow_w_liscie); return rozwiniety_wikikod; end; p["NazwaAktualnyModuł"]=function() local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local nazwy_np_modul=mw.loadData('Moduł:Nazwy/Np'); local nazwa_artykulu=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; if(nazwa_artykulu==nil)then return "[["..nazwy_np_modul.Category..": Nie można wygenerować nazwy strony]]"; else return nazwa_artykulu; end; end; p["WstępDoLicencji"]=function(frame) local element_licencji_1='<strong>Autor:</strong> '..frame.args[1]..'<BR>'; local element_licencji_2; if((frame.args[2]~='')and(frame.args[2]~=nil))then element_licencji_2=frame.args[2]..'<BR>'; end; local element_licencji_3; if((frame.args[3]~='')and(frame.args[3]~=nil))then element_licencji_3='<strong>Email:</strong> '..frame.args[3]..'<BR>'; end; local element_licencji_4; if((frame.args[4]~='')and(frame.args[4]~=nil))then element_licencji_4='<strong>Dotyczy:</strong> '..frame.args[4].."<BR>"; else element_licencji_4='<strong>Dotyczy:</strong> książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.<BR>'; end; local element_licencji_5; if((frame.args[5]~='')and(frame.args[5]~=nil))then element_licencji_5=frame.args[5].."<BR>"; else element_licencji_5='Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.<BR>'; end; local element_licencji_6; if((frame.args[6]~='')and(frame.args[6]~=nil))then element_licencji_6='<strong>Umowa prawna:</strong> '..frame.args[6]..'<BR>'; else element_licencji_6='<strong>Umowa prawna:</strong> [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pl Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń].<BR>'; end; local element_licencji_7; if((frame.args[7]~='')and(frame.args[7]~=nil))then element_licencji_7=frame.args[7].."<BR>"; else element_licencji_7='Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet [https://pl.wikibooks.org Wikibooks]) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.<BR>'; end; local licencja=element_licencji_1..((element_licencji_2)and element_licencji_2 or "")..((element_licencji_3)and element_licencji_3 or "") ..element_licencji_4..element_licencji_5..element_licencji_6..element_licencji_7; return licencja; end; function p.Licencja(frame,czy_rozciagnij) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local menu_z_licencja; local nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local licencja=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni][nazwa_przestrzeni_ksiazki][nazwa_ksiazki].licencja; if(licencja)then if(licencja[1])then local frame={}; frame.args={licencja[1],licencja[2],licencja[3],licencja[4],licencja[5],licencja[6],licencja[7]}; local ramka_z_licencja='<div style="margin-left:0px;padding:0.1875rem;width:100%;height:auto;box-sizing:border-box;word-break:break-word;">'..p["WstępDoLicencji"](frame)..'</div>'; menu_z_licencja='{{Tabela nawigacyjna|styl=width:'..(czy_rozciagnij and "100%" or "auto")..';font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;|tytuł=<div style="font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;text-align:left;white-space:nowrap;">Licencja</div>|spis='..ramka_z_licencja..'|funkcja=PokazanaWikitabelowaListaMenu}}'; else return nil; end; local frame=mw.getCurrentFrame(); local rozwiniety_wikikod=frame:preprocess(menu_z_licencja); return rozwiniety_wikikod; else return nil; end; end; function p.Autor(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local licencja=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni][nazwa_przestrzeni_ksiazki][nazwa_ksiazki].licencja; if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja)then if(licencja and licencja[1])then return licencja[1]; end; end; end; p["NazwaLicencjaWykazSpisTreściModułuKsiążki"]=function(frame) local prawe_menu=""; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_rozciagnij=parametry_modul.CzyTak(frame.args["rozciągnij"]) if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[1]))then prawe_menu='<div style="margin-top:0.3125rem;font-size:1.9em;line-height:1.5625rem;text-align:left;">'..p["NazwaAktualnyModuł"]()..'</div><hr class=\"pierwsza_strona_spis_treści-hr\"/>'; end; if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[2]))then local licencja=p.Licencja(frame,czy_rozciagnij); if(licencja~=nil)then prawe_menu=prawe_menu..licencja; else local obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local uchwyt_strony=mw.title.getCurrentTitle(); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local nazwa_przestrzeni_nazw_strony=require("Module:Nazwy")["NAZWAPRZESTRZENI"](); local element_zdania_kategorii=(nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Main)and "na stronach głównych, książek" or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikijunior)and "na stronach głównych, książek dla dzieci" or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.User)and "na stronach głównych, książek użytkowników" or((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikibooks)and "na stronach głównych, książek brudnopisu projektu" or "na stronach głównych, publikacji"))); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local kategoria_braku_licencji=(not tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.korzystane_strona_glowna_nie_istnieje)and"[["..nazwy_np_modul.Category..": Brak licencji, "..element_zdania_kategorii.."]]" or ""; prawe_menu=prawe_menu..kategoria_braku_licencji; end; end; if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[3]))then local wykaz_artykulow=p["WykazModułówKsiążki"](frame,czy_rozciagnij); if(wykaz_artykulow~=nil)then prawe_menu=prawe_menu.."<hr class=\"pierwsza_strona_spis_treści-hr\"/>"..wykaz_artykulow; end; end; if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[4]))then local spis_tresci=p.TOC(frame,czy_rozciagnij,true); if(spis_tresci~=nil)then prawe_menu=prawe_menu.."<hr class=\"pierwsza_strona_spis_treści-hr\"/><div class=\"pierwsza_strona_spis_treści\">"..spis_tresci.."</div>"; end; end; local wysokosc=frame.args["wysokość"]; return "<div style=\"padding:0.3125rem;border: solid #aaa 1px;background-color:white;box-sizing:border-box;width:43.75rem;\"><div class=\"pierwsza_strona mw-overflow-y\" style=\"max-height:"..(wysokosc or "100%")..";overflow:auto;width:100%;height:100%;box-sizing:border-box;\"><div style=\"display:flex;flex-direction:column;width:auto;height:auto;box-sizing:border-box;\">"..prawe_menu.."</div></div></div>"; end; p["SpisTreści"]=function(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=parametry_modul.PobierzArgsParametry(frame); local nazwa_artykulu=args["artykuł"] or args[1] or "Przykładowy artykuł"; local nazwa_ksiazki=args["książka"] or args[2]; local czy_analiza=parametry_modul.CzyTak(args["analiza"]); local czy_specjalne=parametry_modul.CzyTak(args["specjalne"]); local czy_parser=parametry_modul.CzyTak(args["parser"]); local czy_dokumentacja=parametry_modul.CzyTak(args["dokumentacja"]); local czy_math=parametry_modul.CzyTak(args["wzory"]); local czy_math_analiza=parametry_modul.CzyTak(args["wzory-analiza"]); local czy_bez_przypisow=parametry_modul.CzyTak(args["bez przypisów"]); czy_dokumentacja=czy_dokumentacja or czy_analiza or czy_specjalne or czy_parser; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; if(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_ksiazki))then local uzyskana_nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local uzyskana_nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; nazwa_ksiazki=((uzyskana_nazwa_przestrzeni~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni..":") or "")..((uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..uzyskana_nazwa_ksiazki; end; local brak=(nazwa_artykulu and mw.ustring.match(nazwa_artykulu,"[|<>{}%[%]]") or nil) or (nazwa_ksiazki and mw.ustring.match(nazwa_ksiazki,"[|<>{}%[%]]") or nil); if(brak~=nil)then local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local nazwa_przestrzeni_nazw_strony=require("Module:Nazwy")["NAZWAPRZESTRZENI"](); local element_zdania_kategorii=(nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Main)and "artykułów," or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikijunior)and "artykułów dla dzieci," or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.User)and "stron użytkowników," or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikibooks)and "stron brudnopisu projektu," or "stron,"))); return "[["..nazwy_np_modul.Category..":Nazwy "..element_zdania_kategorii.." w spisach treści, zawierają niedozwolone znaki]]"; end; local html_modul=require("Module:Html"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_ksiazki=html_modul.DecodeHtml(nazwa_ksiazki,true); nazwa_ksiazki=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_ksiazki,[2]=nazwa_modulu,}; local nazwa_artykulu=html_modul.DecodeHtml(nazwa_artykulu,true); nazwa_artykulu=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_artykulu,[2]="",}; local pelna_nazwa_strony=((not nazwa_artykulu) or (nazwa_artykulu==""))and nazwa_ksiazki or nazwa_ksiazki.."/"..nazwa_artykulu; local strona=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(pelna_nazwa_strony); if(strona)then pelna_nazwa_strony=strona; nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony); else nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony); end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony; if((czy_analiza)or(czy_parser))then tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony=p.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(pelna_nazwa_strony,false); else tekst_artykulu=p.SpreparowanyWikikodStrony(pelna_nazwa_strony,not czy_dokumentacja); if(tekst_artykulu)then if(czy_dokumentacja)then tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony=szablonowe_modul:UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(pelna_nazwa_strony); else tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany=szablonowe_modul:KodujWzoryMatematyczneTekstu(tekst_artykulu); if((not czy_math)and(not czy_math_analiza))then tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany=nil; end; end; end; end; local nazwa=args["nazwa"] or args[3]; local nazwa_strony_artykulu=parametry_modul.CzyTak(nazwa) and nazwa or nazwa_artykulu; local dodatek=args["dodatek"] or args[4]; local poziom=tonumber(args["poziom"]) or 6; if(not tekst_artykulu)then if(nazwa_artykulu~="")then return "\n"..mw.ustring.rep("=",poziom).."<span style=\"color:red\">[["..pelna_nazwa_strony.."|"..nazwa_strony_artykulu.."]]</span>"..mw.ustring.rep("=",poziom).."\n"; else local blad_modul=require("Module:Błąd"); return blad_modul.error{args={[1]="Wywołano szablon z argumentem pierwszym pustym.",tag="span",}}; end; else local twor_spisu_tresci="[["..pelna_nazwa_strony.."|"..nazwa_strony_artykulu.."]]"..(((dodatek)and(dodatek~="")) and (" "..dodatek) or ""); twor_spisu_tresci=mw.ustring.rep("=",poziom)..twor_spisu_tresci..mw.ustring.rep("=",poziom).."\n"; --- local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=nil; if(((czy_dokumentacja)and((czy_specjalne)or(czy_parser)))or((not czy_dokumentacja)and(czy_math_analiza)))then tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=szablonowe_modul:KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(tekst_artykulu,pelna_nazwa_strony,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany); end; local stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul=require("Module:StronicowyParser/GłównaFunkcjaZbieraniaDanychStron"); local ulozenia_w_menu_spisu_tresci=stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul:SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(tekst_artykulu,pelna_nazwa_strony,nil,nil,nil, tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni, tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu, tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu, nazwa_artykulu, "",tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,nil,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,nil,true); local atrybuty="style=\"margin-left:20px\""; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local toc=stronicowyparser_potrzebne_modul.TOCSilnik(frame,ulozenia_w_menu_spisu_tresci, atrybuty,czy_bez_przypisow); local limit=args["limit"]; local czy_limit=parametry_modul.CzyTak(limit); toc=toc and frame:preprocess(toc) or nil; return '<div class="toc_ogólnie_spis toc_artykuł toclimit '..(czy_limit and ("toclimit-"..limit) or "")..'">\n'..twor_spisu_tresci..(toc and toc or "")..'</div>'; end; end; local function IteratorFunkcja() local obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tabela_wypowiedzi=obiekty_modul.tablica_obiektowych_form; local licznik=1; return function() local tabela_obiektu=tabela_wypowiedzi[licznik]; if(not tabela_obiektu)then return nil;end; local wartosc1=tabela_obiektu[1]; local wartosc2=tabela_obiektu[4]; licznik=licznik+1; return wartosc1,wartosc2; end; end; local iterator=IteratorFunkcja(); for nazwa_obiektu,czesc_nazwy_funkcji in iterator do p["Numer"..czesc_nazwy_funkcji] = function(frame) local stronicowyparser_numerobiektu_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerObiektu"); return stronicowyparser_numerobiektu_modul.NumerObiektu(frame,nazwa_obiektu); end; end; p["AnalizujSzablonemStronicowymArtykuł"]=function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; return ""; end; function p.formatowanie() local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; return tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie; end; function p.StronaZeSzablonemStronaStart() local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; return tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start; end; function p.WstawKategorie(frame) local stronicowyparser_kategorie_modul=require("Module:StronicowyParser/Kategorie"); return stronicowyparser_kategorie_modul.WstawKategorie(frame); end; function p.CzyStronaSubst(frame,czy_wymusic) if(czy_wymusic)then local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local spis,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni,tab_lista_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki,tab_lista_artykulow_w_ksiazce,tab_lista_zmiennych_w_artykule=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_zmiennych_w_artykule)then return nil;end; return tab_lista_zmiennych_w_artykule.strona_zbiorcza; end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyStronaSubst"])then return "tak"; end; end; p["CzyArtykułKsiążki"]=function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"])then return "tak"; end; end; return p; 06c2bxy2cdqup8zficfmcbyr5eutgtb 555431 555430 2026-09-10T00:12:14Z Persino 2851 555431 Scribunto text/plain local p = {} function p.SpreparowanyWikikodStrony(nazwa_modulu,dokumentacja,inkludowana) local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); return stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(nil,nazwa_modulu,dokumentacja,inkludowana); end; function p.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,inkludowana) local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); local tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony=stronicowyparser_tekst_modul.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(nil,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,inkludowana,nil); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony; end; p["DaneUkładuAutonawigacji"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); local spis,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni,tab_lista_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki,tab_lista_artykulow_w_ksiazce,tab_lista_zmiennych_w_artykule=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if(not spis)then return nil;end; return tab_lista_artykulow_w_ksiazce.nazwa_bazowego_spisu,tab_lista_artykulow_w_ksiazce.tab_inne_spisy,tab_lista_artykulow_w_ksiazce.dodatkowe_strony_woluminu; end; p["SpisyTreści"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,bez_json) local nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly=p["DaneUkładuAutonawigacji"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); local tabela={}; tabela.spis_tresci=nazwa_glownego_spisu; tabela.inne_spisy=tab_inne_spisy; tabela.dodatkowe_strony_woluminu=dodatkowe_artykuly; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local czy_json=((not bez_json)and(parametry_modul.CzyTak(PobierzParametr("json")))) and true or false; return czy_json and mw.text.jsonEncode(tabela,mw.text.JSON_PRESERVE_KEYS) or tabela; end; p["CzySpisTreści"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local spisy=p["SpisyTreści"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,true); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local artykul=PobierzParametr("artykuł"); ---- if(artykul)then artykul=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=artykul,[2]="tak",}; if((spisy.spis_tresci)and((parametry_modul.TypeTable(spisy.spis_tresci))and((spisy.spis_tresci[1]==artykul)or(spisy.spis_tresci[2]==artykul))or(spisy.spis_tresci==artykul)))then return "tak"; else if((spisy.inne_spisy)and(parametry_modul.TypeTable(spisy.inne_spisy)))then for _,spis_tresci in ipairs(spisy.inne_spisy)do if((parametry_modul.TypeTable(spis_tresci))and((spis_tresci[1]==artykul)or(spis_tresci[2]==artykul))or(spis_tresci==artykul))then return "tak"; end; end; end; end; end; end; p["TekstRozdziałuStrony"]=function(frame) local stronicowyparser_rozdzialy=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); return stronicowyparser_rozdzialy.TekstPoNapisieWprowadzeniaTekstuStrony(frame); end; p["KtóraSekcjaStrony"]=function(frame) local stronicowyparser_rozdzialy=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); return stronicowyparser_rozdzialy.NumerSekcjiStrony(frame); end; p["ZwróćSekcjęNagłówkaStrony"]=function(frame) local stronicowyparser_rozdzialy=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); return stronicowyparser_rozdzialy.ZwracanieSekcjiNapisuWprowadzeniaTekstuStrony(frame); end; p["NastępnyArtykuł"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); --- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); local html_modul=require("Module:Html"); local nazwa_artykulu_bez_naglowka=html_modul["NazwaStronyAdresu"](nazwa_artykulu,true); local nazwa_artykulu=(not naglowek) and nazwa_artykulu_bez_naglowka or nazwa_artykulu; ---- local juz_tak=false; local nadstrona_artykulu=(numer>0) and stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka,numer) or nil; ---- for nazwa_artykulu_w_bazie,nazwa_linku_artykulu_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie in iterator do local nazwa_artykulu_w_bazie2=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(nazwa_artykulu_w_bazie,naglowek); local function Nastepny() if(not nazwa)then return stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana); end; return nazwa_linku_artykulu_w_bazie or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana); end; if(juz_tak)then if(numer>0)then local nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieTylkoNazwyLubTabeliNazwyLinkuStronyWoluminuZTabeliZParametramiOrazIdentyfikatorem(nazwa_artykulu_w_bazie,false); local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie); local nadstrona_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie,numer); if((numer==numer_artykulu_w_bazie)and(nadstrona_artykulu==nadstrona_artykulu_w_bazie))then return Nastepny(); end; else return Nastepny(); end; else if(nazwa_artykulu_w_bazie2==nazwa_artykulu)then juz_tak=true; end; end; end; if(juz_tak)then return ""; else return "(błąd)"; end; end; p["PoprzedniArtykuł"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); --- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); local html_modul=require("Module:Html"); local nazwa_artykulu_bez_naglowka=html_modul["NazwaStronyAdresu"](nazwa_artykulu,true); local nazwa_artykulu=(not naglowek) and nazwa_artykulu_bez_naglowka or nazwa_artykulu; ---- local juz_tak=false; local nadstrona_artykulu=(numer>0) and stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka,numer) or nil; ---- local artykul=""; ---- for nazwa_artykulu_w_bazie,nazwa_linku_artykulu_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie in iterator do local nazwa_artykulu_w_bazie2=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(nazwa_artykulu_w_bazie,naglowek); if(numer>0)then local nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieTylkoNazwyLubTabeliNazwyLinkuStronyWoluminuZTabeliZParametramiOrazIdentyfikatorem(nazwa_artykulu_w_bazie,false); local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie); local nadstrona_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.NazwaNadStrony(nazwa_artykulu_bez_naglowka_w_bazie,numer); if((numer==numer_artykulu_w_bazie)and(nadstrona_artykulu==nadstrona_artykulu_w_bazie))then if(nazwa_artykulu_w_bazie2==nazwa_artykulu)then return artykul; else artykul=(not nazwa) and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana) or (nazwa_linku_artykulu_w_bazie or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana)); end; else if(artykul~="")then return artykul; else artykul=""; end; end; else if(nazwa_artykulu_w_bazie2==nazwa_artykulu)then return artykul; else artykul=(not nazwa) and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana) or (nazwa_linku_artykulu_w_bazie or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(nazwa_artykulu_w_bazie2,pelna_nazwa_ksiazki_w_bazie,przekierowanie_artykulu_w_bazie,naglowek,ksiazka,analizowana)); end; end; end; return "(błąd)"; end; p["PoziomNazwyArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(nazwa_artykulu); end; p["PierwszyArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); for tab_artykul,nazwa_linku,przekierowanie,pelna_nazwa_ksiazki in iterator do local artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(tab_artykul,czy_naglowek); local function PierwszyArtykul() if(not nazwa)then return stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); else return nazwa_linku or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); end; end; if(numer==0)then return PierwszyArtykul(); else local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(artykul); if(numer==numer_artykulu_w_bazie)then return PierwszyArtykul(); end; end; end; return "(błąd)"; end; p["OstatniArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local iterator=stronicowyparser_potrzebne_modul.IteratorPoStronachWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); if (not iterator)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local ostatni_artykul=nil; for tab_artykul,nazwa_linku,przekierowanie,pelna_nazwa_ksiazki in iterator do local artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(tab_artykul,czy_naglowek); local function OstatniArtykul() if(not nazwa)then ostatni_artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); else ostatni_artykul=nazwa_linku or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(artykul,pelna_nazwa_ksiazki,przekierowanie,czy_naglowek,ksiazka,analizowana); end; end; if(numer==0)then OstatniArtykul(); else local numer_artykulu_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.PoziomAdresu(artykul); if(numer==numer_artykulu_w_bazie)then OstatniArtykul(); end; end; end; if(ostatni_artykul)then return ostatni_artykul;end; return "(błąd)"; end; p["PomiędzyNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowyNapisProwadzeniaTekstuBezPierwszegoOrazOstatniegoNapisuSpisuRzeczy(frame); end; p["LosowyNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowyNapisProwadzeniaTekstuWoluminu(frame); end; p["PierwszyNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:PierwszyNapisWprowadzeniaTekstu(frame); end; p["OstatniNagłówek"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:OstatniNapisWprowadzeniaTekstu(frame); end; p["LiczbaNagłówkówSpisu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); return stronicowyparser_potrzebne_modul:LiczbaNapisowaWprowadzeniaTekstu(frame); end; p["PomiędzyArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local val=stronicowyparser_potrzebne_modul:ObliczeniaInformacje(frame); if(not val)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local element=stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowaStronaBezPierwszejOrazOstatniejStronyWoluminu(frame,numer) or nil; if(not element)then return "(błąd)";end; local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_table=parametry_modul.TypeTable(element); if(not nazwa)then return czy_table and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana) or ((not czy_table) and element or "(błąd)");end; return czy_table and (element[2] or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana)) or ((not czy_table) and element or "(błąd)"); end; p["LosowyArtykuł"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local val=stronicowyparser_potrzebne_modul:ObliczeniaInformacje(frame); if(not val)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local analizowana=parametry_modul.CzyTak(args["analizowana"]); local element=stronicowyparser_potrzebne_modul:LosowaStronaWoluminu(frame,numer); if(not element)then return "(błąd)";end; local nazwa=parametry_modul.CzyTak(args["nazwa"]); local czy_table=parametry_modul.TypeTable(element); if(not nazwa)then return czy_table and stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana) or ((not czy_table) and element or "(błąd)");end; return czy_table and (element[2] or stronicowyparser_potrzebne_modul.StronaArtykularnaKompletna(element[1],element[4],element[3],naglowek,ksiazka,analizowana)) or ((not czy_table) and element or "(błąd)"); end; p["SubNazwaNadArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 0; local krok=tonumber(args[2])or 1; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul.SubNazwaNadStrony(nazwa_artykulu,numer,krok); end; p["NazwaNadArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(frame); local numer=tonumber(args[1]) or 1; local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul.SubNazwaNadStrony(nazwa_artykulu,1,numer); end; p["NazwaLinkuArtykułu"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); if(not czy_tabela_artykulu)then local nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(artykul_w_bazie[1],czy_naglowek); if(nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem==nazwa_artykulu)then return artykul_w_bazie[1]; end; else local nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(artykul_w_bazie[1][1],czy_naglowek); if(nazwa_artykulu_z_parametrami_i_naglowkiem==nazwa_artykulu)then return artykul_w_bazie[1][2]; end; end; end; end; end; return "(błąd)"; end; p["LiczbaArtykułówKsiążki"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local tab_artykul=(not naglowek) and {} or nil; local i=0; for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); local nazwa_artykulu=czy_tabela_artykulu and artykul_w_bazie[1][1] or artykul_w_bazie[1]; local artykul=(not naglowek) and stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieTylkoNazwyLubTabeliNazwyLinkuStronyWoluminuZTabeliZParametramiOrazIdentyfikatorem(nazwa_artykulu,false) or nil; if(naglowek or not tab_artykul[artykul])then if(not naglowek)then tab_artykul[artykul]=true; end; i=i+1; end; end; end; end; return i; end; p["LiniaArtykułuKsiążki"]=function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local nazwa_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local czy_analiza=parametry_modul.CzyTak(args["analiza"]); local uzupelniaj_sekcje_artykulow=parametry_modul.CzyTak(args["uzupełniaj sekcje artykułów"]); if(not uzupelniaj_sekcje_artykulow)then for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); local artykul_ksiazki=czy_tabela_artykulu and artykul_w_bazie[1][1] or artykul_w_bazie[1]; artykul_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(artykul_ksiazki,czy_naglowek); if(artykul_ksiazki==nazwa_artykulu)then if(not czy_analiza)then return artykul_w_bazie[3]; else local function AnalizaLiniiArtykolow() local czy_spis_tresci=mw.ustring.match(artykul_w_bazie[3],"({{%s*[Ss]pisTreści%s*|[^{}]*}})"); if(czy_spis_tresci)then local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_szablony,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](czy_spis_tresci); local nazwa_artykulu=parametry_szablony[1]; ------ local nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local pelna_nazwa_strony=(nazwa_artykulu=="")and nazwa_ksiazki or nazwa_ksiazki.."/"..nazwa_artykulu; local link= "[["..pelna_nazwa_strony.."|"..nazwa_artykulu.."]]"; local linia2,_=mw.ustring.gsub(artykul_w_bazie[3],"({{%s*[Ss]pisTreści%s*|[^{}]*}})",link); return linia2; else local linia2=artykul_w_bazie[3]; local czy_spis_tresci=mw.ustring.match(linia2,"({{%s*[Ss]ekcja[%s_]+referencyjna%s*|[^{}]*}})") or mw.ustring.match(linia2,"({{%s*[Ss]r%s*|[^{}]*}})"); if(czy_spis_tresci)then local linia2,_=mw.ustring.gsub(linia2,"({{%s*[Ss]ekcja[%s_]+referencyjna%s*|)","%1astandardowo=tak|"); local linia2,_=mw.ustring.gsub(linia2,"({{%s*[Ss]r%s*|)","%1astandardowo=tak|"); return linia2; else local nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local function adresuj_linki(a,b) return "[["..nazwa_ksiazki.."/"..a..(b or ("|"..a)).."]]"; end; local artykul=mw.ustring.gsub(artykul_w_bazie[3],"%[%[%s*/([^%[%]|]-)/*%s*(|.*)%]%]",adresuj_linki); artykul=mw.ustring.gsub(artykul,"%[%[%s*/([^%[%]|]-)/*%s*%]%]",adresuj_linki); return artykul; end; end; end; return AnalizaLiniiArtykolow(); end end; end; end; end; else if(mw.ustring.match(nazwa_artykulu,"^[^#]*#(.+)$"))then local naglowek=mw.ustring.match(nazwa_artykulu,"^[^#]*#(.+)$"); if(parametry_modul["CzyTakCiąg"](naglowek))then local pelna_nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame) return "[["..pelna_nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="")and("/"..nazwa_artykulu) or "").."|"..naglowek.."]]"; end; end; end; end; p["AktualnaKsiążka"]=function(frame,__error) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame) or ((not __error)and "(błąd)" or nil); end; p["AktualnaKsiążkaArtykułu"]=function(frame,__error) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local ksiazka=parametry_modul.CzyTak(args["książka"]); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); ---- local czy_naglowek=parametry_modul.CzyTak(args["nagłówek"]); local nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local nazwa_artykulu_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame); ---- for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do if(tab_lista[2])then for _,artykul_w_bazie in ipairs(tab_lista[2])do local czy_tabela_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie[1]); local nazwa_artykulu_dana=czy_tabela_artykulu and artykul_w_bazie[1][1] or artykul_w_bazie[1]; nazwa_artykulu_dana=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(nazwa_artykulu_dana,czy_naglowek); if(nazwa_artykulu_ksiazki==nazwa_artykulu_dana)then if(not czy_tabela_artykulu)then return nazwa_ksiazki; else local pelna_nazwa_ksiazki=artykul_w_bazie[1][4]; if((pelna_nazwa_ksiazki)and(pelna_nazwa_ksiazki[4]))then return nazwy_modul["NazwaModułu"](pelna_nazwa_ksiazki[1],pelna_nazwa_ksiazki[2],pelna_nazwa_ksiazki[3],"") else return nazwa_ksiazki; end; end; end; end; end; end; return ((not __error)and "(błąd)" or nil) end; p["NazwaAktualnyArtykuł"]=function(frame,__error) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); return stronicowyparser_potrzebne_modul:NazwaPodStronyWoluminu(frame) or ((not __error)and "(błąd)" or nil); end; p["PobierzNumerNagłówka"]=function(frame) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaNagłówkówKsiążek"); return stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNumerNagłówka"](frame); end; p["PobierzNazwęNagłówka"]=function(frame) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaNagłówkówKsiążek"); return stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNazwęNagłówka"](frame); end; p["PobierzNumerArtykułu"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek"); local wartosc,_=stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNumerArtykułu"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); return wartosc; end; p["PobierzNazwęArtykułu"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek"); local wartosc,_=stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzNazwęArtykułu"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki); return wartosc; end; p["PobierzDaneKsiążki"]=function(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,kodowanie_nie_json) local stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek"); return stronicowyparser_numer_lub_nazwa_artykulow_ksiazek_modul["PobierzDaneKsiążki"](frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,kodowanie_nie_json); end; p["ListaNagłówkówKsiążki"] = function(frame) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return "(błąd)";end; local stronicowyparser_obiekty=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local odczyt_tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu=stronicowyparser_obiekty.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu; local tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu=parametry_modul["KopiujTabelęElementów"](odczyt_tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu); setmetatable(tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu,parametry_modul.metatablica_dla_elementowych_miar_tablicy_wedle_niewielkich_liter); local czy_sa_rozdzialy=nil; local pelna_nazwa_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:KompletnaNazwaWoluminu(frame); local args=stronicowyparser_potrzebne_modul:Args(); local wikikod=""; local linki_modul=require("Module:Linki"); for _,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do local rozdzial=tab_lista[1][1]; local numer_rozdzialu=tab_lista[1][2][1]; local czy_centrowany=tab_lista[1][2][4]; if((numer_rozdzialu)and(numer_rozdzialu>0)and(not czy_centrowany))then if(not tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu[rozdzial])then wikikod=((wikikod~="")and (wikikod.." &nbsp;—&nbsp; ") or "")..linki_modul["Link wewnętrzny"]{["strona"]=pelna_nazwa_ksiazki,["nagłówek"]=rozdzial,["nazwa"]=rozdzial,["bez znaczników"]=args["bez znaczników"],["bez przetwarzania"]=args["bez przetwarzania"],}; end; czy_sa_rozdzialy=true; end; end; if(not czy_sa_rozdzialy)then return "(błąd: brak rozdziałów)";end; return wikikod; end; p["ArtykułSubst"] = function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame,true); local pobierz_nazwa_artykulu=PobierzParametr("pobierz pełną nazwę artykułu"); local pobierz_adres_ksiazki=PobierzParametr("pobierz pełną nazwę książki"); local czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu=parametry_modul.CzyTak(pobierz_nazwa_artykulu); local czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki=parametry_modul.CzyTak(pobierz_adres_ksiazki); if(czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu and not czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki)then return ((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and "/" or "")..nazwa_artykulu; elseif(not czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu and czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki)then return ((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; elseif(czy_pobierz_pelna_nazwa_artykulu and czy_pobierz_pelna_nazwa_ksiazki)then return "(błąd)"; end; local nazwa_strony=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and "/" or "")..nazwa_artykulu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); if(nazwa_strony==nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"]())then local blad_modul=require("Module:Błąd"); return blad_modul.error{args={[1]="Próbowano załadować bieżącą stronę.",},}; end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local szablon=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(nazwa_strony); local zawartosc=frame:expandTemplate{title=szablon,args={},}; --Tworzenie ramek div-- local divramka=mw.html.create('div'); divramka:addClass('artykułsubst'); local poddivramka=mw.html.create('div'); poddivramka:wikitext(nazwa_strony); poddivramka:addClass("adres"); poddivramka:css("display","none"); divramka:node(poddivramka); local divzawartosc=mw.html.create('div'); divzawartosc:addClass("zawartość"); divzawartosc:css("display","block"); divzawartosc:wikitext(zawartosc); divramka:node(divzawartosc) --Zwracanie ramki div-- return tostring(divramka:allDone()); end; p["KsiążkaSubst"] = function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa_przestrzeni_nazw=PobierzParametr("nazwa przestrzeni nazw"); local nazwa_jednostki=PobierzParametr("nazwa jednostki"); if((not nazwa_przestrzeni_nazw)and(not nazwa_jednostki))then local str=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["KsiążkaSubst"]; if(str)then str=frame:preprocess(str); return str; end; return nil; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local tabela_nazw={}; local pelnanazwastrony=(nazwa_przestrzeni_nazw or nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nil,tabela_nazwy))..":"..(nazwa_jednostki or nazwy_modul["NAZWASTRONY"](nil,tabela_nazwy)); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeniKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and ksiazkowe_modul["NazwaTytułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw) or ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local str=((((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["KsiążkaSubstInneRozdział"]or{})[nazwa_przestrzeni]or{})[nazwa_przestrzeni_ksiazki]or{})[nazwa_ksiazki]or{})[nazwa_artykulu]; if(str)then str=frame:preprocess(str); return str; end; local str=(((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["KsiążkaSubstInne"]or{})[nazwa_przestrzeni]or{})[nazwa_przestrzeni_ksiazki]or{})[nazwa_ksiazki]; if(str)then str=frame:preprocess(str); return str; end; return nil; end; p["StronaSubst"] = function(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=parametry_modul.PobierzArgsParametry(frame,true); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa_przestrzeni_nazw=PobierzParametr("nazwa przestrzeni nazw"); local nazwa_jednostki=PobierzParametr("nazwa jednostki"); local tab_stronasubst; if((not nazwa_przestrzeni_nazw)and(not nazwa_jednostki))then tab_stronasubst=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["StronaSubst"]; if(not tab_stronasubst)then return;end; else local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local tabela_nazw={}; local pelnanazwastrony=(nazwa_przestrzeni_nazw or nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nil,tabela_nazwy))..":"..(nazwa_jednostki or nazwy_modul["NAZWASTRONY"](nil,tabela_nazwy)); local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeniKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and ksiazkowe_modul["NazwaTytułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw) or ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](pelnanazwastrony,tabela_nazw); tab_stronasubst=(((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["StronaSubstInne"] or {})[nazwa_przestrzeni]or{})[nazwa_przestrzeni_ksiazki]or{})[nazwa_ksiazki]; if(not tab_stronasubst)then return;end; end; local pierwszy=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=args[1],["wewnątrz"]="tak",}; local tab_strona=tab_stronasubst[pierwszy]; if(not tab_strona)then return;end; local link=args["link"]; local czy_link=parametry_modul.CzyTak(link); local stronasubst=tab_strona[(czy_link and "tak" or "")]; stronasubst=frame:preprocess(stronasubst); return stronasubst; end; p["CzyStronęNumerować"] = function(frame) local strona=frame.args[1]; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); strona=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](strona); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); if(strona==pudelko_modul["Strona główna tego projektu"](frame))then return; end; if(strona==pudelko_modul["Strona główna dla dzieci tego projektu"](frame))then return; end; if(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Strona główna/"))then return; end; local zbiory={ ["Szablon:Nowe podręczniki miesiąca/Zwycięzca"]=true, ["Wikibooks:Polecane książki"]=true, ["Szablon:Wyróżnienia książek miesiąca/Wyróżniony"]=true, } if(zbiory[strona])then return; end; if(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Polecane książki/") or(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Nowe podręczniki miesiąca/")) or(mw.ustring.match(strona,"^Szablon:Wyróżnienia książek miesiąca/")) )then return; end; return "tak"; end; function p.HNumer(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local p=parametry_modul.PobierzFrameEwentualnieParent(frame); if((not p) or (not p.args[1]))then local blad_module=require("Module:Błąd"); local frame2=p:newChild{args={[1]="Podano złe parametry w szablonie: [[Szablon:HLiczba]].",["tag"]="span",},} blad_module.error(frame2); return; end; local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local naglowek,licznik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(p.args[1]); if(licznik>6)then local id=p.args["id"]; local styl=p.args["styl"]; local klasa=p.args["klasa"]; local atrybuty=p.args["atrybuty"]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); return "<h6"..(parametry_modul.CzyTak(id)and " id=\""..id.."\"" or "") ..(parametry_modul.CzyTak(styl)and " style=\""..styl.."\"" or "") .." class=\"mw-hnumber mw-hnumber-"..licznik..((parametry_modul.CzyTak(klasa)) and (" "..klasa) or "").."\"" ..(parametry_modul.CzyTak(atrybuty)and " "..atrybuty or "") ..">"..naglowek.."</h6>"; elseif(licznik<1)then local blad_module=require("Module:Błąd"); return blad_module.error{args={[1]="Nie podano nagłówka w szablonie: [[Szablon:HLiczba]].",["tag"]="strong",},}; else local id=p.args["id"]; local styl=p.args["styl"]; local klasa=p.args["klasa"]; local atrybuty=p.args["atrybuty"]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); return "<h"..licznik..(parametry_modul.CzyTak(id)and " id=\""..id.."\"" or "") ..(parametry_modul.CzyTak(styl)and " style=\""..styl.."\"" or "") ..((parametry_modul.CzyTak(klasa)) and " class=\""..klasa.."\"" or "") ..(parametry_modul.CzyTak(atrybuty)and " "..atrybuty or "")..">"..naglowek.."</h"..licznik..">"; end; end; function p.TOC(frame,czy_rozciagnij,gdy_pusty_spis_tresci) local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local html_modul=require("Module:Html"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local uzyskana_nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local uzyskana_nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local uzyskana_nazwa_artykulu=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local pelna_nazwa_strony=((uzyskana_nazwa_przestrzeni~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni..":") or "")..((uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..uzyskana_nazwa_ksiazki..((uzyskana_nazwa_artykulu~="")and ("/"..uzyskana_nazwa_artykulu) or ""); local args=parametry_modul.PobierzArgsParametry(frame,true); local nazwa_ksiazki;local nazwa_artykulu; if(args[1])then nazwa_artykulu=args[1]; nazwa_artykulu=html_modul.DecodeHtml(nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_artykulu=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_artykulu,[2]="",}; end; if(args[2])then nazwa_ksiazki=args[2]; nazwa_ksiazki=html_modul.DecodeHtml(nazwa_ksiazki,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_ksiazki=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_ksiazki,[2]=pelna_nazwa_strony,}; end; local nazwa_artykulu=parametry_modul.CzyTak(nazwa_artykulu) and nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](pelna_nazwa_strony); local czy_nazwa_ksiazki=parametry_modul.CzyTak(nazwa_ksiazki); local podana_nazwa_przestrzeni_nazw=czy_nazwa_ksiazki and (nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa_ksiazki)) or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](pelna_nazwa_strony); local podana_nazwa_jednostki=czy_nazwa_ksiazki and (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](nazwa_ksiazki)..((nazwa_artykulu~="")and ("/"..nazwa_artykulu) or "")) or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułu"](pelna_nazwa_strony); local args_nowe={ ["nazwa przestrzeni nazw"] = podana_nazwa_przestrzeni_nazw, ["nazwa jednostki"] = podana_nazwa_jednostki, }; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu{args=args_nowe}; stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu{args=args_nowe}; local spis,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni_ksiazki,tab_lista_artykulow_w_ksiazce,tab_lista_zmiennych_w_artykule=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu{args=args_nowe}; local self_zmienna,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_potrzebne_modul:Self(); if((not tab_lista_zmiennych_w_artykule)and(not tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.TOC_StronaZbiorcza))then local blad_modul=require("Module:Błąd"); return blad_modul.error{tab="span",tekst="Nie znalazłem takiej książki."}; end; local czy_nie_aktualny=( (self_zmienna.nazwa_przestrzeni_podana~=self_zmienna.nazwa_przestrzeni) or(self_zmienna.nazwa_przestrzeni_woluminu_podana~=self_zmienna.nazwa_przestrzeni_woluminu) or(self_zmienna.nazwa_woluminu_podana~=self_zmienna.nazwa_woluminu) or (self_zmienna.nazwa_podstrony_woluminu_podana~=self_zmienna.nazwa_podstrony_woluminu) ); local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); if ((tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.TOC_StronaZbiorcza)or(tab_lista_zmiennych_w_artykule and tab_lista_zmiennych_w_artykule.TOC or nil)) then local spis_tresci_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.TOC(frame,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.TOC_StronaZbiorcza or tab_lista_zmiennych_w_artykule.TOC, czy_nie_aktualny,czy_rozciagnij); return spis_tresci_artykulu; elseif(not gdy_pusty_spis_tresci)then local spis_tresci_artykulu=stronicowyparser_potrzebne_modul.TOC(frame,nil,czy_nie_aktualny,czy_rozciagnij); return spis_tresci_artykulu; end; end; p["WykazModułówKsiążki"]=function(frame,czy_rozciagnij) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local tab_lista_artykulow_w_ksiazce=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_artykulow_w_ksiazce)then return nil;end; local self_zmienna=stronicowyparser_potrzebne_modul:Self(); local nazwa_ksiazki=self_zmienna.nazwa_woluminu; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=self_zmienna.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_przestrzeni=self_zmienna.nazwa_przestrzeni; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local spis_ksiazkowy=parametry_modul.CzyTak(frame.args["spis książkowy"]); local spis_rzeczy=parametry_modul.CzyTak(frame.args["spis rzeczy"]); local tylko_naglowki=parametry_modul.CzyTak(frame.args["nagłówki"]); local artykul=frame.args["artykuł"]; local wysokosc=frame.args["wysokość"]; local szerokosc=frame.args["szerokość"]; local wykaz_modulow_w_liscie=""; local czy_spis_tresci=nil; local i=1; local czy_spisy=nil; for m,tab_lista in ipairs(tab_lista_artykulow_w_ksiazce)do local czy_nienilowy_rozdzial=tab_lista[1][2][1]; local poziom_rozdzialu=czy_nienilowy_rozdzial or 0; if((artykul)and(poziom_rozdzialu==1))then if(((m==1)and(not czy_spisy))or((m>1)and(czy_spisy)))then local spis=tab_lista[1]["spis"]; if(spis)then if(not czy_spis_tresci)then local spis_tresci_dany=spis[1]; czy_spis_tresci=(artykul==spis_tresci_dany); czy_spisy=true; else break; end; else local dodatkowe=tab_lista[1]["dodatkowe"]; if(dodatkowe)then break; end; end; end; end; if((not artykul)or((artykul)and((not czy_spisy)or((czy_spisy)and(czy_spis_tresci)))))then if(tab_lista[2])then for _,tab_pozycja in ipairs(tab_lista[2])do local sformatowana_nazwa_artykulu; if(type(tab_pozycja[1])~="table")then sformatowana_nazwa_artykulu=mw.ustring.gsub(tab_pozycja[1],"_"," "); else sformatowana_nazwa_artykulu=mw.ustring.gsub(tab_pozycja[1][1],"_"," "); end; local id=tab_pozycja[4] if(not tylko_naglowki or id)then if(not spis_ksiazkowy)then wykaz_modulow_w_liscie=((wykaz_modulow_w_liscie~="") and (wykaz_modulow_w_liscie.."\n") or "")..'<li>[['..((not spis_rzeczy or not id)and (((nazwa_przestrzeni~="")and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki.."/") or "#")..sformatowana_nazwa_artykulu.."|<span class=\"tocnumber\">"..i.."</span><span class=\"toctext\">"..sformatowana_nazwa_artykulu..'</span>]]</li>'; else wykaz_modulow_w_liscie=((wykaz_modulow_w_liscie~="") and (wykaz_modulow_w_liscie.."\n") or "")..'{{SpisZw||[['..((not spis_rzeczy or not id)and (((nazwa_przestrzeni~="")and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki.."/") or "#")..sformatowana_nazwa_artykulu.."|"..sformatowana_nazwa_artykulu.."]]|"..i.."|100%}}"; end; i=i+1; end; end; end; end; end; if(wykaz_modulow_w_liscie=="")then return nil;end; if(not spis_ksiazkowy)then wykaz_modulow_w_liscie="<ul>"..wykaz_modulow_w_liscie.."</ul>"; wykaz_modulow_w_liscie='<div class="toc_ogólnie_spis toc_wykaz" style="width:100%;max-height:25rem;overflow:auto;">'..wykaz_modulow_w_liscie.."</div>"; wykaz_modulow_w_liscie='{{Tabela nawigacyjna|styl=width:'..(czy_rozciagnij and "100%" or (szerokosc or "auto"))..';max-width:100%;font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;|tytuł=<div style="font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;text-align:left;white-space:nowrap;">Wykaz modułów w książce</div>|spis='..wykaz_modulow_w_liscie..'|funkcja=UkrytaWikitabelowaListaMenu}}'; else wykaz_modulow_w_liscie="<div class=\"toc_wykaz mw-overflow-y\" style=\""..(wysokosc and ("max-height:"..wysokosc..";overflow:auto;") or "").."border:solid #aaa 1px;padding:0.625rem;width:"..(czy_rozciagnij and "100%" or (szerokosc or "auto"))..";max-width:100%;box-sizing:border-box;background-color:white;\">"..wykaz_modulow_w_liscie.."</div>"; end; local rozwiniety_wikikod=frame:preprocess(wykaz_modulow_w_liscie); return rozwiniety_wikikod; end; p["NazwaAktualnyModuł"]=function() local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local nazwy_np_modul=mw.loadData('Moduł:Nazwy/Np'); local nazwa_artykulu=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; if(nazwa_artykulu==nil)then return "[["..nazwy_np_modul.Category..": Nie można wygenerować nazwy strony]]"; else return nazwa_artykulu; end; end; p["WstępDoLicencji"]=function(frame) local element_licencji_1='<strong>Autor:</strong> '..frame.args[1]..'<BR>'; local element_licencji_2; if((frame.args[2]~='')and(frame.args[2]~=nil))then element_licencji_2=frame.args[2]..'<BR>'; end; local element_licencji_3; if((frame.args[3]~='')and(frame.args[3]~=nil))then element_licencji_3='<strong>Email:</strong> '..frame.args[3]..'<BR>'; end; local element_licencji_4; if((frame.args[4]~='')and(frame.args[4]~=nil))then element_licencji_4='<strong>Dotyczy:</strong> '..frame.args[4].."<BR>"; else element_licencji_4='<strong>Dotyczy:</strong> książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.<BR>'; end; local element_licencji_5; if((frame.args[5]~='')and(frame.args[5]~=nil))then element_licencji_5=frame.args[5].."<BR>"; else element_licencji_5='Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.<BR>'; end; local element_licencji_6; if((frame.args[6]~='')and(frame.args[6]~=nil))then element_licencji_6='<strong>Umowa prawna:</strong> '..frame.args[6]..'<BR>'; else element_licencji_6='<strong>Umowa prawna:</strong> [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pl Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń].<BR>'; end; local element_licencji_7; if((frame.args[7]~='')and(frame.args[7]~=nil))then element_licencji_7=frame.args[7].."<BR>"; else element_licencji_7='Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet [https://pl.wikibooks.org Wikibooks]) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.<BR>'; end; local licencja=element_licencji_1..((element_licencji_2)and element_licencji_2 or "")..((element_licencji_3)and element_licencji_3 or "") ..element_licencji_4..element_licencji_5..element_licencji_6..element_licencji_7; return licencja; end; function p.Licencja(frame,czy_rozciagnij) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local menu_z_licencja; local nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local licencja=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni][nazwa_przestrzeni_ksiazki][nazwa_ksiazki].licencja; if(licencja)then if(licencja[1])then local frame={}; frame.args={licencja[1],licencja[2],licencja[3],licencja[4],licencja[5],licencja[6],licencja[7]}; local ramka_z_licencja='<div style="margin-left:0px;padding:0.1875rem;width:100%;height:auto;box-sizing:border-box;word-break:break-word;">'..p["WstępDoLicencji"](frame)..'</div>'; menu_z_licencja='{{Tabela nawigacyjna|styl=width:'..(czy_rozciagnij and "100%" or "auto")..';font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;|tytuł=<div style="font-size:0.875rem;line-height:1.2;background-color:white;text-align:left;white-space:nowrap;">Licencja</div>|spis='..ramka_z_licencja..'|funkcja=PokazanaWikitabelowaListaMenu}}'; else return nil; end; local frame=mw.getCurrentFrame(); local rozwiniety_wikikod=frame:preprocess(menu_z_licencja); return rozwiniety_wikikod; else return nil; end; end; function p.Autor(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; local nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local licencja=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni][nazwa_przestrzeni_ksiazki][nazwa_ksiazki].licencja; if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja)then if(licencja and licencja[1])then return licencja[1]; end; end; end; p["NazwaLicencjaWykazSpisTreściModułuKsiążki"]=function(frame) local prawe_menu=""; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_rozciagnij=parametry_modul.CzyTak(frame.args["rozciągnij"]) if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[1]))then prawe_menu='<div style="margin-top:0.3125rem;font-size:1.9em;line-height:1.5625rem;text-align:left;">'..p["NazwaAktualnyModuł"]()..'</div><hr class=\"pierwsza_strona_spis_treści-hr\"/>'; end; if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[2]))then local licencja=p.Licencja(frame,czy_rozciagnij); if(licencja~=nil)then prawe_menu=prawe_menu..licencja; else local obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local uchwyt_strony=mw.title.getCurrentTitle(); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local nazwa_przestrzeni_nazw_strony=require("Module:Nazwy")["NAZWAPRZESTRZENI"](); local element_zdania_kategorii=(nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Main)and "na stronach głównych, książek" or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikijunior)and "na stronach głównych, książek dla dzieci" or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.User)and "na stronach głównych, książek użytkowników" or((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikibooks)and "na stronach głównych, książek brudnopisu projektu" or "na stronach głównych, publikacji"))); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; local kategoria_braku_licencji=(not tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.korzystane_strona_glowna_nie_istnieje)and"[["..nazwy_np_modul.Category..": Brak licencji, "..element_zdania_kategorii.."]]" or ""; prawe_menu=prawe_menu..kategoria_braku_licencji; end; end; if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[3]))then local wykaz_artykulow=p["WykazModułówKsiążki"](frame,czy_rozciagnij); if(wykaz_artykulow~=nil)then prawe_menu=prawe_menu.."<hr class=\"pierwsza_strona_spis_treści-hr\"/>"..wykaz_artykulow; end; end; if(parametry_modul.CzyTak(frame.args[4]))then local spis_tresci=p.TOC(frame,czy_rozciagnij,true); if(spis_tresci~=nil)then prawe_menu=prawe_menu.."<hr class=\"pierwsza_strona_spis_treści-hr\"/><div class=\"pierwsza_strona_spis_treści\">"..spis_tresci.."</div>"; end; end; local wysokosc=frame.args["wysokość"]; return "<div style=\"padding:0.3125rem;border: solid #aaa 1px;background-color:white;box-sizing:border-box;width:43.75rem;\"><div class=\"pierwsza_strona mw-overflow-y\" style=\"max-height:"..(wysokosc or "100%")..";overflow:auto;width:100%;height:100%;box-sizing:border-box;\"><div style=\"display:flex;flex-direction:column;width:auto;height:auto;box-sizing:border-box;\">"..prawe_menu.."</div></div></div>"; end; p["SpisTreści"]=function(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local args=parametry_modul.PobierzArgsParametry(frame); local nazwa_artykulu=args["artykuł"] or args[1] or "Przykładowy artykuł"; local nazwa_ksiazki=args["książka"] or args[2]; local czy_analiza=parametry_modul.CzyTak(args["analiza"]); local czy_specjalne=parametry_modul.CzyTak(args["specjalne"]); local czy_parser=parametry_modul.CzyTak(args["parser"]); local czy_dokumentacja=parametry_modul.CzyTak(args["dokumentacja"]); local czy_math=parametry_modul.CzyTak(args["wzory"]); local czy_math_analiza=parametry_modul.CzyTak(args["wzory-analiza"]); local czy_bez_przypisow=parametry_modul.CzyTak(args["bez przypisów"]); czy_dokumentacja=czy_dokumentacja or czy_analiza or czy_specjalne or czy_parser; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; if(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_ksiazki))then local uzyskana_nazwa_przestrzeni=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local uzyskana_nazwa_ksiazki=tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; nazwa_ksiazki=((uzyskana_nazwa_przestrzeni~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni..":") or "")..((uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (uzyskana_nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..uzyskana_nazwa_ksiazki; end; local brak=(nazwa_artykulu and mw.ustring.match(nazwa_artykulu,"[|<>{}%[%]]") or nil) or (nazwa_ksiazki and mw.ustring.match(nazwa_ksiazki,"[|<>{}%[%]]") or nil); if(brak~=nil)then local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local nazwa_przestrzeni_nazw_strony=require("Module:Nazwy")["NAZWAPRZESTRZENI"](); local element_zdania_kategorii=(nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Main)and "artykułów," or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikijunior)and "artykułów dla dzieci," or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.User)and "stron użytkowników," or ((nazwa_przestrzeni_nazw_strony==nazwy_np_modul.Wikibooks)and "stron brudnopisu projektu," or "stron,"))); return "[["..nazwy_np_modul.Category..":Nazwy "..element_zdania_kategorii.." w spisach treści, zawierają niedozwolone znaki]]"; end; local html_modul=require("Module:Html"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu,tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_ksiazki=html_modul.DecodeHtml(nazwa_ksiazki,true); nazwa_ksiazki=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_ksiazki,[2]=nazwa_modulu,}; local nazwa_artykulu=html_modul.DecodeHtml(nazwa_artykulu,true); nazwa_artykulu=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_artykulu,[2]="",}; local pelna_nazwa_strony=((not nazwa_artykulu) or (nazwa_artykulu==""))and nazwa_ksiazki or nazwa_ksiazki.."/"..nazwa_artykulu; local strona=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(pelna_nazwa_strony); if(strona)then pelna_nazwa_strony=strona; nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony); else nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony); end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony; if((czy_analiza)or(czy_parser))then tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony=p.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(pelna_nazwa_strony,false); else tekst_artykulu=p.SpreparowanyWikikodStrony(pelna_nazwa_strony,not czy_dokumentacja); if(tekst_artykulu)then if(czy_dokumentacja)then tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany,tablica_parametrow_szablonu_strony=szablonowe_modul:UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(pelna_nazwa_strony); else tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany=szablonowe_modul:KodujWzoryMatematyczneTekstu(tekst_artykulu); if((not czy_math)and(not czy_math_analiza))then tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany=nil; end; end; end; end; local nazwa=args["nazwa"] or args[3]; local nazwa_strony_artykulu=parametry_modul.CzyTak(nazwa) and nazwa or nazwa_artykulu; local dodatek=args["dodatek"] or args[4]; local poziom=tonumber(args["poziom"]) or 6; if(not tekst_artykulu)then if(nazwa_artykulu~="")then return "\n"..mw.ustring.rep("=",poziom).."<span style=\"color:red\">[["..pelna_nazwa_strony.."|"..nazwa_strony_artykulu.."]]</span>"..mw.ustring.rep("=",poziom).."\n"; else local blad_modul=require("Module:Błąd"); return blad_modul.error{args={[1]="Wywołano szablon z argumentem pierwszym pustym.",tag="span",}}; end; else local twor_spisu_tresci="[["..pelna_nazwa_strony.."|"..nazwa_strony_artykulu.."]]"..(((dodatek)and(dodatek~="")) and (" "..dodatek) or ""); twor_spisu_tresci=mw.ustring.rep("=",poziom)..twor_spisu_tresci..mw.ustring.rep("=",poziom).."\n"; --- local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=nil; if(((czy_dokumentacja)and((czy_specjalne)or(czy_parser)))or((not czy_dokumentacja)and(czy_math_analiza)))then tekst_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=szablonowe_modul:KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(tekst_artykulu,pelna_nazwa_strony,tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany); end; local stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul=require("Module:StronicowyParser/GłównaFunkcjaZbieraniaDanychStron"); local ulozenia_w_menu_spisu_tresci=stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul:SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(tekst_artykulu,pelna_nazwa_strony,nil,nil,nil, tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni, tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu, tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu, nazwa_artykulu, "",tablica_obiektow_strony_dany_modul_uzyskany or {},nil,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,nil,true); local atrybuty="style=\"margin-left:20px\""; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local toc=stronicowyparser_potrzebne_modul.TOCSilnik(frame,ulozenia_w_menu_spisu_tresci, atrybuty,czy_bez_przypisow); local limit=args["limit"]; local czy_limit=parametry_modul.CzyTak(limit); toc=toc and frame:preprocess(toc) or nil; return '<div class="toc_ogólnie_spis toc_artykuł toclimit '..(czy_limit and ("toclimit-"..limit) or "")..'">\n'..twor_spisu_tresci..(toc and toc or "")..'</div>'; end; end; local function IteratorFunkcja() local obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tabela_wypowiedzi=obiekty_modul.tablica_obiektowych_form; local licznik=1; return function() local tabela_obiektu=tabela_wypowiedzi[licznik]; if(not tabela_obiektu)then return nil;end; local wartosc1=tabela_obiektu[1]; local wartosc2=tabela_obiektu[4]; licznik=licznik+1; return wartosc1,wartosc2; end; end; local iterator=IteratorFunkcja(); for nazwa_obiektu,czesc_nazwy_funkcji in iterator do p["Numer"..czesc_nazwy_funkcji] = function(frame) local stronicowyparser_numerobiektu_modul=require("Module:StronicowyParser/NumerObiektu"); return stronicowyparser_numerobiektu_modul.NumerObiektu(frame,nazwa_obiektu); end; end; p["AnalizujSzablonemStronicowymArtykuł"]=function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; return ""; end; function p.formatowanie() local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; return tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie; end; function p.StronaZeSzablonemStronaStart() local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData('Module:StronicowyParser/informacje').tablica_zebranych_danych_woluminowych; return tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start; end; function p.WstawKategorie(frame) local stronicowyparser_kategorie_modul=require("Module:StronicowyParser/Kategorie"); return stronicowyparser_kategorie_modul.WstawKategorie(frame); end; function p.CzyStronaSubst(frame,czy_wymusic) if(czy_wymusic)then local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizujArgumentySzablonu(frame); stronicowyparser_potrzebne_modul:ParametryKonteneraWoluminu(frame); local spis,lista_artykulow_w_ksiazkach_w_danej_przestrzeni,tab_lista_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki,tab_lista_artykulow_w_ksiazce,tab_lista_zmiennych_w_artykule=stronicowyparser_potrzebne_modul:TabelaListyStronWoluminu(frame); if(not tab_lista_zmiennych_w_artykule)then return nil;end; return tab_lista_zmiennych_w_artykule.strona_zbiorcza; end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyStronaSubst"])then return "tak"; end; end; p["CzyArtykułKsiążki"]=function(frame) local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=mw.loadData("Module:StronicowyParser/informacje").tablica_zebranych_danych_woluminowych; if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"])then return "tak"; end; end; return p; t8lkopjm3jn7ubswe5h9fgorf9oytiw 828 45007 555441 552421 2026-09-10T01:55:49Z Persino 2851 555441 Scribunto text/plain local p={}; local m={}; p.wypowiedzi={ {"Twierdzenie", nil,nil,"Twierdzenia",2,"twierdzeniami","twierdzeń",}, {"Hipoteza",nil,nil,"Hipotezy", 2,"hipotezami","hipotez",}, {"Lemat", nil,nil,"Lematu",2,"lematami","lematów",}, {"Kryterium", nil,nil,"Kryterium",2,"kryteriami","kryteriów",}, {"Dowód", nil,nil,"Dowodu",2,"dowodami","dowodów",}, {"Postulat", nil,nil,"Postulatu",2,"postulatami","postulatów",}, {"Postulaty", nil,nil,"Postulatów",2,"grupami postulatów","grup postulatów",}, {"Określenie", nil,nil,"Określenia",2,"definicjami","definicji",}, {"Zadanie", nil,nil,"Zadania",2,"zadaniami","zadań",}, {"Praktyka",nil,nil,"Praktyki",2,"ćwiczeniami","ćwiczeń",}, {"Procedura",nil,nil,"Procedury",2,"procedurami","procedur",}, {"Schemat",nil,nil,"Schematu",2,"schematami","schematów",}, }; p.obiekty={"Obiekt",nil,nil,"Obiektu",2,"nienazwanymi obiektami","nienazwanych obiektów",}; p.normalne={ {"Wzór",{"Wzór2","CentrujWzór","CentrujWzór2","MathMLWzór","MathMLWzór2","CentrujMathMLWzór","CentrujMathMLWzór2",},nil,"Wzoru",2,"wzorami","wzorów",}, {"Rysunek",nil,nil,"Rysunku",2,"rysunkami","rysunków",}, {"Patrz",nil,nil,"Patrz",1,"patrzeniem","patrzenia",}, {"ZobaczTeż",nil,nil,"ZobaczTeż",1,"zobaczeniem też","zobaczenia też",}, }; p.napisy_wprowadzenia_tekstu={ {"Śródtytuł",nil,{"LinkŚródtytułTutaj",},"Śródtytułu",1,"nagłówkami","nagłówków",}, }; p.tekst={ {"Śródtekst",nil,nil,"Śródtekstu",2,"tekstami","tekstów",}, }; p.nazwa_szablonu_wprowadzenia_tekstu="Śródtytuł"; m.LinkiSzablonyNieNumerowane=function(tab_szablony_nienumerowane,czy_link) local function DalszeLinkiWprowadzeniaTekstu(linki_naglowka,t,i) if(type(linki_naglowka)=="table")then for _,wartosc in ipairs(linki_naglowka)do i=i+1; t[i]=wartosc; end; else i=i+1; t[i]=linki_naglowka; end; return t,i; end; local s={}; for _,wartosc in ipairs(tab_szablony_nienumerowane)do s[wartosc[1]]={}; local t=s[wartosc[1]]; local i=1; t[i]=(czy_link and "Link" or "Pobierz")..wartosc[1]; t,i=DalszeLinkiWprowadzeniaTekstu(wartosc[3],t,i); end; return s; end; m.LinkiSzablonyNapisuWprowadzeniaTekstu=function() return m.LinkiSzablonyNieNumerowane(p.napisy_wprowadzenia_tekstu,true); end; m.LinkiSzablonyTekstu=function() return m.LinkiSzablonyNieNumerowane(p.tekst,false); end; m.NienumerowaneSzablony=function(tab_szablony_nienumerowane) local s={}; for _,wartosc in ipairs(tab_szablony_nienumerowane)do s[wartosc[1]]=true; end; return s; end; m.NienumerowaneSzablonyNapisuWprowadzeniaTekstu=function() return m.NienumerowaneSzablony(p.napisy_wprowadzenia_tekstu); end; m.NienumerowaneSzablonyTekstu=function() return m.NienumerowaneSzablony(p.tekst); end; p.linki_szablony_wprowadzenia_tekstu=m.LinkiSzablonyNapisuWprowadzeniaTekstu(); p.nienumerowane_z_uchwytami_szablony_wprowadzenia_tekstu=m.NienumerowaneSzablonyNapisuWprowadzeniaTekstu(); p.linki_szablony_tekstu=m.LinkiSzablonyTekstu(); p.nienumerowane_z_uchwytami_szablony_tekstu=m.NienumerowaneSzablonyTekstu(); p.uklad_autonawigacji="Układ autonawigacji"; p.bez_uchwytow_spis_rzeczy_strony={ ["TOC"]=true, ["TOCRamka"]=true, }; p.szablony_z_lokalnym_spisem_rzeczy_strony={ ["TOC limit"]=true, ["Spis treści"]=true, ["TOCright"]=true, ["Spis treści zwinięty"]=true, }; p.szablony_kontenerowe={ ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, ---------------------------------- ["ListaNagłówkówKsiążki"]=true, ["LiniaArtykułuKsiążki"]=true, ---------------------------------- ["PomiędzyNagłówek"]=true, ["LosowyNagłówek"]=true, ["PierwszyNagłówek"]=true, ["OstatniNagłówek"]=true, ["LiczbaNagłówkówSpisu"]=true, ---------------------------------- ["AktualnaKsiążka"]=true, ["NastępnyArtykuł"]=true, ["PoprzedniArtykuł"]=true, ["NazwaAktualnyArtykuł"]=true, ["LinkAktualnaKsiążka"]=true, ["LinkNastępnyArtykuł"]=true, ["LinkPoprzedniArtykuł"]=true, ---------------------------------- ["LinkNastępnySubArtykuł"]=true, ["LinkPoprzedniSubArtykuł"]=true, ---------------------------------- ["PierwszyArtykuł"]=true, ["OstatniArtykuł"]=true, ["PomiędzyArtykuł"]=true, ["LosowyArtykuł"]=true, ["PobierzNazwęArtykułu"]=true, ["PobierzNumerArtykułu"]=true, ["NazwaLinkuArtykułu"]=true, -------------------------------- ["PobierzNazwęNagłówka"]=true, ["PobierzNumerNagłówka"]=true, --------------------------------- ["LiczbaArtykułówKsiążki"]=true, ["PoziomNazwyArtykułu"]=true, --------------------------------- ["SubNazwaNadArtykułu"]=true, ["NazwaNadArtykułu"]=true, ["LinkNazwaNadArtykułu"]=true, ["LinkSubNazwaNadArtykułu"]=true, ----------------------------------- ["Autonawigacja"]=true, }; p.szablony_stronicowe_niekontenerowe={ ["ArtykułSubst"]=true, }; p.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego={ ["Formuła"]=1; }; ----szablony stronicowego parsera function m.SzablonyStronicowegoParsera() local t={}; t.szablony_kontenerowe={}; local s=t.szablony_kontenerowe; t.szablony_wprowadzenia_tekstu={}; local r=t.szablony_wprowadzenia_tekstu; t.szablony_tekstu={}; local q=t.szablony_tekstu; local function SzablonyUchwytoweNapisuWprowadzeniaTekstu(naglowki,r) for _,szablony_naglowka in ipairs(naglowki) do r[szablony_naglowka[1]]=true; if(szablony_naglowka[2])then if(type(szablony_naglowka[2])=="table")then for _,wartosc in ipairs(szablony_naglowka[2])do r[wartosc]=true; end; else r[szablony_naglowka[2]]=true; end; end; end; end; SzablonyUchwytoweNapisuWprowadzeniaTekstu(p.napisy_wprowadzenia_tekstu,r); SzablonyUchwytoweNapisuWprowadzeniaTekstu(p.tekst,q); local function TabNumer(n,obiekty_szablon,s) if(obiekty_szablon[n])then if(type(obiekty_szablon[n])=="table")then for _,wartosc in ipairs(obiekty_szablon[n])do s[wartosc]=true; end; else s[obiekty_szablon[n]]=true; end; end; end; local function RozpatrywanaTablica(tab_obiekty,s,czy_link) for _,obiekty_szablon in ipairs(tab_obiekty)do s[obiekty_szablon[1]]=true; s[(czy_link and "Link" or "Pobierz")..obiekty_szablon[1]]=true; TabNumer(2,obiekty_szablon,s); TabNumer(3,obiekty_szablon,s); end; end; RozpatrywanaTablica(p.normalne,s,true); RozpatrywanaTablica(p.wypowiedzi,s,true); RozpatrywanaTablica(p.napisy_wprowadzenia_tekstu,s,true); RozpatrywanaTablica(p.tekst,s,false); TabNumer(2,p.obiekty,s); TabNumer(3,p.obiekty,s); local function IndeksowaneNaTak(tab_obiekty,s) for indeks,_ in pairs(tab_obiekty)do s[indeks]=true; end; end; IndeksowaneNaTak(p.bez_uchwytow_spis_rzeczy_strony,s); IndeksowaneNaTak(p.szablony_kontenerowe,s); return t; end; p.szablony_stronicowego_parsera=m.SzablonyStronicowegoParsera(); ----koniec szablony pudełka ----Tablica obiektów function m.TablicaObiektowychForm() local s={};local r={}; for _,element_w_tablicy_obiekty in pairs(p.normalne)do s[#s+1]=element_w_tablicy_obiekty; element_w_tablicy_obiekty.CzyLink=true; element_w_tablicy_obiekty.CzyNum=true; end; for _,element_w_tablicy_obiekty in pairs(p.wypowiedzi)do s[#s+1]=element_w_tablicy_obiekty; element_w_tablicy_obiekty.CzyLink=true; element_w_tablicy_obiekty.CzyNum=true; end; for _,element_w_tablicy_obiekty in pairs(p.napisy_wprowadzenia_tekstu)do s[#s+1]=element_w_tablicy_obiekty; element_w_tablicy_obiekty.CzyLink=true; element_w_tablicy_obiekty.CzyNum=false; end; for _,element_w_tablicy_obiekty in pairs(p.tekst)do s[#s+1]=element_w_tablicy_obiekty; element_w_tablicy_obiekty.CzyLink=false; element_w_tablicy_obiekty.CzyNum=false; end; for _,element_w_tablicy_obiekty in pairs(p.normalne)do r[#s+1]=element_w_tablicy_obiekty; end; for _,element_w_tablicy_obiekty in pairs(p.wypowiedzi)do r[#s+1]=element_w_tablicy_obiekty; end; p.tablica_mozliwych_obiektow_bez_obiektu_nienazwanego=s; p.tablica_mozliwych_numerowanych_obiektow_bez_obiektu_nienazwanego=r; s[#s+1]=p.obiekty; p.obiekty.CzyLink=true; p.obiekty.CzyNum=true; return s; end; ---- m.ElementyObiektoweNumerowaneINienumerowaneZUchwytami=function() local function Obiekty(s,obiekty) for _,tab_obiektow in ipairs(obiekty)do s[tab_obiektow[1]]={tab_obiektow[1],tab_obiektow[5],}; local tab_szablony=tab_obiektow[2]; if(tab_szablony)then if(type(tab_szablony)=="table")then for _,element in ipairs(tab_szablony)do s[element]={tab_obiektow[1],tab_obiektow[5],}; end; else s[tab_szablony]={tab_obiektow[1],tab_obiektow[5],}; end; end; end; end; local s={};local r={};local q={}; Obiekty(s,p.wypowiedzi); Obiekty(s,p.normalne); Obiekty(r,p.napisy_wprowadzenia_tekstu); Obiekty(q,p.tekst); return {numerowane_obiekty=s,nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=r,nienumerowane_obiekty_tekstu=q,}; end; p.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane=m.ElementyObiektoweNumerowaneINienumerowaneZUchwytami(); m.ElementyReferencjiObiektowychNumerowanychZUchwytami=function() local function Obiekty(s,linkobiekty,czy_link) for _,tab_obiektow in ipairs(linkobiekty)do s[(czy_link and "Link" or "Pobierz")..tab_obiektow[1]]=tab_obiektow[1]; local tab_szablony=tab_obiektow[3]; if(tab_szablony)then if(type(tab_szablony)=="table")then for _,element in ipairs(tab_szablony)do s[element]=tab_obiektow[1]; end; else s[tab_szablony]=tab_obiektow[1]; end; end; end; end; local s={};local r={};local q={}; Obiekty(s,p.wypowiedzi,true); Obiekty(s,p.normalne,true); Obiekty(r,p.napisy_wprowadzenia_tekstu,true); Obiekty(q,p.tekst,false); return {numerowane_obiekty=s,nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=r,nienumerowane_obiekty_tekstu=q,}; end; p.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane=m.ElementyReferencjiObiektowychNumerowanychZUchwytami(); m.FormatElementowyObiektowy=function() local s={}; local function Obiekty(s,obiekty) for _,tab_obiektow in ipairs(obiekty)do s[tab_obiektow[1]]=true; end; end; Obiekty(s,p.wypowiedzi); Obiekty(s,p.normalne); return s; end; p.format_elementowy_obiektowy=m.FormatElementowyObiektowy(); m.FormatElementowyReferencjiObiektowych=function() local s={}; local function Obiekty(s,obiekty) for _,tab_obiektow in ipairs(obiekty)do local element=mw.getContentLanguage():lcfirst(tab_obiektow[1]); s[element]=true; end; end; Obiekty(s,p.wypowiedzi); Obiekty(s,p.normalne); return s; end; p.format_elementowy_referencji_obiektowy=m.FormatElementowyReferencjiObiektowych(); ---- ---- p.tablica_obiektowych_form=m.TablicaObiektowychForm(); p.szablony_stron_zbiorczych={ ["KsiążkaSubst"]=true, ["StronaSubst"]=true, }; p.inne_szablony_stron_zbiorczych={ ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, } m.StronyZbiorcze=function() local s={}; local function Ziorcze(tab) for name,_ in pairs(tab)do s[name]=true; end; end; Ziorcze(p.szablony_stron_zbiorczych); Ziorcze(p.inne_szablony_stron_zbiorczych); return s; end; p.strona_zbiorcza=m.StronyZbiorcze(); p.strona_start_inne={ ["StandardowaStronaStart"]=true, ["PodstawowaStronaStart"]=true, ["ProstaStronaStart"]=true, }; p.strona_start={ ["StronaStart"]=true, }; p.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony={ ["UnikatowaStronaStart"]=true, ["UnikalnaStronaStart"]=true, ["SkomplikowanaStronaStart"]=true, }; p.strona_start_analiza_zaawansowana_spis_rzeczy_strony={ ["SkomplikowanaStronaStart"]=true, }; m.SzablonyFormartowaniaTekstu=function() local s={}; local function DodatDoTablicy(tab) for name,_ in pairs(tab)do s[name]=true; local name_koniec,_=mw.ustring.gsub(name,"Start$","Koniec"); s[name_koniec]=true; end; end; DodatDoTablicy(p.strona_start); DodatDoTablicy(p.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony); DodatDoTablicy(p.strona_start_analiza_zaawansowana_spis_rzeczy_strony); DodatDoTablicy(p.strona_start_inne); return s; end; p.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu=m.SzablonyFormartowaniaTekstu(); p.tablica_nazw_ramek_lua={ "StronicowyParser", }; ----Koniec tablica obiektów p.tablica_nazw_napisu_wprowadzenia_tekstu_pomijanych_w_rozwazaniach_na_stronach_otwarcia_woluminu={ ["licencja"]=true, ["inne"]=true, ["bibliografia"]=true, ["zobacz też"]=true, ["linki zewnętrzne"]=true, --[[["dedykacja"]=true,]] }; p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu={ ["spis treści"]=true, ["spis tresci"]=true, ["spis rzeczy"]=true, }; --[[p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_dodatkowych={ ["bibliografia"]=true, ["literatura"]=true, };]] p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci={ [1]="[ _\t]*'*[ _\t]*[Ss][Pp][Ii][Ss][ _\t]+[Tt][Rr][Ee][ŚśSs][Cc][Ii][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*", [2]="[ _\t]*'*[ _\t]*[Ss][Pp][Ii][Ss][ _\t]+[Rr][Zz][Ee][Cc][Zz][Yy][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*", }; p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; p.artykularne_niespisowe={ [1]="^[Oo][Kk][ŁłLl][Aa][Dd][Kk][Aa]$", --[2]="^[Ww][Ss][Tt][ĘęEe][Pp]$", }; p.szablony_dozwolone_z_elementami_spisu_rzeczy_stron_woluminu={ ["Kolumny"]=2, }; p.szablony_dozwolone_w_napisach_do_wprowadzenia_tekstu={ ["MDL:RozszerzonyLink"]=1, ["Kompletność"]="", ["Kompletność krótka"]="", ["Kompletność junior"]="", ["Książka"]="", }; p.szablony_z_dodatkiem_obiektowym={ ["ISBN"]="ISBN $(1)"; }; p.szablony_rozwijane_przez_javascript_w_napisach_wprowadzenia_tekstu={ ["Cytuj"]=true, ["Cytuj stronę"]=true, ["Cytuj pismo"]=true, ["Cytuj odcinek"]=true, ["Cytuj książkę"]=true, ["Cytuj grę komputerową"]=true, }; p.szablony_dozwolone_w_nazwach_linkowych={ ["Korekta"] =2, }; p.szablony_rozwijane_przez_javascript_nazwowe_linkowe={ }; p.szablony_do_usuwania_z_tekstu={ --- szablony książkowe umieszczane na stronie głównej podręcznika ["Kolekcja"]=true, ["TODO"]=true, ["Wersja do druku"]=true, --- szablony typowo linkowe ["Dane tekstu"]=true, --- szablony linkowania do innych projektow ["MediaWiki"]=true, ["Wikipedia"]=true, ["Wikipedia kat"]=true, ["Wikipedia2"]=true, ["Commons"]=true, ["Commons ilustr kat"]=true, ["Commonsall"]=true, ["Commonscat"]=true, ["Wikiatlas"]=true, ["Wikicytaty"]=true, ["Wikicytaty przysłowia"]=true, ["Inkubator"]=true, ["Meta"]=true, ["Wikinews"]=true, ["Wikinewscat"]=true, ["Wikinewsy"]=true, ["Portal Wikinews"]=true, ["Wikisłownik"]=true, ["Wikisłownik-cat"]=true, ["Wikimedia"]=true, ["Multiwmpl"]=true, ["Wikipodróże"]=true, ["Wikispecies"]=true, ["Multisource"]=true, ["Wikiźródła"]=true, ["Wikiźródła autor"]=true, ["Wikiźródła kat"]=true, ["Wikiźródła kuch kat"]=true, ["Wikiźródła krótki"]=true, ["Wikisource-lang"]=true, }; p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy={ ["SpisTreści"]=true, ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, ["Link wewnętrzny"]=true, ["Ly"]=true, ["LinkOgólne"]=true, ["Lo"]=true, --[[["LinkGłówna"]=true, ["LinkWikijunior"]=true, ["LinkWikijunior2"]=true, ["LinkProjekt"]=true, ["LinkProjekt2"]=true, ["LinkUżytkownik"]=true, ["LinkUżytkownik2"]=true,]] }; p.kody_szablony_linkowe_przestrzenne={ ["Główna"]={"",}, ["Wikijunior"]={"Wikijunior",}, ["Kategoria"]={"Category",}, ["Plik"]={"File",}, ["Projekt"]={"Project",}, ["Szablon"]={"Template",}, ["Użytkownik"]={"User",}, ["Pomoc"]={"Help",}, ["Moduł"]={"Module",}, ["Komunikat"]={"MediaWiki",}, ["Specjalna"]={"Special",}, ["Wikiprojekt"]={"Wikiproject","w",}, ["Portal"]={"Portal","w",}, ["Extension"]={"Extension","mw",}, }; p.kody_inne_szablony_linkowe_inteligentne={ ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, }; p.kody_szablony_linkowe_projektowe={ ["Pedia"]="w", ["Źródła"]="s", ["Cytaty"]="q", ["News"]="n", ["Słownik"]="wikt", ["Podróże"]="voy", ["Wersytet"]="betawikiversity", ["Species"]="wikispecies", ["Commons"]="commons", ["Dane"]="d", ["MediaWiki"]="mw", ["MetaWiki"]="m", }; p.kody_szablony_linkowe_dialektu={ ["En"]="en", }; p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy={ ["SpisPozycja"]={true,numer_link="tyt",}, ["SpisZw"]={false,numer=1,link=2,}, }; p.szablony_w_nie_w_tej_samej_linii={ ["SpisPozycja"]=true, ["SpisZw"]=true, ["SpisTreści"]=true, }; p.szablony_spisu={ ["SpisTreści"]=true, }; p.szablony_kompletowania_stron_woluminu={ ["Kompletność"]=true, ["Kompletność krótka"]=true, ["Kompletność junior"]=true, ["Książka"]=true, }; p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy={ ["Ce"]=1, ["Centruj"]=1, ["Center"]=1, }; p.szablony_dokumentacji={ ["Dokumentacja"]=true, }; p.szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze={ ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, }; p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; p.szablony_ozdobne_stron_woluminu={ ["MDL:RozszerzonyLink"]=true, }; p.szablony_bez_generowania_napisowego={ ["Status"]=true, }; p.szablony_nieodpowiednie_napisu_wprowadzenia_tekstu_centrowanego={ ["Rozdział"]=true, ["Podrozdział"]=true, ["MapaObrazu"]=true, }; p.strony_main_page_projektu={ ["Wikijunior:Strona główna"]=true, ["Wikibooks:Strona główna"]=true, ["Strona główna"]=true, ["Main Page"]=true, } p.szablony_nie_typowo_linkowe={ ["Plik"]=true, ["Kategoria"]=true, ["Kategorie"]=true, ["Wolumin"]=true, ["SortWolumin"]=true, ["SortKuchWolumin"]=true, }; p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; p.napisy_wprowadzenia_tekstu_przypisowych={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Bibliografia"]=true, ["Licencja"]=true, }; p.magiczne_derektywy={ ["TOC"]=true, ["NOTOC"]=true, ["NOEDITSECTION"]=true, } p.znaczniki_szablonowe={ ["Znacznik"]=1, ["Div"]=1, ["Code"]=1, ["Tt"]=1, ["P"]=1, ["Sub"]=1, ["Sup"]=1, ["Span"]=1, ["Bdo"]=1, ["Small"]=1, ["Big"]=1, ["Strong"]=1, }; p.szablony_indeksowania={ ["Kotwica"] =true, ["Indeksuj"]=true, }; p.nazwy_przestrzeni_nazw_przekierowaniowe_linkowe_inteligentne={ ["g"]="Główna", ["c"]="Specjalna", ["k"]="Kategoria", ["f"]="Plik", ["m"]="Komunukat", ["d"]="Moduł", ["p"]="Pomoc", ["r"]="Projekt", ["s"]="Szablon", ["j"]="Wikijunior", ["ż"]="Użytkownik", ["e"]="Extension", ["x"]="Property", ["w"]="Wikiprojekt", ["t"]="Portal", }; p.nazwy_projektowe_serwisy_linkowe_inteligentne={ ["p"]="Pedia", ["h"]="EnPedia", ["s"]="Słownik", ["x"]="Cytaty", ["ź"]="Źródła", ["d"]="Podróże", ["g"]="Species", ["z"]="News", ["r"]="Wersytet", ["w"]="Wikia", ["c"]="Commons", ["n"]="Dane", ["k"]="MediaWiki", ["m"]="MetaWiki", ["b"]="En", }; p.przekierowania_szablonowe_linkowe_inteligentne_inne={ ["Lz"]="LinkURL", ["Lb"]="LinkWB", ["Sr"]="Sekcja referencyjna", ["Ly"]="Link wewnętrzny", }; p.nazwy_szablonowe_kolidacja={ --["Ltr"]=true, }; p.litery_przestrzeni_kolidacja={ --["ř"]="r", }; p.znaczniki_wprowadzenia_tekstu={ ["h1"]=1, ["h2"]=2, ["h3"]=3, ["h4"]=4, ["h5"]=5, ["h6"]=6, }; p.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu={ ["HNumer"]=1, }; p.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu={ ["SpisTreści"]={{"artykuł",1,},{"książka",2,},{"nazwa",3,},{"dodatek",4,},{"poziom",},}, }; p.szablony_linkowe_spisu_rzeczy={ ["Sekcja referencyjna"]={{"strona","s",1,},{"nazwa","n",2,},{"podstrona","p",3},{"ustęp","u",4},{"od małej","m"},{"od dużej","d",},{"nazwa przestrzeni nazw",},{"nazwa jednostki",},}, }; return p; 6gb6ghkdcwxoix4h0x246ko1vqfn0tq 828 55009 555442 554743 2026-09-10T02:24:43Z Persino 2851 555442 Scribunto text/plain local p={}; function p.UchwytyZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_obiektu,lista_dwuelementowa,kod) if(lista_dwuelementowa)then local tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; if(not tab_obiekt)then tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]={}; tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; end; local uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; if(not uchwyty_bez_numeracji)then tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji={}; uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; end; uchwyty_bez_numeracji[kod]=lista_dwuelementowa; end; end; function p.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_obiektu,kod) local tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; if(not tab_obiekt)then return nil;end; local uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; if(uchwyty_bez_numeracji)then return uchwyty_bez_numeracji[kod]; end; end; function p.RozpatrywanieElementuUchwytuNumeracji(self,uchwyt_obiektu,tab_numer,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); uchwyt_obiektu=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(uchwyt_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or uchwyt_obiektu; local html_modul=require("Module:Html"); uchwyt_obiektu=html_modul.DecodeHtml(uchwyt_obiektu,true); if(uchwyt_obiektu~="")then KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu); local lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=uchwyt_obiektu; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_obiektu)and(not parametry_modul["CzySąElementyNumerowaneTablicy"](tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu])))then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_obiektu=true; end; if(tab_numer)then tab_numer[nazwa_obiektu]=tab_numer[nazwa_obiektu]+1; local numer=tab_numer[nazwa_obiektu]; table.insert(tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu],numer,lista_dwuelementowa); else table.insert(tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu],lista_dwuelementowa); end; return lista_dwuelementowa; end; end; function p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,numer_numeracji,tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local uchwyt_obiektu=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[numer_numeracji]; if(uchwyt_obiektu)then local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieElementuUchwytuNumeracji(self,uchwyt_obiektu,tab_numer,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return lista_dwuelementowa; end; end; function p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(nazwa_ksiazki))then if(nazwa_artykulu=="")then return;end; local czy_element_wystepuje_w_tablicy=false; local tablica_przestrzeni_wszystkiego=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron; if(tablica_przestrzeni_wszystkiego)then local tabela_przestrzeni_ksiazek=tablica_przestrzeni_wszystkiego[nazwa_przestrzeni]; if(tabela_przestrzeni_ksiazek)then local tabela_ksiazek=tabela_przestrzeni_ksiazek[nazwa_przestrzeni_ksiazki] if(tabela_ksiazek)then local tab_ksiazki=tabela_ksiazek[nazwa_ksiazki]; if(tab_ksiazki)then if(tab_ksiazki.spis)then --czy_lista_niepusta=true; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); for _,tab_value in ipairs(tab_ksiazki.spis)do if(tab_value[2])then for _,artykul_w_bazie_element in ipairs(tab_value[2])do local artykul_w_bazie=artykul_w_bazie_element[1]; local czy_table=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie); artykul_w_bazie=czy_table and artykul_w_bazie[1] or artykul_w_bazie; local artykul_bez_naglowka_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.TylkoNazwaStronyWoluminuZTabeliPublikacji(artykul_w_bazie); if(artykul_bez_naglowka_w_bazie==nazwa_artykulu)then czy_element_wystepuje_w_tablicy=true; break; end; end; end; if(czy_element_wystepuje_w_tablicy)then break;end; end; end; end; end; end; end; if(not czy_element_wystepuje_w_tablicy)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu~=nazwa_ksiazki) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu~=nazwa_artykulu))then if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki)))then stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"brak spisów treści do dołączonych stron",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; elseif(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak spisu treści do korzystanych stron"))then if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak spisu treści do korzystanych stron"); end; end; end; end; end; function p.PusteParametryReferencji(self, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu) local czy_ksiazka_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(nazwa_ksiazki)and (nazwa_ksiazki=="") or nil; local czy_artykul_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(nazwa_artykulu)and (nazwa_artykulu=="") or nil; local czy_uchwyt_obiektu_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(uchwyt_obiektu)and (uchwyt_obiektu=="") or nil; ---- local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); ---- if(czy_uchwyt_obiektu_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,1))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,1); end; end; if(czy_artykul_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,2))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,2); end; end; if(czy_ksiazka_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,3))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,3); end; end; end; function p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,bezuchwytowe) local nazwa_artykulu=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[bezuchwytowe and 1 or 2]; local pelna_nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[bezuchwytowe and 2 or 3]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local html_modul=require("Module:Html"); if(nazwa_artykulu)then nazwa_artykulu=html_modul.DecodeHtml(nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_artykulu=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_artykulu,[2]="",}; end; local nazwa_ksiazki;local nazwa_przestrzeni_ksiazki;local nazwa_przestrzeni; if(pelna_nazwa_ksiazki)then pelna_nazwa_ksiazki=html_modul.DecodeHtml(pelna_nazwa_ksiazki,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); pelna_nazwa_ksiazki=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=pelna_nazwa_ksiazki,[2]=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,}; ---- local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); pelna_nazwa_ksiazki=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaStronicowejKsiążki"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw)) or (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw))); --pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); end; return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; function p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie,czy_inna_wartosc_tekst,tab_nazwy) local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; if(not czy_inna_wartosc_tekst)then nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,self.nazwa_modulu_biezaca,true); else nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=tab_nazwy[1],tab_nazwy[2],tab_nazwy[3],tab_nazwy[4]; end; --local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); --pelna_nazwa_ksiazki=pelna_nazwa_ksiazki or ksiazkowe_modul["PełnaNazwaStronicowejKsiążki"](); --nazwa_artykulu=nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](); if((nazwa_przestrzeni)or(nazwa_przestrzeni_ksiazki)or(nazwa_ksiazki)or(nazwa_artykulu))then local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](nil,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwa_przestrzeni_ksiazki or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeniKsiążki"](nil,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=nazwa_ksiazki or ksiazkowe_modul["NazwaTytułuKsiążki"](nil,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](nil,tabela_nazw); if(KtorySzablonMaZwracacKategorie)then KtorySzablonMaZwracacKategorie();end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false); end; end; function p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not nazwa_przestrzeni)and(not nazwa_jednostki))then return;end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((nazwa_jednostki) and (nazwa_jednostki==""))then return;end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); if((nazwa_jednostki and mw.ustring.match(nazwa_jednostki,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu())) or (nazwa_przestrzeni and mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu())) )then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local html_modul=require("Module:Html"); if(nazwa_jednostki)then nazwa_jednostki=html_modul.DecodeHtml(nazwa_jednostki,true); end; local tabela_nazw_art={}; local nazwa_jednostki=(nazwa_jednostki and mw.ustring.gsub(nazwa_jednostki,"^([^#]*)#(.*)$","%1") or nil ) or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułu"](nil,tabela_nazw_art); if(nazwa_przestrzeni)then nazwa_przestrzeni=html_modul.DecodeHtml(nazwa_przestrzeni,true); end; local nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](nil,tabela_nazw_art); local strona=((nazwa_przestrzeni~="") and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..nazwa_jednostki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=self.nazwa_modulu_biezaca,}; --strona=ksiazkowe_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](strona); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](strona,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw)) or (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw))); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); if(KtorySzablonMaZwracacKategorie)then KtorySzablonMaZwracacKategorie();end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false,nil,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej); end; function p.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca) local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local czy_inna_wartosc_tekst=true; if((nazwa_artykulu)and(nazwa_ksiazki))then --local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwy_modul["NazwaModułu"]("",nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); elseif((nazwa_artykulu)and(not nazwa_ksiazki))then local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](); local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"]()..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); ---- tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwa_jednostki; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); elseif((not nazwa_artykulu)and(nazwa_ksiazki))then local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](); local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"](); ---- tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwa_jednostki; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); else p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); end; end; function p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_SPRAWDZANIE) local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); if(((nazwa_przestrzeni)and(((nazwa_przestrzeni~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_przestrzeni)))or(nazwa_przestrzeni==""))) and((nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_przestrzeni_ksiazki)))or(nazwa_przestrzeni_ksiazki==""))) and((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_ksiazki))) and((nazwa_artykulu)and(((nazwa_artykulu~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_artykulu)))or(nazwa_artykulu==""))) )then if(__FUNKCJA_SPRAWDZANIE)then __FUNKCJA_SPRAWDZANIE(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu); end; else local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu==nazwa_przestrzeni_ksiazki) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu==nazwa_ksiazki) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu==nazwa_artykulu))then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy korzystanych stron"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy korzystanych stron"); end; else if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy stron dołączanych do stron"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy stron dołączanych do stron"); end; end; end; end; function p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz) local linkobiekttab=tablica_zmiennych.linkobiekt[nazwa_obiektu]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_linku)and(not parametry_modul["CzySąElementyNumerowaneTablicy"](linkobiekttab)))then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki)))then p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_linku=true; end; table.insert(linkobiekttab,uchwyt_obiektu); if(czy_pobierz)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane={}; end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane,{{nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,},{obiekt,kod,},}); end; end; function p.LinkowanieInnychStron(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,czy_pobierz) p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,function() local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(parametry_modul.CzyTak(nazwa_ksiazki))and(nazwa_artykulu))then local tablica_zmiennych2={}; tablica_zmiennych2.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={} local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0,tablica_zmiennych2,czy_inna=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false,tablica_zmiennych2); if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0)then if((not czy_inna)or(not tablica_zmiennych2))then return;end; local stronicowyparser_szablony_tekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); local JuzPoliczone=function() if(czy_pobierz)then stronicowyparser_szablony_tekstu_modul.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,false); end; if(not tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone)then tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone={};end; local tab_nazwa_obiektu=tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]; if(not tab_nazwa_obiektu)then tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]={}; tab_nazwa_obiektu=tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]; end; local tab_uchwyt=tab_nazwa_obiektu[uchwyt_obiektu]; if(tab_uchwyt)then return true; end; tab_nazwa_obiektu[uchwyt_obiektu]=true; return false; end; if(not parametry_modul.CzyTak(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0))then local czy_policzone=JuzPoliczone(); if(czy_policzone)then return; end; else JuzPoliczone(); end; stronicowyparser_szablony_tekstu_modul.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2); p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu); local czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2=tablica_zmiennych2.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu]; local CzyLink=czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2.CzyLink; local ile_razy=0; if(czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2)then for _, parametry_obiektu in ipairs(czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2) do if(parametry_obiektu[1]==uchwyt_obiektu)then ile_razy=ile_razy+1; if(ile_razy>1)then break;end; end; end; end if(ile_razy~=1)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"błędy uchwytów korzystanych stron",(CzyLink and "Link" or "Pobierz")..nazwa_obiektu))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"błędy uchwytów korzystanych stron",(CzyLink and "Link" or "Pobierz")..nazwa_obiektu); end; p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; else local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"błąd wewnętrzny modułu lua stronicowego parsera"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"błąd wewnętrzny modułu lua stronicowego parsera"); end; end; else p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; end); end; function p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie,czy_pobierz) local uchwyt_obiektu=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,self.nazwa_modulu_biezaca); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.CzyTak(uchwyt_obiektu))then local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); uchwyt_obiektu=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(uchwyt_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or uchwyt_obiektu; local html_modul=require("Module:Html"); uchwyt_obiektu=html_modul.DecodeHtml(uchwyt_obiektu,true); end; ---- local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); ---- if(parametry_modul.CzyTak(uchwyt_obiektu))then nazwa_artykulu=(nazwa_artykulu or (nazwa_ksiazki and "" or nil)); if(nazwa_artykulu)then if(nazwa_artykulu~="")then if(not nazwa_ksiazki)then nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; elseif(nazwa_ksiazki=="")then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); return; end; elseif((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki~=""))then nazwa_artykulu=""; elseif((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki==""))then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); return; else nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; end; if((nazwa_przestrzeni~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni) or(nazwa_przestrzeni_ksiazki~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu) or(nazwa_ksiazki~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu) or(nazwa_artykulu~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu))then p.LinkowanieInnychStron(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,czy_pobierz); else p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz); p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; else p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz) p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; elseif((uchwyt_obiektu)and(uchwyt_obiektu==""))then p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,nil); p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); elseif(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak uchwytu",nazwa_obiektu))then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak uchwytu",nazwa_obiektu); end; KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu); end; function p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, czy_artykul_korzystany,tablica_zmiennych,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej) local function __FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]={};end; local tablica_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; if(not tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki])then tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]={};end; local tablica_przestrzeni_ksiazki=tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; if(not tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki])then tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]={};end; local tablica_ksiazki=tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]; if(not tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu)then tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu={};end; if(nazwa_artykulu)then if(not tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu])then tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu]={};end; local artykul_analizowany=tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu]; return tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany; else return tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki; end; end; local korzystany_wolumin=false; local function __FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if(not czy_artykul_korzystany)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu)then if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu==nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu==nazwa_ksiazki))then korzystany_wolumin=true; if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu==nazwa_artykulu)then return 0,nil,nil,nil,nil,nil,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron,false; else if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=true; end; end; else if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=true; end; end; else return nil; end; else korzystany_wolumin=true; end; if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron)then local tabela_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; if(tabela_przestrzeni)then local tabela_przestrzeni_ksiazki=tabela_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; if(tabela_przestrzeni_ksiazki)then local tabela_ksiazka=tabela_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]; if(tabela_ksiazka)then local lista_artykolow=tabela_ksiazka.lista_podstron_woluminu; if(lista_artykolow)then local tabela_artykul=lista_artykolow[nazwa_artykulu]; if(tabela_artykul)then local dane_zebrane_ze_stron=tabela_artykul.dane_zebrane_ze_stron; ---- if(not czy_artykul_korzystany)then if(tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION)then local wynik=tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION(); if(wynik)then tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION=nil; end; end; end; return 0,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni,dane_zebrane_ze_stron,true; end; end; end; end; end; else return nil; end; else return nil; end; return true; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local function StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if((czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej)and(not czy_artykul_korzystany)and(tabela_artykul)and(not tabela_artykul.strona_zbiorcza))then --local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); local TakFun=function(frame) return "tak";end;local NieFun=function(frame) return "";end; tabela_artykul.strona_zbiorcza=stronicowyparser_stronasubst_modul.AnalizaStronaSubst(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,spis,nil,TakFun,NieFun,nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; end; if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; end; ---- local pozawoluminowe_strony; ---- local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Main) and(nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Wikijunior) and((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.User)or(not mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni_ksiazki,"^([^/]+)$"))) and((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Wikibooks)or(not mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni_ksiazki,"^%s*[Bb]rudnopis/([^/]+)$"))) )then stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); pozawoluminowe_strony=true; end; ---- local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref=nil; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref=nil; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref=nil; ---- local function InneInformacjePrzebneDoAnalizowanejKsiazki() if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(nazwa_ksiazki))then if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"]="tak";end; end; local czy_ksiazka_istnieje_w_tablicy=((tablica_ksiazki)and(tablica_ksiazki.czy_spis_analizowano))and true or false; if(not czy_ksiazka_istnieje_w_tablicy)then tablica_ksiazki.czy_spis_analizowano=true; local stronicowyparser_spistresci_modul=require("Module:StronicowyParser/SpisTreści"); local nazwa_przestrzeni_strona_temp,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona_temp,nazwa_ksiazki_strona_temp; local tabela_artykulow,tabela_licencji_spisu_tresci,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci=stronicowyparser_spistresci_modul.ZbieranieInformacjiSpisuRzeczyWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,czy_artykul_korzystany,function(nazwa_przestrzeni_strona,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona,nazwa_ksiazki_strona) local tablica_przestrzeni_strona=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni_strona]; if(tablica_przestrzeni_strona)then local tablica_przestrzeni_ksiazki_strona=tablica_przestrzeni_strona[nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona]; if(tablica_przestrzeni_ksiazki_strona)then local tablica_ksiazki_strona=tablica_przestrzeni_ksiazki_strona[nazwa_ksiazki_strona]; if(tablica_ksiazki_strona)then if(tablica_ksiazki_strona.spis)then nazwa_przestrzeni_strona_temp,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona_temp,nazwa_ksiazki_strona_temp=nazwa_przestrzeni_strona,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona,nazwa_ksiazki_strona; tablica_ksiazki.spis=tablica_ksiazki_strona.spis; tablica_ksiazki.licencja=tablica_ksiazki_strona.licencja; tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu=tablica_ksiazki_strona.nazwa_bazowego_spisu; tablica_ksiazki.tab_inne_spisy=tablica_ksiazki_strona.tab_inne_spisy; tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu=tablica_ksiazki_strona.dodatkowe_strony_woluminu; tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy=tablica_ksiazki_strona.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy; tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni_strona,tablica_przestrzeni_ksiazki_strona,tablica_ksiazki_strona,}; return 1; end; end; end end; end,function(tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref_spis,nazwa_przestrzeni_ref_spis,nazwa_przestrzeni_ksiazki_ref_spis,nazwa_ksiazki_ref_spis,nazwa_artykulu_ref_spis,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref_spis,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref_spis) ---- if((nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni_ref_spis)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki==nazwa_przestrzeni_ksiazki_ref_spis)and(nazwa_ksiazki==nazwa_ksiazki_ref_spis)and(nazwa_artykulu==nazwa_artykulu_ref_spis))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref=tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref_spis; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref=parametry_modul["KopiujRekurencyjnieTabelęElementów"](tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref_spis); tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref=parametry_modul["KopiujRekurencyjnieTabelęElementów"](tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref_spis); end; ---- end); local function __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,czy_podac_adres) tablica_ksiazki.spis=tabela_artykulow; if(czy_artykul_korzystany)then tablica_ksiazki.licencja=tabela_licencji_spisu_tresci; end; tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu=nazwa_glownego_spisu; tablica_ksiazki.tab_inne_spisy=tab_inne_spisy; tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu=dodatkowe_artykuly; tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy=czy_podac_adres and adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci or nil; end; if(tabela_artykulow==0)then if(czy_artykul_korzystany)then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"korzystana strona główna nie istnieje"); else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"dołączone strony główne nie istnieją",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; elseif(tabela_artykulow)then if(parametry_modul.TypeTable(tabela_artykulow))then if(adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci)then __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,true); local tablica_ksiazki_stara=tablica_ksiazki; local artykul,kod_wyniku=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,true); local nazwa_przestrzeni=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[1]; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[2]; local nazwa_ksiazki=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[3]; if((kod_wyniku==1)or(kod_wyniku==2))then local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,true; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then local nazwa_artykulu=artykul; StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,true; end; local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni ,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); tablica_ksiazki_stara.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,}; __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); return nil,nil,artykul,kod_wyniku; elseif((kod_wyniku==3)or(kod_wyniku==4))then local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); tablica_ksiazki_stara.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,}; __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); return nil,nil,artykul,kod_wyniku; end; else __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); end; elseif(tabela_artykulow~=1)then local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,true; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,true; end; end; else if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak spisów treści do korzystanych książek na ich stronach głównych"))then if(((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu=="")and(nazwa_artykulu~=""))or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu~=""))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak spisów treści do korzystanych książek na ich stronach głównych"); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"brak spisów treści do dołączonych książek na ich stronach głównych",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; end; end; end; end; end; ---- local wartosc_wyniku,wynik_bledu,artykul_bazowy,kod_wyniku_bazowy=InneInformacjePrzebneDoAnalizowanejKsiazki(); if(wynik_bledu)then return wartosc_wyniku;end; local kod_wyniku_przekierowan=kod_wyniku_bazowy; ---- --if((not tablica_przestrzeni)or(not tablica_przestrzeni_ksiazki)or(not tablica_ksiazki)or(not artykul_analizowany))then -- tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); --end; ---- if((tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy)and(kod_wyniku_bazowy))--[[and((kod_wyniku_bazowy==1)or(kod_wyniku_bazowy==2))]]then ---- nazwa_przestrzeni=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[1]; nazwa_przestrzeni_ksiazki=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[2]; nazwa_ksiazki=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[3]; nazwa_artykulu=artykul_bazowy; ---- tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki=tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[1],tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[2],tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[3]; end; local tabela_artykulow=tablica_ksiazki.spis; if(tabela_artykulow)then local nazwa_glownego_spisu=tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu; local tab_inne_spisy=tablica_ksiazki.tab_inne_spisy; local dodatkowe_artykuly=tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu local artykul,kod_wyniku=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,false); if(kod_wyniku)then nazwa_artykulu=artykul; tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; kod_wyniku_przekierowan=kod_wyniku_przekierowan or kod_wyniku; end; local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local PrzekierownieAwaryjne=function() if(not kod_wyniku_przekierowan)then --local artykul2,kod_wyniku2=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local strona=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(nazwa_modulu); if(strona)then if(strona~=nazwa_modulu)then ---- local tabela_nazw={}; nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](strona,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw)); nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazwa); local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku; end; tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); nazwa_modulu=strona; else return 0; end; end; end; end; local wynik=PrzekierownieAwaryjne(); if(czy_artykul_korzystany)then self.nazwa_modulu_biezaca=nazwa_modulu; end; if(wynik)then return wynik;end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then if((not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu=nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu=nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu=nazwa_artykulu; end; end; local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and nazwy_modul["NazwaModułu"](self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu) or nazwa_modulu; -- przydzielanie tablicy if(czy_artykul_korzystany)then artykul_analizowany.artykul_biezacy=true; tablica_ksiazki.ksiazka_analizowana=true; end; --koniec --local iterator=mw.ustring.gmatch(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"{{[^{}]-}}"); if(not tablica_zmiennych)then tablica_zmiennych={};end; if(not tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2)then tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={};end; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); for _,element_w_tablicy_obiekt in pairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_obiektowych_form)do local CzyLink=element_w_tablicy_obiekt.CzyLink; local CzyNum=element_w_tablicy_obiekt.CzyNum; local wartosc=element_w_tablicy_obiekt[1]; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[wartosc]={CzyLink=CzyLink,CzyNum=CzyNum,}; if(czy_artykul_korzystany)then tablica_zmiennych.linkobiekt[wartosc]={CzyLink=CzyLink,CzyNum=CzyNum;};end; end; local function StronaZbiorcza() if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); local TakFun=function(frame) return true;end;local NieFun=function(frame) return nil;end; local wynik=stronicowyparser_stronasubst_modul.AnalizaStronaSubst(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,tablica_ksiazki.spis,nil,TakFun,NieFun,nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); artykul_analizowany.strona_zbiorcza=(wynik and "tak" or ""); return wynik; end; return nil; end; local strona_zbiorcza=StronaZbiorcza(); local pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; if((not tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref)or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref)or(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=stronicowyparser_tekst_modul.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,(((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca))and true or nil), nil) else tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref; end; ---- if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tekst_rozwiniety_calego_artykulu)then return 0;end; end; if(czy_artykul_korzystany)then if(not tekst_rozwiniety_calego_artykulu)then if(strona_zbiorcza)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyStronaSubst"]="tak"; end; return nil; end; end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca))then local aktualna_nazwa_modulu=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca or nazwy_modul["NazwaModułu"](self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu); local tekst=stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(self,aktualna_nazwa_modulu); if(tekst)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst,aktualna_nazwa_modulu); local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony={}; for szablon,obiekt,kod in iterator do if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,aktualna_nazwa_modulu,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if(stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; return true; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start[nazwa_szablonu])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie=tabela_parametrow_szablonu["formatowanie"]; local boczne_menu=tabela_parametrow_szablonu["boczne menu"] or ""; local spis_tresci=tabela_parametrow_szablonu["spis treści"] or "TOC"; if((parametry_modul.CzyTak(boczne_menu))or(parametry_modul.CzyTak(spis_tresci)))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return true; end; end); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; local uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu; local analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=nil; local stronastart=nil; ---- local tablica_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.obiekty; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.numerowane_obiekty; local format_elementowy_referencji_obiektowy=stronicowyparser_obiekty_modul.format_elementowy_referencji_obiektowy; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu; local szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze; local format_elementowy_obiektowy=stronicowyparser_obiekty_modul.format_elementowy_obiektowy; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.numerowane_obiekty; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_naglowka=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu; ---- local strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start; local strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony; local strona_start_inne=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_inne; local szablony_strony_zbiorczej=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_zbiorcza; ---- local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; local tab_szablony_stronicowe_formatowania_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; ---- local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local tabela_elementow_strony_kodow={}; -- for uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod in iterator do local function AnalizaParametrowaOrazNazwowaStronicowegoIteratoraSzablonowego(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer) if(czy_artykul_korzystany)then if(tabela_parametrow_szablonu)then if((not stronastart)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie==nil))then if(strona_start[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie=tabela_parametrow_szablonu["formatowanie"]; stronastart=true; local boczne_menu=tabela_parametrow_szablonu["boczne menu"] or ""; local spis_tresci=tabela_parametrow_szablonu["spis treści"] or "TOC"; if((parametry_modul.CzyTak(boczne_menu))or(parametry_modul.CzyTak(spis_tresci)))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return; elseif(strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; stronastart=true; return; elseif(strona_start_inne[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; stronastart=true; return; elseif((strona_zbiorcza)and(not analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=true; local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not parametry_modul.CzyTak(nazwa_prestreni_nazw))and(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_jednostki)))then return; end; end; elseif((strona_zbiorcza)and(not analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=true; local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not parametry_modul.CzyTak(nazwa_przestrzeni))and(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_jednostki)))then return; end; end; end; end; local plik=mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^:"); if(plik==nil)then if(tabela_parametrow_szablonu)then if(not parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["bez automatu"]))then local czy_wypowiedzenie=(nazwa_szablonu_wywolania=="Wypowiedzenie"); local czy_linkobiekt; local czy_link;local czy_pobierz; local czy_wypowiedzenie_z_parametrami; local czy_linkobiekt_z_parametrami; if(czy_wypowiedzenie)then czy_linkobiekt=false; czy_link=false; czy_pobierz=false; czy_wypowiedzenie_z_parametrami=parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["rodzaj"]); else czy_linkobiekt=(nazwa_szablonu_wywolania=="LinkObiekt"); if(czy_linkobiekt)then czy_link=true; czy_pobierz=false; czy_linkobiekt_z_parametrami=parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["typ"]); else czy_link=mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^Link"); czy_pobierz=(not czy_link) and mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^Pobierz") or nil; end; end; if((not czy_link)and(not czy_pobierz))then local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(not czy_wypowiedzenie_z_parametrami) then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty[nazwa_szablonu_wywolania]; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; else local rodzaj=tabela_parametrow_szablonu["rodzaj"]; if(rodzaj)then wartosc_elementu=format_elementowy_obiektowy[rodzaj] and rodzaj or nil; if(wartosc_elementu)then numer_uchwytu=tablica_obiekty[5]; end; end; end; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; end; elseif(czy_artykul_korzystany)then if(czy_link)then local wartosc_elementu; if(not czy_linkobiekt_z_parametrami)then wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty[nazwa_szablonu_wywolania]; else local typ=tabela_parametrow_szablonu["typ"]; if(typ)then typ=format_elementowy_referencji_obiektowy[typ] and typ or nil; if(typ)then wartosc_elementu=mw.getContentLanguage():ucfirst(typ); end; end; end; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="Link"..wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; else local wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(wartosc_elementu)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=nil; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; else self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; end; return; end; end; elseif(czy_pobierz)then local wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie,true); return; end; end; end; if(czy_wypowiedzenie)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="Obiekt:"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,"Obiekt", czy_artykul_korzystany,tablica_obiekty[5],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania])then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_naglowka[nazwa_szablonu_wywolania]; local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); p.UchwytyZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,kod); if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania])then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); if(lista_dwuelementowa)then local stronicowyparser_szablonytekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); local tekst=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu); local bez_preprocess=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu); local czy_bez_preprocess=parametry_modul.CzyTak(bez_preprocess); if(tekst)then local czy_szablon_wszystko=false; tekst=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(tekst,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, function(szablon,obiekt,kod) if(czy_bez_preprocess)then return nil;end; if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if( (tab_szablony[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_formatowania_tekstu[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu]) )then if(not czy_artykul_korzystany)then tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")) if(self)then local czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); if(czy_link_lub_pobierz)then p.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end; return nil; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- instrukcje warunkowe; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- wywołania ramek Lua w Scribunto return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- tagi szablonowe; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end); czy_szablon_wszystko=czy_szablon_wszystko or true; if(wynik)then return wynik;end; elseif(obiekt=="ZMIENNA")then czy_szablon_wszystko=czy_szablon_wszystko or true; local zawartosc=mw.ustring.match(szablon,"^{{{(.*)}}}$"); if(zawartosc)then zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"|","{{!}}"); return "{{(((}}"..zawartosc.."{{)))}}"; end; end; end); if((czy_szablon_wszystko)and(not bez_preprocess))then local frame=mw.getCurrentFrame(); tekst=frame:preprocess(tekst); end; lista_dwuelementowa[2]=tekst; end; --local __metatabelka=getmetatable(tabela_parametrow_szablonu); --if(__metatabelka)then setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,nil);end; stronicowyparser_szablonytekstu_modul.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany); end; return; elseif(czy_artykul_korzystany)then if(czy_linkobiekt)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="LinkObiekt:"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,"Obiekt",nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; else if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_z_lokalnym_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.bez_uchwytow_spis_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[2] or ""; local artykul=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[1] or ""; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_ksiazki..((artykul)and ("/"..artykul) or "") end; end; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=nil; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; else self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; end; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu[nazwa_szablonu_wywolania])then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[2] or ""; local artykul=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[1] or ""; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_ksiazki..((artykul)and ("/"..artykul) or "") end; end; if( (parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["dokumentacja"])) and(parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["parser"])) )then p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie); end; return; else local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ""; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or ""; local nazwa_symulacyjnej_strony=((nazwa_przestrzeni~="") and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..nazwa_jednostki; local uchwyt=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_symulacyjnej_strony; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=uchwyt; end; end; if((stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_kontenerowe[nazwa_szablonu_wywolania]) or(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]) )then if(szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze[nazwa_szablonu_wywolania])then p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,true,KtorySzablonMaZwracacKategorie); else p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,KtorySzablonMaZwracacKategorie); end; return; elseif((strona_zbiorcza)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,true,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; end; end; end; end; end; end; end; end; ---- local function GeneralnaAnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer) stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,AnalizaParametrowaOrazNazwowaStronicowegoIteratoraSzablonowego); end; local function IterowaniePoElementachTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_numer) local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod in iterator do GeneralnaAnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer); end; end; if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_bazowa_strony=nazwy_modul["PEŁNABAZOWANAZWASTRONY"](nazwa_modulu); end; IterowaniePoElementachTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu); ---- local tablica_danych_nazwy_artykulu=tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu] or {}; tablica_danych_nazwy_artykulu.uchwyty_i_numeracje=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2; ---- local wiki_modul=require("Module:Wiki"); tablica_danych_nazwy_artykulu.link_wikidane={wiki_modul.KodyKlasStronyNaDanejWiki{["strona"]=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,["nagłówek"]=true,["aktywny"]=true,},}; if(not czy_artykul_korzystany)then if(pozawoluminowe_strony)then if(not tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony)then local nazwa_modulu_korzystana_bazowa=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_bazowa_strony; local stronicowyparser_pomocne_modul=require("Module:StronicowyParser/Pomocne"); local zrostek=stronicowyparser_pomocne_modul["SkrótDoNumeruOdnośnika"](nazwa_modulu_korzystana_bazowa,nazwa_modulu); tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony={zrostek,pozawoluminowe_strony,czy_artykul_korzystany,}; end; else local niekorzystany_wolumin=(not korzystany_wolumin); if(niekorzystany_wolumin)then if(not tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony)then local stronicowyparser_pomocne_modul=require("Module:StronicowyParser/Pomocne"); local zrostek=stronicowyparser_pomocne_modul["SkrótDoNumeruOdnośnikaDołączonejKsiążki"](nazwa_ksiazki); tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony={zrostek,niekorzystany_wolumin,czy_artykul_korzystany,}; end; end; end; end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then if(analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)then local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=stronicowyparser_stronasubst_modul.LiczOperacjeStronZbiorczych(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_ksiazki.spis,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); end; end; local strona; if(czy_artykul_korzystany)then strona="";else strona=nazwa_modulu;end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_szablonytekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); stronicowyparser_szablonytekstu_modul.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu) or tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; ---- local function SpisToc(self,czy_artykul_korzystany,tablica_danych_nazwy_artykulu,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca) return function() if(((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane)) or((not czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)))then ---- local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=nil; ---- tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=szablonowe_modul:KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,false); ---- local function KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu) if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"powtórka nagłowek w stronie korzystanej"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"powtórka nagłowek w stronie korzystanej"); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"powtórka nagłówek w stronie dołączonej",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu) if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"nagłowek w tekście rozdziału w stronie dołączonej",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; end; local function CzyJestTakiProblemJakoElementTablicySzablonuNaglowkaPozaNapisemWprowadzeniaTekstu() return stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"); end; local nazwa_naglowka=stronicowyparser_obiekty_modul.nazwa_szablonu_wprowadzenia_tekstu; local stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul=require("Module:StronicowyParser/GłównaFunkcjaZbieraniaDanychStron"); local tablica_naglowka_obiekty=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_naglowka]; tablica_naglowka_obiekty.uchwyty_bez_numeracji={}; local toc=stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,strona, czy_artykul_korzystany,nil,tablica_naglowka_obiekty.uchwyty_bez_numeracji, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,{KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek,KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst,CzyJestTakiProblemJakoElementTablicySzablonuNaglowkaPozaNapisemWprowadzeniaTekstu,},nil,tabela_elementow_strony_kodow); tablica_danych_nazwy_artykulu.TOC=toc; return true; end; end; end; local czy_spis_function=SpisToc(self,czy_artykul_korzystany,tablica_danych_nazwy_artykulu,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local wynik=czy_spis_function(); if(not czy_artykul_korzystany)then if(not wynik)then tablica_danych_nazwy_artykulu.TOCSPIS_FUNCTION=czy_spis_function; end; end; StronaSubstFunkcja(tablica_danych_nazwy_artykulu,tablica_ksiazki.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.link_wikidane=tablica_danych_nazwy_artykulu.link_wikidane; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.prefiks_numeru_woluminowego_strony=tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnego_artykulu=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_przestrzeni_nazw=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_przestrzeni_nazw[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki[nazwa_ksiazki]; --self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron=tablica_zmiennych; end; if(not czy_artykul_korzystany)then tablica_danych_nazwy_artykulu.dane_zebrane_ze_stron=tablica_zmiennych; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista={};end; table.insert(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista,tablica_danych_nazwy_artykulu); else local dane_zebrane_ze_stron_lista=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista; if(dane_zebrane_ze_stron_lista)then for _,tablica_danych_nazwy_artykulu in ipairs(dane_zebrane_ze_stron_lista)do tablica_danych_nazwy_artykulu.dane_zebrane_ze_stron=nil; tablica_danych_nazwy_artykulu.TOCSPIS_FUNCTION=nil; end; end; tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane=nil; end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,tablica_zmiennych,true; end; return p; pc01zb0sw614ejmnahfdu1j63ltf3a4 555445 555442 2026-09-10T03:07:47Z Persino 2851 555445 Scribunto text/plain local p={}; function p.UchwytyZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_obiektu,lista_dwuelementowa,kod) if(lista_dwuelementowa)then local tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; if(not tab_obiekt)then tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]={}; tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; end; local uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; if(not uchwyty_bez_numeracji)then tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji={}; uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; end; uchwyty_bez_numeracji[kod]=lista_dwuelementowa; end; end; function p.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_obiektu,kod) local tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; if(not tab_obiekt)then return nil;end; local uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; if(uchwyty_bez_numeracji)then return uchwyty_bez_numeracji[kod]; end; end; function p.RozpatrywanieElementuUchwytuNumeracji(self,uchwyt_obiektu,tab_numer,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); uchwyt_obiektu=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(uchwyt_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or uchwyt_obiektu; local html_modul=require("Module:Html"); uchwyt_obiektu=html_modul.DecodeHtml(uchwyt_obiektu,true); if(uchwyt_obiektu~="")then KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu); local lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=uchwyt_obiektu; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_obiektu)and(not parametry_modul["CzySąElementyNumerowaneTablicy"](tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu])))then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_obiektu=true; end; if(tab_numer)then tab_numer[nazwa_obiektu]=tab_numer[nazwa_obiektu]+1; local numer=tab_numer[nazwa_obiektu]; table.insert(tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu],numer,lista_dwuelementowa); else table.insert(tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu],lista_dwuelementowa); end; return lista_dwuelementowa; end; end; function p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,numer_numeracji,tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local uchwyt_obiektu=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[numer_numeracji]; if(uchwyt_obiektu)then local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieElementuUchwytuNumeracji(self,uchwyt_obiektu,tab_numer,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return lista_dwuelementowa; end; end; function p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(nazwa_ksiazki))then if(nazwa_artykulu=="")then return;end; local czy_element_wystepuje_w_tablicy=false; local tablica_przestrzeni_wszystkiego=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron; if(tablica_przestrzeni_wszystkiego)then local tabela_przestrzeni_ksiazek=tablica_przestrzeni_wszystkiego[nazwa_przestrzeni]; if(tabela_przestrzeni_ksiazek)then local tabela_ksiazek=tabela_przestrzeni_ksiazek[nazwa_przestrzeni_ksiazki] if(tabela_ksiazek)then local tab_ksiazki=tabela_ksiazek[nazwa_ksiazki]; if(tab_ksiazki)then if(tab_ksiazki.spis)then --czy_lista_niepusta=true; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); for _,tab_value in ipairs(tab_ksiazki.spis)do if(tab_value[2])then for _,artykul_w_bazie_element in ipairs(tab_value[2])do local artykul_w_bazie=artykul_w_bazie_element[1]; local czy_table=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie); artykul_w_bazie=czy_table and artykul_w_bazie[1] or artykul_w_bazie; local artykul_bez_naglowka_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.TylkoNazwaStronyWoluminuZTabeliPublikacji(artykul_w_bazie); if(artykul_bez_naglowka_w_bazie==nazwa_artykulu)then czy_element_wystepuje_w_tablicy=true; break; end; end; end; if(czy_element_wystepuje_w_tablicy)then break;end; end; end; end; end; end; end; if(not czy_element_wystepuje_w_tablicy)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu~=nazwa_ksiazki) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu~=nazwa_artykulu))then if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki)))then stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"brak spisów treści do dołączonych stron",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; elseif(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak spisu treści do korzystanych stron"))then if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak spisu treści do korzystanych stron"); end; end; end; end; end; function p.PusteParametryReferencji(self, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu) local czy_ksiazka_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(nazwa_ksiazki)and (nazwa_ksiazki=="") or nil; local czy_artykul_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(nazwa_artykulu)and (nazwa_artykulu=="") or nil; local czy_uchwyt_obiektu_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(uchwyt_obiektu)and (uchwyt_obiektu=="") or nil; ---- local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); ---- if(czy_uchwyt_obiektu_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,1))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,1); end; end; if(czy_artykul_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,2))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,2); end; end; if(czy_ksiazka_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,3))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,3); end; end; end; function p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,bezuchwytowe) local nazwa_artykulu=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[bezuchwytowe and 1 or 2]; local pelna_nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[bezuchwytowe and 2 or 3]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local html_modul=require("Module:Html"); if(nazwa_artykulu)then nazwa_artykulu=html_modul.DecodeHtml(nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_artykulu=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_artykulu,[2]="",}; end; local nazwa_ksiazki;local nazwa_przestrzeni_ksiazki;local nazwa_przestrzeni; if(pelna_nazwa_ksiazki)then pelna_nazwa_ksiazki=html_modul.DecodeHtml(pelna_nazwa_ksiazki,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); pelna_nazwa_ksiazki=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=pelna_nazwa_ksiazki,[2]=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,}; ---- local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); pelna_nazwa_ksiazki=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaStronicowejKsiążki"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw)) or (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw))); --pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); end; return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; function p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie,czy_inna_wartosc_tekst,tab_nazwy) local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; if(not czy_inna_wartosc_tekst)then nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,self.nazwa_modulu_biezaca,true); else nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=tab_nazwy[1],tab_nazwy[2],tab_nazwy[3],tab_nazwy[4]; end; --local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); --pelna_nazwa_ksiazki=pelna_nazwa_ksiazki or ksiazkowe_modul["PełnaNazwaStronicowejKsiążki"](); --nazwa_artykulu=nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](); if((nazwa_przestrzeni)or(nazwa_przestrzeni_ksiazki)or(nazwa_ksiazki)or(nazwa_artykulu))then local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](nil,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwa_przestrzeni_ksiazki or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeniKsiążki"](nil,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=nazwa_ksiazki or ksiazkowe_modul["NazwaTytułuKsiążki"](nil,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](nil,tabela_nazw); if(KtorySzablonMaZwracacKategorie)then KtorySzablonMaZwracacKategorie();end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false); end; end; function p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not nazwa_przestrzeni)and(not nazwa_jednostki))then return;end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((nazwa_jednostki) and (nazwa_jednostki==""))then return;end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); if((nazwa_jednostki and mw.ustring.match(nazwa_jednostki,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu())) or (nazwa_przestrzeni and mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu())) )then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local html_modul=require("Module:Html"); if(nazwa_jednostki)then nazwa_jednostki=html_modul.DecodeHtml(nazwa_jednostki,true); end; local tabela_nazw_art={}; local nazwa_jednostki=(nazwa_jednostki and mw.ustring.gsub(nazwa_jednostki,"^([^#]*)#(.*)$","%1") or nil ) or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułu"](nil,tabela_nazw_art); if(nazwa_przestrzeni)then nazwa_przestrzeni=html_modul.DecodeHtml(nazwa_przestrzeni,true); end; local nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](nil,tabela_nazw_art); local strona=((nazwa_przestrzeni~="") and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..nazwa_jednostki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=self.nazwa_modulu_biezaca,}; --strona=ksiazkowe_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](strona); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](strona,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw)) or (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw))); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); if(KtorySzablonMaZwracacKategorie)then KtorySzablonMaZwracacKategorie();end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false,nil,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej); end; function p.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca) local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local czy_inna_wartosc_tekst=true; if((nazwa_artykulu)and(nazwa_ksiazki))then --local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwy_modul["NazwaModułu"]("",nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); elseif((nazwa_artykulu)and(not nazwa_ksiazki))then local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](); local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"]()..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); ---- tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwa_jednostki; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); elseif((not nazwa_artykulu)and(nazwa_ksiazki))then local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](); local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"](); ---- tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwa_jednostki; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); else p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); end; end; function p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_SPRAWDZANIE) local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); if(((nazwa_przestrzeni)and(((nazwa_przestrzeni~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_przestrzeni)))or(nazwa_przestrzeni==""))) and((nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_przestrzeni_ksiazki)))or(nazwa_przestrzeni_ksiazki==""))) and((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_ksiazki))) and((nazwa_artykulu)and(((nazwa_artykulu~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_artykulu)))or(nazwa_artykulu==""))) )then if(__FUNKCJA_SPRAWDZANIE)then __FUNKCJA_SPRAWDZANIE(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu); end; else local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu==nazwa_przestrzeni_ksiazki) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu==nazwa_ksiazki) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu==nazwa_artykulu))then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy korzystanych stron"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy korzystanych stron"); end; else if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy stron dołączanych do stron"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy stron dołączanych do stron"); end; end; end; end; function p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz) local linkobiekttab=tablica_zmiennych.linkobiekt[nazwa_obiektu]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_linku)and(not parametry_modul["CzySąElementyNumerowaneTablicy"](linkobiekttab)))then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki)))then p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_linku=true; end; table.insert(linkobiekttab,uchwyt_obiektu); if(czy_pobierz)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane={}; end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane,{{nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,},{obiekt,kod,},}); end; end; function p.LinkowanieInnychStron(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,czy_pobierz) p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,function() local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(parametry_modul.CzyTak(nazwa_ksiazki))and(nazwa_artykulu))then local tablica_zmiennych2={}; tablica_zmiennych2.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={} local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0,tablica_zmiennych2,czy_inna=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false,tablica_zmiennych2); if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0)then if((not czy_inna)or(not tablica_zmiennych2))then return;end; local stronicowyparser_szablony_tekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); local JuzPoliczone=function() if(czy_pobierz)then stronicowyparser_szablony_tekstu_modul.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,false); end; if(not tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone)then tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone={};end; local tab_nazwa_obiektu=tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]; if(not tab_nazwa_obiektu)then tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]={}; tab_nazwa_obiektu=tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]; end; local tab_uchwyt=tab_nazwa_obiektu[uchwyt_obiektu]; if(tab_uchwyt)then return true; end; tab_nazwa_obiektu[uchwyt_obiektu]=true; return false; end; if(not parametry_modul.CzyTak(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0))then local czy_policzone=JuzPoliczone(); if(czy_policzone)then return; end; else JuzPoliczone(); end; stronicowyparser_szablony_tekstu_modul.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2); p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu); local czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2=tablica_zmiennych2.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu]; local CzyLink=czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2.CzyLink; local ile_razy=0; if(czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2)then for _, parametry_obiektu in ipairs(czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2) do if(parametry_obiektu[1]==uchwyt_obiektu)then ile_razy=ile_razy+1; if(ile_razy>1)then break;end; end; end; end if(ile_razy~=1)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"błędy uchwytów korzystanych stron",(CzyLink and "Link" or "Pobierz")..nazwa_obiektu))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"błędy uchwytów korzystanych stron",(CzyLink and "Link" or "Pobierz")..nazwa_obiektu); end; p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; else local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"błąd wewnętrzny modułu lua stronicowego parsera"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"błąd wewnętrzny modułu lua stronicowego parsera"); end; end; else p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; end); end; function p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie,czy_pobierz) local uchwyt_obiektu=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,self.nazwa_modulu_biezaca); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.CzyTak(uchwyt_obiektu))then local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); uchwyt_obiektu=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(uchwyt_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or uchwyt_obiektu; local html_modul=require("Module:Html"); uchwyt_obiektu=html_modul.DecodeHtml(uchwyt_obiektu,true); end; ---- local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); ---- if(parametry_modul.CzyTak(uchwyt_obiektu))then nazwa_artykulu=(nazwa_artykulu or (nazwa_ksiazki and "" or nil)); if(nazwa_artykulu)then if(nazwa_artykulu~="")then if(not nazwa_ksiazki)then nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; elseif(nazwa_ksiazki=="")then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); return; end; elseif((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki~=""))then nazwa_artykulu=""; elseif((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki==""))then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); return; else nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; end; if((nazwa_przestrzeni~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni) or(nazwa_przestrzeni_ksiazki~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu) or(nazwa_ksiazki~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu) or(nazwa_artykulu~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu))then p.LinkowanieInnychStron(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,czy_pobierz); else p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz); p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; else p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz) p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; elseif((uchwyt_obiektu)and(uchwyt_obiektu==""))then p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,nil); p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); elseif(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak uchwytu",nazwa_obiektu))then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak uchwytu",nazwa_obiektu); end; KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu); end; function p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, czy_artykul_korzystany,tablica_zmiennych,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej) local function __FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]={};end; local tablica_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; if(not tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki])then tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]={};end; local tablica_przestrzeni_ksiazki=tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; if(not tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki])then tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]={};end; local tablica_ksiazki=tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]; if(not tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu)then tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu={};end; if(nazwa_artykulu)then if(not tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu])then tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu]={};end; local artykul_analizowany=tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu]; return tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany; else return tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki; end; end; local korzystany_wolumin=false; local function __FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if(not czy_artykul_korzystany)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu)then if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu==nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu==nazwa_ksiazki))then korzystany_wolumin=true; if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu==nazwa_artykulu)then return 0,nil,nil,nil,nil,nil,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron,false; else if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=true; end; end; else if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=true; end; end; else return nil; end; else korzystany_wolumin=true; end; if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron)then local tabela_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; if(tabela_przestrzeni)then local tabela_przestrzeni_ksiazki=tabela_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; if(tabela_przestrzeni_ksiazki)then local tabela_ksiazka=tabela_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]; if(tabela_ksiazka)then local lista_artykolow=tabela_ksiazka.lista_podstron_woluminu; if(lista_artykolow)then local tabela_artykul=lista_artykolow[nazwa_artykulu]; if(tabela_artykul)then local dane_zebrane_ze_stron=tabela_artykul.dane_zebrane_ze_stron; ---- if(not czy_artykul_korzystany)then if(tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION)then local wynik=tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION(); if(wynik)then tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION=nil; end; end; end; return 0,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni,dane_zebrane_ze_stron,true; end; end; end; end; end; else return nil; end; else return nil; end; return true; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local function StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if((czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej)and(not czy_artykul_korzystany)and(tabela_artykul)and(not tabela_artykul.strona_zbiorcza))then --local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); local TakFun=function(frame) return "tak";end;local NieFun=function(frame) return "";end; tabela_artykul.strona_zbiorcza=stronicowyparser_stronasubst_modul.AnalizaStronaSubst(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,spis,nil,TakFun,NieFun,nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; end; if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; elseif(wartosc_wyniku==0)then if(tabela_artykul)then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; else return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; end; end; ---- local pozawoluminowe_strony; ---- local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Main) and(nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Wikijunior) and((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.User)or(not mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni_ksiazki,"^([^/]+)$"))) and((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Wikibooks)or(not mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni_ksiazki,"^%s*[Bb]rudnopis/([^/]+)$"))) )then stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); pozawoluminowe_strony=true; end; ---- local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref=nil; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref=nil; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref=nil; ---- local function InneInformacjePrzebneDoAnalizowanejKsiazki() if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(nazwa_ksiazki))then if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"]="tak";end; end; local czy_ksiazka_istnieje_w_tablicy=((tablica_ksiazki)and(tablica_ksiazki.czy_spis_analizowano))and true or false; if(not czy_ksiazka_istnieje_w_tablicy)then tablica_ksiazki.czy_spis_analizowano=true; local stronicowyparser_spistresci_modul=require("Module:StronicowyParser/SpisTreści"); local nazwa_przestrzeni_strona_temp,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona_temp,nazwa_ksiazki_strona_temp; local tabela_artykulow,tabela_licencji_spisu_tresci,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci=stronicowyparser_spistresci_modul.ZbieranieInformacjiSpisuRzeczyWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,czy_artykul_korzystany,function(nazwa_przestrzeni_strona,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona,nazwa_ksiazki_strona) local tablica_przestrzeni_strona=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni_strona]; if(tablica_przestrzeni_strona)then local tablica_przestrzeni_ksiazki_strona=tablica_przestrzeni_strona[nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona]; if(tablica_przestrzeni_ksiazki_strona)then local tablica_ksiazki_strona=tablica_przestrzeni_ksiazki_strona[nazwa_ksiazki_strona]; if(tablica_ksiazki_strona)then if(tablica_ksiazki_strona.spis)then nazwa_przestrzeni_strona_temp,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona_temp,nazwa_ksiazki_strona_temp=nazwa_przestrzeni_strona,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona,nazwa_ksiazki_strona; tablica_ksiazki.spis=tablica_ksiazki_strona.spis; tablica_ksiazki.licencja=tablica_ksiazki_strona.licencja; tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu=tablica_ksiazki_strona.nazwa_bazowego_spisu; tablica_ksiazki.tab_inne_spisy=tablica_ksiazki_strona.tab_inne_spisy; tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu=tablica_ksiazki_strona.dodatkowe_strony_woluminu; tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy=tablica_ksiazki_strona.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy; tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni_strona,tablica_przestrzeni_ksiazki_strona,tablica_ksiazki_strona,}; return 1; end; end; end end; end,function(tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref_spis,nazwa_przestrzeni_ref_spis,nazwa_przestrzeni_ksiazki_ref_spis,nazwa_ksiazki_ref_spis,nazwa_artykulu_ref_spis,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref_spis,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref_spis) ---- if((nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni_ref_spis)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki==nazwa_przestrzeni_ksiazki_ref_spis)and(nazwa_ksiazki==nazwa_ksiazki_ref_spis)and(nazwa_artykulu==nazwa_artykulu_ref_spis))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref=tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref_spis; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref=parametry_modul["KopiujRekurencyjnieTabelęElementów"](tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref_spis); tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref=parametry_modul["KopiujRekurencyjnieTabelęElementów"](tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref_spis); end; ---- end); local function __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,czy_podac_adres) tablica_ksiazki.spis=tabela_artykulow; if(czy_artykul_korzystany)then tablica_ksiazki.licencja=tabela_licencji_spisu_tresci; end; tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu=nazwa_glownego_spisu; tablica_ksiazki.tab_inne_spisy=tab_inne_spisy; tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu=dodatkowe_artykuly; tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy=czy_podac_adres and adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci or nil; end; if(tabela_artykulow==0)then if(czy_artykul_korzystany)then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"korzystana strona główna nie istnieje"); else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"dołączone strony główne nie istnieją",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; elseif(tabela_artykulow)then if(parametry_modul.TypeTable(tabela_artykulow))then if(adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci)then __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,true); local tablica_ksiazki_stara=tablica_ksiazki; local artykul,kod_wyniku=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,true); local nazwa_przestrzeni=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[1]; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[2]; local nazwa_ksiazki=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[3]; if((kod_wyniku==1)or(kod_wyniku==2))then local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,true; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then local nazwa_artykulu=artykul; StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,true; end; local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni ,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); tablica_ksiazki_stara.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,}; __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); return nil,nil,artykul,kod_wyniku; elseif((kod_wyniku==3)or(kod_wyniku==4))then local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); tablica_ksiazki_stara.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,}; __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); return nil,nil,artykul,kod_wyniku; end; else __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); end; elseif(tabela_artykulow~=1)then local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,true; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,true; end; end; else if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak spisów treści do korzystanych książek na ich stronach głównych"))then if(((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu=="")and(nazwa_artykulu~=""))or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu~=""))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak spisów treści do korzystanych książek na ich stronach głównych"); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"brak spisów treści do dołączonych książek na ich stronach głównych",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; end; end; end; end; end; ---- local wartosc_wyniku,wynik_bledu,artykul_bazowy,kod_wyniku_bazowy=InneInformacjePrzebneDoAnalizowanejKsiazki(); if(wynik_bledu)then return wartosc_wyniku;end; local kod_wyniku_przekierowan=kod_wyniku_bazowy; ---- --if((not tablica_przestrzeni)or(not tablica_przestrzeni_ksiazki)or(not tablica_ksiazki)or(not artykul_analizowany))then -- tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); --end; ---- if((tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy)and(kod_wyniku_bazowy))--[[and((kod_wyniku_bazowy==1)or(kod_wyniku_bazowy==2))]]then ---- nazwa_przestrzeni=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[1]; nazwa_przestrzeni_ksiazki=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[2]; nazwa_ksiazki=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[3]; nazwa_artykulu=artykul_bazowy; ---- tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki=tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[1],tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[2],tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[3]; end; local tabela_artykulow=tablica_ksiazki.spis; if(tabela_artykulow)then local nazwa_glownego_spisu=tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu; local tab_inne_spisy=tablica_ksiazki.tab_inne_spisy; local dodatkowe_artykuly=tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu local artykul,kod_wyniku=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,false); if(kod_wyniku)then nazwa_artykulu=artykul; tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; kod_wyniku_przekierowan=kod_wyniku_przekierowan or kod_wyniku; end; local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local PrzekierownieAwaryjne=function() if(not kod_wyniku_przekierowan)then --local artykul2,kod_wyniku2=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local strona=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(nazwa_modulu); if(strona)then if(strona~=nazwa_modulu)then ---- local tabela_nazw={}; nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](strona,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw)); nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazwa); local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku; end; tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); nazwa_modulu=strona; else return 0; end; end; end; end; local wynik=PrzekierownieAwaryjne(); if(czy_artykul_korzystany)then self.nazwa_modulu_biezaca=nazwa_modulu; end; if(wynik)then return wynik;end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then if((not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu=nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu=nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu=nazwa_artykulu; end; end; local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and nazwy_modul["NazwaModułu"](self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu) or nazwa_modulu; -- przydzielanie tablicy if(czy_artykul_korzystany)then artykul_analizowany.artykul_biezacy=true; tablica_ksiazki.ksiazka_analizowana=true; end; --koniec --local iterator=mw.ustring.gmatch(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"{{[^{}]-}}"); if(not tablica_zmiennych)then tablica_zmiennych={};end; if(not tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2)then tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={};end; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); for _,element_w_tablicy_obiekt in pairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_obiektowych_form)do local CzyLink=element_w_tablicy_obiekt.CzyLink; local CzyNum=element_w_tablicy_obiekt.CzyNum; local wartosc=element_w_tablicy_obiekt[1]; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[wartosc]={CzyLink=CzyLink,CzyNum=CzyNum,}; if(czy_artykul_korzystany)then tablica_zmiennych.linkobiekt[wartosc]={CzyLink=CzyLink,CzyNum=CzyNum;};end; end; local function StronaZbiorcza() if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); local TakFun=function(frame) return true;end;local NieFun=function(frame) return nil;end; local wynik=stronicowyparser_stronasubst_modul.AnalizaStronaSubst(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,tablica_ksiazki.spis,nil,TakFun,NieFun,nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); artykul_analizowany.strona_zbiorcza=(wynik and "tak" or ""); return wynik; end; return nil; end; local strona_zbiorcza=StronaZbiorcza(); local pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; if((not tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref)or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref)or(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=stronicowyparser_tekst_modul.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,(((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca))and true or nil), nil) else tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref; end; ---- if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tekst_rozwiniety_calego_artykulu)then return 0;end; end; if(czy_artykul_korzystany)then if(not tekst_rozwiniety_calego_artykulu)then if(strona_zbiorcza)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyStronaSubst"]="tak"; end; return nil; end; end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca))then local aktualna_nazwa_modulu=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca or nazwy_modul["NazwaModułu"](self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu); local tekst=stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(self,aktualna_nazwa_modulu); if(tekst)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst,aktualna_nazwa_modulu); local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony={}; for szablon,obiekt,kod in iterator do if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,aktualna_nazwa_modulu,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if(stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; return true; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start[nazwa_szablonu])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie=tabela_parametrow_szablonu["formatowanie"]; local boczne_menu=tabela_parametrow_szablonu["boczne menu"] or ""; local spis_tresci=tabela_parametrow_szablonu["spis treści"] or "TOC"; if((parametry_modul.CzyTak(boczne_menu))or(parametry_modul.CzyTak(spis_tresci)))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return true; end; end); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; local uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu; local analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=nil; local stronastart=nil; ---- local tablica_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.obiekty; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.numerowane_obiekty; local format_elementowy_referencji_obiektowy=stronicowyparser_obiekty_modul.format_elementowy_referencji_obiektowy; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu; local szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze; local format_elementowy_obiektowy=stronicowyparser_obiekty_modul.format_elementowy_obiektowy; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.numerowane_obiekty; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_naglowka=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu; ---- local strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start; local strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony; local strona_start_inne=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_inne; local szablony_strony_zbiorczej=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_zbiorcza; ---- local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; local tab_szablony_stronicowe_formatowania_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; ---- local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local tabela_elementow_strony_kodow={}; -- for uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod in iterator do local function AnalizaParametrowaOrazNazwowaStronicowegoIteratoraSzablonowego(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer) if(czy_artykul_korzystany)then if(tabela_parametrow_szablonu)then if((not stronastart)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie==nil))then if(strona_start[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie=tabela_parametrow_szablonu["formatowanie"]; stronastart=true; local boczne_menu=tabela_parametrow_szablonu["boczne menu"] or ""; local spis_tresci=tabela_parametrow_szablonu["spis treści"] or "TOC"; if((parametry_modul.CzyTak(boczne_menu))or(parametry_modul.CzyTak(spis_tresci)))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return; elseif(strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; stronastart=true; return; elseif(strona_start_inne[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; stronastart=true; return; elseif((strona_zbiorcza)and(not analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=true; local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not parametry_modul.CzyTak(nazwa_prestreni_nazw))and(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_jednostki)))then return; end; end; elseif((strona_zbiorcza)and(not analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=true; local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not parametry_modul.CzyTak(nazwa_przestrzeni))and(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_jednostki)))then return; end; end; end; end; local plik=mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^:"); if(plik==nil)then if(tabela_parametrow_szablonu)then if(not parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["bez automatu"]))then local czy_wypowiedzenie=(nazwa_szablonu_wywolania=="Wypowiedzenie"); local czy_linkobiekt; local czy_link;local czy_pobierz; local czy_wypowiedzenie_z_parametrami; local czy_linkobiekt_z_parametrami; if(czy_wypowiedzenie)then czy_linkobiekt=false; czy_link=false; czy_pobierz=false; czy_wypowiedzenie_z_parametrami=parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["rodzaj"]); else czy_linkobiekt=(nazwa_szablonu_wywolania=="LinkObiekt"); if(czy_linkobiekt)then czy_link=true; czy_pobierz=false; czy_linkobiekt_z_parametrami=parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["typ"]); else czy_link=mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^Link"); czy_pobierz=(not czy_link) and mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^Pobierz") or nil; end; end; if((not czy_link)and(not czy_pobierz))then local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(not czy_wypowiedzenie_z_parametrami) then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty[nazwa_szablonu_wywolania]; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; else local rodzaj=tabela_parametrow_szablonu["rodzaj"]; if(rodzaj)then wartosc_elementu=format_elementowy_obiektowy[rodzaj] and rodzaj or nil; if(wartosc_elementu)then numer_uchwytu=tablica_obiekty[5]; end; end; end; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; end; elseif(czy_artykul_korzystany)then if(czy_link)then local wartosc_elementu; if(not czy_linkobiekt_z_parametrami)then wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty[nazwa_szablonu_wywolania]; else local typ=tabela_parametrow_szablonu["typ"]; if(typ)then typ=format_elementowy_referencji_obiektowy[typ] and typ or nil; if(typ)then wartosc_elementu=mw.getContentLanguage():ucfirst(typ); end; end; end; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="Link"..wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; else local wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(wartosc_elementu)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=nil; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; else self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; end; return; end; end; elseif(czy_pobierz)then local wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie,true); return; end; end; end; if(czy_wypowiedzenie)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="Obiekt:"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,"Obiekt", czy_artykul_korzystany,tablica_obiekty[5],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania])then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_naglowka[nazwa_szablonu_wywolania]; local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); p.UchwytyZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,kod); if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania])then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); if(lista_dwuelementowa)then local stronicowyparser_szablonytekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); local tekst=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu); local bez_preprocess=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu); local czy_bez_preprocess=parametry_modul.CzyTak(bez_preprocess); if(tekst)then local czy_szablon_wszystko=false; tekst=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(tekst,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, function(szablon,obiekt,kod) if(czy_bez_preprocess)then return nil;end; if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if( (tab_szablony[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_formatowania_tekstu[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu]) )then if(not czy_artykul_korzystany)then tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")) if(self)then local czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); if(czy_link_lub_pobierz)then p.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end; return nil; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- instrukcje warunkowe; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- wywołania ramek Lua w Scribunto return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- tagi szablonowe; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end); czy_szablon_wszystko=czy_szablon_wszystko or true; if(wynik)then return wynik;end; elseif(obiekt=="ZMIENNA")then czy_szablon_wszystko=czy_szablon_wszystko or true; local zawartosc=mw.ustring.match(szablon,"^{{{(.*)}}}$"); if(zawartosc)then zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"|","{{!}}"); return "{{(((}}"..zawartosc.."{{)))}}"; end; end; end); if((czy_szablon_wszystko)and(not bez_preprocess))then local frame=mw.getCurrentFrame(); tekst=frame:preprocess(tekst); end; lista_dwuelementowa[2]=tekst; end; --local __metatabelka=getmetatable(tabela_parametrow_szablonu); --if(__metatabelka)then setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,nil);end; stronicowyparser_szablonytekstu_modul.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany); end; return; elseif(czy_artykul_korzystany)then if(czy_linkobiekt)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="LinkObiekt:"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,"Obiekt",nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; else if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_z_lokalnym_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.bez_uchwytow_spis_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[2] or ""; local artykul=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[1] or ""; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_ksiazki..((artykul)and ("/"..artykul) or "") end; end; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=nil; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; else self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; end; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu[nazwa_szablonu_wywolania])then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[2] or ""; local artykul=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[1] or ""; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_ksiazki..((artykul)and ("/"..artykul) or "") end; end; if( (parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["dokumentacja"])) and(parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["parser"])) )then p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie); end; return; else local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ""; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or ""; local nazwa_symulacyjnej_strony=((nazwa_przestrzeni~="") and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..nazwa_jednostki; local uchwyt=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_symulacyjnej_strony; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=uchwyt; end; end; if((stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_kontenerowe[nazwa_szablonu_wywolania]) or(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]) )then if(szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze[nazwa_szablonu_wywolania])then p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,true,KtorySzablonMaZwracacKategorie); else p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,KtorySzablonMaZwracacKategorie); end; return; elseif((strona_zbiorcza)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,true,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; end; end; end; end; end; end; end; end; ---- local function GeneralnaAnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer) stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,AnalizaParametrowaOrazNazwowaStronicowegoIteratoraSzablonowego); end; local function IterowaniePoElementachTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_numer) local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod in iterator do GeneralnaAnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer); end; end; if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_bazowa_strony=nazwy_modul["PEŁNABAZOWANAZWASTRONY"](nazwa_modulu); end; IterowaniePoElementachTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu); ---- local tablica_danych_nazwy_artykulu=tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu] or {}; tablica_danych_nazwy_artykulu.uchwyty_i_numeracje=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2; ---- local wiki_modul=require("Module:Wiki"); tablica_danych_nazwy_artykulu.link_wikidane={wiki_modul.KodyKlasStronyNaDanejWiki{["strona"]=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,["nagłówek"]=true,["aktywny"]=true,},}; if(not czy_artykul_korzystany)then if(pozawoluminowe_strony)then if(not tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony)then local nazwa_modulu_korzystana_bazowa=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_bazowa_strony; local stronicowyparser_pomocne_modul=require("Module:StronicowyParser/Pomocne"); local zrostek=stronicowyparser_pomocne_modul["SkrótDoNumeruOdnośnika"](nazwa_modulu_korzystana_bazowa,nazwa_modulu); tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony={zrostek,pozawoluminowe_strony,czy_artykul_korzystany,}; end; else local niekorzystany_wolumin=(not korzystany_wolumin); if(niekorzystany_wolumin)then if(not tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony)then local stronicowyparser_pomocne_modul=require("Module:StronicowyParser/Pomocne"); local zrostek=stronicowyparser_pomocne_modul["SkrótDoNumeruOdnośnikaDołączonejKsiążki"](nazwa_ksiazki); tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony={zrostek,niekorzystany_wolumin,czy_artykul_korzystany,}; end; end; end; end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then if(analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)then local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=stronicowyparser_stronasubst_modul.LiczOperacjeStronZbiorczych(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_ksiazki.spis,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); end; end; local strona; if(czy_artykul_korzystany)then strona="";else strona=nazwa_modulu;end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_szablonytekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); stronicowyparser_szablonytekstu_modul.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu) or tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; ---- local function SpisToc(self,czy_artykul_korzystany,tablica_danych_nazwy_artykulu,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca) return function() if(((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane)) or((not czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)))then ---- local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=nil; ---- tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=szablonowe_modul:KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,false); ---- local function KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu) if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"powtórka nagłowek w stronie korzystanej"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"powtórka nagłowek w stronie korzystanej"); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"powtórka nagłówek w stronie dołączonej",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu) if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"nagłowek w tekście rozdziału w stronie dołączonej",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; end; local function CzyJestTakiProblemJakoElementTablicySzablonuNaglowkaPozaNapisemWprowadzeniaTekstu() return stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"); end; local nazwa_naglowka=stronicowyparser_obiekty_modul.nazwa_szablonu_wprowadzenia_tekstu; local stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul=require("Module:StronicowyParser/GłównaFunkcjaZbieraniaDanychStron"); local tablica_naglowka_obiekty=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_naglowka]; tablica_naglowka_obiekty.uchwyty_bez_numeracji={}; local toc=stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,strona, czy_artykul_korzystany,nil,tablica_naglowka_obiekty.uchwyty_bez_numeracji, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,{KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek,KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst,CzyJestTakiProblemJakoElementTablicySzablonuNaglowkaPozaNapisemWprowadzeniaTekstu,},nil,tabela_elementow_strony_kodow); tablica_danych_nazwy_artykulu.TOC=toc; return true; end; end; end; local czy_spis_function=SpisToc(self,czy_artykul_korzystany,tablica_danych_nazwy_artykulu,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local wynik=czy_spis_function(); if(not czy_artykul_korzystany)then if(not wynik)then tablica_danych_nazwy_artykulu.TOCSPIS_FUNCTION=czy_spis_function; end; end; StronaSubstFunkcja(tablica_danych_nazwy_artykulu,tablica_ksiazki.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.link_wikidane=tablica_danych_nazwy_artykulu.link_wikidane; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.prefiks_numeru_woluminowego_strony=tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnego_artykulu=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_przestrzeni_nazw=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_przestrzeni_nazw[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki[nazwa_ksiazki]; --self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron=tablica_zmiennych; end; if(not czy_artykul_korzystany)then tablica_danych_nazwy_artykulu.dane_zebrane_ze_stron=tablica_zmiennych; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista={};end; table.insert(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista,tablica_danych_nazwy_artykulu); else local dane_zebrane_ze_stron_lista=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista; if(dane_zebrane_ze_stron_lista)then for _,tablica_danych_nazwy_artykulu in ipairs(dane_zebrane_ze_stron_lista)do tablica_danych_nazwy_artykulu.dane_zebrane_ze_stron=nil; tablica_danych_nazwy_artykulu.TOCSPIS_FUNCTION=nil; end; end; tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane=nil; end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,tablica_zmiennych,true; end; return p; 7r7w08e2turu37d5c4s6pemo27posdl 555446 555445 2026-09-10T03:13:31Z Persino 2851 555446 Scribunto text/plain local p={}; function p.UchwytyZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_obiektu,lista_dwuelementowa,kod) if(lista_dwuelementowa)then local tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; if(not tab_obiekt)then tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]={}; tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; end; local uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; if(not uchwyty_bez_numeracji)then tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji={}; uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; end; uchwyty_bez_numeracji[kod]=lista_dwuelementowa; end; end; function p.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_obiektu,kod) local tab_obiekt=tabela_elementow_strony_kodow[nazwa_obiektu]; if(not tab_obiekt)then return nil;end; local uchwyty_bez_numeracji=tab_obiekt.uchwyty_bez_numeracji; if(uchwyty_bez_numeracji)then return uchwyty_bez_numeracji[kod]; end; end; function p.RozpatrywanieElementuUchwytuNumeracji(self,uchwyt_obiektu,tab_numer,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); uchwyt_obiektu=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(uchwyt_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or uchwyt_obiektu; local html_modul=require("Module:Html"); uchwyt_obiektu=html_modul.DecodeHtml(uchwyt_obiektu,true); if(uchwyt_obiektu~="")then KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu); local lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=uchwyt_obiektu; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_obiektu)and(not parametry_modul["CzySąElementyNumerowaneTablicy"](tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu])))then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_obiektu=true; end; if(tab_numer)then tab_numer[nazwa_obiektu]=tab_numer[nazwa_obiektu]+1; local numer=tab_numer[nazwa_obiektu]; table.insert(tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu],numer,lista_dwuelementowa); else table.insert(tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu],lista_dwuelementowa); end; return lista_dwuelementowa; end; end; function p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,numer_numeracji,tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local uchwyt_obiektu=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[numer_numeracji]; if(uchwyt_obiektu)then local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieElementuUchwytuNumeracji(self,uchwyt_obiektu,tab_numer,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, nazwa_obiektu, czy_artykul_korzystany,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return lista_dwuelementowa; end; end; function p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(nazwa_ksiazki))then if(nazwa_artykulu=="")then return;end; local czy_element_wystepuje_w_tablicy=false; local tablica_przestrzeni_wszystkiego=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron; if(tablica_przestrzeni_wszystkiego)then local tabela_przestrzeni_ksiazek=tablica_przestrzeni_wszystkiego[nazwa_przestrzeni]; if(tabela_przestrzeni_ksiazek)then local tabela_ksiazek=tabela_przestrzeni_ksiazek[nazwa_przestrzeni_ksiazki] if(tabela_ksiazek)then local tab_ksiazki=tabela_ksiazek[nazwa_ksiazki]; if(tab_ksiazki)then if(tab_ksiazki.spis)then --czy_lista_niepusta=true; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); for _,tab_value in ipairs(tab_ksiazki.spis)do if(tab_value[2])then for _,artykul_w_bazie_element in ipairs(tab_value[2])do local artykul_w_bazie=artykul_w_bazie_element[1]; local czy_table=stronicowyparser_potrzebne_modul.CzyTabelaStronyWoluminuSpisuRzeczy(artykul_w_bazie); artykul_w_bazie=czy_table and artykul_w_bazie[1] or artykul_w_bazie; local artykul_bez_naglowka_w_bazie=stronicowyparser_potrzebne_modul.TylkoNazwaStronyWoluminuZTabeliPublikacji(artykul_w_bazie); if(artykul_bez_naglowka_w_bazie==nazwa_artykulu)then czy_element_wystepuje_w_tablicy=true; break; end; end; end; if(czy_element_wystepuje_w_tablicy)then break;end; end; end; end; end; end; end; if(not czy_element_wystepuje_w_tablicy)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu~=nazwa_ksiazki) or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu~=nazwa_artykulu))then if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki)))then stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"brak spisów treści do dołączonych stron",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; elseif(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak spisu treści do korzystanych stron"))then if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak spisu treści do korzystanych stron"); end; end; end; end; end; function p.PusteParametryReferencji(self, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu) local czy_ksiazka_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(nazwa_ksiazki)and (nazwa_ksiazki=="") or nil; local czy_artykul_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(nazwa_artykulu)and (nazwa_artykulu=="") or nil; local czy_uchwyt_obiektu_z_tylko_odstepami_lub_pusty=(uchwyt_obiektu)and (uchwyt_obiektu=="") or nil; ---- local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); ---- if(czy_uchwyt_obiektu_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,1))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,1); end; end; if(czy_artykul_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,2))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,2); end; end; if(czy_ksiazka_z_tylko_odstepami_lub_pusty)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,3))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"puste parametry szablonów stronicowych linkujących",nazwa_obiektu,3); end; end; end; function p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,bezuchwytowe) local nazwa_artykulu=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[bezuchwytowe and 1 or 2]; local pelna_nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[bezuchwytowe and 2 or 3]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local html_modul=require("Module:Html"); if(nazwa_artykulu)then nazwa_artykulu=html_modul.DecodeHtml(nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); nazwa_artykulu=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=nazwa_artykulu,[2]="",}; end; local nazwa_ksiazki;local nazwa_przestrzeni_ksiazki;local nazwa_przestrzeni; if(pelna_nazwa_ksiazki)then pelna_nazwa_ksiazki=html_modul.DecodeHtml(pelna_nazwa_ksiazki,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); pelna_nazwa_ksiazki=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=pelna_nazwa_ksiazki,[2]=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,}; ---- local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); pelna_nazwa_ksiazki=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaStronicowejKsiążki"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw); nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw)) or (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_ksiazki,tabela_nazw))); --pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); end; return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; function p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie,czy_inna_wartosc_tekst,tab_nazwy) local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; if(not czy_inna_wartosc_tekst)then nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,self.nazwa_modulu_biezaca,true); else nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=tab_nazwy[1],tab_nazwy[2],tab_nazwy[3],tab_nazwy[4]; end; --local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); --pelna_nazwa_ksiazki=pelna_nazwa_ksiazki or ksiazkowe_modul["PełnaNazwaStronicowejKsiążki"](); --nazwa_artykulu=nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](); if((nazwa_przestrzeni)or(nazwa_przestrzeni_ksiazki)or(nazwa_ksiazki)or(nazwa_artykulu))then local tabela_nazw={}; local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](nil,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwa_przestrzeni_ksiazki or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeniKsiążki"](nil,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=nazwa_ksiazki or ksiazkowe_modul["NazwaTytułuKsiążki"](nil,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwa_artykulu or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułuKsiążki"](nil,tabela_nazw); if(KtorySzablonMaZwracacKategorie)then KtorySzablonMaZwracacKategorie();end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false); end; end; function p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej,KtorySzablonMaZwracacKategorie) local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not nazwa_przestrzeni)and(not nazwa_jednostki))then return;end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((nazwa_jednostki) and (nazwa_jednostki==""))then return;end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); if((nazwa_jednostki and mw.ustring.match(nazwa_jednostki,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu())) or (nazwa_przestrzeni and mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu())) )then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local html_modul=require("Module:Html"); if(nazwa_jednostki)then nazwa_jednostki=html_modul.DecodeHtml(nazwa_jednostki,true); end; local tabela_nazw_art={}; local nazwa_jednostki=(nazwa_jednostki and mw.ustring.gsub(nazwa_jednostki,"^([^#]*)#(.*)$","%1") or nil ) or ksiazkowe_modul["NazwaArtykułu"](nil,tabela_nazw_art); if(nazwa_przestrzeni)then nazwa_przestrzeni=html_modul.DecodeHtml(nazwa_przestrzeni,true); end; local nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](nil,tabela_nazw_art); local strona=((nazwa_przestrzeni~="") and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..nazwa_jednostki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=self.nazwa_modulu_biezaca,}; --strona=ksiazkowe_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](strona); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](strona,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw)) or (nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw))); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); if(KtorySzablonMaZwracacKategorie)then KtorySzablonMaZwracacKategorie();end; local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false,nil,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej); end; function p.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca) local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local czy_inna_wartosc_tekst=true; if((nazwa_artykulu)and(nazwa_ksiazki))then --local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwy_modul["NazwaModułu"]("",nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); elseif((nazwa_artykulu)and(not nazwa_ksiazki))then local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](); local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"]()..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); ---- tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwa_jednostki; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); elseif((not nazwa_artykulu)and(nazwa_ksiazki))then local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ksiazkowe_modul["NazwaPrzestrzeni"](); local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or ksiazkowe_modul["NazwaKsiążki"](); ---- tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=nazwa_jednostki; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); else p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,czy_inna_wartosc_tekst,{nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,}); end; end; function p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_SPRAWDZANIE) local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); if(((nazwa_przestrzeni)and(((nazwa_przestrzeni~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_przestrzeni)))or(nazwa_przestrzeni==""))) and((nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_przestrzeni_ksiazki)))or(nazwa_przestrzeni_ksiazki==""))) and((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_ksiazki))) and((nazwa_artykulu)and(((nazwa_artykulu~="")and(not pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](nazwa_artykulu)))or(nazwa_artykulu==""))) )then if(__FUNKCJA_SPRAWDZANIE)then __FUNKCJA_SPRAWDZANIE(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu); end; else local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu==nazwa_przestrzeni_ksiazki) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu==nazwa_ksiazki) and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu==nazwa_artykulu))then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy korzystanych stron"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy korzystanych stron"); end; else if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy stron dołączanych do stron"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nieprawidłowe nazwy stron dołączanych do stron"); end; end; end; end; function p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz) local linkobiekttab=tablica_zmiennych.linkobiekt[nazwa_obiektu]; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_linku)and(not parametry_modul["CzySąElementyNumerowaneTablicy"](linkobiekttab)))then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki)))then p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; tablica_zmiennych.sprawdzenie_dokonane_linku=true; end; table.insert(linkobiekttab,uchwyt_obiektu); if(czy_pobierz)then if(not tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane)then tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane={}; end; table.insert(tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane,{{nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,},{obiekt,kod,},}); end; end; function p.LinkowanieInnychStron(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,czy_pobierz) p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,function() local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(parametry_modul.CzyTak(nazwa_ksiazki))and(nazwa_artykulu))then local tablica_zmiennych2={}; tablica_zmiennych2.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={} local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0,tablica_zmiennych2,czy_inna=p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, false,tablica_zmiennych2); if(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0)then if((not czy_inna)or(not tablica_zmiennych2))then return;end; local stronicowyparser_szablony_tekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); local JuzPoliczone=function() if(czy_pobierz)then stronicowyparser_szablony_tekstu_modul.UstawianiePobierz(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2,obiekt,kod,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,false); end; if(not tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone)then tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone={};end; local tab_nazwa_obiektu=tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]; if(not tab_nazwa_obiektu)then tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]={}; tab_nazwa_obiektu=tablica_zmiennych2.dane_juz_policzone[nazwa_obiektu]; end; local tab_uchwyt=tab_nazwa_obiektu[uchwyt_obiektu]; if(tab_uchwyt)then return true; end; tab_nazwa_obiektu[uchwyt_obiektu]=true; return false; end; if(not parametry_modul.CzyTak(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki0))then local czy_policzone=JuzPoliczone(); if(czy_policzone)then return; end; else JuzPoliczone(); end; stronicowyparser_szablony_tekstu_modul.DodawanieDoBazySzablonuTekstuStronyKorzystanejElementyInnejStrony(tablica_zmiennych,tablica_zmiennych2); p.SprawdzanieCzyJestTakiElementSpisuRzeczyWoluminowychPozycji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu); local czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2=tablica_zmiennych2.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_obiektu]; local CzyLink=czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2.CzyLink; local ile_razy=0; if(czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2)then for _, parametry_obiektu in ipairs(czy_jest_nazwa_obiektu_w_tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2) do if(parametry_obiektu[1]==uchwyt_obiektu)then ile_razy=ile_razy+1; if(ile_razy>1)then break;end; end; end; end if(ile_razy~=1)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"błędy uchwytów korzystanych stron",(CzyLink and "Link" or "Pobierz")..nazwa_obiektu))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"błędy uchwytów korzystanych stron",(CzyLink and "Link" or "Pobierz")..nazwa_obiektu); end; p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; else local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"błąd wewnętrzny modułu lua stronicowego parsera"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"błąd wewnętrzny modułu lua stronicowego parsera"); end; end; else p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; end); end; function p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie,czy_pobierz) local uchwyt_obiektu=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=p.SzablonyReferencjiParametrowych(tabela_parametrow_szablonu,self.nazwa_modulu_biezaca); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.CzyTak(uchwyt_obiektu))then local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); uchwyt_obiektu=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(uchwyt_obiektu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or uchwyt_obiektu; local html_modul=require("Module:Html"); uchwyt_obiektu=html_modul.DecodeHtml(uchwyt_obiektu,true); end; ---- local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); ---- if(parametry_modul.CzyTak(uchwyt_obiektu))then nazwa_artykulu=(nazwa_artykulu or (nazwa_ksiazki and "" or nil)); if(nazwa_artykulu)then if(nazwa_artykulu~="")then if(not nazwa_ksiazki)then nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; elseif(nazwa_ksiazki=="")then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); return; end; elseif((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki~=""))then nazwa_artykulu=""; elseif((nazwa_ksiazki)and(nazwa_ksiazki==""))then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); return; else nazwa_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; nazwa_przestrzeni_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; nazwa_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; end; if((nazwa_przestrzeni~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni) or(nazwa_przestrzeni_ksiazki~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu) or(nazwa_ksiazki~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu) or(nazwa_artykulu~=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu))then p.LinkowanieInnychStron(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,czy_pobierz); else p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz); p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; else p.LinkowanieFinalizowaniePrac(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,nazwa_obiektu,uchwyt_obiektu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,czy_pobierz) p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); end; elseif((uchwyt_obiektu)and(uchwyt_obiektu==""))then p.SprawdzanieCzyJestNiepoprawnaNazwaStrony(self, nazwa_obiektu, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu,nil); p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); elseif(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak uchwytu",nazwa_obiektu))then p.PusteParametryReferencji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, uchwyt_obiektu, nazwa_obiektu); stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak uchwytu",nazwa_obiektu); end; KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu); end; function p.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, czy_artykul_korzystany,tablica_zmiennych,czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej) local function __FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]={};end; local tablica_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; if(not tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki])then tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]={};end; local tablica_przestrzeni_ksiazki=tablica_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; if(not tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki])then tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]={};end; local tablica_ksiazki=tablica_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]; if(not tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu)then tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu={};end; if(nazwa_artykulu)then if(not tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu])then tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu]={};end; local artykul_analizowany=tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu]; return tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany; else return tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki; end; end; local korzystany_wolumin=false; local function __FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if(not czy_artykul_korzystany)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu)then if((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu==nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu==nazwa_ksiazki))then korzystany_wolumin=true; if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu==nazwa_artykulu)then return 0,nil,nil,nil,nil,nil,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron,false; else if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=true; end; end; else if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=true; end; end; else return nil; end; else korzystany_wolumin=true; end; if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron)then local tabela_przestrzeni=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; if(tabela_przestrzeni)then local tabela_przestrzeni_ksiazki=tabela_przestrzeni[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; if(tabela_przestrzeni_ksiazki)then local tabela_ksiazka=tabela_przestrzeni_ksiazki[nazwa_ksiazki]; if(tabela_ksiazka)then local lista_artykolow=tabela_ksiazka.lista_podstron_woluminu; if(lista_artykolow)then local tabela_artykul=lista_artykolow[nazwa_artykulu]; if(tabela_artykul)then local dane_zebrane_ze_stron=tabela_artykul.dane_zebrane_ze_stron; ---- if(not czy_artykul_korzystany)then if(tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION)then local wynik=tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION(); if(wynik)then tabela_artykul.TOCSPIS_FUNCTION=nil; end; end; end; return 0,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni,dane_zebrane_ze_stron,true; end; end; end; end; end; else return nil; end; else return nil; end; return true; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local function StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu) if((czy_szablon_pudelkowy_strony_zbiorczej)and(not czy_artykul_korzystany)and(tabela_artykul)and(not tabela_artykul.strona_zbiorcza))then --local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); local TakFun=function(frame) return "tak";end;local NieFun=function(frame) return "";end; tabela_artykul.strona_zbiorcza=stronicowyparser_stronasubst_modul.AnalizaStronaSubst(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,spis,nil,TakFun,NieFun,nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; end; if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; elseif(wartosc_wyniku==0)then if(tabela_artykul)then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; else return wartosc_wyniku,dane_zebrane_ze_stron,czy_inna; end; end; ---- local pozawoluminowe_strony; ---- local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Main) and(nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Wikijunior) and((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.User)or(not mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni_ksiazki,"^([^/]+)$"))) and((nazwa_przestrzeni~=nazwy_np_modul.Wikibooks)or(not mw.ustring.match(nazwa_przestrzeni_ksiazki,"^%s*[Bb]rudnopis/([^/]+)$"))) )then stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); pozawoluminowe_strony=true; end; ---- local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref=nil; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref=nil; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref=nil; ---- local function InneInformacjePrzebneDoAnalizowanejKsiazki() if(not (stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiElementTabeliProblemu(self,"strony poza zakresem obsługiwanym",nil,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki)))then if((nazwa_przestrzeni)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki)and(nazwa_ksiazki))then if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyArtykułKsiążki"]="tak";end; end; local czy_ksiazka_istnieje_w_tablicy=((tablica_ksiazki)and(tablica_ksiazki.czy_spis_analizowano))and true or false; if(not czy_ksiazka_istnieje_w_tablicy)then tablica_ksiazki.czy_spis_analizowano=true; local stronicowyparser_spistresci_modul=require("Module:StronicowyParser/SpisTreści"); local nazwa_przestrzeni_strona_temp,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona_temp,nazwa_ksiazki_strona_temp; local tabela_artykulow,tabela_licencji_spisu_tresci,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci=stronicowyparser_spistresci_modul.ZbieranieInformacjiSpisuRzeczyWoluminuEwentualnieWedleAutonawigacji(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,czy_artykul_korzystany,function(nazwa_przestrzeni_strona,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona,nazwa_ksiazki_strona) local tablica_przestrzeni_strona=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni_strona]; if(tablica_przestrzeni_strona)then local tablica_przestrzeni_ksiazki_strona=tablica_przestrzeni_strona[nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona]; if(tablica_przestrzeni_ksiazki_strona)then local tablica_ksiazki_strona=tablica_przestrzeni_ksiazki_strona[nazwa_ksiazki_strona]; if(tablica_ksiazki_strona)then if(tablica_ksiazki_strona.spis)then nazwa_przestrzeni_strona_temp,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona_temp,nazwa_ksiazki_strona_temp=nazwa_przestrzeni_strona,nazwa_przestrzeni_ksiazki_strona,nazwa_ksiazki_strona; tablica_ksiazki.spis=tablica_ksiazki_strona.spis; tablica_ksiazki.licencja=tablica_ksiazki_strona.licencja; tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu=tablica_ksiazki_strona.nazwa_bazowego_spisu; tablica_ksiazki.tab_inne_spisy=tablica_ksiazki_strona.tab_inne_spisy; tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu=tablica_ksiazki_strona.dodatkowe_strony_woluminu; tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy=tablica_ksiazki_strona.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy; tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni_strona,tablica_przestrzeni_ksiazki_strona,tablica_ksiazki_strona,}; return 1; end; end; end end; end,function(tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref_spis,nazwa_przestrzeni_ref_spis,nazwa_przestrzeni_ksiazki_ref_spis,nazwa_ksiazki_ref_spis,nazwa_artykulu_ref_spis,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref_spis,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref_spis) ---- if((nazwa_przestrzeni==nazwa_przestrzeni_ref_spis)and(nazwa_przestrzeni_ksiazki==nazwa_przestrzeni_ksiazki_ref_spis)and(nazwa_ksiazki==nazwa_ksiazki_ref_spis)and(nazwa_artykulu==nazwa_artykulu_ref_spis))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref=tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref_spis; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref=parametry_modul["KopiujRekurencyjnieTabelęElementów"](tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref_spis); tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref=parametry_modul["KopiujRekurencyjnieTabelęElementów"](tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref_spis); end; ---- end); local function __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,czy_podac_adres) tablica_ksiazki.spis=tabela_artykulow; if(czy_artykul_korzystany)then tablica_ksiazki.licencja=tabela_licencji_spisu_tresci; end; tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu=nazwa_glownego_spisu; tablica_ksiazki.tab_inne_spisy=tab_inne_spisy; tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu=dodatkowe_artykuly; tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy=czy_podac_adres and adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci or nil; end; if(tabela_artykulow==0)then if(czy_artykul_korzystany)then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"korzystana strona główna nie istnieje"); else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"dołączone strony główne nie istnieją",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; elseif(tabela_artykulow)then if(parametry_modul.TypeTable(tabela_artykulow))then if(adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci)then __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,true); local tablica_ksiazki_stara=tablica_ksiazki; local artykul,kod_wyniku=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,true); local nazwa_przestrzeni=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[1]; local nazwa_przestrzeni_ksiazki=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[2]; local nazwa_ksiazki=adres_ksiazki_glownego_spisu_tresci[3]; if((kod_wyniku==1)or(kod_wyniku==2))then local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,true; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then local nazwa_artykulu=artykul; StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,true; end; local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni ,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); tablica_ksiazki_stara.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,}; __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); return nil,nil,artykul,kod_wyniku; elseif((kod_wyniku==3)or(kod_wyniku==4))then local tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,artykul); tablica_ksiazki_stara.referencja_do_nowej_formy_spisu={tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,}; __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); return nil,nil,artykul,kod_wyniku; end; else __FUNKCJA_SPISU(tablica_ksiazki,false); end; elseif(tabela_artykulow~=1)then local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku,true; elseif((wartosc_wyniku==0)and(tabela_artykul))then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku,true; end; end; else if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"brak spisów treści do korzystanych książek na ich stronach głównych"))then if(((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu=="")and(nazwa_artykulu~=""))or(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu~=""))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"brak spisów treści do korzystanych książek na ich stronach głównych"); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"brak spisów treści do dołączonych książek na ich stronach głównych",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); end; end; end; end; end; end; ---- local wartosc_wyniku,wynik_bledu,artykul_bazowy,kod_wyniku_bazowy=InneInformacjePrzebneDoAnalizowanejKsiazki(); if(wynik_bledu)then return wartosc_wyniku;end; local kod_wyniku_przekierowan=kod_wyniku_bazowy; ---- --if((not tablica_przestrzeni)or(not tablica_przestrzeni_ksiazki)or(not tablica_ksiazki)or(not artykul_analizowany))then -- tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); --end; ---- if((tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy)and(kod_wyniku_bazowy))--[[and((kod_wyniku_bazowy==1)or(kod_wyniku_bazowy==2))]]then ---- nazwa_przestrzeni=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[1]; nazwa_przestrzeni_ksiazki=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[2]; nazwa_ksiazki=tablica_ksiazki.adres_woluminu_bazowego_spisu_rzeczy[3]; nazwa_artykulu=artykul_bazowy; ---- tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki=tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[1],tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[2],tablica_ksiazki.referencja_do_nowej_formy_spisu[3]; end; local tabela_artykulow=tablica_ksiazki.spis; if(tabela_artykulow)then local nazwa_glownego_spisu=tablica_ksiazki.nazwa_bazowego_spisu; local tab_inne_spisy=tablica_ksiazki.tab_inne_spisy; local dodatkowe_artykuly=tablica_ksiazki.dodatkowe_strony_woluminu local artykul,kod_wyniku=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_glownego_spisu,tab_inne_spisy,dodatkowe_artykuly,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,false); if(kod_wyniku)then nazwa_artykulu=artykul; tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; kod_wyniku_przekierowan=kod_wyniku_przekierowan or kod_wyniku; end; local nazwa_modulu=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); local PrzekierownieAwaryjne=function() if(not kod_wyniku_przekierowan)then --local artykul2,kod_wyniku2=stronicowyparser_potrzebne_modul.OdpowiednikNaPrzemianArtykularnychStronWoluminu(tabela_artykulow,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,true); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local strona=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(nazwa_modulu); if(strona)then if(strona~=nazwa_modulu)then ---- local tabela_nazw={}; nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](strona,tabela_nazw); nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw); nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazw)); nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](strona,tabela_nazwa); local wartosc_wyniku,tabela_artykul,lista_artykolow,tabela_ksiazka,tabela_przestrzeni_ksiazki,tabela_przestrzeni=__FUNKCJA_POBIERANIE(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(not wartosc_wyniku)then return wartosc_wyniku; elseif(wartosc_wyniku==0)then if(tabela_artykul)then StronaSubstFunkcja(tabela_artykul,tabela_ksiazka.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); return wartosc_wyniku; else return wartosc_wyniku; end; end; tablica_przestrzeni,tablica_przestrzeni_ksiazki,tablica_ksiazki,artykul_analizowany=__FUNKCJA_ARTYKULU(nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); nazwa_modulu=strona; else return 0; end; end; end; end; local wynik=PrzekierownieAwaryjne(); if(czy_artykul_korzystany)then self.nazwa_modulu_biezaca=nazwa_modulu; end; if(wynik)then return wynik;end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then if((not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu)and(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni=nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu=nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu=nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu=nazwa_artykulu; end; end; local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and nazwy_modul["NazwaModułu"](self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu) or nazwa_modulu; -- przydzielanie tablicy if(czy_artykul_korzystany)then artykul_analizowany.artykul_biezacy=true; tablica_ksiazki.ksiazka_analizowana=true; end; --koniec --local iterator=mw.ustring.gmatch(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"{{[^{}]-}}"); if(not tablica_zmiennych)then tablica_zmiennych={};end; if(not tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2)then tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={};end; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); for _,element_w_tablicy_obiekt in pairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_obiektowych_form)do local CzyLink=element_w_tablicy_obiekt.CzyLink; local CzyNum=element_w_tablicy_obiekt.CzyNum; local wartosc=element_w_tablicy_obiekt[1]; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[wartosc]={CzyLink=CzyLink,CzyNum=CzyNum,}; if(czy_artykul_korzystany)then tablica_zmiennych.linkobiekt[wartosc]={CzyLink=CzyLink,CzyNum=CzyNum;};end; end; local function StronaZbiorcza() if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); local TakFun=function(frame) return true;end;local NieFun=function(frame) return nil;end; local wynik=stronicowyparser_stronasubst_modul.AnalizaStronaSubst(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,tablica_ksiazki.spis,nil,TakFun,NieFun,nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); artykul_analizowany.strona_zbiorcza=(wynik and "tak" or ""); return wynik; end; return nil; end; local strona_zbiorcza=StronaZbiorcza(); local pelna_nazwa_ksiazki=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,""); local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; if((not tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref)or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref)or(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=stronicowyparser_tekst_modul.RekurencyjnyZakodowanoSpreparowanyWikikodStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,(((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca))and true or nil), nil) else tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tekst_rozwiniety_calego_artykulu_ref,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_ref,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_ref; end; ---- if(not czy_artykul_korzystany)then if(not tekst_rozwiniety_calego_artykulu)then return 0;end; end; if(czy_artykul_korzystany)then if(not tekst_rozwiniety_calego_artykulu)then if(strona_zbiorcza)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki["CzyStronaSubst"]="tak"; end; return nil; end; end; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca))then local aktualna_nazwa_modulu=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca or nazwy_modul["NazwaModułu"](self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki,self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu); local tekst=stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(self,aktualna_nazwa_modulu); if(tekst)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst,aktualna_nazwa_modulu); local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony={}; for szablon,obiekt,kod in iterator do if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,aktualna_nazwa_modulu,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if(stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; return true; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start[nazwa_szablonu])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie=tabela_parametrow_szablonu["formatowanie"]; local boczne_menu=tabela_parametrow_szablonu["boczne menu"] or ""; local spis_tresci=tabela_parametrow_szablonu["spis treści"] or "TOC"; if((parametry_modul.CzyTak(boczne_menu))or(parametry_modul.CzyTak(spis_tresci)))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return true; end; end); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; local uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu; local analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=nil; local stronastart=nil; ---- local tablica_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.obiekty; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.numerowane_obiekty; local format_elementowy_referencji_obiektowy=stronicowyparser_obiekty_modul.format_elementowy_referencji_obiektowy; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; local szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu; local szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze; local format_elementowy_obiektowy=stronicowyparser_obiekty_modul.format_elementowy_obiektowy; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.numerowane_obiekty; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_naglowka=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_tekstu; ---- local strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start; local strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony; local strona_start_inne=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_start_inne; local szablony_strony_zbiorczej=stronicowyparser_obiekty_modul.strona_zbiorcza; ---- local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; local tab_szablony_stronicowe_formatowania_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; ---- local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local tabela_elementow_strony_kodow={}; -- for uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod in iterator do local function AnalizaParametrowaOrazNazwowaStronicowegoIteratoraSzablonowego(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer) if(czy_artykul_korzystany)then if(tabela_parametrow_szablonu)then if((not stronastart)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie==nil))then if(strona_start[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie=tabela_parametrow_szablonu["formatowanie"]; stronastart=true; local boczne_menu=tabela_parametrow_szablonu["boczne menu"] or ""; local spis_tresci=tabela_parametrow_szablonu["spis treści"] or "TOC"; if((parametry_modul.CzyTak(boczne_menu))or(parametry_modul.CzyTak(spis_tresci)))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return; elseif(strona_start_ze_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; stronastart=true; return; elseif(strona_start_inne[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.strona_ze_szablonem_strona_start="tak"; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.formatowanie="tak"; stronastart=true; return; elseif((strona_zbiorcza)and(not analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=true; local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not parametry_modul.CzyTak(nazwa_prestreni_nazw))and(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_jednostki)))then return; end; end; elseif((strona_zbiorcza)and(not analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then analiza_stron_korzystanych_zbiorczych=true; local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]; if((not parametry_modul.CzyTak(nazwa_przestrzeni))and(not parametry_modul.CzyTak(nazwa_jednostki)))then return; end; end; end; end; local plik=mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^:"); if(plik==nil)then if(tabela_parametrow_szablonu)then if(not parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["bez automatu"]))then local czy_wypowiedzenie=(nazwa_szablonu_wywolania=="Wypowiedzenie"); local czy_linkobiekt; local czy_link;local czy_pobierz; local czy_wypowiedzenie_z_parametrami; local czy_linkobiekt_z_parametrami; if(czy_wypowiedzenie)then czy_linkobiekt=false; czy_link=false; czy_pobierz=false; czy_wypowiedzenie_z_parametrami=parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["rodzaj"]); else czy_linkobiekt=(nazwa_szablonu_wywolania=="LinkObiekt"); if(czy_linkobiekt)then czy_link=true; czy_pobierz=false; czy_linkobiekt_z_parametrami=parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["typ"]); else czy_link=mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^Link"); czy_pobierz=(not czy_link) and mw.ustring.match(nazwa_szablonu_wywolania,"^Pobierz") or nil; end; end; if((not czy_link)and(not czy_pobierz))then local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(not czy_wypowiedzenie_z_parametrami) then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty[nazwa_szablonu_wywolania]; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; else local rodzaj=tabela_parametrow_szablonu["rodzaj"]; if(rodzaj)then wartosc_elementu=format_elementowy_obiektowy[rodzaj] and rodzaj or nil; if(wartosc_elementu)then numer_uchwytu=tablica_obiekty[5]; end; end; end; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; end; elseif(czy_artykul_korzystany)then if(czy_link)then local wartosc_elementu; if(not czy_linkobiekt_z_parametrami)then wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_numerowane_obiekty[nazwa_szablonu_wywolania]; else local typ=tabela_parametrow_szablonu["typ"]; if(typ)then typ=format_elementowy_referencji_obiektowy[typ] and typ or nil; if(typ)then wartosc_elementu=mw.getContentLanguage():ucfirst(typ); end; end; end; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="Link"..wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; else local wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(wartosc_elementu)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=nil; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; else self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; end; return; end; end; elseif(czy_pobierz)then local wartosc_elementu=szablony_linkowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(wartosc_elementu)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,wartosc_elementu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie,true); return; end; end; end; if(czy_wypowiedzenie)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="Obiekt:"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,"Obiekt", czy_artykul_korzystany,tablica_obiekty[5],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania])then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_naglowka[nazwa_szablonu_wywolania]; local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); p.UchwytyZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,kod); if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; end; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania])then local tab_wartosc_elementu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; local wartosc_elementu;local numer_uchwytu; if(tab_wartosc_elementu)then wartosc_elementu=tab_wartosc_elementu[1]; numer_uchwytu=tab_wartosc_elementu[2]; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(czy_artykul_korzystany)then if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then if(uchwyt_obiektu and (uchwyt_obiektu~=""))then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=wartosc_elementu..":"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; end; end; local lista_dwuelementowa=p.RozpatrywanieSzablonuObiektuDoNumeracji(self,tabela_parametrow_szablonu,tablica_zmiennych, nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,wartosc_elementu, czy_artykul_korzystany,numer_uchwytu--[[elementy_w_tablicy_obiekty[5]],tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); if(lista_dwuelementowa)then local stronicowyparser_szablonytekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); local tekst=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.ParametrTekstowySzablonuTekstu(tabela_parametrow_szablonu); local bez_preprocess=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.SzablonTekstuBezPreProcess(tabela_parametrow_szablonu); local czy_bez_preprocess=parametry_modul.CzyTak(bez_preprocess); if(tekst)then local czy_szablon_wszystko=false; tekst=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(tekst,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, function(szablon,obiekt,kod) if(czy_bez_preprocess)then return nil;end; if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if( (tab_szablony[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_formatowania_tekstu[nazwa_szablonu]) or(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu]) )then if(not czy_artykul_korzystany)then tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")) if(self)then local czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); if(czy_link_lub_pobierz)then p.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end; return nil; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- instrukcje warunkowe; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- wywołania ramek Lua w Scribunto return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- tagi szablonowe; return szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); end); czy_szablon_wszystko=czy_szablon_wszystko or true; if(wynik)then return wynik;end; elseif(obiekt=="ZMIENNA")then czy_szablon_wszystko=czy_szablon_wszystko or true; local zawartosc=mw.ustring.match(szablon,"^{{{(.*)}}}$"); if(zawartosc)then zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"|","{{!}}"); return "{{(((}}"..zawartosc.."{{)))}}"; end; end; end); if((czy_szablon_wszystko)and(not bez_preprocess))then local frame=mw.getCurrentFrame(); tekst=frame:preprocess(tekst); end; lista_dwuelementowa[2]=tekst; end; --local __metatabelka=getmetatable(tabela_parametrow_szablonu); --if(__metatabelka)then setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,nil);end; stronicowyparser_szablonytekstu_modul.DodawanieDoBazyStronySzablonuTekstu(tablica_zmiennych,wartosc_elementu,lista_dwuelementowa,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,czy_artykul_korzystany); end; return; elseif(czy_artykul_korzystany)then if(czy_linkobiekt)then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt_obiektu,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie="LinkObiekt:"..((uchwyt_obiektu)and uchwyt_obiektu or ""); end; end; p.GeneralneLinkowanie(self,obiekt,kod,tablica_zmiennych,tabela_parametrow_szablonu,"Obiekt",nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; else if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_z_lokalnym_spisem_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.bez_uchwytow_spis_rzeczy_strony[nazwa_szablonu_wywolania])then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[2] or ""; local artykul=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[1] or ""; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_ksiazki..((artykul)and ("/"..artykul) or "") end; end; p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci=nil; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane=true; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; else self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone=nil; end; return; elseif(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu[nazwa_szablonu_wywolania])then local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwa_ksiazki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa książki"] or tabela_parametrow_szablonu[2] or ""; local artykul=tabela_parametrow_szablonu["nazwa artykułu"] or tabela_parametrow_szablonu[1] or ""; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_ksiazki..((artykul)and ("/"..artykul) or "") end; end; if( (parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["dokumentacja"])) and(parametry_modul.CzyTak(tabela_parametrow_szablonu["parser"])) )then p.ZbieranieInformacjiStronyWoluminowychPozycji(self,tabela_parametrow_szablonu,KtorySzablonMaZwracacKategorie); end; return; else local function KtorySzablonMaZwracacKategorie(uchwyt,__FUNKCJA_KATEGORIE) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or ""; local nazwa_jednostki=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or ""; local nazwa_symulacyjnej_strony=((nazwa_przestrzeni~="") and (nazwa_przestrzeni..":") or "")..nazwa_jednostki; local uchwyt=nazwa_szablonu_wywolania..":"..nazwa_symulacyjnej_strony; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=uchwyt; end; end; if((stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_kontenerowe[nazwa_szablonu_wywolania]) or(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]) )then if(szablony_wykorzystywane_przez_strony_zbiorcze[nazwa_szablonu_wywolania])then p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,true,KtorySzablonMaZwracacKategorie); else p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,nil,KtorySzablonMaZwracacKategorie); end; return; elseif((strona_zbiorcza)and(szablony_strony_zbiorczej[nazwa_szablonu_wywolania]))then p.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu,true,KtorySzablonMaZwracacKategorie); return; end; end; end; end; end; end; end; end; ---- local function GeneralnaAnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer) stronicowyparser_potrzebne_modul:AnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,AnalizaParametrowaOrazNazwowaStronicowegoIteratoraSzablonowego); end; local function IterowaniePoElementachTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_numer) local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod in iterator do GeneralnaAnalizaSzablonuStronicowegoParsera(uzyskano_w_wyniku_parsowania_wywolanie_szablonu,obiekt,kod,tab_numer); end; end; if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_bazowa_strony=nazwy_modul["PEŁNABAZOWANAZWASTRONY"](nazwa_modulu); end; IterowaniePoElementachTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu); ---- local tablica_danych_nazwy_artykulu=tablica_ksiazki.lista_podstron_woluminu[nazwa_artykulu] or {}; tablica_danych_nazwy_artykulu.uchwyty_i_numeracje=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2; ---- local wiki_modul=require("Module:Wiki"); tablica_danych_nazwy_artykulu.link_wikidane={wiki_modul.KodyKlasStronyNaDanejWiki{["strona"]=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,["nagłówek"]=true,["aktywny"]=true,},}; if(not czy_artykul_korzystany)then if(pozawoluminowe_strony)then if(not tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony)then local nazwa_modulu_korzystana_bazowa=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_bazowa_strony; local stronicowyparser_pomocne_modul=require("Module:StronicowyParser/Pomocne"); local zrostek=stronicowyparser_pomocne_modul["SkrótDoNumeruOdnośnika"](nazwa_modulu_korzystana_bazowa,nazwa_modulu); tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony={zrostek,pozawoluminowe_strony,czy_artykul_korzystany,}; end; else local niekorzystany_wolumin=(not korzystany_wolumin); if(niekorzystany_wolumin)then if(not tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony)then local stronicowyparser_pomocne_modul=require("Module:StronicowyParser/Pomocne"); local zrostek=stronicowyparser_pomocne_modul["SkrótDoNumeruOdnośnikaDołączonejKsiążki"](nazwa_ksiazki); tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony={zrostek,niekorzystany_wolumin,czy_artykul_korzystany,}; end; end; end; end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then if(analiza_stron_korzystanych_zbiorczych)then local stronicowyparser_stronasubst_modul=require("Module:StronicowyParser/StronaSubst"); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=stronicowyparser_stronasubst_modul.LiczOperacjeStronZbiorczych(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_ksiazki.spis,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); end; end; local strona; if(czy_artykul_korzystany)then strona="";else strona=nazwa_modulu;end; ---- if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_szablonytekstu_modul=require("Module:StronicowyParser/SzablonyTekstu"); stronicowyparser_szablonytekstu_modul.UstawPobierzKorzystanie(tablica_zmiennych); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=stronicowyparser_szablonytekstu_modul.AktualizowanieSzablonowychTekstowychKompletowaniaInformacjiTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,IterowaniePoElementachTekstu) or tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; ---- local function SpisToc(self,czy_artykul_korzystany,tablica_danych_nazwy_artykulu,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca) return function() if(((czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_korzystane)) or((not czy_artykul_korzystany)and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.analiza_spis_tresci_doloczone)))then ---- local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=nil; ---- tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul=szablonowe_modul:KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,false); ---- local function KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu) if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"powtórka nagłowek w stronie korzystanej"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"powtórka nagłowek w stronie korzystanej"); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"powtórka nagłówek w stronie dołączonej",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki) if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; end; local function KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu) if(czy_artykul_korzystany)then if(not stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"))then stronicowyparser_problemy_modul.UstawTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; else stronicowyparser_problemy_modul.DodawanieProblemowegoElementuDoTablicy(self,"nagłowek w tekście rozdziału w stronie dołączonej",nil,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.ktory_szablon_stronicowy_ma_zwracac_kategorie=nazwa_szablonu..":"..(numeracja_aktualna or ""); end; end; end; local function CzyJestTakiProblemJakoElementTablicySzablonuNaglowkaPozaNapisemWprowadzeniaTekstu() return stronicowyparser_problemy_modul.CzyJestTakiProblemowyElement(self,"nagłówek w tekście rozdziału w stronie korzystanej"); end; local nazwa_naglowka=stronicowyparser_obiekty_modul.nazwa_szablonu_wprowadzenia_tekstu; local stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul=require("Module:StronicowyParser/GłównaFunkcjaZbieraniaDanychStron"); local tablica_naglowka_obiekty=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2[nazwa_naglowka]; tablica_naglowka_obiekty.uchwyty_bez_numeracji={}; local toc=stronicowyparser_glownafunkcjazbieraniadanych_modul.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,strona, czy_artykul_korzystany,nil,tablica_naglowka_obiekty.uchwyty_bez_numeracji, nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,{KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek,KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst,CzyJestTakiProblemJakoElementTablicySzablonuNaglowkaPozaNapisemWprowadzeniaTekstu,},nil,tabela_elementow_strony_kodow); tablica_danych_nazwy_artykulu.TOC=toc; return true; end; end; end; local czy_spis_function=SpisToc(self,czy_artykul_korzystany,tablica_danych_nazwy_artykulu,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_zmiennych,tabela_elementow_strony_kodow,nazwa_przestrzeni, nazwa_przestrzeni_ksiazki, nazwa_ksiazki, nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local wynik=czy_spis_function(); if(not czy_artykul_korzystany)then if(not wynik)then tablica_danych_nazwy_artykulu.TOCSPIS_FUNCTION=czy_spis_function; end; end; StronaSubstFunkcja(tablica_danych_nazwy_artykulu,tablica_ksiazki.spis,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); if(czy_artykul_korzystany)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.link_wikidane=tablica_danych_nazwy_artykulu.link_wikidane; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.prefiks_numeru_woluminowego_strony=tablica_danych_nazwy_artykulu.prefiks_numeru_woluminowego_strony; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnego_artykulu=tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_przestrzeni_nazw=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron[nazwa_przestrzeni]; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_przestrzeni_nazw[nazwa_przestrzeni_ksiazki]; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_aktualnej_ksiazki=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.tablica_ksiazek_w_danej_przestrzeni_nazw_ksiazki[nazwa_ksiazki]; --self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron=tablica_zmiennych; end; if(not czy_artykul_korzystany)then tablica_danych_nazwy_artykulu.dane_zebrane_ze_stron=tablica_zmiennych; if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista={};end; table.insert(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista,tablica_danych_nazwy_artykulu); else local dane_zebrane_ze_stron_lista=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_zebrane_ze_stron_lista; if(dane_zebrane_ze_stron_lista)then for _,tablica_danych_nazwy_artykulu in ipairs(dane_zebrane_ze_stron_lista)do tablica_danych_nazwy_artykulu.dane_zebrane_ze_stron=nil; tablica_danych_nazwy_artykulu.TOCSPIS_FUNCTION=nil; end; end; tablica_zmiennych.tablica_szablonu_tekstu_linkowe_korzystane=nil; end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki,tablica_zmiennych,true; end; return p; lysr5v1ufrisnwb2oprgr0okbtqbf1p 828 62247 555433 551364 2026-09-10T00:44:17Z Persino 2851 555433 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))then tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if(self)then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) return szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; nud6wv5nj4hdt3oif6tnrniy2dl8q1f 555434 555433 2026-09-10T00:53:57Z Persino 2851 555434 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))then local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if(self)then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) return szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; 6wxmlua0bf97394pvmkfa8f2yjvw9ng 555435 555434 2026-09-10T01:18:09Z Persino 2851 555435 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))then local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then --tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; --tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if(self)then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) return szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; 1y3ru2zkrxuak5bkcg7imwvyvut3mb8 555436 555435 2026-09-10T01:26:02Z Persino 2851 555436 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))then local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then --tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; --tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if(self)then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) return ""--szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod)""; end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; 2bpp7y0k1jjha0v2on275bh83tfuc03 555437 555436 2026-09-10T01:30:02Z Persino 2851 555437 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))then local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then --tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; --tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if(self)then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul and "MATH" or "POSTMATH"),function(kod) return ""--szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod)""; end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; bgf2q1jwjtvr1vc340s3chufabyn6gv 555439 555437 2026-09-10T01:44:01Z Persino 2851 555439 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))then local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then --tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; --tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if(self)then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) return "";--szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod)""; end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; s589q1xpi00awjm8gnf4zl17pq6lx9o 555440 555439 2026-09-10T01:48:56Z Persino 2851 555440 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))and(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if(self)then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) return "";--szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod)""; end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; ijtj64u2iakgju8wz5kz82hwknm3k4d 555443 555440 2026-09-10T02:26:58Z Persino 2851 555443 Scribunto text/plain local p={}; function p.PobieranieInformacjiRamkiRozpatrywanejStrony(self) return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.PobieranieInformacjiKorzystanejStronyWrazSkojarzonymi(self) self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki={}; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.dane_analizy_stron={}; local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.problemy=nil; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.licencja={}; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local ksiazkowe_modul=require("Module:Książkowe"); local function DaneNazw(pelna_nazwa_strony) local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_przestrzeni_ksiazki=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENIKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_ksiazki=(nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and nazwy_modul["SUBNAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw) or nazwy_modul["NAZWAKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); local nazwa_artykulu=nazwy_modul["NAZWAARTYKUŁUKSIĄŻKI"](pelna_nazwa_strony,tabela_nazw); return nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; end; local strona_aktualna=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](); local nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); local pelna_nazwa_ksiazki=((nazwa_przestrzeni~="")and(nazwa_przestrzeni..":") or "") ..((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="")and(nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "") ..nazwa_ksiazki; local pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia="Szablon:Podręcznik/Ustawienia/"..pelna_nazwa_ksiazki; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia.."/config",tekst=true,}; if(ile>0)then local frame=mw.getCurrentFrame(); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_szablonu=szablonowe_modul.NazwaSzablonu(pelna_nazwa_ksiazki_ustawienia); local ksiazka=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="książka",}}; local artykul=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="artykuł",}}; if(not mw.ustring.match(ksiazka,"^%s*$"))then local strona=ksiazka..((artykul~="") and ("/"..artykul) or ""); local pudelko_modul=require("Module:Pudełko"); local czy_strona_niepoprawna=pudelko_modul["CzyNiepoprawnaNazwa"](strona); if(not czy_strona_niepoprawna)then local html_modul=require("Module:Html"); strona=html_modul.DecodeHtml(strona,true); strona=techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]{[1]=strona,[2]=strona_aktualna,}; local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=strona,tekst=true,}; if(ile>0)then strona=ksiazkowe_modul["PełnaNazwaArtykułu"](strona); if(strona~=strona_aktualna)then local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu; nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu=DaneNazw(strona); --local aktualna_nazwa_przestrzeni,aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki,aktualna_nazwa_ksiazki,aktualna_nazwa_artykulu=DaneNazw(strona_aktualna); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni=aktualna_nazwa_przestrzeni; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki=aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki=aktualna_nazwa_ksiazki; self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu=aktualna_nazwa_artykulu; if((aktualna_nazwa_przestrzeni~=nazwa_przestrzeni) or(aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki~=nazwa_przestrzeni_ksiazki) or(aktualna_nazwa_ksiazki~=nazwa_ksiazki) or(aktualna_nazwa_artykulu~=nazwa_artykulu) )then local zastepcza=frame:expandTemplate{title=nazwa_szablonu.."/config",args={[1]="zastępcza",}}; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna=parametry_modul.CzyTak(zastepcza); if(not self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna)then self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.inna_strona_aktualna_niz_biezaca=true; end; end; end; end; end; end; end; local tablica_zmiennych={}; tablica_zmiennych.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki2={}; tablica_zmiennych.linkobiekt={}; local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local tabela_listy_danych_analizy_ksiazki=stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieInformacjiStronyEwentualnieWrazSkojarzonymi(self,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu, true,tablica_zmiennych); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.TypeTable(tabela_listy_danych_analizy_ksiazki))then local stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul=require("Module:StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron"); stronicowyparser_numeracjaobiektowstron_modul.PrzetwarzanieZebranychInformacjiDanejKorzystanejStrony(self,tablica_zmiennych,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu); end; return self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki; end; function p.SpisRzeczyWedlePodanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_strony,czy_artykul_korzystany, tylko_naglowek,obiekty,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul,KtorySzablonMaZwracacKategorie,wzory_zamiast_kodow,tabela_elementow_strony_kodow) ---- local czy_kodowanie=((nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)or(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)); ---- if(not nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca)then if czy_artykul_korzystany then local nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni; local nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_przestrzeni_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_przestrzeni_woluminu; local nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_ksiazki or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_woluminu; local nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca=self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.alternatywna and self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.aktualna_nazwa_artykulu or self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki.nazwa_podstrony_woluminu; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwy_modul["NazwaModułu"](nazwa_przestrzeni_aktualna_czy_biezaca,nazwa_przestrzeni_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_ksiazki_aktualna_czy_biezaca,nazwa_artykulu_aktualna_czy_biezaca); else nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca=nazwa_strony; end; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa_strony=html_modul.EncodeId(nazwa_strony); ----- local tablica_spisu_tresci=nil; local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul=require("Module:StronicowyParser/ZbieranieDanychStron"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa=szablonowe_modul["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); local HNumer=stronicowyparser_potrzebne_modul.LiczonyHNumer(); local tablica_powtarzajacych_sie_elementow={}; local elementy_linku=nil; local frame=mw.getCurrentFrame(); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tab_szablony=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_kontenerowe; local tab_naglowki=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowego_parsera.szablony_wprowadzenia_tekstu; ---- local tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_niekontenerowe; ---- local tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego; local tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_szablony_stron_zbiorczych; local tab_szablony_strona_start=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_stronicowe_formatowania_tekstu; ---- local tab_szablony_indeksowania=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_indeksowania; --- local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); ---- if(czy_kodowanie)then local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_spisu_rzeczy_artykularnego_wprowadzenia_tekstu; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local SpecjalneWprowadzeniaTekstu=function(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,czy_liczyc,funkcja1,funkcja2) if(czy_szablon)then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_strony,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local numer_parametru=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(numer_parametru)then local parametr=tabela_parametrow_szablonu[numer_parametru]; if(parametr)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(parametr); if(naglowek)then return funkcja1(parametr); end; end; else local tabela_nazw={}; local function ParametrNR(numer) return stronicowyparser_potrzebne_modul.SpisRzeczySzablon(nazwa_szablonu,numer,tabela_parametrow_szablonu,tabela_nazw); end; local parametr=ParametrNR(1); if(parametr)then if(czy_liczyc)then local ile_poziom=tonumber(ParametrNR(5)) or 6; ile_poziom=(ile_poziom>0)and ile_poziom or 1; ile_poziom=(ile_poziom<=6) and ile_poziom or 6; local poziom=mw.ustring.rep("=",ile_poziom); local adres_ksiazki=ParametrNR(2); local nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony=adres_ksiazki and ParametrNR(2) or nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca; local adres=nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_strony..((parametr~="")and ("/"..parametr)or ""); adres=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(adres,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or adres; adres=html_modul.DecodeHtml(adres,true); parametr=ParametrNR(3) or parametr; local dodatek=ParametrNR(4); parametr=parametr..((dodatek) and (" "..dodatek) or ""); local ile,_=techniczne_modul.PoliczZbiory{[1]=adres,tekst=true,}; local ObiektKodNumer=function(szablon,obiekt) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]; local kod_numer=1; for name,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer)do kod_numer=math.max(kod_numer,name); end; kod_numer=kod_numer+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul_numer[kod_numer]=szablon; local kod_szablonowe=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod_numer); return kod_szablonowe; end; if(ile>0)then local parametr=poziom..parametr..poziom; return funkcja1(parametr); else local szablon="<span style=\"color:red;\">"..parametr.."</span>"; local kod_parametr=ObiektKodNumer(szablon,"ZNACZNIK"); local parametr=poziom..kod_parametr..poziom; return funkcja1(parametr); end; else return funkcja1(parametr); end; end; end; end); elseif(czy_znacznik)then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((zawartosc)and(nazwa))then if(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then return funkcja2(nazwa,zawartosc,atrybuty); end; end; end; end; tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(tekst_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK");local czy_wikitabelka=(obiekt=="WIKITABELA"); if((czy_szablon)or(czy_znacznik)or(czy_wikitabelka))then local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,false,function()return true;end,function()return true;end); if(wynik)then return true,nil,nil,true;end; local rozdzial=mw.ustring.match(szablon,"\n(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n"); if(rozdzial)then local naglowek,poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial); if(naglowek)then return true,nil,nil,true; end; end; end; end, function(szablon,obiekt,kod) local czy_szablon=(obiekt=="SZABLON");local czy_znacznik=(obiekt=="ZNACZNIK"); local wynik=SpecjalneWprowadzeniaTekstu(szablon,obiekt,kod,czy_szablon,czy_znacznik,true, function(parametr) parametr=mw.ustring.gsub(parametr,"\n"," "); return "\n"..parametr.."\n "; end, function(nazwa,zawartosc,atrybuty) if((zawartosc)and(nazwa))then local poziom=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"\n"," "); local poziom_rowna=mw.ustring.rep("=",poziom); return "\n"..poziom_rowna..zawartosc..poziom_rowna.."\n "; end; end); if(wynik)then return wynik;end; return nil; end); end; local iterator=stronicowyparser_rozdzialy_modul.IterTekst(tekst_artykulu); local numeracja; ---- local KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[1] or nil; local KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[2] or nil; local CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy=KtorySzablonMaZwracacKategorie and KtorySzablonMaZwracacKategorie[3] or nil; ---- local function SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,parametry_wywolania_szablonu,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania) --local nazwa_szablonu=szablonowe_modul["NazwaSzablonuWywołania"](szablon); local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu_wywolania]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then --local parametry_wywolania_szablonu_naglowek,nazwa_szablonu_wywolania,modyfikatory_wywolania=szablonowe_modul["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,nil,nil,nil,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); local numeracja_aktualna=parametry_wywolania_szablonu["uchwyt"] or parametry_wywolania_szablonu[1]; ---- if(numeracja_aktualna)then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja_aktualna=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja_aktualna,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or numeracja_aktualna; numeracja_aktualna=html_modul.DecodeHtml(numeracja_aktualna,true); lista_dwuelementowa={}; lista_dwuelementowa[1]=numeracja_aktualna; else numeracja_aktualna=lista_dwuelementowa[1]; end; if(numeracja_aktualna~="")then table.insert(numeracja,lista_dwuelementowa); end; ---- if(powtorka>=1)then if(self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(numeracja_aktualna,nazwa_szablonu_wywolania); end; end; elseif(powtorka>=1)then KtorySzablonMaZwracacKategorieNaglowek(nil,nazwa_szablonu_wywolania); end; powtorka=powtorka+1; end; return powtorka; end; ---- local szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane.nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu; ---- local function SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) ---- local jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu=szablony_obiektowe_z_uchwytami_numerowane_i_nienumerowane_nienumerowane_obiekty_napisu_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu)then local numeracja=tabela_parametrow_szablonu["uchwyt"] or tabela_parametrow_szablonu[1]; if((numeracja)and(numeracja~=""))then local wartosc_elementu=jest_naglowkuj_w_tekscie_rozdzialu[1]; local lista_dwuelementowa=tabela_elementow_strony_kodow and stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.WydobywanieUchwytuZeiBezNumeracji(self,tabela_elementow_strony_kodow,wartosc_elementu,kod) or nil; if(not lista_dwuelementowa)then numeracja=stronicowyparser_potrzebne_modul.DekodowanieNazwySzablonu(numeracja,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,true) or kod_uchwytu; numeracja=html_modul.DecodeHtml(numeracja,true); else numeracja=lista_dwuelementowa[1]; end; end; KtorySzablonMaZwracacKategorieTekst(numeracja,nazwa_szablonu); return true; end; return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return false; end); end; return false; end; local RefPrzypisowy=function(obiekt,kod) return "&#91;"..((obiekt~="") and (obiekt.." ") or "")..kod.."&#93;"; end; local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local nazwa_strony_z_naglowkami=((not tylko_naglowek)and(((nazwa_strony)and(nazwa_strony~=""))and (":"..nazwa_strony) or "") or ""); for naglowek_tab,text_rozdzialu,poziom_rozdzialu in iterator do local naglowek=naglowek_tab[1]; numeracja={}; if(czy_kodowanie)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(text_rozdzialu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; local powtorka=0; local czy_szablony=nil; local czy_indeksowanie=nil; local function SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod) return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) powtorka=SzablonNaglowkujWNaglowkuRozdzialu(szablon,obiekt,kod,powtorka,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow); local czy_naglowek=tab_naglowki[nazwa_szablonu]; local czy_link;local nazwa_link; local function TempFunc(nazwa_szablonu) if(not czy_link)then czy_link=true; local str=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") nazwa_link=str and true or false; return nazwa_link; end; return nazwa_link; end; local czy_tak_naglowki=((czy_naglowek)and(TempFunc(nazwa_szablonu)and true or false) or ((not czy_naglowek)and nil)); if((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==false))then return ""; elseif((tab_szablony[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_stronicowe_niekontenerowe[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_inne_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu])or((czy_tak_naglowki~=nil)and(czy_tak_naglowki==true)))then czy_szablony=true; local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if((not czy_artykul_korzystany)or(nazwa_link))then local nazwa_link=TempFunc(nazwa_szablonu); if(nazwa_link)then tabela_parametrow_szablonu[2]=nazwa_artykulu; tabela_parametrow_szablonu[3]=((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki; end; tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa przestrzeni nazw"] or nazwa_przestrzeni; tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"]=tabela_parametrow_szablonu["nazwa jednostki"] or (((nazwa_przestrzeni_ksiazki~="") and (nazwa_przestrzeni_ksiazki.."/") or "")..nazwa_ksiazki..((nazwa_artykulu~="") and ("/"..nazwa_artykulu) or "")); if((self)and((self.tabela_listy_danych_analizy_ksiazki)))then local czy_link_lub_pobierz; if(czy_tak_naglowki==nil)then czy_link_lub_pobierz=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Link") or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); else czy_link_lub_pobierz=czy_tak_naglowki or mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^Pobierz"); end; if(czy_link_lub_pobierz)then stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacjiReferencji(self,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); else stronicowyparser_zbieraniedanychstron_modul.ZbieranieKontenerowychInformacji(self,tabela_parametrow_szablonu); end; end; end; local str=szablonowe_modul.KodSymbolicznySzablonu(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow,true); return str; elseif((tab_szablony_strona_start[nazwa_szablonu])or(tab_szablony_szablony_stron_zbiorczych[nazwa_szablonu]))then return ""; elseif(tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego[nazwa_szablonu])then local wynik=stronicowyparser_rozdzialy_modul.ObiektySzablonoweFormatowaniaTekstu(szablon,tab_szablony_stronicowe_kontenerowe_formatowania_wzorowego,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(wynik)then return wynik;end; elseif((czy_indeksowanie)and(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu]))then return nil,true; end; return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return szablon; end); end; --naglowek,_=mw.ustring.gsub(naglowek,"({{[^{}]+}})",SzablonyWywolywaneOgolny); --naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"<ref>.-</ref>",""); --naglowek=Korekta(naglowek); ---naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,"[{}|]",function(s) return "&#"..tostring(mw.ustring.byte(s))..";";end) local nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(not czy_kodowanie)then nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek=specjalne_modul["PrzetwórzNagłówek"](naglowek,true,false); else local function SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek) local naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=specjalne_modul["WydzielZwykłyTekst"]( { tekst=naglowek, ["nagłówek"]=true, nieklasycznie=true, kodowanie=false, ["tablica kodowania"]=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, }, function(szablon,obiekt,kod) local szablon,wynik=SzablonyWywolywane(szablon,obiekt,kod); return szablon,wynik; end, function(szablon,obiekt,kod) return czy_indeksowanie; end); return naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne; end; czy_indeksowanie=true; local Znaczniki;local SzablonyStylowe;local ZnakiSpecjalne; naglowek,Znaczniki,SzablonyStylowe,ZnakiSpecjalne=SzablonyWywolywaneOgolny(naglowek); nazwa_rozdzialu_w_artykule=naglowek; naglowek=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(naglowek,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(tab_szablony_indeksowania[nazwa_szablonu])then return "";end; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then szablon=Znaczniki(szablon,"li"); szablon=Znaczniki(szablon,"ol"); szablon=Znaczniki(szablon,"ul"); return szablon; end; end); czy_indeksowanie=false; nazwa_rozdzialu_w_artykule=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(nazwa_rozdzialu_w_artykule,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="ATRYBUTY")then return nil,true; elseif(obiekt=="SZABLON")then szablon=SzablonyWywolywaneOgolny(szablon); return szablon; end; --szablon=Korekta(szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńSzablonyStylów"](szablon); --szablon=specjalne_modul["UsuńZnakiSpecjalne"](szablon); return szablon; end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=SzablonyStylowe(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=ZnakiSpecjalne(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=Znaczniki(nazwa_rozdzialu_w_artykule); if(not czy_szablony)then nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.DecodeKoduHTMLZnaku(nazwa_rozdzialu_w_artykule); nazwa_rozdzialu_w_artykule=html_modul.EncodeSpecjalneZnakiHtml(nazwa_rozdzialu_w_artykule); end; end; nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"\'\'",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"^[%s_]*",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[%s_]*$",""); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"[_%s]+"," "); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)","(%d+)"),function(obiekt,kod) return "^{"..RefPrzypisowy(obiekt,kod).."}"; end); naglowek=mw.ustring.gsub(naglowek,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) if(not wzory_zamiast_kodow)then return szablonowe_modul[((nazwa_strony)and(nazwa_strony=="")) and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); elseif(not czy_artykul_korzystany)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul)then if(tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then local kod=tonumber(kod); local szablon=tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][kod]; if(szablon)then szablon=frame:preprocess(szablon); return szablon; end; end; end end; return szablonowe_modul[czy_artykul_korzystany and "NormaKoduKodowaniaTekstu" or "NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu"]("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("REF(%a*)"),function(obiekt,kod) return RefPrzypisowy(obiekt,kod); end); nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("POSTMATH"),function(kod) return "";--szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu("postMath",(mw.ustring.rep("0",math.max(8-#kod,0)))..kod)""; end); --nazwa_rozdzialu_w_artykule=mw.ustring.gsub(nazwa_rozdzialu_w_artykule,"|","&#"..tostring(mw.ustring.byte('|'))..";"); local numer_tego_samego_naglowka=1; --local nazwa_rozdzialu_w_artykule_p=mw.ustring.lower(nazwa_rozdzialu_w_artykule); local numer_tego_samego_naglowka=1; for s=1,#tablica_powtarzajacych_sie_elementow,1 do local element=tablica_powtarzajacych_sie_elementow[s]; if(element==nazwa_rozdzialu_w_artykule)then numer_tego_samego_naglowka=numer_tego_samego_naglowka+1; end; end; if(numer_tego_samego_naglowka==1)then elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule,naglowek}; else elementy_linku={nazwa_rozdzialu_w_artykule.."_"..numer_tego_samego_naglowka,naglowek}; end; if((obiekty)and(numeracja))then for _,value_numeracja in ipairs(numeracja)do obiekty[#obiekty+1]={value_numeracja,{nazwa_strony_z_naglowkami,elementy_linku[1], elementy_linku[2]}}; end; end; if((poziom_rozdzialu or 0)>0)then local numer_rozdzialu_ustalony=HNumer(poziom_rozdzialu); tablica_powtarzajacych_sie_elementow[#tablica_powtarzajacych_sie_elementow+1]=nazwa_rozdzialu_w_artykule; if(tablica_spisu_tresci==nil)then tablica_spisu_tresci={}; tablica_spisu_tresci.nazwa_strony=nazwa_strony_z_naglowkami; end; tablica_spisu_tresci[#tablica_spisu_tresci+1]={elementy_linku,numer_rozdzialu_ustalony}; end; end; if(czy_kodowanie)then if(czy_artykul_korzystany)then local stronicowyparser_problemy_modul=require("Module:StronicowyParser/Problemy"); if(not CzyJestTakiProblemJakoElementTablicy())then local linia_poczatkowa=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^[^\n]+"); if((linia_poczatkowa)and((mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*\n*")) or(mw.ustring.match(linia_poczatkowa,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$*"))) )then return tablica_spisu_tresci; end; local tekst_zerowy=mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"^(.-)\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or tekst_artykulu; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(tekst_zerowy,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local wynik=SzablonNaglowkujWTekscieRozdzialu(szablon,obiekt,kod); if(wynik)then break;end; end; end; end; end; return tablica_spisu_tresci; end; return p; gxwljmxc43ta5jkjf6d19obqn0go8vr 0 63594 555249 547214 2026-09-09T12:59:45Z EdytaT 2664 555249 wikitext text/x-wiki {{status|-25%|Kulinaria}} {{Rozdział|Podręcznik|Sosy}} <small>< [[Sosy/Okładka|Okładka]]</small> {{FormularzWejścia|typ=search|szerokość=40|przestrzenie=(Główna)**|przedrostek=Sosy|szukaj=Szukaj|przerwa=no|zastępczy=Wyszukaj}} == Sosy == # [[Sosy/Palone masło|Palone masło (beurre noisette)]] # [[Sosy/Sos bearneński|Sos bearneński (sauce béarnaise)]] - został wymyślony w 1836 roku w restauracji Le Pavillon Henri IV w podparyskim Saint-Germain-en-Laye przez szefa kuchni Jeana-Louisa-François Collineta na cześć króla Francji Henryka IV, który urodził się w Béarn i był nazywany „Wielkim Béarnczykiem”. # [[Sosy/Sos bolzański|Sos bolzański (sauce de Bolzano)]] - nazwa pochodzi od miasta Bolzano, stolicy prowincji Południowy Tyrol. # [[Sosy/Sos boski|Sos boski (sos holenderski z truflami, sauce divine)]] # [[Sosy/Sos bawarski|Sos bawarski (sauce Bavaroise)]] - nazwa nawiązuje do południowoniemieckiej Bawarii i jej tradycji kulinarnych. # [[Sosy/Sos cédard|Sos Cédard (sauce Cédard)]] - nazwa pochodzi od nazwiska wybitnego francuskiego szefa kuchni brytyjskiej rodziny królewskiej, Henry Cédarda. # [[Sosy/Sos Choron|Sos Choron (sauce Choron)]] - nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego szefa kuchni Alexandre'a Etienne'a Chorona. # [[Sosy/Sos holenderski|Sos holenderski (sauce hollandaise)]] # [[Sosy/Sos kawiorowy|sos kawiorowy]] # [[Sosy/Sos maltański|Sos maltański (sauce maltaise)]] - nazwa pochodzi od czerwonych pomarańczy (tzw. pomarańczy sycylijskich lub maltańskich). # [[Sosy/Sos maślano-cytrynowy|Sos maślano-cytrynowy (beurre blanc au citron)]] # [[Sosy/Sos mikado|Sos mikado (sauce mikado)]] - nazwa sosu Mikado pochodzi od dawnego, historycznego tytułu cesarza Japonii # [[Sosy/Sos musztardowo-śmietanowy|Sos musztardowo-śmietanowy (sauce à la crème et moutarde)]] # [[Sosy/Sos musztardowy|Sos musztardowy (sauce dijonnaise, sauce moutarde)]] # [[Sosy/Sos maślano-winny|Sos maślano-winny (beurre blanc)]] # [[Sosy/Sos muślinowy|Sos muślinowy (sauce mousseline)]] # [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy (sauce aux champignons)]] # [[Sosy/Sos Romanoff|Sos Romanoff (sauce Romanoff)]] - nazwa wywodzi się od nazwiska rosyjskiej dynastii carskiej Romanowów. # [[Sosy/Sos wenecki|Sos wenecki (sauce vénitienne)]] == Sosy do dań == * Szparagi # Klasyczny [[Sosy/Sos holenderski|sos holenderski]] doskonale pasuje do białych szparagów. # [[Sosy/Sos bearneński|Sos bearneński]] ze względu na swój ziołowy, lekko anyżowy aromat, stanowi doskonałą, bardziej wyrazistą alternatywę dla klasycznego [[Sosy/Sos holenderski|sosu holenderskiego]]. # Roztopione masło: najbardziej tradycyjna i najprostsza wersja. Masło lekko podgrzewa się (często z odrobiną soku z cytryny) i polewa nim szparagi. # [[Sosy/Palone masło|Palone masło (beurre noisette)]] jest idealne do szparagów z bułką tartą. # Szparagi z szynką polane [[Sosy/Sos bolzański|sosem bolzańskim]] i posypane parmezanem to pyszne zestawienie. # [[Sosy/Sos maltański|Sos maltański]]. == Pesto == == [[Sosy/Pomoc|Słowniczek]] == == [[Sosy/Bibliografia|Bibliografia]] == == Przypisy == {{Przypisy}} {{BrClear}} <noinclude>{{Wolumin}}</noinclude> kqnpxcdoh5i9msyfsc0het7jz0ypgxx 555252 555249 2026-09-09T13:06:23Z EdytaT 2664 555252 wikitext text/x-wiki {{status|-25%|Kulinaria}} {{Rozdział|Podręcznik|Sosy}} <small>< [[Sosy/Okładka|Okładka]]</small> {{FormularzWejścia|typ=search|szerokość=40|przestrzenie=(Główna)**|przedrostek=Sosy|szukaj=Szukaj|przerwa=no|zastępczy=Wyszukaj}} == Sosy == # [[Sosy/Palone masło|Palone masło (beurre noisette)]] # [[Sosy/Sos bearneński|Sos bearneński (sauce béarnaise)]] - został wymyślony w 1836 roku w restauracji Le Pavillon Henri IV w podparyskim Saint-Germain-en-Laye przez szefa kuchni Jeana-Louisa-François Collineta na cześć króla Francji Henryka IV, który urodził się w Béarn i był nazywany „Wielkim Béarnczykiem”. # [[Sosy/Sos bolzański|Sos bolzański (sauce de Bolzano)]] - nazwa pochodzi od miasta Bolzano, stolicy prowincji Południowy Tyrol. # [[Sosy/Sos borowikowy|Sos borowikowy (sauce aux cèpes)]] # [[Sosy/Sos boski|Sos boski (sos holenderski z truflami, sauce divine)]] # [[Sosy/Sos bawarski|Sos bawarski (sauce Bavaroise)]] - nazwa nawiązuje do południowoniemieckiej Bawarii i jej tradycji kulinarnych. # [[Sosy/Sos cédard|Sos Cédard (sauce Cédard)]] - nazwa pochodzi od nazwiska wybitnego francuskiego szefa kuchni brytyjskiej rodziny królewskiej, Henry Cédarda. # [[Sosy/Sos Choron|Sos Choron (sauce Choron)]] - nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego szefa kuchni Alexandre'a Etienne'a Chorona. # [[Sosy/Sos borowikowy|Sos borowikowy (sauce aux cèpes)]] # [[Sosy/Sos holenderski|Sos holenderski (sauce hollandaise)]] # [[Sosy/Sos kawiorowy|sos kawiorowy]] # [[Sosy/Sos maltański|Sos maltański (sauce maltaise)]] - nazwa pochodzi od czerwonych pomarańczy (tzw. pomarańczy sycylijskich lub maltańskich). # [[Sosy/Sos maślano-cytrynowy|Sos maślano-cytrynowy (beurre blanc au citron)]] # [[Sosy/Sos mikado|Sos mikado (sauce mikado)]] - nazwa sosu Mikado pochodzi od dawnego, historycznego tytułu cesarza Japonii # [[Sosy/Sos musztardowo-śmietanowy|Sos musztardowo-śmietanowy (sauce à la crème et moutarde)]] # [[Sosy/Sos musztardowy|Sos musztardowy (sauce dijonnaise, sauce moutarde)]] # [[Sosy/Sos maślano-winny|Sos maślano-winny (beurre blanc)]] # [[Sosy/Sos muślinowy|Sos muślinowy (sauce mousseline)]] # [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy (sauce aux champignons)]] # [[Sosy/Sos Romanoff|Sos Romanoff (sauce Romanoff)]] - nazwa wywodzi się od nazwiska rosyjskiej dynastii carskiej Romanowów. # [[Sosy/Sos wenecki|Sos wenecki (sauce vénitienne)]] == Sosy do dań == * Szparagi # Klasyczny [[Sosy/Sos holenderski|sos holenderski]] doskonale pasuje do białych szparagów. # [[Sosy/Sos bearneński|Sos bearneński]] ze względu na swój ziołowy, lekko anyżowy aromat, stanowi doskonałą, bardziej wyrazistą alternatywę dla klasycznego [[Sosy/Sos holenderski|sosu holenderskiego]]. # Roztopione masło: najbardziej tradycyjna i najprostsza wersja. Masło lekko podgrzewa się (często z odrobiną soku z cytryny) i polewa nim szparagi. # [[Sosy/Palone masło|Palone masło (beurre noisette)]] jest idealne do szparagów z bułką tartą. # Szparagi z szynką polane [[Sosy/Sos bolzański|sosem bolzańskim]] i posypane parmezanem to pyszne zestawienie. # [[Sosy/Sos maltański|Sos maltański]]. == Pesto == == [[Sosy/Pomoc|Słowniczek]] == == [[Sosy/Bibliografia|Bibliografia]] == == Przypisy == {{Przypisy}} {{BrClear}} <noinclude>{{Wolumin}}</noinclude> 5x2re8qh3kjtl8dobrxrqn2g9kzcyq5 0 64136 555372 555054 2026-09-09T19:08:32Z Persino 2851 555372 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Dzieło to, opublikowane w 1687 roku, stanowi fundament całej mechaniki klasycznej i jest jednym z najważniejszych traktatów naukowych w historii fizyki. Newton zebrał w nim wcześniejsze osiągnięcia Galileusza, Keplera oraz Huygensa, a następnie uogólnił je, tworząc spójny matematyczny opis ruchu ciał w przestrzeni. Jego zasady dynamiki nie tylko wyjaśniają, dlaczego ciała poruszają się w określony sposób, lecz także pozwalają przewidywać ich ruch na podstawie równań różniczkowych wynikających z działania sił. Pierwsza zasada dynamiki Newtona została pierwotnie sformułowana przez Galileo Galilei, który zauważył, że ciało pozbawione oddziaływań zewnętrznych nie zmienia swojego stanu ruchu. Newton powtórzył tę zasadę, nadając jej pełne znaczenie w kontekście układów inercjalnych oraz włączając ją w system trzech fundamentalnych praw opisujących ruch. Zasada ta jest kluczowa, ponieważ definiuje pojęcie układu odniesienia, w którym obowiązują pozostałe prawa dynamiki. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona, które tworzą kompletny i logiczny system opisu ruchu: * '''Pierwsza zasada dynamiki''' — opisuje zachowanie ciała w przypadku braku sił lub równowagi sił; definiuje układ inercjalny. * '''Druga zasada dynamiki''' — wprowadza ilościowy związek między siłą działającą na ciało a jego przyspieszeniem; jest podstawą równań ruchu. * '''Trzecia zasada dynamiki''' — opisuje wzajemność oddziaływań między ciałami; każdej akcji odpowiada reakcja o przeciwnym zwrocie. W kolejnych podrozdziałach rozwiniemy każdą z tych zasad zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego, zachowując pełną spójność z wcześniejszymi definicjami kinematycznymi oraz z matematycznym aparatem opisującym pęd, moment pędu, siłę i moment siły. ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. Zasada ta, zwana także zasadą bezwładności, opisuje zachowanie ciała w sytuacji, gdy nie działają na nie żadne siły zewnętrzne lub gdy wszystkie siły działające na ciało wzajemnie się równoważą. W takim przypadku ciało zachowuje swój dotychczasowy stan ruchu: jeśli pozostawało w spoczynku, nadal pozostaje w spoczynku, a jeśli poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym, kontynuuje ten ruch bez zmiany prędkości i kierunku. Zasada ta jest fundamentem definicji układu inercjalnego, czyli takiego układu odniesienia, w którym prawa dynamiki przyjmują najprostszą postać i w którym można poprawnie stosować pozostałe zasady Newtona zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oznacza to, że jego prędkość liniowa nie ulega zmianie ani pod względem wartości, ani kierunku. Zasada ta opisuje fundamentalną właściwość ruchu w układach inercjalnych: brak niezrównoważonej siły oznacza brak przyspieszenia. W praktyce jest to wyraz bezwładności ciała, czyli jego naturalnej tendencji do zachowania dotychczasowego stanu ruchu. Jeżeli ciało już się porusza, będzie kontynuowało ten ruch bez żadnych zmian, dopóki nie pojawi się siła, która ten ruch zmieni. Jeżeli ciało pozostaje w spoczynku, pozostanie w nim, dopóki nie zadziała siła, która wprawi je w ruch. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. Z równania {{Formuła|<MATH>\vec F=m\vec a</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec F=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec a=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość {{Formuła|<MATH>\vec v</MATH>}} jest stała w czasie, co prowadzi do ruchu jednostajnego prostoliniowego lub spoczynku jako szczególnego przypadku ruchu jednostajnego. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której siła wypadkowa jest równa zeru. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. Zasada ta jest obrotowym odpowiednikiem zasady bezwładności dla ruchu liniowego i opisuje naturalną tendencję ciała do zachowania swojego stanu obrotu. Jeżeli ciało nie jest poddawane żadnemu momentowi siły, nie ma fizycznej przyczyny, aby zmieniać swoją prędkość kątową. W konsekwencji ciało pozostaje w spoczynku obrotowym lub kontynuuje obrót ze stałą prędkością kątową wokół ustalonej osi. Warto zauważyć, że w ruchu obrotowym rolę „masy bezwładnościowej” pełni tensor momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, który opisuje, jak trudno jest zmienić stan obrotu ciała w zależności od jego kształtu i rozkładu masy. Im większy moment bezwładności względem danej osi, tym trudniej zmienić prędkość obrotową ciała. Zasada ta jest więc kluczowa dla zrozumienia dynamiki brył sztywnych, ruchu planet, wirujących układów mechanicznych oraz zjawisk takich jak stabilizacja żyroskopowa. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. Z równania ruchu obrotowego {{Formuła|<MATH>\vec N=\hat I\vec\alpha</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec\alpha=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\vec\omega</MATH>}} jest stała w czasie. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której moment siły wypadkowej jest równy zeru. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. Druga zasada dynamiki jest podstawowym równaniem ruchu w mechanice klasycznej, ponieważ określa ilościowy związek między działającą na ciało siłą lub momentem siły a zmianą jego ruchu. W ruchu liniowym zasada ta wiąże siłę z przyspieszeniem oraz pędem ciała, natomiast w ruchu obrotowym wiąże moment siły z przyspieszeniem kątowym oraz momentem pędu. Dzięki temu możliwe jest przejście od opisu kinematycznego, który jedynie opisuje ruch, do opisu dynamicznego, który wyjaśnia jego przyczyny. W kolejnych podrozdziałach pokażemy, jak z ogólnych zależności różniczkowych otrzymujemy klasyczne równania ruchu Newtona dla obu typów ruchu. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej: przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, jest wprost proporcjonalne do działającej siły i odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała. Wielkość masy występująca we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową, ponieważ opisuje ona odporność ciała na zmianę ruchu. Im większa masa, tym mniejsze przyspieszenie wywołuje dana siła, co jest bezpośrednim wyrazem bezwładności. Zależność tę formułujemy w postaci równania wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec p</MATH>}} jest pędem ciała i opisuje ilość ruchu, jaką ciało posiada. Zapis {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} oznacza, że siła jest miarą szybkości zmiany pędu w czasie. Dzięki temu druga zasada dynamiki Newtona stanowi pomost między opisem kinematycznym a dynamicznym: pozwala nie tylko opisać ruch, lecz także wyjaśnić jego przyczyny. '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jej różniczkę. Zakładamy, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu oraz powinny być takie same dla każdej osi, co jest treścią zasady niezmienniczości drugiej zasady dynamiki Newtona w układach inercjalnych. Wtedy, z definicji różniczki zupełnej, przyjmujemy, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci pewną macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}, stałą w czasie i przestrzeni, która jest niezmiennikiem transformacji i charakteryzuje dane ciało. Jak pokażemy, macierz ta jest równoważna masie pomnożonej przez macierz jednostkową. Ponadto zakładamy, że {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi. Rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły dodatkowe człony mogą odpowiadać siłom takim jak tarcie czy opór ośrodka, możemy na początku pominąć te człony, aby otrzymać najprostszą postać równania ruchu. Pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazywamy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Ten człon może odpowiadać siłom zależnym od położenia, takim jak siła sprężystości czy grawitacji. Kluczowe jest jednak to, że człon proporcjonalny do przyspieszenia opisany macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} ma postać niezmienniczą względem transformacji inercjalnych, co prowadzi do wniosku, że {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}, a więc siła jest proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie bezwładnościowej. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Powyższa transformacja opisuje, jak wektor siły powinien zmieniać się przy przejściu z jednego układu inercjalnego do drugiego. Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} reprezentuje transformację obrotową układu współrzędnych, a więc jest macierzą ortogonalną, która zachowuje długości i kąty. Wymagamy, aby równanie ruchu miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym — jest to zasada niezmienniczości praw fizyki. * Zaczynamy od transformacji siły: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F</MATH>}}, a następnie podstawiamy jej postać z równania ruchu: {{Formuła|<MATH>\vec F=M\vec a</MATH>}}. * Po wykonaniu transformacji otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_pM\vec a</MATH>}}. * Jednocześnie przyspieszenie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec a'=C_p\vec a</MATH>}}. * Aby równanie ruchu zachowało swoją formę, musi zachodzić: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=M\vec a'</MATH>}}. * Porównując obie postacie, otrzymujemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pM\vec a = M C_p\vec a</MATH>}}. * Ponieważ równanie to musi być prawdziwe dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec a</MATH>}}, otrzymujemy warunek na macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>M=C_pMC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}. Oznacza to, że wielkość {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} jest skalarem — masą bezwładnościową — pomnożoną przez macierz jednostkową. Jest to kluczowy krok w wyprowadzeniu drugiej zasady dynamiki Newtona, ponieważ pokazuje, że masa jest niezmiennikiem transformacji inercjalnych i że siła musi być proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie. Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Otrzymany wynik pokazuje, że macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} pełniąca rolę współczynnika przy przyspieszeniu musi być równa masie bezwładnościowej pomnożonej przez macierz jednostkową. Oznacza to, że siła działająca na ciało jest proporcjonalna do jego przyspieszenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest masa — wielkość opisująca bezwładność ciała. W ten sposób otrzymujemy klasyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona, w której siła jest równa pochodnej pędu po czasie. Zapis ten jest całkowicie zgodny z zasadą niezmienniczości równań ruchu w układach inercjalnych i stanowi podstawę całej mechaniki klasycznej. Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Powyższy zapis opisuje siłę tarcia dynamicznego, która działa na ciało poruszające się po powierzchni. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} jest współczynnikiem tarcia kinetycznego, a {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oznacza siłę nacisku, z jaką ciało działa na podłoże. Iloczyn {{Formuła|<MATH>\mu N</MATH>}} określa wartość siły tarcia, natomiast wektor {{Formuła|<MATH>\vec e_x</MATH>}} (lub równoważnie {{Formuła|<MATH>{{\vec v}\over v}</MATH>}}) wyznacza jej kierunek — przeciwny do kierunku ruchu. Tarcie dynamiczne zawsze działa tak, aby zmniejszać prędkość ciała, czyli jest siłą oporową. Włączenie tego członu do równania ruchu pozwala opisać bardziej realistyczne sytuacje, w których ruch nie jest idealnie swobodny, lecz odbywa się w obecności oporów. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Rozważamy tutaj siłę oporu ośrodka, która zależy liniowo od prędkości ciała. Zakładamy, że wektor siły ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=B\vec v</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest pewną macierzą (lub stałą), opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu odniesienia siła transformowała się zgodnie z: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_p\vec F</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierzą transformacji (np. obrotu). * Podstawiając postać siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_pB\vec v</MATH>}}. * Z drugiej strony, w nowym układzie prędkość ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec v'=C_p\vec v</MATH>}}, a więc siła powinna mieć tę samą strukturę: {{Formuła|<MATH>\vec F'=B\vec v'</MATH>}}. * Porównując oba wyrażenia, dostajemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pB\vec v = B C_p\vec v</MATH>}}, co prowadzi do równania: {{Formuła|<MATH>B=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>B=-bmI</MATH>}}. Ostatecznie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F=-bm\vec v=-b\vec p</MATH>}}, co oznacza, że siła oporu ośrodka jest wprost proporcjonalna do pędu ciała i skierowana przeciwnie do jego ruchu. Taki człon opisuje np. lepki opór w ośrodku, gdzie siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości i działa przeciwnie do kierunku ruchu. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Oznacza to, że im większy pęd ciała, tym większa jest siła oporu działająca przeciwnie do kierunku ruchu. Taki opis jest typowy dla oporu lepkiego, gdzie siła hamująca rośnie liniowo wraz z prędkością (a więc i pędem) i zawsze działa w kierunku przeciwnym do ruchu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}} stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu liniowego z uwzględnieniem siły tarcia dynamicznego oraz oporu ośrodka. Pierwszy człon {{Formuła|<MATH>-\mu N{{\vec v}\over v}</MATH>}} opisuje tarcie kinetyczne zależne od nacisku i kierunku ruchu, drugi człon {{Formuła|<MATH>-b\vec p</MATH>}} opisuje opór lepkiego ośrodka proporcjonalny do pędu, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec F_z</MATH>}} reprezentuje pozostałe siły zewnętrzne działające na ciało (np. grawitację, sprężystość). Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona pozwala opisać rzeczywisty ruch ciała w ośrodku, w którym występują opory i tarcie. Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego opiera się na analizie składowych ruchu wywołanych przez poszczególne siły. * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością, z jaką ciało by się poruszało, gdyby działała tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama, niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}, i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości. Wynika to z faktu, że gdyby pozostałe siły były równe zero (inne niż i-ta siła), to i-ta składowa ruchu spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Innymi słowy, każda pojedyncza siła powoduje przyspieszenie zgodne z drugą zasadą dynamiki, z tym samym współczynnikiem bezwładnościowym (masą). Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił: całkowita siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało, a ruch wywołany przez każdą z nich może być rozpatrywany niezależnie, a następnie złożony zgodnie z zasadami algebry wektorowej. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Związek ten jest obrotowym odpowiednikiem równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego: zamiast siły i pędu pojawia się moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} oraz moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. Oznacza to, że moment siły jest miarą szybkości zmiany momentu pędu w czasie, tak jak siła jest miarą szybkości zmiany pędu. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Oznacza to, że całkowity moment siły działający na ciało jest sumą wektorową momentów poszczególnych sił, a jego wartość i kierunek zależą zarówno od wartości sił, jak i od ich ramion względem osi obrotu. Własność addytywności i wektorowego charakteru momentu siły wynika bezpośrednio z definicji {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec r\times\vec F</MATH>}} oraz z liniowości działania sił. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale {{sr|#Zasada zachowania momentu pędu|p=Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Tam pokazano, że dla układu punktów materialnych moment pędu względem wybranej osi zmienia się pod wpływem momentu sił działających na układ, co prowadzi do ogólnej postaci równania ruchu obrotowego dla bryły sztywnej. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu. Zakładamy, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci prędkością obrotową. Wynika to ze wzoru na ruch obrotowy {{LinkWzór|P1ab}} oraz z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Ponadto {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} interpretujemy jako moment siły działającej na ciało, pomijając dodatkowy człon będący momentem siły oporu i tarcia (np. od ośrodka), związany z wektorem kąta w iloczynie momentu siły i różniczki czasu. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Otrzymujemy w ten sposób ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest równy pochodnej momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}} po czasie. Zapis ten jest całkowicie analogiczny do równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego i stanowi podstawę opisu dynamiki brył sztywnych. Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} opisuje transformację (np. obrót) między dwoma układami inercjalnymi. Wymagamy, aby równanie ruchu obrotowego miało tę samą postać w każdym układzie, czyli aby związek między momentem siły a momentem pędu był niezmienniczy przy takich transformacjach. Ponieważ moment pędu transformuje się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec K^'=C_p\vec K</MATH>}}, to jego pochodna po czasie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>{{d\vec K^'}\over dt}=C_p{{d\vec K}\over dt}</MATH>}}. * Stąd wynika, że: {{Formuła|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over dt}={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}, czyli w każdym układzie inercjalnym zachodzi związek: {{Formuła|<MATH>\vec N^'={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}, co potwierdza ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w dowolnym układzie inercjalnym. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} * Wzór ten opisuje moment siły tarcia działający na ciało obracające się lub próbujące się obracać względem punktu podparcia. Siła tarcia statycznego ma wartość proporcjonalną do siły nacisku {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oraz współczynnika tarcia {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}, a jej kierunek jest przeciwny do kierunku ruchu (lub prób ruchu). Iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}} wyznacza moment tej siły względem punktu odniesienia, co prowadzi do wektorowego momentu tarcia {{Formuła|<MATH>\vec N_T</MATH>}}. Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (siłę działającą na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego oraz definicję tensora momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} * Korzystamy tutaj z faktu, że dla ruchu liniowego opór ośrodka ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=-b\vec p</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i\vec v_i</MATH>}} jest pędem i-tego punktu materialnego. W ruchu obrotowym prędkość punktu można zapisać jako {{Formuła|<MATH>\vec v_i=\vec \omega\times\vec r_i</MATH>}}, co prowadzi do postaci pędu {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. Moment siły oporu względem punktu odniesienia jest sumą momentów poszczególnych sił: {{Formuła|<MATH>\vec N=\sum_i\vec r_i\times\vec F_i</MATH>}}. * Podstawiając {{Formuła|<MATH>\vec F_i=-b\vec p_i</MATH>}}, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. * Zgodnie z definicją tensora momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, suma {{Formuła|<MATH>\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}} jest równa {{Formuła|<MATH>\hat I\vec \omega</MATH>}}, czyli momentowi pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. W rezultacie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}. * Oznacza to, że moment siły oporu ośrodka w ruchu obrotowym jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, co opisuje zjawisko tłumienia obrotu przez lepki ośrodek. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} * Zakładamy, że moment siły oporu ośrodka ma postać liniową względem prędkości kątowej: {{Formuła|<MATH>\vec N=B\vec \omega</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest macierzą (tensorem) opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne zachowywało swoją postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu moment siły transformował się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_p\vec N</MATH>}}, a prędkość kątowa jak: {{Formuła|<MATH>\vec \omega'=C_p\vec \omega</MATH>}}. * Podstawiając postać momentu siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_pB\vec \omega</MATH>}}, a z wymogu zachowania struktury równania: {{Formuła|<MATH>\vec N'=B'\vec \omega'</MATH>}}, wynika warunek: {{Formuła|<MATH>B'=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do tensora momentu bezwładności: {{Formuła|<MATH>B=-b\hat I</MATH>}}. * Wtedy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}, co oznacza, że moment siły oporu ośrodka jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, opisując tłumienie ruchu obrotowego przez lepki ośrodek. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Oznacza to, że im większy moment pędu ma obracające się ciało, tym większy jest moment siły oporu działający przeciwnie do kierunku obrotu, co prowadzi do stopniowego tłumienia ruchu obrotowego. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}} stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu obrotowego z uwzględnieniem: * ''Momentu siły tarcia statycznego:'' - {{Formuła|<MATH>-\mu N\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}}, który opisuje opór wynikający z tarcia między ciałem a podłożem, działający przeciwnie do prób obrotu. * ''Momentu siły oporu ośrodka:'' - {{Formuła|<MATH>-b\vec K</MATH>}}, proporcjonalnego do momentu pędu, opisującego tłumienie obrotu przez lepki ośrodek. * ''Pozostałych momentów sił zewnętrznych:'' - {{Formuła|<MATH>\vec N_z</MATH>}}, takich jak moment grawitacyjny, sprężystości czy inne oddziaływania. Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego pozwala opisać rzeczywisty ruch bryły sztywnej w obecności tarcia i oporu, zachowując jednocześnie wektorowy i addytywny charakter momentów sił. Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego jest następujący: * Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową, z jaką ciało by się obracało, gdyby działał tylko i-ty moment sił z wszystkich momentów sił działających na to ciało, rozważamy wkład każdej z tych składowych osobno. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}. Zatem te dwie wielkości są takie, jakby działał tylko jeden i-ty moment sił: tylko i-ta prędkość obrotowa i odpowiadający jej tensor bezwładności występują tak, jak we wzorze uwzględniającym wyłącznie i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}. Wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego np. z oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P1c}} Otrzymujemy więc, że całkowity moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest sumą wektorową momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N_i</MATH>}} pochodzących od poszczególnych oddziaływań. Tym samym moment siły jest wektorem i spełniona jest zasada niezależności działania momentów sił. Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy, jaki jest związek między momentem siły a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v)}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na niego działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało A działa na ciało B z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mniejszych ciał, otrzymujemy dla ruchu liniowego i obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_i m_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Wyrażenie to pokazuje dwie fundamentalne własności: * '''Addytywność sił:''' ** Całkowita siła działająca na środek masy jest sumą sił działających na wszystkie elementy składowe ciała. ** Wynika to z faktu, że przyspieszenie środka masy jest średnią ważoną przyspieszeń poszczególnych punktów materialnych. * '''Addytywność momentów sił:''' ** Całkowity moment siły działający na ciało jest sumą momentów sił działających na jego części składowe. ** Wynika to bezpośrednio z liniowości definicji momentu pędu i momentu siły. Wynik ten jest zgodny z zasadą superpozycji i z faktem, że zarówno siła, jak i moment siły są wielkościami wektorowymi. Dzięki temu równania ruchu dla środka masy zachowują tę samą postać, co równania ruchu dla układu punktów materialnych, co jest jednym z kluczowych założeń klasycznej mechaniki Newtonowskiej. Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną. Oznacza to, że siła działająca na środek masy ciała (oraz moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodzących od wszystkich mniejszych ciał tworzących układ. Jednak siła działająca na środek masy jest sumą '''sił zewnętrznych''', a moment siły działający na ciało jest sumą '''zewnętrznych momentów sił''', ponieważ siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują. Zerowanie się sił i momentów sił wewnętrznych jest możliwe tylko wtedy, gdy spełniona jest '''trzecia zasada dynamiki Newtona''', która mówi, że siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. Możemy również rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał. Rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziałujących ze sobą. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Wyrażenia te oznaczają: * {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''j''' działa na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec F_{2ji}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''i''' działa na ciało '''j''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''j''' wywiera na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{2ji}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''i''' wywiera na ciało '''j'''. Zatem: * '''Siły wewnętrzne''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}</MATH>}} * '''Momenty sił wewnętrznych''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}</MATH>}} Co prowadzi do ich całkowitego zaniku w równaniach ruchu środka masy i ruchu obrotowego całego układu. W ten sposób otrzymujemy pełne uzasadnienie, że: * siły zewnętrzne sumują się wektorowo, * momenty sił zewnętrznych sumują się wektorowo, * siły i momenty sił wewnętrznych się znoszą, * a równania ruchu dla całego układu zachowują postać zgodną z zasadami Newtona. Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}}: pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią '''trzeciej zasady dynamiki Newtona''' dla ruchu liniowego (obrotowego). Oznacza to: * dla '''ruchu liniowego''': siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot, * dla '''ruchu obrotowego''': momenty sił wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. W ten sposób trzecia zasada dynamiki Newtona zapewnia, że '''wszystkie siły i momenty sił wewnętrznych w układzie dwóch ciał (lub większego układu) sumują się do zera''', co jest konieczne, aby: * siła całkowita działająca na środek masy była sumą '''sił zewnętrznych''', * moment siły całkowity działający na ciało był sumą '''zewnętrznych momentów sił''', * równania ruchu środka masy i ruchu obrotowego zachowały swoją klasyczną postać. Zatem równania {{LinkWzór|s2}} i ich przekształcenie {{LinkWzór|s3}} stanowią bezpośrednie matematyczne uzasadnienie trzeciej zasady dynamiki Newtona zarówno w ruchu liniowym, jak i obrotowym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> izqo42wuh7nhbccp2gwkxxww9blwzw0 555373 555372 2026-09-09T19:09:37Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego */ 555373 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Dzieło to, opublikowane w 1687 roku, stanowi fundament całej mechaniki klasycznej i jest jednym z najważniejszych traktatów naukowych w historii fizyki. Newton zebrał w nim wcześniejsze osiągnięcia Galileusza, Keplera oraz Huygensa, a następnie uogólnił je, tworząc spójny matematyczny opis ruchu ciał w przestrzeni. Jego zasady dynamiki nie tylko wyjaśniają, dlaczego ciała poruszają się w określony sposób, lecz także pozwalają przewidywać ich ruch na podstawie równań różniczkowych wynikających z działania sił. Pierwsza zasada dynamiki Newtona została pierwotnie sformułowana przez Galileo Galilei, który zauważył, że ciało pozbawione oddziaływań zewnętrznych nie zmienia swojego stanu ruchu. Newton powtórzył tę zasadę, nadając jej pełne znaczenie w kontekście układów inercjalnych oraz włączając ją w system trzech fundamentalnych praw opisujących ruch. Zasada ta jest kluczowa, ponieważ definiuje pojęcie układu odniesienia, w którym obowiązują pozostałe prawa dynamiki. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona, które tworzą kompletny i logiczny system opisu ruchu: * '''Pierwsza zasada dynamiki''' — opisuje zachowanie ciała w przypadku braku sił lub równowagi sił; definiuje układ inercjalny. * '''Druga zasada dynamiki''' — wprowadza ilościowy związek między siłą działającą na ciało a jego przyspieszeniem; jest podstawą równań ruchu. * '''Trzecia zasada dynamiki''' — opisuje wzajemność oddziaływań między ciałami; każdej akcji odpowiada reakcja o przeciwnym zwrocie. W kolejnych podrozdziałach rozwiniemy każdą z tych zasad zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego, zachowując pełną spójność z wcześniejszymi definicjami kinematycznymi oraz z matematycznym aparatem opisującym pęd, moment pędu, siłę i moment siły. ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. Zasada ta, zwana także zasadą bezwładności, opisuje zachowanie ciała w sytuacji, gdy nie działają na nie żadne siły zewnętrzne lub gdy wszystkie siły działające na ciało wzajemnie się równoważą. W takim przypadku ciało zachowuje swój dotychczasowy stan ruchu: jeśli pozostawało w spoczynku, nadal pozostaje w spoczynku, a jeśli poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym, kontynuuje ten ruch bez zmiany prędkości i kierunku. Zasada ta jest fundamentem definicji układu inercjalnego, czyli takiego układu odniesienia, w którym prawa dynamiki przyjmują najprostszą postać i w którym można poprawnie stosować pozostałe zasady Newtona zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oznacza to, że jego prędkość liniowa nie ulega zmianie ani pod względem wartości, ani kierunku. Zasada ta opisuje fundamentalną właściwość ruchu w układach inercjalnych: brak niezrównoważonej siły oznacza brak przyspieszenia. W praktyce jest to wyraz bezwładności ciała, czyli jego naturalnej tendencji do zachowania dotychczasowego stanu ruchu. Jeżeli ciało już się porusza, będzie kontynuowało ten ruch bez żadnych zmian, dopóki nie pojawi się siła, która ten ruch zmieni. Jeżeli ciało pozostaje w spoczynku, pozostanie w nim, dopóki nie zadziała siła, która wprawi je w ruch. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. Z równania {{Formuła|<MATH>\vec F=m\vec a</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec F=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec a=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość {{Formuła|<MATH>\vec v</MATH>}} jest stała w czasie, co prowadzi do ruchu jednostajnego prostoliniowego lub spoczynku jako szczególnego przypadku ruchu jednostajnego. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której siła wypadkowa jest równa zeru. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. Zasada ta jest obrotowym odpowiednikiem zasady bezwładności dla ruchu liniowego i opisuje naturalną tendencję ciała do zachowania swojego stanu obrotu. Jeżeli ciało nie jest poddawane żadnemu momentowi siły, nie ma fizycznej przyczyny, aby zmieniać swoją prędkość kątową. W konsekwencji ciało pozostaje w spoczynku obrotowym lub kontynuuje obrót ze stałą prędkością kątową wokół ustalonej osi. Warto zauważyć, że w ruchu obrotowym rolę „masy bezwładnościowej” pełni tensor momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, który opisuje, jak trudno jest zmienić stan obrotu ciała w zależności od jego kształtu i rozkładu masy. Im większy moment bezwładności względem danej osi, tym trudniej zmienić prędkość obrotową ciała. Zasada ta jest więc kluczowa dla zrozumienia dynamiki brył sztywnych, ruchu planet, wirujących układów mechanicznych oraz zjawisk takich jak stabilizacja żyroskopowa. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. Z równania ruchu obrotowego {{Formuła|<MATH>\vec N=\hat I\vec\alpha</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec\alpha=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\vec\omega</MATH>}} jest stała w czasie. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której moment siły wypadkowej jest równy zeru. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. Druga zasada dynamiki jest podstawowym równaniem ruchu w mechanice klasycznej, ponieważ określa ilościowy związek między działającą na ciało siłą lub momentem siły a zmianą jego ruchu. W ruchu liniowym zasada ta wiąże siłę z przyspieszeniem oraz pędem ciała, natomiast w ruchu obrotowym wiąże moment siły z przyspieszeniem kątowym oraz momentem pędu. Dzięki temu możliwe jest przejście od opisu kinematycznego, który jedynie opisuje ruch, do opisu dynamicznego, który wyjaśnia jego przyczyny. W kolejnych podrozdziałach pokażemy, jak z ogólnych zależności różniczkowych otrzymujemy klasyczne równania ruchu Newtona dla obu typów ruchu. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej: przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, jest wprost proporcjonalne do działającej siły i odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała. Wielkość masy występująca we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową, ponieważ opisuje ona odporność ciała na zmianę ruchu. Im większa masa, tym mniejsze przyspieszenie wywołuje dana siła, co jest bezpośrednim wyrazem bezwładności. Zależność tę formułujemy w postaci równania wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec p</MATH>}} jest pędem ciała i opisuje ilość ruchu, jaką ciało posiada. Zapis {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} oznacza, że siła jest miarą szybkości zmiany pędu w czasie. Dzięki temu druga zasada dynamiki Newtona stanowi pomost między opisem kinematycznym a dynamicznym: pozwala nie tylko opisać ruch, lecz także wyjaśnić jego przyczyny. '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jej różniczkę. Zakładamy, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu oraz powinny być takie same dla każdej osi, co jest treścią zasady niezmienniczości drugiej zasady dynamiki Newtona w układach inercjalnych. Wtedy, z definicji różniczki zupełnej, przyjmujemy, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci pewną macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}, stałą w czasie i przestrzeni, która jest niezmiennikiem transformacji i charakteryzuje dane ciało. Jak pokażemy, macierz ta jest równoważna masie pomnożonej przez macierz jednostkową. Ponadto zakładamy, że {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi. Rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły dodatkowe człony mogą odpowiadać siłom takim jak tarcie czy opór ośrodka, możemy na początku pominąć te człony, aby otrzymać najprostszą postać równania ruchu. Pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazywamy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Ten człon może odpowiadać siłom zależnym od położenia, takim jak siła sprężystości czy grawitacji. Kluczowe jest jednak to, że człon proporcjonalny do przyspieszenia opisany macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} ma postać niezmienniczą względem transformacji inercjalnych, co prowadzi do wniosku, że {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}, a więc siła jest proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie bezwładnościowej. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Powyższa transformacja opisuje, jak wektor siły powinien zmieniać się przy przejściu z jednego układu inercjalnego do drugiego. Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} reprezentuje transformację obrotową układu współrzędnych, a więc jest macierzą ortogonalną, która zachowuje długości i kąty. Wymagamy, aby równanie ruchu miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym — jest to zasada niezmienniczości praw fizyki. * Zaczynamy od transformacji siły: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F</MATH>}}, a następnie podstawiamy jej postać z równania ruchu: {{Formuła|<MATH>\vec F=M\vec a</MATH>}}. * Po wykonaniu transformacji otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_pM\vec a</MATH>}}. * Jednocześnie przyspieszenie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec a'=C_p\vec a</MATH>}}. * Aby równanie ruchu zachowało swoją formę, musi zachodzić: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=M\vec a'</MATH>}}. * Porównując obie postacie, otrzymujemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pM\vec a = M C_p\vec a</MATH>}}. * Ponieważ równanie to musi być prawdziwe dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec a</MATH>}}, otrzymujemy warunek na macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>M=C_pMC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}. Oznacza to, że wielkość {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} jest skalarem — masą bezwładnościową — pomnożoną przez macierz jednostkową. Jest to kluczowy krok w wyprowadzeniu drugiej zasady dynamiki Newtona, ponieważ pokazuje, że masa jest niezmiennikiem transformacji inercjalnych i że siła musi być proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie. Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Otrzymany wynik pokazuje, że macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} pełniąca rolę współczynnika przy przyspieszeniu musi być równa masie bezwładnościowej pomnożonej przez macierz jednostkową. Oznacza to, że siła działająca na ciało jest proporcjonalna do jego przyspieszenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest masa — wielkość opisująca bezwładność ciała. W ten sposób otrzymujemy klasyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona, w której siła jest równa pochodnej pędu po czasie. Zapis ten jest całkowicie zgodny z zasadą niezmienniczości równań ruchu w układach inercjalnych i stanowi podstawę całej mechaniki klasycznej. Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Powyższy zapis opisuje siłę tarcia dynamicznego, która działa na ciało poruszające się po powierzchni. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} jest współczynnikiem tarcia kinetycznego, a {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oznacza siłę nacisku, z jaką ciało działa na podłoże. Iloczyn {{Formuła|<MATH>\mu N</MATH>}} określa wartość siły tarcia, natomiast wektor {{Formuła|<MATH>\vec e_x</MATH>}} (lub równoważnie {{Formuła|<MATH>{{\vec v}\over v}</MATH>}}) wyznacza jej kierunek — przeciwny do kierunku ruchu. Tarcie dynamiczne zawsze działa tak, aby zmniejszać prędkość ciała, czyli jest siłą oporową. Włączenie tego członu do równania ruchu pozwala opisać bardziej realistyczne sytuacje, w których ruch nie jest idealnie swobodny, lecz odbywa się w obecności oporów. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Rozważamy tutaj siłę oporu ośrodka, która zależy liniowo od prędkości ciała. Zakładamy, że wektor siły ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=B\vec v</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest pewną macierzą (lub stałą), opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu odniesienia siła transformowała się zgodnie z: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_p\vec F</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierzą transformacji (np. obrotu). * Podstawiając postać siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_pB\vec v</MATH>}}. * Z drugiej strony, w nowym układzie prędkość ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec v'=C_p\vec v</MATH>}}, a więc siła powinna mieć tę samą strukturę: {{Formuła|<MATH>\vec F'=B\vec v'</MATH>}}. * Porównując oba wyrażenia, dostajemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pB\vec v = B C_p\vec v</MATH>}}, co prowadzi do równania: {{Formuła|<MATH>B=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>B=-bmI</MATH>}}. Ostatecznie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F=-bm\vec v=-b\vec p</MATH>}}, co oznacza, że siła oporu ośrodka jest wprost proporcjonalna do pędu ciała i skierowana przeciwnie do jego ruchu. Taki człon opisuje np. lepki opór w ośrodku, gdzie siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości i działa przeciwnie do kierunku ruchu. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Oznacza to, że im większy pęd ciała, tym większa jest siła oporu działająca przeciwnie do kierunku ruchu. Taki opis jest typowy dla oporu lepkiego, gdzie siła hamująca rośnie liniowo wraz z prędkością (a więc i pędem) i zawsze działa w kierunku przeciwnym do ruchu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}} stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu liniowego z uwzględnieniem siły tarcia dynamicznego oraz oporu ośrodka. Pierwszy człon {{Formuła|<MATH>-\mu N{{\vec v}\over v}</MATH>}} opisuje tarcie kinetyczne zależne od nacisku i kierunku ruchu, drugi człon {{Formuła|<MATH>-b\vec p</MATH>}} opisuje opór lepkiego ośrodka proporcjonalny do pędu, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec F_z</MATH>}} reprezentuje pozostałe siły zewnętrzne działające na ciało (np. grawitację, sprężystość). Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona pozwala opisać rzeczywisty ruch ciała w ośrodku, w którym występują opory i tarcie. Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego opiera się na analizie składowych ruchu wywołanych przez poszczególne siły. * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością, z jaką ciało by się poruszało, gdyby działała tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama, niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}, i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości. Wynika to z faktu, że gdyby pozostałe siły były równe zero (inne niż i-ta siła), to i-ta składowa ruchu spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Innymi słowy, każda pojedyncza siła powoduje przyspieszenie zgodne z drugą zasadą dynamiki, z tym samym współczynnikiem bezwładnościowym (masą). Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił: całkowita siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało, a ruch wywołany przez każdą z nich może być rozpatrywany niezależnie, a następnie złożony zgodnie z zasadami algebry wektorowej. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Związek ten jest obrotowym odpowiednikiem równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego: zamiast siły i pędu pojawia się moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} oraz moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. Oznacza to, że moment siły jest miarą szybkości zmiany momentu pędu w czasie, tak jak siła jest miarą szybkości zmiany pędu. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Oznacza to, że całkowity moment siły działający na ciało jest sumą wektorową momentów poszczególnych sił, a jego wartość i kierunek zależą zarówno od wartości sił, jak i od ich ramion względem osi obrotu. Własność addytywności i wektorowego charakteru momentu siły wynika bezpośrednio z definicji {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec r\times\vec F</MATH>}} oraz z liniowości działania sił. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale {{sr|#Zasada zachowania momentu pędu|p=Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Tam pokazano, że dla układu punktów materialnych moment pędu względem wybranej osi zmienia się pod wpływem momentu sił działających na układ, co prowadzi do ogólnej postaci równania ruchu obrotowego dla bryły sztywnej. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu. Zakładamy, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci prędkością obrotową. Wynika to ze wzoru na ruch obrotowy {{LinkWzór|P1ab}} oraz z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Ponadto {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} interpretujemy jako moment siły działającej na ciało, pomijając dodatkowy człon będący momentem siły oporu i tarcia (np. od ośrodka), związany z wektorem kąta w iloczynie momentu siły i różniczki czasu. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Otrzymujemy w ten sposób ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest równy pochodnej momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}} po czasie. Zapis ten jest całkowicie analogiczny do równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego i stanowi podstawę opisu dynamiki brył sztywnych. Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} opisuje transformację (np. obrót) między dwoma układami inercjalnymi. Wymagamy, aby równanie ruchu obrotowego miało tę samą postać w każdym układzie, czyli aby związek między momentem siły a momentem pędu był niezmienniczy przy takich transformacjach. Ponieważ moment pędu transformuje się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec K^'=C_p\vec K</MATH>}}, to jego pochodna po czasie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>{{d\vec K^'}\over dt}=C_p{{d\vec K}\over dt}</MATH>}}. * Stąd wynika, że: {{Formuła|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over dt}={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}, czyli w każdym układzie inercjalnym zachodzi związek: {{Formuła|<MATH>\vec N^'={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}, co potwierdza ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w dowolnym układzie inercjalnym. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} * Wzór ten opisuje moment siły tarcia działający na ciało obracające się lub próbujące się obracać względem punktu podparcia. Siła tarcia statycznego ma wartość proporcjonalną do siły nacisku {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oraz współczynnika tarcia {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}, a jej kierunek jest przeciwny do kierunku ruchu (lub prób ruchu). Iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}} wyznacza moment tej siły względem punktu odniesienia, co prowadzi do wektorowego momentu tarcia {{Formuła|<MATH>\vec N_T</MATH>}}. Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (siłę działającą na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego oraz definicję tensora momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} * Korzystamy tutaj z faktu, że dla ruchu liniowego opór ośrodka ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=-b\vec p</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i\vec v_i</MATH>}} jest pędem i-tego punktu materialnego. W ruchu obrotowym prędkość punktu można zapisać jako {{Formuła|<MATH>\vec v_i=\vec \omega\times\vec r_i</MATH>}}, co prowadzi do postaci pędu {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. Moment siły oporu względem punktu odniesienia jest sumą momentów poszczególnych sił: {{Formuła|<MATH>\vec N=\sum_i\vec r_i\times\vec F_i</MATH>}}. * Podstawiając {{Formuła|<MATH>\vec F_i=-b\vec p_i</MATH>}}, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. * Zgodnie z definicją tensora momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, suma {{Formuła|<MATH>\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}} jest równa {{Formuła|<MATH>\hat I\vec \omega</MATH>}}, czyli momentowi pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. W rezultacie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}. * Oznacza to, że moment siły oporu ośrodka w ruchu obrotowym jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, co opisuje zjawisko tłumienia obrotu przez lepki ośrodek. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} * Zakładamy, że moment siły oporu ośrodka ma postać liniową względem prędkości kątowej: {{Formuła|<MATH>\vec N=B\vec \omega</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest macierzą (tensorem) opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne zachowywało swoją postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu moment siły transformował się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_p\vec N</MATH>}}, a prędkość kątowa jak: {{Formuła|<MATH>\vec \omega'=C_p\vec \omega</MATH>}}. * Podstawiając postać momentu siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_pB\vec \omega</MATH>}}, a z wymogu zachowania struktury równania: {{Formuła|<MATH>\vec N'=B'\vec \omega'</MATH>}}, wynika warunek: {{Formuła|<MATH>B'=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do tensora momentu bezwładności: {{Formuła|<MATH>B=-b\hat I</MATH>}}. * Wtedy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}, co oznacza, że moment siły oporu ośrodka jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, opisując tłumienie ruchu obrotowego przez lepki ośrodek. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Oznacza to, że im większy moment pędu ma obracające się ciało, tym większy jest moment siły oporu działający przeciwnie do kierunku obrotu, co prowadzi do stopniowego tłumienia ruchu obrotowego. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}} stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu obrotowego z uwzględnieniem: * '''Momentu siły tarcia statycznego:''' - {{Formuła|<MATH>-\mu N\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}}, który opisuje opór wynikający z tarcia między ciałem a podłożem, działający przeciwnie do prób obrotu. * '''Momentu siły oporu ośrodka:'''' - {{Formuła|<MATH>-b\vec K</MATH>}}, proporcjonalnego do momentu pędu, opisującego tłumienie obrotu przez lepki ośrodek. * '''Pozostałych momentów sił zewnętrznych:''' - {{Formuła|<MATH>\vec N_z</MATH>}}, takich jak moment grawitacyjny, sprężystości czy inne oddziaływania. Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego pozwala opisać rzeczywisty ruch bryły sztywnej w obecności tarcia i oporu, zachowując jednocześnie wektorowy i addytywny charakter momentów sił. Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego jest następujący: * Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową, z jaką ciało by się obracało, gdyby działał tylko i-ty moment sił z wszystkich momentów sił działających na to ciało, rozważamy wkład każdej z tych składowych osobno. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}. Zatem te dwie wielkości są takie, jakby działał tylko jeden i-ty moment sił: tylko i-ta prędkość obrotowa i odpowiadający jej tensor bezwładności występują tak, jak we wzorze uwzględniającym wyłącznie i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}. Wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego np. z oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P1c}} Otrzymujemy więc, że całkowity moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest sumą wektorową momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N_i</MATH>}} pochodzących od poszczególnych oddziaływań. Tym samym moment siły jest wektorem i spełniona jest zasada niezależności działania momentów sił. Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy, jaki jest związek między momentem siły a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v)}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na niego działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało A działa na ciało B z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mniejszych ciał, otrzymujemy dla ruchu liniowego i obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_i m_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Wyrażenie to pokazuje dwie fundamentalne własności: * '''Addytywność sił:''' ** Całkowita siła działająca na środek masy jest sumą sił działających na wszystkie elementy składowe ciała. ** Wynika to z faktu, że przyspieszenie środka masy jest średnią ważoną przyspieszeń poszczególnych punktów materialnych. * '''Addytywność momentów sił:''' ** Całkowity moment siły działający na ciało jest sumą momentów sił działających na jego części składowe. ** Wynika to bezpośrednio z liniowości definicji momentu pędu i momentu siły. Wynik ten jest zgodny z zasadą superpozycji i z faktem, że zarówno siła, jak i moment siły są wielkościami wektorowymi. Dzięki temu równania ruchu dla środka masy zachowują tę samą postać, co równania ruchu dla układu punktów materialnych, co jest jednym z kluczowych założeń klasycznej mechaniki Newtonowskiej. Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną. Oznacza to, że siła działająca na środek masy ciała (oraz moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodzących od wszystkich mniejszych ciał tworzących układ. Jednak siła działająca na środek masy jest sumą '''sił zewnętrznych''', a moment siły działający na ciało jest sumą '''zewnętrznych momentów sił''', ponieważ siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują. Zerowanie się sił i momentów sił wewnętrznych jest możliwe tylko wtedy, gdy spełniona jest '''trzecia zasada dynamiki Newtona''', która mówi, że siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. Możemy również rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał. Rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziałujących ze sobą. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Wyrażenia te oznaczają: * {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''j''' działa na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec F_{2ji}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''i''' działa na ciało '''j''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''j''' wywiera na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{2ji}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''i''' wywiera na ciało '''j'''. Zatem: * '''Siły wewnętrzne''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}</MATH>}} * '''Momenty sił wewnętrznych''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}</MATH>}} Co prowadzi do ich całkowitego zaniku w równaniach ruchu środka masy i ruchu obrotowego całego układu. W ten sposób otrzymujemy pełne uzasadnienie, że: * siły zewnętrzne sumują się wektorowo, * momenty sił zewnętrznych sumują się wektorowo, * siły i momenty sił wewnętrznych się znoszą, * a równania ruchu dla całego układu zachowują postać zgodną z zasadami Newtona. Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}}: pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią '''trzeciej zasady dynamiki Newtona''' dla ruchu liniowego (obrotowego). Oznacza to: * dla '''ruchu liniowego''': siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot, * dla '''ruchu obrotowego''': momenty sił wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. W ten sposób trzecia zasada dynamiki Newtona zapewnia, że '''wszystkie siły i momenty sił wewnętrznych w układzie dwóch ciał (lub większego układu) sumują się do zera''', co jest konieczne, aby: * siła całkowita działająca na środek masy była sumą '''sił zewnętrznych''', * moment siły całkowity działający na ciało był sumą '''zewnętrznych momentów sił''', * równania ruchu środka masy i ruchu obrotowego zachowały swoją klasyczną postać. Zatem równania {{LinkWzór|s2}} i ich przekształcenie {{LinkWzór|s3}} stanowią bezpośrednie matematyczne uzasadnienie trzeciej zasady dynamiki Newtona zarówno w ruchu liniowym, jak i obrotowym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> szb6xlcer3q1sizr58gz1zz9k74f2nd 555374 555373 2026-09-09T19:10:19Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego */ 555374 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Dzieło to, opublikowane w 1687 roku, stanowi fundament całej mechaniki klasycznej i jest jednym z najważniejszych traktatów naukowych w historii fizyki. Newton zebrał w nim wcześniejsze osiągnięcia Galileusza, Keplera oraz Huygensa, a następnie uogólnił je, tworząc spójny matematyczny opis ruchu ciał w przestrzeni. Jego zasady dynamiki nie tylko wyjaśniają, dlaczego ciała poruszają się w określony sposób, lecz także pozwalają przewidywać ich ruch na podstawie równań różniczkowych wynikających z działania sił. Pierwsza zasada dynamiki Newtona została pierwotnie sformułowana przez Galileo Galilei, który zauważył, że ciało pozbawione oddziaływań zewnętrznych nie zmienia swojego stanu ruchu. Newton powtórzył tę zasadę, nadając jej pełne znaczenie w kontekście układów inercjalnych oraz włączając ją w system trzech fundamentalnych praw opisujących ruch. Zasada ta jest kluczowa, ponieważ definiuje pojęcie układu odniesienia, w którym obowiązują pozostałe prawa dynamiki. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona, które tworzą kompletny i logiczny system opisu ruchu: * '''Pierwsza zasada dynamiki''' — opisuje zachowanie ciała w przypadku braku sił lub równowagi sił; definiuje układ inercjalny. * '''Druga zasada dynamiki''' — wprowadza ilościowy związek między siłą działającą na ciało a jego przyspieszeniem; jest podstawą równań ruchu. * '''Trzecia zasada dynamiki''' — opisuje wzajemność oddziaływań między ciałami; każdej akcji odpowiada reakcja o przeciwnym zwrocie. W kolejnych podrozdziałach rozwiniemy każdą z tych zasad zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego, zachowując pełną spójność z wcześniejszymi definicjami kinematycznymi oraz z matematycznym aparatem opisującym pęd, moment pędu, siłę i moment siły. ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. Zasada ta, zwana także zasadą bezwładności, opisuje zachowanie ciała w sytuacji, gdy nie działają na nie żadne siły zewnętrzne lub gdy wszystkie siły działające na ciało wzajemnie się równoważą. W takim przypadku ciało zachowuje swój dotychczasowy stan ruchu: jeśli pozostawało w spoczynku, nadal pozostaje w spoczynku, a jeśli poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym, kontynuuje ten ruch bez zmiany prędkości i kierunku. Zasada ta jest fundamentem definicji układu inercjalnego, czyli takiego układu odniesienia, w którym prawa dynamiki przyjmują najprostszą postać i w którym można poprawnie stosować pozostałe zasady Newtona zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oznacza to, że jego prędkość liniowa nie ulega zmianie ani pod względem wartości, ani kierunku. Zasada ta opisuje fundamentalną właściwość ruchu w układach inercjalnych: brak niezrównoważonej siły oznacza brak przyspieszenia. W praktyce jest to wyraz bezwładności ciała, czyli jego naturalnej tendencji do zachowania dotychczasowego stanu ruchu. Jeżeli ciało już się porusza, będzie kontynuowało ten ruch bez żadnych zmian, dopóki nie pojawi się siła, która ten ruch zmieni. Jeżeli ciało pozostaje w spoczynku, pozostanie w nim, dopóki nie zadziała siła, która wprawi je w ruch. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. Z równania {{Formuła|<MATH>\vec F=m\vec a</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec F=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec a=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość {{Formuła|<MATH>\vec v</MATH>}} jest stała w czasie, co prowadzi do ruchu jednostajnego prostoliniowego lub spoczynku jako szczególnego przypadku ruchu jednostajnego. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której siła wypadkowa jest równa zeru. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. Zasada ta jest obrotowym odpowiednikiem zasady bezwładności dla ruchu liniowego i opisuje naturalną tendencję ciała do zachowania swojego stanu obrotu. Jeżeli ciało nie jest poddawane żadnemu momentowi siły, nie ma fizycznej przyczyny, aby zmieniać swoją prędkość kątową. W konsekwencji ciało pozostaje w spoczynku obrotowym lub kontynuuje obrót ze stałą prędkością kątową wokół ustalonej osi. Warto zauważyć, że w ruchu obrotowym rolę „masy bezwładnościowej” pełni tensor momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, który opisuje, jak trudno jest zmienić stan obrotu ciała w zależności od jego kształtu i rozkładu masy. Im większy moment bezwładności względem danej osi, tym trudniej zmienić prędkość obrotową ciała. Zasada ta jest więc kluczowa dla zrozumienia dynamiki brył sztywnych, ruchu planet, wirujących układów mechanicznych oraz zjawisk takich jak stabilizacja żyroskopowa. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. Z równania ruchu obrotowego {{Formuła|<MATH>\vec N=\hat I\vec\alpha</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec\alpha=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\vec\omega</MATH>}} jest stała w czasie. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której moment siły wypadkowej jest równy zeru. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. Druga zasada dynamiki jest podstawowym równaniem ruchu w mechanice klasycznej, ponieważ określa ilościowy związek między działającą na ciało siłą lub momentem siły a zmianą jego ruchu. W ruchu liniowym zasada ta wiąże siłę z przyspieszeniem oraz pędem ciała, natomiast w ruchu obrotowym wiąże moment siły z przyspieszeniem kątowym oraz momentem pędu. Dzięki temu możliwe jest przejście od opisu kinematycznego, który jedynie opisuje ruch, do opisu dynamicznego, który wyjaśnia jego przyczyny. W kolejnych podrozdziałach pokażemy, jak z ogólnych zależności różniczkowych otrzymujemy klasyczne równania ruchu Newtona dla obu typów ruchu. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej: przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, jest wprost proporcjonalne do działającej siły i odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała. Wielkość masy występująca we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową, ponieważ opisuje ona odporność ciała na zmianę ruchu. Im większa masa, tym mniejsze przyspieszenie wywołuje dana siła, co jest bezpośrednim wyrazem bezwładności. Zależność tę formułujemy w postaci równania wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec p</MATH>}} jest pędem ciała i opisuje ilość ruchu, jaką ciało posiada. Zapis {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} oznacza, że siła jest miarą szybkości zmiany pędu w czasie. Dzięki temu druga zasada dynamiki Newtona stanowi pomost między opisem kinematycznym a dynamicznym: pozwala nie tylko opisać ruch, lecz także wyjaśnić jego przyczyny. '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jej różniczkę. Zakładamy, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu oraz powinny być takie same dla każdej osi, co jest treścią zasady niezmienniczości drugiej zasady dynamiki Newtona w układach inercjalnych. Wtedy, z definicji różniczki zupełnej, przyjmujemy, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci pewną macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}, stałą w czasie i przestrzeni, która jest niezmiennikiem transformacji i charakteryzuje dane ciało. Jak pokażemy, macierz ta jest równoważna masie pomnożonej przez macierz jednostkową. Ponadto zakładamy, że {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi. Rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły dodatkowe człony mogą odpowiadać siłom takim jak tarcie czy opór ośrodka, możemy na początku pominąć te człony, aby otrzymać najprostszą postać równania ruchu. Pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazywamy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Ten człon może odpowiadać siłom zależnym od położenia, takim jak siła sprężystości czy grawitacji. Kluczowe jest jednak to, że człon proporcjonalny do przyspieszenia opisany macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} ma postać niezmienniczą względem transformacji inercjalnych, co prowadzi do wniosku, że {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}, a więc siła jest proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie bezwładnościowej. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Powyższa transformacja opisuje, jak wektor siły powinien zmieniać się przy przejściu z jednego układu inercjalnego do drugiego. Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} reprezentuje transformację obrotową układu współrzędnych, a więc jest macierzą ortogonalną, która zachowuje długości i kąty. Wymagamy, aby równanie ruchu miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym — jest to zasada niezmienniczości praw fizyki. * Zaczynamy od transformacji siły: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F</MATH>}}, a następnie podstawiamy jej postać z równania ruchu: {{Formuła|<MATH>\vec F=M\vec a</MATH>}}. * Po wykonaniu transformacji otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_pM\vec a</MATH>}}. * Jednocześnie przyspieszenie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec a'=C_p\vec a</MATH>}}. * Aby równanie ruchu zachowało swoją formę, musi zachodzić: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=M\vec a'</MATH>}}. * Porównując obie postacie, otrzymujemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pM\vec a = M C_p\vec a</MATH>}}. * Ponieważ równanie to musi być prawdziwe dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec a</MATH>}}, otrzymujemy warunek na macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>M=C_pMC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}. Oznacza to, że wielkość {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} jest skalarem — masą bezwładnościową — pomnożoną przez macierz jednostkową. Jest to kluczowy krok w wyprowadzeniu drugiej zasady dynamiki Newtona, ponieważ pokazuje, że masa jest niezmiennikiem transformacji inercjalnych i że siła musi być proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie. Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Otrzymany wynik pokazuje, że macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} pełniąca rolę współczynnika przy przyspieszeniu musi być równa masie bezwładnościowej pomnożonej przez macierz jednostkową. Oznacza to, że siła działająca na ciało jest proporcjonalna do jego przyspieszenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest masa — wielkość opisująca bezwładność ciała. W ten sposób otrzymujemy klasyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona, w której siła jest równa pochodnej pędu po czasie. Zapis ten jest całkowicie zgodny z zasadą niezmienniczości równań ruchu w układach inercjalnych i stanowi podstawę całej mechaniki klasycznej. Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Powyższy zapis opisuje siłę tarcia dynamicznego, która działa na ciało poruszające się po powierzchni. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} jest współczynnikiem tarcia kinetycznego, a {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oznacza siłę nacisku, z jaką ciało działa na podłoże. Iloczyn {{Formuła|<MATH>\mu N</MATH>}} określa wartość siły tarcia, natomiast wektor {{Formuła|<MATH>\vec e_x</MATH>}} (lub równoważnie {{Formuła|<MATH>{{\vec v}\over v}</MATH>}}) wyznacza jej kierunek — przeciwny do kierunku ruchu. Tarcie dynamiczne zawsze działa tak, aby zmniejszać prędkość ciała, czyli jest siłą oporową. Włączenie tego członu do równania ruchu pozwala opisać bardziej realistyczne sytuacje, w których ruch nie jest idealnie swobodny, lecz odbywa się w obecności oporów. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Rozważamy tutaj siłę oporu ośrodka, która zależy liniowo od prędkości ciała. Zakładamy, że wektor siły ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=B\vec v</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest pewną macierzą (lub stałą), opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu odniesienia siła transformowała się zgodnie z: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_p\vec F</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierzą transformacji (np. obrotu). * Podstawiając postać siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_pB\vec v</MATH>}}. * Z drugiej strony, w nowym układzie prędkość ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec v'=C_p\vec v</MATH>}}, a więc siła powinna mieć tę samą strukturę: {{Formuła|<MATH>\vec F'=B\vec v'</MATH>}}. * Porównując oba wyrażenia, dostajemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pB\vec v = B C_p\vec v</MATH>}}, co prowadzi do równania: {{Formuła|<MATH>B=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>B=-bmI</MATH>}}. Ostatecznie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F=-bm\vec v=-b\vec p</MATH>}}, co oznacza, że siła oporu ośrodka jest wprost proporcjonalna do pędu ciała i skierowana przeciwnie do jego ruchu. Taki człon opisuje np. lepki opór w ośrodku, gdzie siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości i działa przeciwnie do kierunku ruchu. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Oznacza to, że im większy pęd ciała, tym większa jest siła oporu działająca przeciwnie do kierunku ruchu. Taki opis jest typowy dla oporu lepkiego, gdzie siła hamująca rośnie liniowo wraz z prędkością (a więc i pędem) i zawsze działa w kierunku przeciwnym do ruchu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}} stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu liniowego z uwzględnieniem siły tarcia dynamicznego oraz oporu ośrodka. Pierwszy człon {{Formuła|<MATH>-\mu N{{\vec v}\over v}</MATH>}} opisuje tarcie kinetyczne zależne od nacisku i kierunku ruchu, drugi człon {{Formuła|<MATH>-b\vec p</MATH>}} opisuje opór lepkiego ośrodka proporcjonalny do pędu, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec F_z</MATH>}} reprezentuje pozostałe siły zewnętrzne działające na ciało (np. grawitację, sprężystość). Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona pozwala opisać rzeczywisty ruch ciała w ośrodku, w którym występują opory i tarcie. Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego opiera się na analizie składowych ruchu wywołanych przez poszczególne siły. * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością, z jaką ciało by się poruszało, gdyby działała tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama, niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}, i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości. Wynika to z faktu, że gdyby pozostałe siły były równe zero (inne niż i-ta siła), to i-ta składowa ruchu spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Innymi słowy, każda pojedyncza siła powoduje przyspieszenie zgodne z drugą zasadą dynamiki, z tym samym współczynnikiem bezwładnościowym (masą). Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił: całkowita siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało, a ruch wywołany przez każdą z nich może być rozpatrywany niezależnie, a następnie złożony zgodnie z zasadami algebry wektorowej. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Związek ten jest obrotowym odpowiednikiem równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego: zamiast siły i pędu pojawia się moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} oraz moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. Oznacza to, że moment siły jest miarą szybkości zmiany momentu pędu w czasie, tak jak siła jest miarą szybkości zmiany pędu. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Oznacza to, że całkowity moment siły działający na ciało jest sumą wektorową momentów poszczególnych sił, a jego wartość i kierunek zależą zarówno od wartości sił, jak i od ich ramion względem osi obrotu. Własność addytywności i wektorowego charakteru momentu siły wynika bezpośrednio z definicji {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec r\times\vec F</MATH>}} oraz z liniowości działania sił. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale {{sr|#Zasada zachowania momentu pędu|p=Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Tam pokazano, że dla układu punktów materialnych moment pędu względem wybranej osi zmienia się pod wpływem momentu sił działających na układ, co prowadzi do ogólnej postaci równania ruchu obrotowego dla bryły sztywnej. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu. Zakładamy, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci prędkością obrotową. Wynika to ze wzoru na ruch obrotowy {{LinkWzór|P1ab}} oraz z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Ponadto {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} interpretujemy jako moment siły działającej na ciało, pomijając dodatkowy człon będący momentem siły oporu i tarcia (np. od ośrodka), związany z wektorem kąta w iloczynie momentu siły i różniczki czasu. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Otrzymujemy w ten sposób ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest równy pochodnej momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}} po czasie. Zapis ten jest całkowicie analogiczny do równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego i stanowi podstawę opisu dynamiki brył sztywnych. Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} opisuje transformację (np. obrót) między dwoma układami inercjalnymi. Wymagamy, aby równanie ruchu obrotowego miało tę samą postać w każdym układzie, czyli aby związek między momentem siły a momentem pędu był niezmienniczy przy takich transformacjach. Ponieważ moment pędu transformuje się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec K^'=C_p\vec K</MATH>}}, to jego pochodna po czasie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>{{d\vec K^'}\over dt}=C_p{{d\vec K}\over dt}</MATH>}}. * Stąd wynika, że: {{Formuła|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over dt}={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}, czyli w każdym układzie inercjalnym zachodzi związek: {{Formuła|<MATH>\vec N^'={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}, co potwierdza ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w dowolnym układzie inercjalnym. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} * Wzór ten opisuje moment siły tarcia działający na ciało obracające się lub próbujące się obracać względem punktu podparcia. Siła tarcia statycznego ma wartość proporcjonalną do siły nacisku {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oraz współczynnika tarcia {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}, a jej kierunek jest przeciwny do kierunku ruchu (lub prób ruchu). Iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}} wyznacza moment tej siły względem punktu odniesienia, co prowadzi do wektorowego momentu tarcia {{Formuła|<MATH>\vec N_T</MATH>}}. Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (siłę działającą na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego oraz definicję tensora momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} * Korzystamy tutaj z faktu, że dla ruchu liniowego opór ośrodka ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=-b\vec p</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i\vec v_i</MATH>}} jest pędem i-tego punktu materialnego. W ruchu obrotowym prędkość punktu można zapisać jako {{Formuła|<MATH>\vec v_i=\vec \omega\times\vec r_i</MATH>}}, co prowadzi do postaci pędu {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. Moment siły oporu względem punktu odniesienia jest sumą momentów poszczególnych sił: {{Formuła|<MATH>\vec N=\sum_i\vec r_i\times\vec F_i</MATH>}}. * Podstawiając {{Formuła|<MATH>\vec F_i=-b\vec p_i</MATH>}}, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. * Zgodnie z definicją tensora momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, suma {{Formuła|<MATH>\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}} jest równa {{Formuła|<MATH>\hat I\vec \omega</MATH>}}, czyli momentowi pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. W rezultacie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}. * Oznacza to, że moment siły oporu ośrodka w ruchu obrotowym jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, co opisuje zjawisko tłumienia obrotu przez lepki ośrodek. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} * Zakładamy, że moment siły oporu ośrodka ma postać liniową względem prędkości kątowej: {{Formuła|<MATH>\vec N=B\vec \omega</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest macierzą (tensorem) opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne zachowywało swoją postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu moment siły transformował się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_p\vec N</MATH>}}, a prędkość kątowa jak: {{Formuła|<MATH>\vec \omega'=C_p\vec \omega</MATH>}}. * Podstawiając postać momentu siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_pB\vec \omega</MATH>}}, a z wymogu zachowania struktury równania: {{Formuła|<MATH>\vec N'=B'\vec \omega'</MATH>}}, wynika warunek: {{Formuła|<MATH>B'=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do tensora momentu bezwładności: {{Formuła|<MATH>B=-b\hat I</MATH>}}. * Wtedy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}, co oznacza, że moment siły oporu ośrodka jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, opisując tłumienie ruchu obrotowego przez lepki ośrodek. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Oznacza to, że im większy moment pędu ma obracające się ciało, tym większy jest moment siły oporu działający przeciwnie do kierunku obrotu, co prowadzi do stopniowego tłumienia ruchu obrotowego. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}} stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu obrotowego z uwzględnieniem: * '''Momentu siły tarcia statycznego:''' - {{Formuła|<MATH>-\mu N\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}}, który opisuje opór wynikający z tarcia między ciałem a podłożem, działający przeciwnie do prób obrotu. * '''Momentu siły oporu ośrodka:''' - {{Formuła|<MATH>-b\vec K</MATH>}}, proporcjonalnego do momentu pędu, opisującego tłumienie obrotu przez lepki ośrodek. * '''Pozostałych momentów sił zewnętrznych:''' - {{Formuła|<MATH>\vec N_z</MATH>}}, takich jak moment grawitacyjny, sprężystości czy inne oddziaływania. Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego pozwala opisać rzeczywisty ruch bryły sztywnej w obecności tarcia i oporu, zachowując jednocześnie wektorowy i addytywny charakter momentów sił. Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego jest następujący: * Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową, z jaką ciało by się obracało, gdyby działał tylko i-ty moment sił z wszystkich momentów sił działających na to ciało, rozważamy wkład każdej z tych składowych osobno. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}. Zatem te dwie wielkości są takie, jakby działał tylko jeden i-ty moment sił: tylko i-ta prędkość obrotowa i odpowiadający jej tensor bezwładności występują tak, jak we wzorze uwzględniającym wyłącznie i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}. Wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego np. z oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P1c}} Otrzymujemy więc, że całkowity moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest sumą wektorową momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N_i</MATH>}} pochodzących od poszczególnych oddziaływań. Tym samym moment siły jest wektorem i spełniona jest zasada niezależności działania momentów sił. Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy, jaki jest związek między momentem siły a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v)}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na niego działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało A działa na ciało B z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mniejszych ciał, otrzymujemy dla ruchu liniowego i obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_i m_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Wyrażenie to pokazuje dwie fundamentalne własności: * '''Addytywność sił:''' ** Całkowita siła działająca na środek masy jest sumą sił działających na wszystkie elementy składowe ciała. ** Wynika to z faktu, że przyspieszenie środka masy jest średnią ważoną przyspieszeń poszczególnych punktów materialnych. * '''Addytywność momentów sił:''' ** Całkowity moment siły działający na ciało jest sumą momentów sił działających na jego części składowe. ** Wynika to bezpośrednio z liniowości definicji momentu pędu i momentu siły. Wynik ten jest zgodny z zasadą superpozycji i z faktem, że zarówno siła, jak i moment siły są wielkościami wektorowymi. Dzięki temu równania ruchu dla środka masy zachowują tę samą postać, co równania ruchu dla układu punktów materialnych, co jest jednym z kluczowych założeń klasycznej mechaniki Newtonowskiej. Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną. Oznacza to, że siła działająca na środek masy ciała (oraz moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodzących od wszystkich mniejszych ciał tworzących układ. Jednak siła działająca na środek masy jest sumą '''sił zewnętrznych''', a moment siły działający na ciało jest sumą '''zewnętrznych momentów sił''', ponieważ siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują. Zerowanie się sił i momentów sił wewnętrznych jest możliwe tylko wtedy, gdy spełniona jest '''trzecia zasada dynamiki Newtona''', która mówi, że siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. Możemy również rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał. Rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziałujących ze sobą. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Wyrażenia te oznaczają: * {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''j''' działa na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec F_{2ji}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''i''' działa na ciało '''j''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''j''' wywiera na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{2ji}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''i''' wywiera na ciało '''j'''. Zatem: * '''Siły wewnętrzne''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}</MATH>}} * '''Momenty sił wewnętrznych''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}</MATH>}} Co prowadzi do ich całkowitego zaniku w równaniach ruchu środka masy i ruchu obrotowego całego układu. W ten sposób otrzymujemy pełne uzasadnienie, że: * siły zewnętrzne sumują się wektorowo, * momenty sił zewnętrznych sumują się wektorowo, * siły i momenty sił wewnętrznych się znoszą, * a równania ruchu dla całego układu zachowują postać zgodną z zasadami Newtona. Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}}: pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią '''trzeciej zasady dynamiki Newtona''' dla ruchu liniowego (obrotowego). Oznacza to: * dla '''ruchu liniowego''': siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot, * dla '''ruchu obrotowego''': momenty sił wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. W ten sposób trzecia zasada dynamiki Newtona zapewnia, że '''wszystkie siły i momenty sił wewnętrznych w układzie dwóch ciał (lub większego układu) sumują się do zera''', co jest konieczne, aby: * siła całkowita działająca na środek masy była sumą '''sił zewnętrznych''', * moment siły całkowity działający na ciało był sumą '''zewnętrznych momentów sił''', * równania ruchu środka masy i ruchu obrotowego zachowały swoją klasyczną postać. Zatem równania {{LinkWzór|s2}} i ich przekształcenie {{LinkWzór|s3}} stanowią bezpośrednie matematyczne uzasadnienie trzeciej zasady dynamiki Newtona zarówno w ruchu liniowym, jak i obrotowym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0srnctv9wqhcffq7ezgc1srlvjg2q4c 555375 555374 2026-09-09T19:11:24Z Persino 2851 /* Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego */ 555375 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Dzieło to, opublikowane w 1687 roku, stanowi fundament całej mechaniki klasycznej i jest jednym z najważniejszych traktatów naukowych w historii fizyki. Newton zebrał w nim wcześniejsze osiągnięcia Galileusza, Keplera oraz Huygensa, a następnie uogólnił je, tworząc spójny matematyczny opis ruchu ciał w przestrzeni. Jego zasady dynamiki nie tylko wyjaśniają, dlaczego ciała poruszają się w określony sposób, lecz także pozwalają przewidywać ich ruch na podstawie równań różniczkowych wynikających z działania sił. Pierwsza zasada dynamiki Newtona została pierwotnie sformułowana przez Galileo Galilei, który zauważył, że ciało pozbawione oddziaływań zewnętrznych nie zmienia swojego stanu ruchu. Newton powtórzył tę zasadę, nadając jej pełne znaczenie w kontekście układów inercjalnych oraz włączając ją w system trzech fundamentalnych praw opisujących ruch. Zasada ta jest kluczowa, ponieważ definiuje pojęcie układu odniesienia, w którym obowiązują pozostałe prawa dynamiki. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona, które tworzą kompletny i logiczny system opisu ruchu: * '''Pierwsza zasada dynamiki''' — opisuje zachowanie ciała w przypadku braku sił lub równowagi sił; definiuje układ inercjalny. * '''Druga zasada dynamiki''' — wprowadza ilościowy związek między siłą działającą na ciało a jego przyspieszeniem; jest podstawą równań ruchu. * '''Trzecia zasada dynamiki''' — opisuje wzajemność oddziaływań między ciałami; każdej akcji odpowiada reakcja o przeciwnym zwrocie. W kolejnych podrozdziałach rozwiniemy każdą z tych zasad zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego, zachowując pełną spójność z wcześniejszymi definicjami kinematycznymi oraz z matematycznym aparatem opisującym pęd, moment pędu, siłę i moment siły. ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. Zasada ta, zwana także zasadą bezwładności, opisuje zachowanie ciała w sytuacji, gdy nie działają na nie żadne siły zewnętrzne lub gdy wszystkie siły działające na ciało wzajemnie się równoważą. W takim przypadku ciało zachowuje swój dotychczasowy stan ruchu: jeśli pozostawało w spoczynku, nadal pozostaje w spoczynku, a jeśli poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym, kontynuuje ten ruch bez zmiany prędkości i kierunku. Zasada ta jest fundamentem definicji układu inercjalnego, czyli takiego układu odniesienia, w którym prawa dynamiki przyjmują najprostszą postać i w którym można poprawnie stosować pozostałe zasady Newtona zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oznacza to, że jego prędkość liniowa nie ulega zmianie ani pod względem wartości, ani kierunku. Zasada ta opisuje fundamentalną właściwość ruchu w układach inercjalnych: brak niezrównoważonej siły oznacza brak przyspieszenia. W praktyce jest to wyraz bezwładności ciała, czyli jego naturalnej tendencji do zachowania dotychczasowego stanu ruchu. Jeżeli ciało już się porusza, będzie kontynuowało ten ruch bez żadnych zmian, dopóki nie pojawi się siła, która ten ruch zmieni. Jeżeli ciało pozostaje w spoczynku, pozostanie w nim, dopóki nie zadziała siła, która wprawi je w ruch. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. Z równania {{Formuła|<MATH>\vec F=m\vec a</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec F=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec a=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość {{Formuła|<MATH>\vec v</MATH>}} jest stała w czasie, co prowadzi do ruchu jednostajnego prostoliniowego lub spoczynku jako szczególnego przypadku ruchu jednostajnego. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której siła wypadkowa jest równa zeru. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. Zasada ta jest obrotowym odpowiednikiem zasady bezwładności dla ruchu liniowego i opisuje naturalną tendencję ciała do zachowania swojego stanu obrotu. Jeżeli ciało nie jest poddawane żadnemu momentowi siły, nie ma fizycznej przyczyny, aby zmieniać swoją prędkość kątową. W konsekwencji ciało pozostaje w spoczynku obrotowym lub kontynuuje obrót ze stałą prędkością kątową wokół ustalonej osi. Warto zauważyć, że w ruchu obrotowym rolę „masy bezwładnościowej” pełni tensor momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, który opisuje, jak trudno jest zmienić stan obrotu ciała w zależności od jego kształtu i rozkładu masy. Im większy moment bezwładności względem danej osi, tym trudniej zmienić prędkość obrotową ciała. Zasada ta jest więc kluczowa dla zrozumienia dynamiki brył sztywnych, ruchu planet, wirujących układów mechanicznych oraz zjawisk takich jak stabilizacja żyroskopowa. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. Z równania ruchu obrotowego {{Formuła|<MATH>\vec N=\hat I\vec\alpha</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec\alpha=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\vec\omega</MATH>}} jest stała w czasie. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której moment siły wypadkowej jest równy zeru. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. Druga zasada dynamiki jest podstawowym równaniem ruchu w mechanice klasycznej, ponieważ określa ilościowy związek między działającą na ciało siłą lub momentem siły a zmianą jego ruchu. W ruchu liniowym zasada ta wiąże siłę z przyspieszeniem oraz pędem ciała, natomiast w ruchu obrotowym wiąże moment siły z przyspieszeniem kątowym oraz momentem pędu. Dzięki temu możliwe jest przejście od opisu kinematycznego, który jedynie opisuje ruch, do opisu dynamicznego, który wyjaśnia jego przyczyny. W kolejnych podrozdziałach pokażemy, jak z ogólnych zależności różniczkowych otrzymujemy klasyczne równania ruchu Newtona dla obu typów ruchu. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej: przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, jest wprost proporcjonalne do działającej siły i odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała. Wielkość masy występująca we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową, ponieważ opisuje ona odporność ciała na zmianę ruchu. Im większa masa, tym mniejsze przyspieszenie wywołuje dana siła, co jest bezpośrednim wyrazem bezwładności. Zależność tę formułujemy w postaci równania wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec p</MATH>}} jest pędem ciała i opisuje ilość ruchu, jaką ciało posiada. Zapis {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} oznacza, że siła jest miarą szybkości zmiany pędu w czasie. Dzięki temu druga zasada dynamiki Newtona stanowi pomost między opisem kinematycznym a dynamicznym: pozwala nie tylko opisać ruch, lecz także wyjaśnić jego przyczyny. '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jej różniczkę. Zakładamy, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu oraz powinny być takie same dla każdej osi, co jest treścią zasady niezmienniczości drugiej zasady dynamiki Newtona w układach inercjalnych. Wtedy, z definicji różniczki zupełnej, przyjmujemy, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci pewną macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}, stałą w czasie i przestrzeni, która jest niezmiennikiem transformacji i charakteryzuje dane ciało. Jak pokażemy, macierz ta jest równoważna masie pomnożonej przez macierz jednostkową. Ponadto zakładamy, że {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi. Rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły dodatkowe człony mogą odpowiadać siłom takim jak tarcie czy opór ośrodka, możemy na początku pominąć te człony, aby otrzymać najprostszą postać równania ruchu. Pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazywamy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Ten człon może odpowiadać siłom zależnym od położenia, takim jak siła sprężystości czy grawitacji. Kluczowe jest jednak to, że człon proporcjonalny do przyspieszenia opisany macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} ma postać niezmienniczą względem transformacji inercjalnych, co prowadzi do wniosku, że {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}, a więc siła jest proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie bezwładnościowej. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Powyższa transformacja opisuje, jak wektor siły powinien zmieniać się przy przejściu z jednego układu inercjalnego do drugiego. Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} reprezentuje transformację obrotową układu współrzędnych, a więc jest macierzą ortogonalną, która zachowuje długości i kąty. Wymagamy, aby równanie ruchu miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym — jest to zasada niezmienniczości praw fizyki. * Zaczynamy od transformacji siły: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F</MATH>}}, a następnie podstawiamy jej postać z równania ruchu: {{Formuła|<MATH>\vec F=M\vec a</MATH>}}. * Po wykonaniu transformacji otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_pM\vec a</MATH>}}. * Jednocześnie przyspieszenie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec a'=C_p\vec a</MATH>}}. * Aby równanie ruchu zachowało swoją formę, musi zachodzić: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=M\vec a'</MATH>}}. * Porównując obie postacie, otrzymujemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pM\vec a = M C_p\vec a</MATH>}}. * Ponieważ równanie to musi być prawdziwe dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec a</MATH>}}, otrzymujemy warunek na macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>M=C_pMC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}. Oznacza to, że wielkość {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} jest skalarem — masą bezwładnościową — pomnożoną przez macierz jednostkową. Jest to kluczowy krok w wyprowadzeniu drugiej zasady dynamiki Newtona, ponieważ pokazuje, że masa jest niezmiennikiem transformacji inercjalnych i że siła musi być proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie. Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Otrzymany wynik pokazuje, że macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} pełniąca rolę współczynnika przy przyspieszeniu musi być równa masie bezwładnościowej pomnożonej przez macierz jednostkową. Oznacza to, że siła działająca na ciało jest proporcjonalna do jego przyspieszenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest masa — wielkość opisująca bezwładność ciała. W ten sposób otrzymujemy klasyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona, w której siła jest równa pochodnej pędu po czasie. Zapis ten jest całkowicie zgodny z zasadą niezmienniczości równań ruchu w układach inercjalnych i stanowi podstawę całej mechaniki klasycznej. Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Powyższy zapis opisuje siłę tarcia dynamicznego, która działa na ciało poruszające się po powierzchni. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} jest współczynnikiem tarcia kinetycznego, a {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oznacza siłę nacisku, z jaką ciało działa na podłoże. Iloczyn {{Formuła|<MATH>\mu N</MATH>}} określa wartość siły tarcia, natomiast wektor {{Formuła|<MATH>\vec e_x</MATH>}} (lub równoważnie {{Formuła|<MATH>{{\vec v}\over v}</MATH>}}) wyznacza jej kierunek — przeciwny do kierunku ruchu. Tarcie dynamiczne zawsze działa tak, aby zmniejszać prędkość ciała, czyli jest siłą oporową. Włączenie tego członu do równania ruchu pozwala opisać bardziej realistyczne sytuacje, w których ruch nie jest idealnie swobodny, lecz odbywa się w obecności oporów. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Rozważamy tutaj siłę oporu ośrodka, która zależy liniowo od prędkości ciała. Zakładamy, że wektor siły ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=B\vec v</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest pewną macierzą (lub stałą), opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu odniesienia siła transformowała się zgodnie z: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_p\vec F</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierzą transformacji (np. obrotu). * Podstawiając postać siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_pB\vec v</MATH>}}. * Z drugiej strony, w nowym układzie prędkość ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec v'=C_p\vec v</MATH>}}, a więc siła powinna mieć tę samą strukturę: {{Formuła|<MATH>\vec F'=B\vec v'</MATH>}}. * Porównując oba wyrażenia, dostajemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pB\vec v = B C_p\vec v</MATH>}}, co prowadzi do równania: {{Formuła|<MATH>B=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>B=-bmI</MATH>}}. Ostatecznie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F=-bm\vec v=-b\vec p</MATH>}}, co oznacza, że siła oporu ośrodka jest wprost proporcjonalna do pędu ciała i skierowana przeciwnie do jego ruchu. Taki człon opisuje np. lepki opór w ośrodku, gdzie siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości i działa przeciwnie do kierunku ruchu. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Oznacza to, że im większy pęd ciała, tym większa jest siła oporu działająca przeciwnie do kierunku ruchu. Taki opis jest typowy dla oporu lepkiego, gdzie siła hamująca rośnie liniowo wraz z prędkością (a więc i pędem) i zawsze działa w kierunku przeciwnym do ruchu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}} stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu liniowego z uwzględnieniem siły tarcia dynamicznego oraz oporu ośrodka. Pierwszy człon {{Formuła|<MATH>-\mu N{{\vec v}\over v}</MATH>}} opisuje tarcie kinetyczne zależne od nacisku i kierunku ruchu, drugi człon {{Formuła|<MATH>-b\vec p</MATH>}} opisuje opór lepkiego ośrodka proporcjonalny do pędu, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec F_z</MATH>}} reprezentuje pozostałe siły zewnętrzne działające na ciało (np. grawitację, sprężystość). Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona pozwala opisać rzeczywisty ruch ciała w ośrodku, w którym występują opory i tarcie. Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego opiera się na analizie składowych ruchu wywołanych przez poszczególne siły. * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością, z jaką ciało by się poruszało, gdyby działała tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama, niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}, i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości. Wynika to z faktu, że gdyby pozostałe siły były równe zero (inne niż i-ta siła), to i-ta składowa ruchu spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Innymi słowy, każda pojedyncza siła powoduje przyspieszenie zgodne z drugą zasadą dynamiki, z tym samym współczynnikiem bezwładnościowym (masą). Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił: całkowita siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało, a ruch wywołany przez każdą z nich może być rozpatrywany niezależnie, a następnie złożony zgodnie z zasadami algebry wektorowej. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Związek ten jest obrotowym odpowiednikiem równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego: zamiast siły i pędu pojawia się moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} oraz moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. Oznacza to, że moment siły jest miarą szybkości zmiany momentu pędu w czasie, tak jak siła jest miarą szybkości zmiany pędu. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Oznacza to, że całkowity moment siły działający na ciało jest sumą wektorową momentów poszczególnych sił, a jego wartość i kierunek zależą zarówno od wartości sił, jak i od ich ramion względem osi obrotu. Własność addytywności i wektorowego charakteru momentu siły wynika bezpośrednio z definicji {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec r\times\vec F</MATH>}} oraz z liniowości działania sił. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale {{sr|#Zasada zachowania momentu pędu|p=Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Tam pokazano, że dla układu punktów materialnych moment pędu względem wybranej osi zmienia się pod wpływem momentu sił działających na układ, co prowadzi do ogólnej postaci równania ruchu obrotowego dla bryły sztywnej. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu. Zakładamy, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci prędkością obrotową. Wynika to ze wzoru na ruch obrotowy {{LinkWzór|P1ab}} oraz z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Ponadto {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} interpretujemy jako moment siły działającej na ciało, pomijając dodatkowy człon będący momentem siły oporu i tarcia (np. od ośrodka), związany z wektorem kąta w iloczynie momentu siły i różniczki czasu. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Otrzymujemy w ten sposób ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest równy pochodnej momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}} po czasie. Zapis ten jest całkowicie analogiczny do równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego i stanowi podstawę opisu dynamiki brył sztywnych. Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} opisuje transformację (np. obrót) między dwoma układami inercjalnymi. Wymagamy, aby równanie ruchu obrotowego miało tę samą postać w każdym układzie, czyli aby związek między momentem siły a momentem pędu był niezmienniczy przy takich transformacjach. Ponieważ moment pędu transformuje się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec K^'=C_p\vec K</MATH>}}, to jego pochodna po czasie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>{{d\vec K^'}\over dt}=C_p{{d\vec K}\over dt}</MATH>}}. * Stąd wynika, że: {{Formuła|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over dt}={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}, czyli w każdym układzie inercjalnym zachodzi związek: {{Formuła|<MATH>\vec N^'={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}, co potwierdza ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w dowolnym układzie inercjalnym. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} * Wzór ten opisuje moment siły tarcia działający na ciało obracające się lub próbujące się obracać względem punktu podparcia. Siła tarcia statycznego ma wartość proporcjonalną do siły nacisku {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oraz współczynnika tarcia {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}, a jej kierunek jest przeciwny do kierunku ruchu (lub prób ruchu). Iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}} wyznacza moment tej siły względem punktu odniesienia, co prowadzi do wektorowego momentu tarcia {{Formuła|<MATH>\vec N_T</MATH>}}. Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (siłę działającą na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego oraz definicję tensora momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} * Korzystamy tutaj z faktu, że dla ruchu liniowego opór ośrodka ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=-b\vec p</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i\vec v_i</MATH>}} jest pędem i-tego punktu materialnego. W ruchu obrotowym prędkość punktu można zapisać jako {{Formuła|<MATH>\vec v_i=\vec \omega\times\vec r_i</MATH>}}, co prowadzi do postaci pędu {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. Moment siły oporu względem punktu odniesienia jest sumą momentów poszczególnych sił: {{Formuła|<MATH>\vec N=\sum_i\vec r_i\times\vec F_i</MATH>}}. * Podstawiając {{Formuła|<MATH>\vec F_i=-b\vec p_i</MATH>}}, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. * Zgodnie z definicją tensora momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, suma {{Formuła|<MATH>\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}} jest równa {{Formuła|<MATH>\hat I\vec \omega</MATH>}}, czyli momentowi pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. W rezultacie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}. * Oznacza to, że moment siły oporu ośrodka w ruchu obrotowym jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, co opisuje zjawisko tłumienia obrotu przez lepki ośrodek. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} * Zakładamy, że moment siły oporu ośrodka ma postać liniową względem prędkości kątowej: {{Formuła|<MATH>\vec N=B\vec \omega</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest macierzą (tensorem) opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne zachowywało swoją postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu moment siły transformował się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_p\vec N</MATH>}}, a prędkość kątowa jak: {{Formuła|<MATH>\vec \omega'=C_p\vec \omega</MATH>}}. * Podstawiając postać momentu siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_pB\vec \omega</MATH>}}, a z wymogu zachowania struktury równania: {{Formuła|<MATH>\vec N'=B'\vec \omega'</MATH>}}, wynika warunek: {{Formuła|<MATH>B'=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do tensora momentu bezwładności:{{Formuła|<MATH>B=-b\hat I</MATH>}}. * Wtedy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}, co oznacza, że moment siły oporu ośrodka jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, opisując tłumienie ruchu obrotowego przez lepki ośrodek. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Oznacza to, że im większy moment pędu ma obracające się ciało, tym większy jest moment siły oporu działający przeciwnie do kierunku obrotu, co prowadzi do stopniowego tłumienia ruchu obrotowego. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}} stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu obrotowego z uwzględnieniem: * '''Momentu siły tarcia statycznego:''' - {{Formuła|<MATH>-\mu N\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}}, który opisuje opór wynikający z tarcia między ciałem a podłożem, działający przeciwnie do prób obrotu. * '''Momentu siły oporu ośrodka:''' - {{Formuła|<MATH>-b\vec K</MATH>}}, proporcjonalnego do momentu pędu, opisującego tłumienie obrotu przez lepki ośrodek. * '''Pozostałych momentów sił zewnętrznych:''' - {{Formuła|<MATH>\vec N_z</MATH>}}, takich jak moment grawitacyjny, sprężystości czy inne oddziaływania. Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego pozwala opisać rzeczywisty ruch bryły sztywnej w obecności tarcia i oporu, zachowując jednocześnie wektorowy i addytywny charakter momentów sił. Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego jest następujący: * Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową, z jaką ciało by się obracało, gdyby działał tylko i-ty moment sił z wszystkich momentów sił działających na to ciało, rozważamy wkład każdej z tych składowych osobno. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}. Zatem te dwie wielkości są takie, jakby działał tylko jeden i-ty moment sił: tylko i-ta prędkość obrotowa i odpowiadający jej tensor bezwładności występują tak, jak we wzorze uwzględniającym wyłącznie i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}. Wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego np. z oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P1c}} Otrzymujemy więc, że całkowity moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest sumą wektorową momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N_i</MATH>}} pochodzących od poszczególnych oddziaływań. Tym samym moment siły jest wektorem i spełniona jest zasada niezależności działania momentów sił. Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy, jaki jest związek między momentem siły a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v)}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na niego działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało A działa na ciało B z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mniejszych ciał, otrzymujemy dla ruchu liniowego i obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_i m_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Wyrażenie to pokazuje dwie fundamentalne własności: * '''Addytywność sił:''' ** Całkowita siła działająca na środek masy jest sumą sił działających na wszystkie elementy składowe ciała. ** Wynika to z faktu, że przyspieszenie środka masy jest średnią ważoną przyspieszeń poszczególnych punktów materialnych. * '''Addytywność momentów sił:''' ** Całkowity moment siły działający na ciało jest sumą momentów sił działających na jego części składowe. ** Wynika to bezpośrednio z liniowości definicji momentu pędu i momentu siły. Wynik ten jest zgodny z zasadą superpozycji i z faktem, że zarówno siła, jak i moment siły są wielkościami wektorowymi. Dzięki temu równania ruchu dla środka masy zachowują tę samą postać, co równania ruchu dla układu punktów materialnych, co jest jednym z kluczowych założeń klasycznej mechaniki Newtonowskiej. Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną. Oznacza to, że siła działająca na środek masy ciała (oraz moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodzących od wszystkich mniejszych ciał tworzących układ. Jednak siła działająca na środek masy jest sumą '''sił zewnętrznych''', a moment siły działający na ciało jest sumą '''zewnętrznych momentów sił''', ponieważ siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują. Zerowanie się sił i momentów sił wewnętrznych jest możliwe tylko wtedy, gdy spełniona jest '''trzecia zasada dynamiki Newtona''', która mówi, że siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. Możemy również rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał. Rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziałujących ze sobą. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Wyrażenia te oznaczają: * {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''j''' działa na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec F_{2ji}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''i''' działa na ciało '''j''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''j''' wywiera na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{2ji}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''i''' wywiera na ciało '''j'''. Zatem: * '''Siły wewnętrzne''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}</MATH>}} * '''Momenty sił wewnętrznych''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}</MATH>}} Co prowadzi do ich całkowitego zaniku w równaniach ruchu środka masy i ruchu obrotowego całego układu. W ten sposób otrzymujemy pełne uzasadnienie, że: * siły zewnętrzne sumują się wektorowo, * momenty sił zewnętrznych sumują się wektorowo, * siły i momenty sił wewnętrznych się znoszą, * a równania ruchu dla całego układu zachowują postać zgodną z zasadami Newtona. Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}}: pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią '''trzeciej zasady dynamiki Newtona''' dla ruchu liniowego (obrotowego). Oznacza to: * dla '''ruchu liniowego''': siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot, * dla '''ruchu obrotowego''': momenty sił wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. W ten sposób trzecia zasada dynamiki Newtona zapewnia, że '''wszystkie siły i momenty sił wewnętrznych w układzie dwóch ciał (lub większego układu) sumują się do zera''', co jest konieczne, aby: * siła całkowita działająca na środek masy była sumą '''sił zewnętrznych''', * moment siły całkowity działający na ciało był sumą '''zewnętrznych momentów sił''', * równania ruchu środka masy i ruchu obrotowego zachowały swoją klasyczną postać. Zatem równania {{LinkWzór|s2}} i ich przekształcenie {{LinkWzór|s3}} stanowią bezpośrednie matematyczne uzasadnienie trzeciej zasady dynamiki Newtona zarówno w ruchu liniowym, jak i obrotowym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> slmvhasom35w2cc6jctu8eqslbuwjqo 0 64137 555376 555159 2026-09-09T19:13:15Z Persino 2851 /* Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości */ 555376 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === W tym podrozdziale analizujemy najbardziej fundamentalny, a jednocześnie najprostszy możliwy przypadek ruchu w mechanice klasycznej: ruch ciała, na które '''nie działa żadna siła'''. Jest to sytuacja, która stanowi bezpośrednie ucieleśnienie pierwszej zasady dynamiki Newtona, zwanej również zasadą bezwładności. Zasada ta mówi, że jeśli na ciało nie działa żadna siła wypadkowa, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jest to jedno z najbardziej podstawowych praw fizyki, które opisuje naturalną tendencję ciał do zachowania swojego stanu ruchu. Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} Równanie {{LinkWzór|1.32}} przedstawia pełny ciąg wnioskowania, który jest niezwykle ważny dla zrozumienia natury ruchu w mechanice Newtonowskiej: * Jeśli siła wypadkowa jest równa zero, to przyspieszenie jest równe zero: ** {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=0</MATH>}}. ** Oznacza to, że prędkość ciała nie zmienia się w czasie — nie rośnie, nie maleje, nie zmienia kierunku. * Jeśli przyspieszenie jest zerowe, prędkość jest stała: ** {{Formuła|<MATH>\dot{x}=v</MATH>}}. ** Prędkość ta może być dowolna: dodatnia, ujemna lub równa zero. Jeśli jest równa zero, ciało pozostaje w spoczynku. Jeśli jest różna od zera, ciało porusza się ruchem jednostajnym. * Jeśli prędkość jest stała, położenie zmienia się liniowo w czasie: ** {{Formuła|<MATH>x(t)=vt+a</MATH>}}, ** gdzie {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} jest stałą integracji określającą początkowe położenie. ** Oznacza to, że ciało pokonuje równe odcinki drogi w równych odstępach czasu. W ten sposób otrzymujemy klasyczny wynik pierwszej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego: * ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, * jeśli nie działa na nie żadna siła wypadkowa. Ruch bez działania siły jest jednym z najważniejszych modeli w fizyce, ponieważ stanowi punkt odniesienia dla wszystkich bardziej złożonych przypadków. Każdy ruch, w którym pojawia się przyspieszenie, musi wynikać z działania siły. Jeśli siła znika, ruch natychmiast staje się jednostajny. Jest to fundamentalna cecha mechaniki klasycznej, która odróżnia ją od wielu innych teorii fizycznych. Model ten jest również podstawą pojęcia układu inercjalnego — układu odniesienia, w którym obowiązuje pierwsza zasada Newtona. W takich układach ciała zachowują swój ruch, jeśli nie działają na nie siły. Układy inercjalne są kluczowe dla całej mechaniki klasycznej i stanowią fundament dla dalszych rozdziałów dynamiki. === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === W tym podrozdziale analizujemy jeden z najbardziej klasycznych i fundamentalnych ruchów w fizyce: spadek ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym. Jest to sytuacja, która pojawia się w niezliczonych kontekstach — od ruchu kropli deszczu, przez spadanie kamienia, aż po ruch sond kosmicznych w pobliżu powierzchni planet. Jednorodne pole grawitacyjne jest idealizacją, która doskonale opisuje ruch ciał w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyspieszenie grawitacyjne można uznać za stałe. Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, w której siła jest napisana wzorem {{Formuła|<MATH>F=ma\;</MATH>}}, i na ciało działa siła grawitacji {{Formuła|<MATH>F=-mg\;</MATH>}}, otrzymujemy równanie ruchu dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Równanie to jest jednym z najprostszych, a jednocześnie najbardziej fundamentalnych równań w fizyce klasycznej. Pokazuje ono, że przyspieszenie ciała jest stałe i równe -g. Jest to kluczowa cecha jednorodnego pola grawitacyjnego: niezależnie od położenia i prędkości, siła grawitacji pozostaje taka sama. Prędkość ciała w zależności od czasu '''t''' opisujemy, wychodząc od równania {{LinkWzór|1.33}}. Całkujemy równanie przyspieszenia: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość {{Formuła|<MATH>v_0</MATH>}} występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}} jest prędkością początkową ciała, tzn. prędkością w chwili początkowej {{Formuła|<MATH>t=0\;</MATH>}}. Jeśli ciało jest puszczone bez prędkości początkowej, to v₀ = 0, a prędkość rośnie liniowo w czasie. Jeśli ciało jest rzucone w dół lub w górę, prędkość początkowa może być dodatnia lub ujemna. Równanie prędkości możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, otrzymując równanie położenia: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} Wzór {{LinkWzór|1.35}} przedstawia klasyczne równanie ruchu ciała spadającego w jednorodnym polu grawitacyjnym. Jest to jedno z najważniejszych równań w całej mechanice klasycznej — opisuje ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem stałym i równym g. W równaniu tym: * {{Formuła|<MATH>x_0</MATH>}} – początkowe położenie ciała, * {{Formuła|<MATH>v_0</MATH>}} – prędkość początkowa, * {{Formuła|<MATH>g</MATH>}} – przyspieszenie grawitacyjne, * ruch jest jednostajnie przyspieszony, * przyspieszenie jest stałe i równe {{Formuła|<MATH>-g</MATH>}}. Równanie to jest podstawą analizy ruchu w polu grawitacyjnym. Opisuje ono idealny spadek ciała bez oporów, co jest doskonałym przybliżeniem dla wielu sytuacji fizycznych. W rzeczywistości opory powietrza mogą zmieniać ruch, lecz w wielu przypadkach — szczególnie dla małych prędkości lub w próżni — równanie to jest dokładne. Otrzymane równania są bezpośrednią konsekwencją drugiej zasady dynamiki Newtona i opisują idealny spadek ciała w polu grawitacyjnym bez oporów. Są one fundamentem całej kinematyki i dynamiki ruchu w polu sił stałych. === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === W tym podrozdziale analizujemy jeden z najbardziej klasycznych modeli ruchu w ośrodku lepkim: ruch ciała pod wpływem siły tarcia, która jest **wprost proporcjonalna do prędkości**. Jest to sytuacja niezwykle często spotykana w fizyce i technice — obejmuje ruch małych cząstek w cieczy, ruch drobnych obiektów w powietrzu przy niewielkich prędkościach, a także ruch elektronów w przewodnikach, gdzie opór jest proporcjonalny do prędkości dryfu. Model ten jest podstawą hydrodynamiki Stokesa, teorii lepkości, a także wielu zagadnień związanych z tłumieniem drgań. Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w którym opory ruchu odbywają się pod wpływem siły tarcia **wprost proporcjonalnego do prędkości**, zapisujemy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} W powyższym równaniu współczynnik γ jest miarą intensywności oporu ośrodka. Im większa wartość γ, tym silniej ośrodek przeciwdziała ruchowi ciała. Siła oporu ma postać {{Formuła|<MATH>F_{\text{op}}=-\gamma v</MATH>}}, co oznacza, że jest skierowana przeciwnie do prędkości i rośnie liniowo wraz z jej wartością. Jest to model oporu lepkiego, który obowiązuje dla małych prędkości, gdy przepływ wokół ciała jest laminarny. ---- * ''Rozwiązanie równania różniczkowego'' Równanie {{LinkWzór|1.36}} jest liniowym jednorodnym równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach. Jest to równanie drugiego rzędu, lecz dzięki swojej strukturze można je rozwiązać metodą podstawienia wykładniczego. Szukamy rozwiązania w postaci: {{Formuła|<MATH>x(t)=e^{\lambda t}</MATH>}}. Podstawiamy tę postać do równania: {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Ponieważ funkcja wykładnicza nigdy nie jest równa zero, otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{Formuła|<MATH>\lambda(m\lambda+\gamma)=0</MATH>}}. Równanie to ma dwa rozwiązania: * {{Formuła|<MATH>\lambda_1=0</MATH>}} — odpowiada rozwiązaniu stałemu, czyli położeniu granicznemu, do którego ciało dąży, * {{Formuła|<MATH>\lambda_2=-\gamma/m</MATH>}} — odpowiada rozwiązaniu wykładniczo malejącemu, które opisuje zanikanie ruchu. Pierwiastek ujemny oznacza, że ruch jest tłumiony: prędkość maleje wykładniczo, a ciało stopniowo zatrzymuje się. ---- * '''Pełne rozwiązanie równania ruchu''' Rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową dwóch rozwiązań: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} W tym równaniu: * {{Formuła|<MATH>A_1</MATH>}} – stała integracji związana z położeniem granicznym, czyli wartością, do której ciało asymptotycznie dąży, * {{Formuła|<MATH>A_2</MATH>}} – stała integracji zależna od warunków początkowych, określająca początkowe wychylenie od położenia granicznego, * człon wykładniczy opisuje '''zanikanie ruchu''' w czasie z charakterystyczną stałą tłumienia ** {{Formuła|<MATH>\tau = m/\gamma</MATH>}}. Stała tłumienia τ określa czas, w którym prędkość maleje e‑krotnie. Im większa lepkość ośrodka (większe γ), tym krótszy czas zanikania ruchu. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' Równanie {{LinkWzór|1.38}} opisuje ruch ciała w ośrodku lepkim: * prędkość maleje wykładniczo — jest to charakterystyczna cecha ruchu w ośrodku o oporze liniowym, * ciało asymptotycznie zatrzymuje się — nigdy nie osiąga położenia granicznego w skończonym czasie, lecz zbliża się do niego coraz wolniej, * położenie zbliża się do wartości granicznej {{Formuła|<MATH>A_1</MATH>}} — jest to położenie równowagi w obecności oporu. Model ten jest typowy dla ruchu w ośrodku, w którym opór jest proporcjonalny do prędkości — np. ruch małych obiektów w powietrzu lub w cieczy przy małych prędkościach (reżim Stokesa). W takich warunkach siła oporu nie zależy od kwadratu prędkości, lecz od jej wartości, co prowadzi do wykładniczego zanikania ruchu. Tak otrzymane rozwiązanie jest klasycznym wynikiem mechaniki Newtonowskiej dla ruchu tłumionego liniowo. Jest to jeden z najprostszych, a jednocześnie najbardziej fundamentalnych modeli ruchu w ośrodku lepkim. === Oscylator harmoniczny === Oscylator harmoniczny jest jednym z najbardziej fundamentalnych modeli w całej fizyce klasycznej, kwantowej, statystycznej i technicznej. Jego znaczenie wynika z faktu, że każdy układ fizyczny, który wykonuje niewielkie drgania wokół położenia równowagi, zachowuje się — w pierwszym przybliżeniu — jak oscylator harmoniczny. Dlatego model ten opisuje nie tylko sprężynę z ciężarkiem, lecz także drgania atomów w cząsteczkach, oscylacje planet wokół stabilnych punktów równowagi, drgania pól kwantowych, a nawet fale elektromagnetyczne w rezonatorach. Siłą harmoniczną działającą ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako {{Formuła|<MATH>F=-kx\;</MATH>}}, co oznacza, że siła jest proporcjonalna do wychylenia i skierowana przeciwnie do niego. Jest to klasyczna postać prawa Hooke’a, które obowiązuje dla niewielkich odkształceń sprężyny. Dlatego w takim przypadku druga zasada dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Równanie to jest jednym z najprostszych, a jednocześnie najbardziej fundamentalnych równań różniczkowych w fizyce. Opisuje ono ruch ciała pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia. Jest to równanie liniowe o stałych współczynnikach, które prowadzi do sinusoidalnych rozwiązań. ---- * '''Rozwiązanie równania różniczkowego''' Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji wykładniczej: {{Formuła|<MATH>x(t)=e^{\lambda t}</MATH>}} Jest to standardowa metoda rozwiązywania równań liniowych. Podstawienie funkcji wykładniczej pozwala sprowadzić równanie różniczkowe do równania algebraicznego, co znacznie upraszcza analizę. Podstawiamy tę postać do równania: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=0\Rightarrow\lambda=\pm i\sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Otrzymujemy dwa pierwiastki zespolone, co oznacza, że rozwiązanie jest sinusoidalne. Wielkość {{Formuła|<MATH>\omega_0=\sqrt{k/m}</MATH>}} jest częstością własną oscylatora harmonicznego — fundamentalną wielkością opisującą szybkość drgań. Częstość własna zależy wyłącznie od masy i stałej sprężystości. Im większa sprężystość, tym szybsze drgania; im większa masa, tym drgania wolniejsze. ---- * '''Pełne rozwiązanie równania ruchu''' Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}}, możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1e^{i\omega_0 t}+A_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} Rozwiązanie to jest klasyczną postacią sinusoidalnego ruchu harmonicznego. Stałe: * {{Formuła|<MATH>A_1, A_2</MATH>}} – stałe integracji wynikające z warunków początkowych, * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} – amplituda drgań, określająca maksymalne wychylenie, * {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} – faza początkowa, określająca przesunięcie czasowe drgań. Rozwiązanie sinusoidalne wynika z faktu, że pierwiastki równania charakterystycznego są czysto urojone. Oznacza to, że układ wykonuje drgania bez tłumienia, a energia kinetyczna i potencjalna wymieniają się cyklicznie. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' Równanie {{LinkWzór|1.41}} opisuje klasyczne drgania harmoniczne: * ruch jest '''okresowy''', co oznacza, że powtarza się w regularnych odstępach czasu, * częstość drgań zależy tylko od stosunku {{Formuła|<MATH>k/m</MATH>}}, * rozwiązanie jest sinusoidalne, co wynika z zespolonej postaci funkcji wykładniczej. Oscylator harmoniczny jest jednym z najważniejszych modeli w fizyce — opisuje m.in.: * drgania sprężyn, * wahadła dla małych wychyleń, * oscylacje atomów w cząsteczkach, * drgania pól kwantowych, * fale elektromagnetyczne w rezonatorach, * oscylacje planet wokół stabilnych punktów równowagi. Model ten jest tak uniwersalny, że stanowi fundament niemal każdej dziedziny fizyki. Jego prostota matematyczna i ogromna moc opisowa sprawiają, że jest jednym z najczęściej używanych narzędzi w całej nauce. === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmonicznym, oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki, działa również **siła tłumiąca ruch**, która zależy od prędkości ciała. Jest to sytuacja niezwykle często spotykana w fizyce klasycznej i technice: tłumienie występuje w amortyzatorach samochodowych, w układach drgających maszyn, w oscylacjach konstrukcji budowlanych, w drganiach atomów w ośrodkach lepkich, a nawet w układach elektronicznych, gdzie tłumienie odpowiada stratom energii. Siła tłumiąca jest zawsze skierowana przeciwnie do prędkości i powoduje stopniowe zmniejszanie amplitudy drgań. W takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} W powyższym wzorze oznaczyliśmy {{Formuła|<MATH>\beta=\gamma/(2m)</MATH>}}, czyli tzw. '''zredukowany współczynnik tłumienia'''. Współczynnik ten określa intensywność tłumienia: im większa wartość β, tym szybciej energia układu jest tracona. Tłumienie jest procesem nieodwracalnym — energia mechaniczna zamienia się na ciepło lub inne formy energii, które nie wracają do układu drgającego. ---- * '''Częstotliwość drgań nie tłumionych''' Zanim przejdziemy do analizy tłumienia, przypomnijmy definicję częstości własnej oscylatora harmonicznego. Jest to częstość drgań w przypadku braku tłumienia, czyli gdy β=0. Częstość ta zależy wyłącznie od masy i stałej sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{k\over m}}\;</MATH>|1.43}} Częstotliwość własna jest fundamentalną wielkością opisującą układ drgający. Określa ona, jak szybko układ drga w idealnych warunkach, bez strat energii. Jest to częstość naturalna układu, wynikająca z jego geometrii i właściwości fizycznych. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Równanie to jest podstawowym równaniem tłumionego oscylatora harmonicznego. Zawiera ono trzy składniki: przyspieszenie, tłumienie proporcjonalne do prędkości oraz siłę sprężystości proporcjonalną do wychylenia. Każdy z tych składników odgrywa kluczową rolę w dynamice układu. ---- * '''Rozwiązanie równania różniczkowego''' Aby rozwiązać równanie {{LinkWzór|1.44}}, podstawiamy rozwiązanie w postaci wykładniczej: {{Formuła|<MATH>x(t)=e^{\lambda t}</MATH>}} Jest to standardowa metoda rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Podstawienie to pozwala sprowadzić równanie różniczkowe do równania algebraicznego. Otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2=0\;</MATH>|1.45}} Równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym, którego pierwiastki określają rodzaj ruchu. W zależności od wartości β względem ω₀ otrzymujemy trzy różne typy ruchu: silnie tłumiony, słabo tłumiony i krytycznie tłumiony. Rozwiązanie równania kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over 2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} Pierwiastki równania charakterystycznego decydują o tym, czy ruch jest oscylacyjny, czy nie. Jeśli pierwiastek jest zespolony, ruch jest sinusoidalny z malejącą amplitudą. Jeśli pierwiastki są rzeczywiste, ruch nie jest oscylacyjny — ciało wraca do równowagi bez drgań. ---- * '''Silne tłumienie''' {{Formuła|<MATH>\beta>\omega_0</MATH>}} W tym przypadku pierwiastki równania charakterystycznego są '''rzeczywiste i ujemne''': {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1 t}+Be^{\lambda_2 t}\;</MATH>|1.47}} Ruch nie jest oscylacyjny — ciało wraca do położenia równowagi bez drgań. Jest to sytuacja, w której tłumienie jest tak silne, że układ nie ma „siły” wykonywać drgań. Zamiast tego wychylenie maleje monotonicznie. Taki ruch występuje np. w amortyzatorach samochodowych, które mają za zadanie tłumić drgania jak najszybciej. ---- * '''Słabe tłumienie''' {{Formuła|<MATH>\beta<\omega_0</MATH>}} W tym przypadku pierwiastki są **zespolone**, a ruch pozostaje oscylacyjny: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\,t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} Częstotliwość drgań tłumionych wynosi: {{Formuła|<MATH>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}</MATH>}}. Amplituda maleje wykładniczo. Jest to najbardziej klasyczny przypadek tłumionego ruchu: ciało drga, lecz z każdą chwilą amplituda jest mniejsza. Taki ruch występuje np. w wahadłach w powietrzu, w drganiach strun, w oscylacjach atomów w ośrodkach lepkich. ---- * '''Przypadek graniczny''' {{Formuła|<MATH>\beta=\omega_0</MATH>}} W tym przypadku równanie charakterystyczne ma '''podwójny pierwiastek''': {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} Ruch nie jest oscylacyjny, ale ciało wraca do równowagi '''najszybciej możliwie bez oscylacji''' — jest to tzw. '''tłumienie krytyczne'''. Jest to przypadek szczególny, w którym układ wraca do równowagi w minimalnym czasie, bez wykonywania drgań. Tłumienie krytyczne jest idealne w układach technicznych, gdzie zależy nam na szybkim wygaszeniu drgań bez oscylacji. ---- Wszystkie trzy przypadki (silne, słabe i krytyczne tłumienie) wynikają bezpośrednio z analizy równania charakterystycznego {{LinkWzór|1.45}} i stanowią pełną klasyfikację ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego. Każdy z tych przypadków ma ogromne znaczenie praktyczne i teoretyczne. Tłumienie jest jednym z najważniejszych zjawisk w fizyce klasycznej — bez tłumienia drgania trwałyby wiecznie, co nie zdarza się w rzeczywistych układach. Dzięki tłumieniu energia układu jest stopniowo tracona, a ruch wygasa. === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === W tym podrozdziale zajmiemy się jednym z najbardziej fundamentalnych i jednocześnie najbardziej ogólnych zagadnień mechaniki klasycznej: ruchem ciała pod wpływem siły, która zależy wyłącznie od położenia. Jest to sytuacja niezwykle często spotykana w fizyce — obejmuje ruch w polu grawitacyjnym, w polu sprężystości, w polu elektrostatycznym, a także w dowolnym potencjale jednowymiarowym. Zależność siły od położenia jest kluczowa, ponieważ pozwala wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, a tym samym zastosować zasadę zachowania energii, która jest jednym z najpotężniejszych narzędzi w całej mechanice. Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, w której siła niezrównoważona pochodzi od '''sił potencjalnych''' działających na ciało. Mamy zatem równanie: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=F(x)\;</MATH>}} Równanie to jest punktem wyjścia do całej analizy. Pokazuje ono, że przyspieszenie ciała jest bezpośrednio związane z siłą działającą na ciało, a ta siła zależy od położenia. Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu, które w ogólności może być trudne do rozwiązania, lecz w przypadku sił potencjalnych możemy zastosować metodę znacznie prostszą i bardziej elegancką. Mnożymy obustronnie przez prędkość {{Formuła|<MATH>\dot{x}</MATH>}} i korzystamy z definicji energii potencjalnej: {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)\,dx</MATH>}}. Ten krok jest kluczowy: mnożenie przez prędkość pozwala przekształcić równanie ruchu w równanie energii. Jest to jedna z najważniejszych sztuczek w mechanice analitycznej. Dzięki niej możemy przejść od równania różniczkowego do równania algebraicznego, które jest znacznie łatwiejsze do analizy. Wtedy otrzymujemy tożsamość, którą możemy przecałkować względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} jest równaniem energii całkowitej. Pokazuje ono, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała i równa całkowitej energii E. Jest to jedno z najważniejszych równań w całej fizyce klasycznej. Dzięki niemu możemy analizować ruch bez konieczności rozwiązywania równania różniczkowego — wystarczy znać zależność U(x), aby określić prędkość, a tym samym cały ruch. ---- * Rozdzielanie zmiennych: Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać metodą rozdzielania zmiennych. Jest to metoda, która pozwala przekształcić równanie różniczkowe w całkę, którą można obliczyć lub przynajmniej przeanalizować. {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Wzór {{LinkWzór|1.51}} jest jednym z najważniejszych wzorów w mechanice analitycznej. Pokazuje on, że czas ruchu można wyrazić jako całkę z odwrotności prędkości. Prędkość zależy od różnicy między energią całkowitą a potencjałem, co oznacza, że czas ruchu jest bezpośrednio związany z geometrią potencjału. ---- * Energia potencjalna sprężyny Dla siły sprężystości {{Formuła|<MATH>F=-kx</MATH>}} energia potencjalna wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int F\,dx=-\int(-kx)\,dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Wzór {{LinkWzór|1.52}} jest klasycznym wynikiem: energia potencjalna sprężyny jest proporcjonalna do kwadratu wychylenia. Jest to potencjał harmoniczny, który prowadzi do ruchu sinusoidalnego. Jest to jeden z najważniejszych potencjałów w fizyce — pojawia się w drganiach atomów, w oscylacjach planet, w falach elektromagnetycznych, w kwantowych oscylatorach harmonicznych i w niezliczonych innych sytuacjach. ---- * Podstawienie do równania ruchu Podstawiamy {{LinkWzór|1.52}} do równania {{LinkWzór|1.51}}: {{CentrujWzór|<MATH> t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}} =t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}} =t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}\,x\right) \;</MATH>|1.53}} Wzór {{LinkWzór|1.53}} jest niezwykle elegancki: pokazuje, że czas ruchu w potencjale harmonicznym jest funkcją arcsin. Jest to bezpośrednia konsekwencja tego, że potencjał harmoniczny prowadzi do ruchu sinusoidalnego. Cała struktura ruchu jest zakodowana w funkcjach trygonometrycznych. ---- * Odwrócenie zależności: położenie jako funkcja czasu Odwracając równanie {{LinkWzór|1.53}}, otrzymujemy zależność położenia od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k\over m}}\,(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} Wzór {{LinkWzór|1.54}} jest pełnym rozwiązaniem ruchu ciała w polu sił sprężystości. Pokazuje on, że ruch jest sinusoidalny, z amplitudą zależną od energii i częstością zależną od stałej sprężystości i masy. Jest to jedno z najbardziej klasycznych rozwiązań w całej fizyce. ---- * Interpretacja fizyczna Wzór {{LinkWzór|1.54}} jest **pełnym rozwiązaniem ruchu ciała w polu sił sprężystości**, wyprowadzonym z zasady zachowania energii. Pokazuje on, że: * ruch jest '''harmoniczny''', * amplituda drgań wynosi {{Formuła|<MATH>A=\sqrt{2E/k}</MATH>}}, * częstość drgań jest równa {{Formuła|<MATH>\omega_0=\sqrt{k/m}</MATH>}}, * rozwiązanie zależy wyłącznie od energii całkowitej, masy i stałej sprężystości. W ten sposób otrzymujemy klasyczne równanie ruchu oscylatora harmonicznego, wyprowadzone **nie z równania różniczkowego**, lecz '''z zasady zachowania energii'''. Jest to przykład tego, jak potężna jest metoda energii w mechanice analitycznej — pozwala ona uzyskać pełne rozwiązanie ruchu bez konieczności rozwiązywania równania różniczkowego drugiego rzędu. === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === W tym podrozdziale zajmiemy się jednym z najbardziej eleganckich i głębokich wyników klasycznej teorii drgań: zależnością między okresem drgań T(E) a maksymalnym położeniem ciała x(E) w jednowymiarowym potencjale U(x). Jest to zagadnienie o fundamentalnym znaczeniu, ponieważ pozwala odwrócić typowy sposób myślenia o ruchu drgającym. Zwykle bowiem zakładamy, że znamy potencjał U(x), a następnie wyznaczamy okres drgań T(E). Tutaj natomiast pokażemy, że można wykonać operację odwrotną: znając okres drgań jako funkcję energii, możemy odtworzyć maksymalne położenie x(E), a tym samym strukturę potencjału. Jest to niezwykle potężne narzędzie, wykorzystywane w fizyce klasycznej, kwantowej, w teorii oscylatorów, w analizie ruchu planetarnego, a także w metodach odwrotnych w mechanice analitycznej. Zależność ta pokazuje, że informacja o czasie ruchu zawiera w sobie pełną informację o geometrii potencjału. Innymi słowy — czas jest nośnikiem struktury przestrzennej. Weźmy pod uwagę różniczkę czasu określoną na podstawie jego zależności od różniczki położenia, daną wzorem {{LinkWzór|1.51}}. Różniczka ta jest kluczowa, ponieważ pozwala wyrazić czas jako całkę z odwrotności prędkości. Prędkość natomiast zależy od różnicy między energią całkowitą E a potencjałem U(x). Dzięki temu możemy powiązać czas ruchu z geometrią potencjału. Okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu, w jakim nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego. Jest to naturalne, ponieważ ruch w potencjale jednowymiarowym jest odwracalny: ciało wraca dokładnie tą samą drogą, z tą samą prędkością, lecz w przeciwnym kierunku. Dlatego całka od x₁(E) do x₂(E) opisuje tylko połowę ruchu — drugą połowę otrzymujemy przez symetrię. {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Wzór {{LinkWzór|1.55}} jest jednym z najważniejszych wzorów w teorii drgań. Pokazuje on, że okres drgań zależy od całki z odwrotności prędkości, a prędkość zależy od różnicy między energią całkowitą E a potencjałem U(x). Im większa energia, tym dalej ciało dociera, a tym samym okres drgań może się zmieniać. W przypadku potencjałów niesymetrycznych zależność ta może być bardzo złożona, lecz nadal pozostaje w pełni deterministyczna. Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}}, okres drgań możemy zapisać, całkując po energii od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i od {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}. Po podziale całki na dwa składniki otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}} +\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}} =\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{E-U}}} \;</MATH>|1.56}} Wzór {{LinkWzór|1.56}} jest kluczowy: pokazuje, że okres drgań można wyrazić jako całkę po energii, w której pojawia się różnica pochodnych położenia granicznego x₂(U) i x₁(U). Ta różnica jest niczym innym jak szerokością dostępnego obszaru ruchu dla danej energii. Innymi słowy, okres drgań zależy od tego, jak szeroki jest „przedział ruchu” przy danej energii. Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}} i energii całkowitej {{Formuła|<MATH>E</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}</MATH>}} i całkujemy względem {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_0^{\alpha}{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}} =\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU\,dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}} \;</MATH>|1.57}} Wzór {{LinkWzór|1.57}} jest przykładem zastosowania całkowania iterowanego. Zmieniamy kolejność całkowania, co jest klasyczną techniką w analizie matematycznej, pozwalającą uprościć złożone wyrażenia. We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH> \int_0^{\alpha}{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}} =\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU \int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}} \;</MATH>|1.58}} Teraz kluczowym krokiem jest wyznaczenie całki wewnętrznej. Jest to całka o bardzo charakterystycznej strukturze: pod pierwiastkiem występuje iloczyn dwóch wyrażeń liniowych w E. Po odpowiednich przekształceniach sprowadzamy ją do postaci znanej z całki arcsin. Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}}. Korzystając z przekształceń równania kwadratowego i znanej całki: {{Formuła|<MATH>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}} =\pi \;</MATH>|1.59}} Wynik ten jest niezwykle elegancki: cała złożona struktura całki sprowadza się do stałej π. Jest to przykład tego, jak geometria ruchu w potencjale jednowymiarowym prowadzi do prostych i pięknych zależności matematycznych. Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}} i całkujemy względem {{Formuła|<MATH>U</MATH>}}. Ostatecznie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_0^{\alpha}{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}} =\pi\sqrt{2m}\,[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)] \;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek {{Formuła|<MATH>x_2(0)=x_1(0)=0</MATH>}} dla stanu równowagi, to dla {{Formuła|<MATH>\alpha=U</MATH>}} możemy jednocześnie zapisać: {{Formuła|<MATH>x_1(U)=-x_2(U)=x(U)</MATH>}}. Wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<MATH> x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{U-E}}} \;</MATH>|1.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> oq6942mmr66tnt0zqh16lgmun8nik4u 0 64138 555377 555057 2026-09-09T19:15:48Z Persino 2851 555377 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == W tym podrozdziale przechodzimy do jednego z najbardziej fundamentalnych i uniwersalnych zagadnień całej mechaniki klasycznej: zasad zachowania wielkości fizycznych. Są to prawa, które nie tylko opisują ruch, lecz także ujawniają głęboką strukturę fizyczną świata. Zasady zachowania pędu, momentu pędu i energii są absolutnymi filarami dynamiki — obowiązują w ruchu liniowym, obrotowym, w układach izolowanych, w zderzeniach, w oddziaływaniach sprężystych i niesprężystych, w ruchu planet, w mechanice kwantowej, a nawet w teorii względności. Każda z tych zasad wynika bezpośrednio z drugiej zasady dynamiki Newtona, lecz ich znaczenie wykracza daleko poza proste równania ruchu. Są one powiązane z symetriami przestrzeni i czasu: zachowanie pędu wynika z jednorodności przestrzeni, zachowanie momentu pędu z izotropii przestrzeni, a zachowanie energii z jednorodności czasu. W ten sposób mechanika klasyczna łączy geometrię świata z dynamiką ruchu. Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} można zapisać przy pomocy definicji '''pędu''', który jest iloczynem masy ciała i jego prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Definicja ta jest niezwykle ważna: pęd jest wielkością wektorową, która łączy masę i prędkość w jedną całość. Pęd nie jest tylko „masą razy prędkość” — jest to wielkość, która określa zdolność ciała do oddziaływania dynamicznego. Ciało o dużym pędzie trudno zatrzymać, trudno zmienić jego kierunek, trudno zmienić jego stan ruchu. Pęd jest miarą „ilości ruchu”. Zatem druga zasada dynamiki Newtona przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} Wzór {{LinkWzór|1.63}} jest najbardziej ogólną postacią drugiej zasady Newtona. Jest to forma, która obowiązuje: * dla ruchu liniowego, * dla ruchu obrotowego (gdzie pęd zastępuje moment pędu), * dla układów o zmiennej masie (np. rakiety), * w analizach relatywistycznych, gdzie pęd nie jest proporcjonalny do prędkości, * w zderzeniach sprężystych i niesprężystych, * w ruchu planetarnym, * w dynamice układów wielu ciał. W tej postaci druga zasada Newtona ujawnia swoją pełną moc: siła jest niczym innym jak szybkością zmiany pędu. Jeśli pęd się nie zmienia, siła jest równa zero. Jeśli pęd zmienia się szybko, siła jest duża. W ten sposób pęd staje się centralną wielkością opisującą dynamikę. Z równania {{LinkWzór|1.63}} wynika natychmiast zasada zachowania pędu: jeśli siła wypadkowa działająca na układ jest równa zero, to pęd całkowity układu jest stały. Jest to jedna z najważniejszych zasad w fizyce — pozwala analizować zderzenia, ruchy odrzutowe, dynamikę układów izolowanych, a także ruch ciał w przestrzeni kosmicznej. Analogicznie, jeśli zamiast pędu liniowego rozpatrujemy moment pędu, otrzymujemy zasadę zachowania momentu pędu. Jest to zasada, która opisuje ruch obrotowy, rotacje planet, ruch wirujący, dynamikę brył sztywnych, a także zjawiska kwantowe, takie jak spin elektronów. Wreszcie, z równania energii — które wynika z pracy wykonanej przez siły — otrzymujemy zasadę zachowania energii. Energia nie powstaje z niczego i nie znika — może jedynie zmieniać formę. W ruchu mechanicznie izolowanym energia kinetyczna i potencjalna wymieniają się, lecz ich suma pozostaje stała. Wszystkie te zasady — pędu, momentu pędu i energii — są ze sobą głęboko powiązane. Stanowią fundament całej mechaniki klasycznej i są niezbędne do analizy każdego ruchu, od najprostszych po najbardziej złożone. === Zasada zachowania pędu === W tym podrozdziale przechodzimy do jednego z najbardziej fundamentalnych praw mechaniki klasycznej: zasady zachowania pędu. Jest to zasada o ogromnym znaczeniu, ponieważ opisuje zachowanie układów zarówno prostych, jak i niezwykle złożonych — od ruchu pojedynczej cząstki, przez zderzenia atomów, aż po dynamikę planet i galaktyk. Pęd jest wielkością, która nie tylko opisuje ruch, lecz także ujawnia głęboką strukturę oddziaływań między ciałami. Zasada zachowania pędu jest jednym z filarów fizyki, obowiązującym w mechanice klasycznej, kwantowej, relatywistycznej, a także w teorii pól. Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki. Jest to równanie, które mówi, że siła działająca na cząstkę jest równa szybkości zmiany jej pędu. Pęd jest wielkością wektorową, dlatego równanie to opisuje zarówno zmianę wartości pędu, jak i jego kierunku. Jest to najbardziej ogólna postać drugiej zasady Newtona. Możemy jednak dodać poszczególne równania ruchu wszystkich cząstek układu stronami. Jest to krok niezwykle ważny, ponieważ pozwala przejść od dynamiki pojedynczej cząstki do dynamiki całego układu. Układ może składać się z dwóch cząstek, dziesięciu cząstek, miliardów cząstek — zasada zachowania pędu obowiązuje zawsze, niezależnie od liczby elementów. Korzystając z '''trzeciej zasady dynamiki Newtona''', otrzymujemy, że: * siły wewnętrzne działające między cząstkami '''wzajemnie się równoważą''', **Oznacza to, że każda siła działająca jednej cząstki na drugą ma swoją dokładną przeciwną odpowiedniczkę. ** Siły te są równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. W efekcie, gdy dodamy wszystkie siły wewnętrzne, ich suma wynosi zero. * zatem nie mają wpływu na zmianę pędu całego układu jako całości, ** Siły wewnętrzne mogą zmieniać pędy poszczególnych cząstek, lecz nie zmieniają pędu całkowitego. ** Oznacza to, że układ może „przekazywać” pęd między swoimi elementami, ale nie może go tworzyć ani niszczyć. * jedynie '''siły zewnętrzne''' mogą zmieniać pęd układu. ** Jeśli na układ działa siła zewnętrzna, pęd całkowity może się zmieniać. ** Jeśli siła zewnętrzna jest równa zero, pęd całkowity pozostaje stały. Jeśli na układ '''nie działa żadna niezrównoważona siła zewnętrzna''', to całkowity pęd układu jest wielkością stałą w czasie — jest zachowany. Jest to kluczowy wniosek: '''pęd całkowity układu izolowanego nie zmienia się'''. Układ izolowany to taki, na który nie działają siły zewnętrzne lub ich suma jest równa zero. Pęd układu złożonego z '''n''' cząstek zapisujemy jako sumę pędów wszystkich cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i \vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} Wzór {{LinkWzór|1.64}} jest matematycznym wyrażeniem '''zasady zachowania pędu'''. Pokazuje on, że pęd całkowity jest sumą pędów wszystkich elementów układu. Jeśli suma sił zewnętrznych jest równa zero, ta suma pozostaje niezmienna. Zasada ta obowiązuje zarówno w układach izolowanych, jak i w wielu procesach zderzeń, ruchu orbitalnego, dynamiki układów wielociałowych oraz w fizyce relatywistycznej. W zderzeniach sprężystych pęd jest zachowany. W zderzeniach niesprężystych pęd również jest zachowany, choć energia kinetyczna może się zmieniać. W ruchu planetarnym pęd orbitalny jest zachowany, jeśli nie działają siły zewnętrzne. W fizyce relatywistycznej pęd jest częścią czterowektora pędu-energii, który również podlega zasadzie zachowania. Zasada zachowania pędu jest jednym z najgłębszych praw natury — wynika z jednorodności przestrzeni, czyli z faktu, że prawa fizyki są takie same w każdym miejscu. W ten sposób mechanika klasyczna łączy geometrię świata z dynamiką ruchu. === Zasada zachowania momentu pędu === W tym podrozdziale przechodzimy do jednej z najgłębszych i najbardziej fundamentalnych zasad mechaniki klasycznej: zasady zachowania momentu pędu. Jest to zasada, która opisuje nie tylko ruch obrotowy pojedynczych cząstek, lecz także dynamikę brył sztywnych, ruch planet, gwiazd, galaktyk, a nawet zjawiska kwantowe, takie jak spin elektronów. Moment pędu jest wielkością, która ujawnia geometryczną strukturę przestrzeni — jego zachowanie wynika z izotropii przestrzeni, czyli z faktu, że prawa fizyki są takie same niezależnie od kierunku. Zdefiniujmy moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działającej na dany punkt ciała: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</MATH>|1.66}} }} Wzór {{LinkWzór|1.65}} definiuje moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora położenia i pędu. Jest to wielkość wektorowa, która opisuje „ilość ruchu obrotowego”. Moment pędu zależy zarówno od tego, jak szybko ciało się porusza, jak i od tego, jak daleko znajduje się od osi obrotu. Wzór {{LinkWzór|1.66}} definiuje moment siły — wielkość, która określa zdolność siły do zmiany momentu pędu. Moment siły jest odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym: tak jak siła zmienia pęd, tak moment siły zmienia moment pędu. Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}} i korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> {{d\vec{K}}\over{dt}} ={{d}\over{dt}}\left(\vec{r}\times\vec{p}\right) =\vec{v}\times\vec{p}+\vec{r}\times{{d\vec{p}}\over{dt}} =\vec{r}\times\vec{F} =\vec{N} \;</MATH>|1.67}} Każdy krok tego wyprowadzenia ma głębokie znaczenie: * Pochodna iloczynu wektorowego daje dwa składniki: {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\vec{p}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt}\;</MATH>}}. ** Pierwszy składnik znika, ponieważ prędkość i pęd są równoległe (pęd jest masą razy prędkość). ** Drugi składnik pozostaje i prowadzi do momentu siły. * Korzystamy z równania {{Formuła|<MATH>\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}\;</MATH>}}, które jest ogólną postacią drugiej zasady Newtona. ** Dzięki temu otrzymujemy zależność między zmianą momentu pędu a momentem siły. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infinitesymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Równanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch jednej cząstki, ale można je uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując ten wzór dla każdej z nich. W układzie wielu cząstek moment pędu całkowity jest sumą momentów pędu wszystkich elementów układu. * Wiedząc, że: ** moment siły działający na ciało A ze strony ciała B ** oraz moment siły działający na ciało B ze strony ciała A sumują się do zera (działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają trzecią zasadę dynamiki Newtona), otrzymujemy, że: * '''momenty sił wewnętrznych''' znoszą się w całkowitej sumie, ** Układ może przekazywać moment pędu między swoimi elementami, lecz nie może go tworzyć ani niszczyć. * pozostają tylko '''momenty sił zewnętrznych'''. ** Jeśli moment sił zewnętrznych jest równy zero, moment pędu całkowity nie zmienia się. Jeśli całkowity moment sił zewnętrznych jest równy zero, to całkowity moment pędu układu jest wielkością stałą w czasie — obowiązuje '''zasada zachowania momentu pędu'''. Zasada ta jest jednym z najważniejszych praw fizyki. Wyjaśnia: * dlaczego łyżwiarz obracający się szybciej po zbliżeniu rąk do ciała zwiększa prędkość obrotu, * dlaczego planety poruszają się szybciej, gdy są bliżej Słońca, * dlaczego wir wodny zwęża się i przyspiesza, * dlaczego gwiazdy zapadające się w supernowe obracają się coraz szybciej. Moment pędu jest wielkością, która ujawnia głęboką symetrię przestrzeni — jego zachowanie wynika z faktu, że przestrzeń nie wyróżnia żadnego kierunku. W ten sposób mechanika klasyczna łączy geometrię świata z dynamiką ruchu. === Energia potencjalna === W tym podrozdziale wprowadzamy jedno z najbardziej fundamentalnych pojęć mechaniki klasycznej: energię potencjalną. Jest to wielkość, która opisuje zdolność układu do wykonania pracy wskutek działania sił zależnych od położenia. Energia potencjalna nie jest energią ruchu — jest energią „ukrytą” w konfiguracji układu, wynikającą z oddziaływań, które mogą zmieniać położenie ciała. Aby jednak można było mówić o energii potencjalnej, siła musi spełniać określone warunki matematyczne, które zapewniają, że praca tej siły nie zależy od drogi, lecz wyłącznie od punktów początkowego i końcowego. Wprowadźmy definicję '''siły potencjalnej''' w taki sposób, że praca tej siły nie zależy od konturu, lecz wyłącznie od punktu początkowego i końcowego ruchu ciała. W takim przypadku praca siły po '''dowolnym zamkniętym konturze''' jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L \vec{F}\,d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Równanie {{LinkWzór|1.74}} jest jednym z najważniejszych warunków w teorii pól wektorowych. Oznacza ono, że siła nie wykonuje żadnej „cyrkulacji” wokół zamkniętej krzywej. Jeśli praca po zamkniętym konturze jest równa zero, to siła jest polem bezwirowym — jej działanie nie zależy od tego, jaką drogą porusza się ciało, lecz tylko od punktów początkowego i końcowego. Korzystając z twierdzenia Stokesa i definicji '''rotacji''' pola wektorowego, równanie {{LinkWzór|1.74}} możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH> 0=\oint_L \vec{F}\,d\vec{r} =\int_S \operatorname{rot}\vec{F}\,d\vec{S} \;</MATH>|1.75}} Twierdzenie Stokesa jest jednym z najważniejszych twierdzeń analizy wektorowej. Łączy ono całkę po konturze z całką po powierzchni, ujawniając głęboką strukturę pola wektorowego. Jeśli rotacja pola jest równa zero, to całka po dowolnym konturze również jest równa zero. Na podstawie wniosku z {{LinkWzór|1.75}} otrzymujemy warunek konieczny i wystarczający na istnienie potencjału: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Warunek ten jest absolutnie fundamentalny: tylko pola o zerowej rotacji mogą być polami potencjalnymi. Oznacza to, że siła musi być „bezwirowa”, aby można było przypisać jej energię potencjalną. ---- * '''Niezależność pracy od drogi''' Udowodnijmy teraz, korzystając z równania {{LinkWzór|1.74}}, że całka pracy siły potencjalnej między punktami A i B jest niezależna od krzywej łączącej te punkty: {{CentrujWzór|<MATH> 0=\oint \vec{F}\,d\vec{r} =\int_{A(1)}^B \vec{F}\,d\vec{r} +\int_{B(2)}^A \vec{F}\,d\vec{r} =\int_{A(1)}^B \vec{F}\,d\vec{r} -\int_{A(2)}^B \vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow \int_{A(1)}^B \vec{F}\,d\vec{r} =\int_{A(2)}^B \vec{F}\,d\vec{r} \;</MATH>|1.77}} Widzimy zatem, że dla sił spełniających warunek {{LinkWzór|1.74}} lub równoważny {{LinkWzór|1.76}}, praca między punktami A i B '''nie zależy od drogi'''. Jest to definicja siły potencjalnej: siła taka „pamięta” tylko punkty początkowy i końcowy, a nie drogę, którą ciało przebyło. ---- * '''Definicja energii potencjalnej''' Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, to energię potencjalną definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow dU=-\vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow \operatorname{grad}U\,d\vec{r}=-\vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow \vec{F}=-\operatorname{grad}U \;</MATH>|1.78}} Otrzymujemy więc fundamentalną zależność: * '''siła potencjalna jest gradientem energii potencjalnej ze znakiem minus''', * kierunek siły jest przeciwny do kierunku wzrostu energii potencjalnej. Jest to jedno z najważniejszych równań w mechanice klasycznej — łączy ono siłę z energią w sposób całkowicie ogólny. ---- * '''Klasyfikacja sił''' ** '''Siły potencjalne''' — siły posiadające potencjał, spełniające warunek {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0</MATH>}}. ** '''Siły konserwatywne''' — siły potencjalne '''niezależne od czasu'''; energia potencjalna jest zachowana. ** '''Siły niepotencjalne''' — siły, które '''nie posiadają potencjału''', np. siły tarcia; ich praca zależy od drogi. W ten sposób otrzymujemy pełną i spójną definicję energii potencjalnej oraz warunki, jakie musi spełniać siła, aby można było przypisać jej potencjał. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== W tym fragmencie analizujemy jeden z najbardziej klasycznych i fundamentalnych przypadków energii potencjalnej: energię potencjalną ciała znajdującego się w jednorodnym polu sił ciężkości. Jest to sytuacja, która pojawia się w niezliczonych kontekstach fizycznych — od ruchu spadających ciał, przez dynamikę wahadeł, aż po energię potencjalną obiektów w polu grawitacyjnym Ziemi. Jednorodne pole grawitacyjne jest idealizacją, która doskonale opisuje warunki w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyspieszenie grawitacyjne można uznać za stałe. Niech naszym wektorem siły ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{g}</MATH>}}, lecz o zwrocie przeciwnym do kierunku osi pionowej rosnącej ku górze. Wektor siły ciężkości zapisujemy więc jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Wzór {{LinkWzór|1.79}} jest klasyczną definicją siły ciężkości: siła ta jest skierowana pionowo w dół, ma wartość równą iloczynowi masy i przyspieszenia ziemskiego, a jej kierunek jest przeciwny do osi z rosnącej ku górze. Jest to siła potencjalna, ponieważ jej praca zależy wyłącznie od różnicy wysokości, a nie od drogi, którą ciało przebyło. Zatem energia potencjalna według pierwszej równości {{LinkWzór|1.78}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> U=-\int(-m\vec{g})\,d\vec{r} =m\int_0^{\vec{r}} \vec{g}\,d\vec{r} =mgz \;</MATH>|1.80}} Każdy krok tego wyprowadzenia ma głębokie znaczenie: * Całka z siły ciężkości jest całką z wektora stałego — przyspieszenie grawitacyjne nie zależy od położenia. * Całkowanie sprowadza się do obliczenia iloczynu masy, przyspieszenia ziemskiego i wysokości. * Otrzymujemy energię potencjalną proporcjonalną do wysokości — jest to najprostsza możliwa forma energii potencjalnej. Wynik {{LinkWzór|1.80}} oznacza, że: * energia potencjalna w polu grawitacyjnym zależy wyłącznie od wysokości {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, * jest proporcjonalna do masy ciała i przyspieszenia ziemskiego, * przyjmujemy konwencję, że energia potencjalna rośnie wraz z wysokością. Interpretacja fizyczna jest niezwykle intuicyjna: im wyżej znajduje się ciało, tym większą pracę trzeba wykonać, aby je tam umieścić, a więc tym większą energię potencjalną posiada. Energia ta jest „zmagazynowana” w konfiguracji układu i może zostać uwolniona, gdy ciało zacznie spadać. Jest to klasyczna postać energii potencjalnej w jednorodnym polu grawitacyjnym — jedna z najważniejszych zależności w całej mechanice klasycznej. Wynik ten stanowi fundament dla analizy ruchu w polu grawitacyjnym, dynamiki wahadeł, ruchu balistycznego, a także dla wielu zagadnień związanych z energią mechaniczną. ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== W tym podrozdziale analizujemy energetyczny opis jednego z najważniejszych układów w fizyce klasycznej: oscylatora harmonicznego tłumionego. Jest to układ, który pojawia się w niezliczonych zastosowaniach — od drgań mechanicznych, przez układy elektroniczne, aż po modele atomowe i molekularne. Tłumienie jest zjawiskiem nieodłącznym w rzeczywistych układach: żadna sprężyna nie drga wiecznie, żadna konstrukcja nie wykonuje drgań bez strat, żadna fala nie propaguje się bez rozpraszania energii. Dlatego analiza energetyczna oscylatora tłumionego jest kluczowa dla zrozumienia dynamiki układów fizycznych. Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej położenia {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, czyli przez {{Formuła|<MATH>\dot{x}\;</MATH>}}. Wykonując to działanie, otrzymujemy zależność energetyczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\left(\frac{m\dot{x}^2}{2}+\frac{kx^2}{2}\right) =-2m\beta\,\dot{x}^2 \;</MATH>|1.81}} Wyrażenie po lewej stronie równania {{LinkWzór|1.81}}: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{m\dot{x}^2}{2}+\frac{kx^2}{2}\right)</MATH>}} jest '''czasową pochodną energii całkowitej układu'''. Energia ta składa się z dwóch części: * energii kinetycznej: {{Formuła|<MATH>\frac{m\dot{x}^2}{2}</MATH>}}, * energii potencjalnej sprężyny: {{Formuła|<MATH>\frac{kx^2}{2}</MATH>}}. Suma tych dwóch składników jest energią mechaniczną oscylatora. Pochodna tej sumy względem czasu mówi nam, jak szybko energia mechaniczna zmienia się w czasie. Wyrażenie po prawej stronie równania: {{Formuła|<MATH>-2m\beta\,\dot{x}^2</MATH>}} jest '''mocą sił dysypatywnych''', czyli szybkością, z jaką energia mechaniczna jest tracona wskutek tłumienia. Ponieważ: * współczynnik tłumienia {{Formuła|<MATH>\beta</MATH>}} jest dodatni, * kwadrat prędkości {{Formuła|<MATH>\dot{x}^2</MATH>}} jest zawsze dodatni, całe wyrażenie jest '''ujemne'''. Oznacza to, że tłumienie '''zawsze''' zmniejsza energię układu — nigdy jej nie zwiększa. Jest to fundamentalna cecha sił dysypatywnych: działają one jak „opór energetyczny”, który odbiera układowi energię i zamienia ją na ciepło lub inne formy energii nieodwracalnej. ---- * Interpretacja fizyczna ** Energia całkowita oscylatora harmonicznego tłumionego '''nie jest zachowana'''. ** Tłumienie działa jak „opór energetyczny”, który systematycznie redukuje amplitudę drgań. ** Im większa prędkość {{Formuła|<MATH>\dot{x}</MATH>}}, tym większa moc tracona na skutek tłumienia — energia „ucieka” szybciej, gdy układ porusza się szybciej. ** Równanie {{LinkWzór|1.81}} jest energetycznym odpowiednikiem równania ruchu {{LinkWzór|1.42|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady}}. W ten sposób otrzymujemy pełny opis energetyczny oscylatora harmonicznego tłumionego — pokazujący, jak energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się w czasie pod wpływem sił dysypatywnych. Jest to jeden z najważniejszych wyników w analizie układów drgających: tłumienie nie tylko zmienia równanie ruchu, lecz także wpływa na przepływ energii w układzie, prowadząc do stopniowego zaniku drgań. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== W tym podrozdziale analizujemy pełną, trójwymiarową wersję oscylatora harmonicznego — jednego z najbardziej fundamentalnych układów w całej fizyce klasycznej i kwantowej. Oscylator harmoniczny w trzech wymiarach jest naturalnym uogólnieniem oscylatora jednowymiarowego, lecz jego struktura matematyczna i fizyczna jest znacznie bogatsza. Układ taki pojawia się w niezliczonych zastosowaniach: w drganiach atomów w cząsteczkach, w modelach kryształów, w dynamice pól kwantowych, w analizie ruchu w potencjałach centralnych, a także w wielu zagadnieniach związanych z symetrią przestrzeni. Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}} i wektora przemieszczenia od położenia równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, wzięty z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Wzór {{LinkWzór|1.82}} jest naturalnym uogólnieniem prawa Hooke’a na trzy wymiary. Siła sprężystości jest zawsze skierowana przeciwnie do wektora przemieszczenia, a jej wartość rośnie proporcjonalnie do odległości od położenia równowagi. Oznacza to, że układ jest '''centralny''' — siła zawsze wskazuje na środek, niezależnie od kierunku wychylenia. Energię potencjalną zgodnie z definicją {{LinkWzór|1.78}} otrzymujemy jako całkę siły względem infinitezymalnego przesunięcia, również z minusem. Ponieważ siła jest proporcjonalna do wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, całkowanie wykonujemy składowo: {{CentrujWzór|<MATH> U =-\int_{\vec{0}}^{\vec{r}} \vec{F}\,d\vec{r} =k\int_{\vec{0}}^{\vec{r}} \vec{r}\,d\vec{r} =k\left(\int_0^x x\,dx + \int_0^y y\,dy + \int_0^z z\,dz\right) \;</MATH>}} Każdy składnik całki odpowiada energii potencjalnej wzdłuż jednej osi współrzędnych. Ponieważ siła jest liniowa i niezależna w każdej osi, całkowanie sprowadza się do trzech niezależnych całek jednowymiarowych. Po wykonaniu całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> U =k\left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}z^2\right) =\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2) =\frac{1}{2}k\,\vec{r}^{\,2} \;</MATH>|1.83}} Otrzymujemy energię potencjalną zależną wyłącznie od kwadratu odległości od położenia równowagi. Jest to niezwykle ważny wynik: energia potencjalna trójwymiarowego oscylatora harmonicznego jest funkcją radialną, zależną tylko od długości wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, a nie od kierunku. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' ** Energia potencjalna trójwymiarowego oscylatora harmonicznego zależy wyłącznie od odległości od położenia równowagi. ** Powierzchnie stałej energii są '''sferami''' o promieniu {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{\frac{2U}{k}}\;</MATH>}}. ** Układ zachowuje pełną symetrię izotropową — sprężyna „ciągnie” ciało zawsze w stronę środka, niezależnie od kierunku wychylenia. Interpretacja ta ma ogromne znaczenie fizyczne: * układ jest '''centralny''', * siła zależy tylko od odległości od środka, * energia potencjalna jest funkcją radialną, * ruch w takim potencjale jest naturalnym modelem dla wielu układów fizycznych, w tym dla oscylacji atomów w cząsteczkach i dla potencjałów kwantowych. Wynik {{LinkWzór|1.83}} jest naturalnym trójwymiarowym uogólnieniem energii potencjalnej oscylatora harmonicznego w jednym wymiarze. Pokazuje on, że struktura matematyczna oscylatora harmonicznego jest niezwykle elegancka: w każdym wymiarze energia potencjalna ma tę samą postać kwadratową, a w trzech wymiarach sumuje się do funkcji radialnej. Układ ten jest jednym z najważniejszych modeli w fizyce — jego symetria, prostota i uniwersalność sprawiają, że stanowi fundament dla wielu teorii, od klasycznej dynamiki po mechanikę kwantową. === Zasada zachowania energii === W tym podrozdziale przechodzimy do jednego z najważniejszych i najbardziej uniwersalnych praw fizyki: zasady zachowania energii. Jest to zasada, która przenika całą mechanikę klasyczną, mechanikę kwantową, teorię pól, termodynamikę, a nawet ogólną teorię względności. Energia jest wielkością, która nie powstaje z niczego i nie znika — może jedynie zmieniać formę. Aby jednak zrozumieć, skąd ta zasada wynika w mechanice Newtonowskiej, musimy przeanalizować równanie ruchu dla układu wielu cząstek i rozdzielić siły działające na układ na różne typy. Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na: * '''siły potencjalne''' ** działające '''wewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}</MATH>}} ** działające '''zewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}'</MATH>}} * '''siły dysypatywne''' ** działające '''wewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}</MATH>}} ** działające '''zewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}'</MATH>}} Podział ten jest kluczowy: siły potencjalne są siłami, które posiadają energię potencjalną, natomiast siły dysypatywne są siłami, które rozpraszają energię (np. tarcie, opór lepki). Siły wewnętrzne działają między cząstkami układu, natomiast siły zewnętrzne pochodzą spoza układu. Równanie ruchu dla cząstki \(i\) ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\dot{\vec{v}}_i =\sum_j\vec{F}_{zij} +\sum_j\vec{F}_{pij} +\sum_k\vec{F}_{zik}' +\sum_k\vec{F}_{pik}' \;</MATH>|1.69}} Równanie to mówi, że przyspieszenie cząstki wynika ze wszystkich sił działających na nią — zarówno potencjalnych, jak i dysypatywnych, wewnętrznych i zewnętrznych. ---- * '''Przejście do opisu energetycznego''' Pomnóżmy równanie {{LinkWzór|1.69}} przez {{Formuła|<MATH>\vec{v}_i\,dt\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\dot{\vec{v}}_i\,\vec{v}_i\,dt =\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i +\sum_j\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{zik}'d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{pik}'d\vec{r}_i \Rightarrow </MATH>{{Br}}<MATH> \Rightarrow d\left(\frac{m_iv_i^2}{2}\right) =\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i +\sum_j\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{zik}'d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{pik}'d\vec{r}_i \;</MATH>|1.70}} Wyrażenie po lewej stronie jest różniczką energii kinetycznej cząstki. Wyrażenia po prawej stronie są pracami wykonywanymi przez różne typy sił. Równanie {{LinkWzór|1.70}} dotyczy jednej cząstki. Sumując je po wszystkich cząstkach układu i korzystając z definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> dT =\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1} +\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i +\underbrace{\sum_{ki}\vec{F}_{zik}'d\vec{r}_i}_{dW_2} +\underbrace{\sum_{ki}\vec{F}_{pik}'d\vec{r}_i}_{-dU_2} =dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2 </MATH>{{Br}}<MATH> =dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2 \;</MATH>|1.71}} W równaniu tym: * {{Formuła|<MATH>dT</MATH>}} — zmiana energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>dW</MATH>}} — praca sił dysypatywnych, * {{Formuła|<MATH>dU_1</MATH>}} — zmiana energii potencjalnej sił wewnętrznych, * {{Formuła|<MATH>dU_2</MATH>}} — zmiana energii potencjalnej sił zewnętrznych. ---- * '''Siły potencjalne wewnętrzne''' Rozpatrzmy teraz siły potencjalne działające między cząstkami: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i =\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_j\right) =\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_j\right) </MATH>{{Br}}<MATH> =\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d(\vec{r}_i-\vec{r}_j) =\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij} =-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij} =-dU_1 \;</MATH>|1.72}} W powyższym obliczeniu użyliśmy definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Siły wewnętrzne potencjalne nie zmieniają energii całkowitej — jedynie zamieniają energię kinetyczną na potencjalną i odwrotnie. ---- * '''Końcowy wynik: równanie energii''' Podstawiając wynik {{LinkWzór|1.72}} do równania {{LinkWzór|1.71}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> dT=dW-dU_1-dU_2 \Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW \Rightarrow dT+dU=dW \Rightarrow d(T+U)=dW \Rightarrow dE=dW \;</MATH>|1.73}} Otrzymujemy fundamentalne równanie energii: * energia całkowita układu: {{Formuła|<MATH>E=T+U</MATH>}}, * jej zmiana jest równa pracy sił zewnętrznych: {{Formuła|<MATH>dE=dW</MATH>}}. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' ** {{Formuła|<MATH>E=T+U\;</MATH>}} — energia całkowita układu. ** {{Formuła|<MATH>dE=dW\;</MATH>}} — zmiana energii układu jest równa pracy sił zewnętrznych. ** Jeśli siły zewnętrzne nie wykonują pracy (układ izolowany), to: {{Formuła|<MATH>dW=0 \Rightarrow dE=0</MATH>}}. co oznacza, że '''energia całkowita układu jest zachowana'''. ---- * '''Wniosek: zasada zachowania energii''' Zasada zachowania energii jest bezpośrednim skutkiem: * drugiej zasady Newtona, * trzeciej zasady Newtona, * definicji sił potencjalnych, * oraz własności sił dysypatywnych. W układzie izolowanym energia całkowita pozostaje stała — jest to jedno z najważniejszych praw fizyki klasycznej. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == W tym podrozdziale pokazujemy, jak zasady zachowania — momentu pędu i energii — pozwalają sprowadzić pełny problem ruchu w polu centralnym do znacznie prostszego zagadnienia ruchu jednowymiarowego. Jest to jedna z najważniejszych technik w mechanice klasycznej: zamiast rozwiązywać pełne równania ruchu w dwóch lub trzech wymiarach, wykorzystujemy symetrie układu, aby zredukować liczbę stopni swobody. Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie. Z zasady zachowania '''momentu pędu''' i '''energii''', oraz z definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych, mamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2\right)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}} }} Wzór {{LinkWzór|1.84}} jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu: jeśli siła działająca na ciało jest centralna (skierowana wzdłuż promienia), to moment pędu jest stały. Wzór {{LinkWzór|1.85}} jest wyrazem zasady zachowania energii: suma energii kinetycznej (radialnej i kątowej) oraz potencjalnej jest stała. Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczamy {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}\;</MATH>}} i podstawiamy do równania energii {{LinkWzór|1.85}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)=E \;</MATH>|1.86}} Otrzymujemy równanie ruchu w kierunku radialnym. Jest to równanie jednowymiarowe, w którym efekty ruchu kątowego zostały „wbudowane” w dodatkowy składnik: {{Formuła|<MATH>\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} zwany '''barierą odśrodkową'''. To równanie można rozwiązać metodą '''rozdzielenia zmiennych''', otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH> dt=\pm\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-U(r)-\frac{L^2}{2mr^2}\right)}} \;</MATH>|1.87}} Zatem czas przejścia z {{Formuła|<MATH>r_0\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> t-t_0=\pm\int_{r_0}^r \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-U(r)-\frac{L^2}{2mr^2}\right)}} \;</MATH>|1.88}} To równanie opisuje pełną dynamikę radialną — bez konieczności rozwiązywania równania dla kąta. ---- * Kąt obrotu jako funkcja położenia radialnego Z równania momentu pędu {{LinkWzór|1.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\theta=\frac{L}{mr^2}\,dt \;</MATH>|1.89}} Podstawiając {{Formuła|<MATH>dt\;</MATH>}} z {{LinkWzór|1.87}} i całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \theta-\theta_0 =\pm\int_{r_0}^r \frac{L\,dr}{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-\frac{L^2}{2mr^2}\right]}} \;</MATH>|1.90}} Otrzymujemy pełną zależność kąta od promienia. W ten sposób rozwiązujemy ruch w polu centralnym '''bez rozwiązywania równań różniczkowych drugiego rzędu''' — jedynie całkując równania wynikające z zasad zachowania. ---- * Energia efektywna Wzory {{LinkWzór|1.88}} i {{LinkWzór|1.90}} można zapisać z użyciem '''energii efektywnej''': {{CentrujWzór|<MATH> U_{ef}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2} \;</MATH>|1.91}} Wtedy równanie radialne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{m\dot{r}^2}{2}+U_{ef}(r)=E \;</MATH>}} co odpowiada ruchowi '''jednowymiarowemu''' w potencjale {{Formuła|<MATH>U_{ef}(r)</MATH>}}. Składnik {{Formuła|<MATH>\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} jest barierą „odśrodkową” wynikającą z zachowania momentu pędu. Im większy moment pędu, tym większa bariera — ciało nie może zbliżyć się do środka poniżej pewnej minimalnej wartości \(r\). Energia efektywna zależy więc: * od energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>U(r)</MATH>}} w polu centralnym, * oraz od momentu pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}. Dzięki temu: * minimum {{Formuła|<MATH>U_{ef}(r)\;</MATH>}} wyznacza możliwe promienie orbit kołowych, * kształt {{Formuła|<MATH>U_{ef}(r)\;</MATH>}} decyduje o tym, czy ruch jest związany (oscylacje radialne), czy rozbiegający (ucieczka do {{Formuła|<MATH>r\to\infty\;</MATH>}}, * ruch w polu centralnym sprowadza się do analizy jednego wykresu — wykresu energii efektywnej. To jest główny sens „wykorzystania zasad zachowania” do rozwiązywania równań ruchu: * symetria układu pozwala zredukować pełny problem dwuwymiarowy do jednowymiarowego, a równania ruchu sprowadzają się do prostych całek. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> iwu1w8nazuk2qk8xaxrbmndz4vk1gci 0 64139 555444 555086 2026-09-10T02:29:48Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona */ 555444 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Prawa Keplera == === Empiryczne Prawa Keplera i ich ogólnikowe przedstawienie === Prawa Keplera opisują ruch planet wokół gwiazdy lub satelitów wokół planety. Są one jednym z najważniejszych rezultatów klasycznej mechaniki nieba i stanowią pomost między obserwacjami astronomicznymi a teorią Newtonowską. Aby prawa Keplera były dokładnie spełnione, zakładamy, że masa ciała krążącego '''m''' jest dużo mniejsza od masy ciała centralnego '''M''': {{CentrujWzór|<MATH>M \gg m</MATH>}} Warunek ten jest kluczowy: jeśli masa ciała centralnego jest ogromna w porównaniu z masą ciała krążącego, to środek masy układu leży praktycznie w centrum ciała o masie '''M'''. Dzięki temu ciało centralne można traktować jako nieruchome, a ruch ciała o masie '''m''' sprowadza się do ruchu w '''centralnym polu grawitacyjnym'''. W takim przypadku równania ruchu upraszczają się do jednowymiarowego równania radialnego z energią efektywną: {{CentrujWzór|<MATH>U_{\text{ef}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} gdzie składnik {{Formuła|<MATH>\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} jest barierą odśrodkową wynikającą z zachowania momentu pędu. ==== Pierwsze prawo Keplera ==== Planeta porusza się po '''elipsie''', a ciało centralne znajduje się w jednym z jej ognisk. Jest to bezpośredni wynik równania orbity w polu grawitacyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}</MATH>}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} – parametr orbity, * {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} – mimośród elipsy. Równanie to jest rozwiązaniem równania ruchu w polu centralnym dla potencjału grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>U(r)=-\frac{GMm}{r}</MATH>}} i wynika z połączenia zasady zachowania energii oraz momentu pędu. Elipsa jest naturalną krzywą stożkową powstającą w polu grawitacyjnym — inne możliwe krzywe to parabole i hiperbole (dla energii dodatniej). ---- ==== Drugie prawo Keplera ==== Promień wodzący zakreśla '''równe pola w równych odstępach czasu'''. Jest to bezpośrednia konsekwencja zachowania momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}=\frac{L}{m}=\operatorname{const}</MATH>}} Interpretacja: * jeśli planeta jest bliżej Słońca, porusza się szybciej, * jeśli jest dalej, porusza się wolniej, * tak aby pole zakreślane w jednostce czasu było stałe. Jest to geometryczny sposób wyrażenia zasady zachowania momentu pędu. ---- ==== Trzecie prawo Keplera ==== Kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3</MATH>}} Stała proporcjonalności zależy wyłącznie od masy ciała centralnego. Oznacza to, że wszystkie planety krążące wokół tego samego ciała centralnego spełniają tę samą zależność między okresem a półosią wielką. Interpretacja: * im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym dłuższy jest jej okres obiegu, * zależność ta jest uniwersalna i wynika z samej struktury pola grawitacyjnego. ---- ===== Dlaczego warunek {{Formuła|<MATH>M \gg m</MATH>}} jest ważny? ===== * środek masy układu leży praktycznie w centrum ciała M, * ciało centralne można traktować jako nieruchome, * równania ruchu upraszczają się do ruchu jednej cząstki w polu centralnym, * obowiązuje energia efektywna: {{CentrujWzór|<MATH>U_{\text{ef}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} co pozwala sprowadzić pełny problem orbitalny do jednowymiarowego równania radialnego. W ten sposób ruch planetarny staje się prostym ruchem w potencjale efektywnym, a prawa Keplera wynikają bezpośrednio z zasad zachowania energii i momentu pędu. === Półempiryczne przedstawienie praw Keplera === ==== Pierwsze Prawo Keplera ==== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Pierwsze Prawo Keplera jest jednym z najbardziej fundamentalnych wyników mechaniki nieba. Mówi ono, że tor ruchu planety nie jest okręgiem, spiralą ani żadną krzywą przypadkową — lecz '''elipsą''', czyli krzywą stożkową o dwóch ogniskach. W polu grawitacyjnym Newtona jedno z tych ognisk zajmuje ciało centralne (np. Słońce). Własność elipsy, którą wykorzystujemy, to klasyczna tożsamość geometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Tożsamość ta mówi, że suma odległości od dwóch ognisk jest stała dla każdego punktu elipsy. Jest to definicja elipsy w geometrii klasycznej. ---- ===== Równanie elipsy w układzie biegunowym ===== Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnym od stałej mimośrodu {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} oraz parametrów {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>b</MATH>}}. Odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=\frac{p}{1+e\cos\psi}</MATH>|1.93}} Wzór ten jest '''dokładnie tym samym równaniem''', które otrzymujemy z równania Newtona dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}</MATH>}} co pokazuje, że '''orbita planetarna jest elipsą z ogniskiem w ciele centralnym'''. ---- ===== Parametry elipsy ===== Stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}} mają postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=\frac{b^2}{a}</MATH>|1.94}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}} |3={{CentrujWzór|<MATH>e=\frac{c}{a}\leq 1</MATH>|1.96}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} — półoś wielka elipsy, * {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} — półoś mała, * {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} — odległość ogniska od środka elipsy, * {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} — mimośród, miara „spłaszczenia” elipsy, * {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} — parametr orbity, związany z geometrią elipsy i momentem pędu. Warto zauważyć: * jeśli {{Formuła|<MATH>e=0</MATH>}}, elipsa staje się okręgiem, * jeśli {{Formuła|<MATH>e\to 1</MATH>}}, elipsa staje się bardzo wydłużona, * jeśli {{Formuła|<MATH>e>1</MATH>}}, równanie opisuje hiperbolę — tor ucieczki. W polu grawitacyjnym Newtona: * '''orbity związane''' mają {{Formuła|<MATH>0\le e<1</MATH>}}, * '''orbity paraboliczne''' mają {{Formuła|<MATH>e=1</MATH>}}, * '''orbity hiperboliczne''' mają {{Formuła|<MATH>e>1</MATH>}}. Pierwsze Prawo Keplera jest więc naturalnym wynikiem równania orbity w polu centralnym. ==== Drugie Prawo Keplera ==== {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Drugie Prawo Keplera jest bezpośrednią konsekwencją '''zasady zachowania momentu pędu''' w ruchu w polu centralnym. W polu grawitacyjnym Newtona siła działa zawsze wzdłuż promienia, dlatego nie wywiera momentu względem ciała centralnego. W rezultacie moment pędu planety jest stały: {{CentrujWzór|<MATH>L = mr^2\dot{\phi} = \text{const}</MATH>}} Stałość momentu pędu oznacza, że iloczyn {{Formuła|<MATH>r^2\dot{\phi}</MATH>}} nie zmienia się w czasie. Jeśli planeta zbliża się do Słońca (małe {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}), to prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}</MATH>}} musi wzrosnąć. Jeśli oddala się (duże {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}), prędkość kątowa maleje. To jest dokładnie treść II Prawa Keplera. ---- ===== Interpretacja geometryczna ===== Pole zakreślane przez promień wodzący w czasie {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>dA = \frac{1}{2} r^2\, d\phi</MATH>}} Jest to pole małego trójkąta o bokach: * {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} — promień wodzący, * {{Formuła|<MATH>r\,d\phi</MATH>}} — łuk kołowy w czasie {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}}. Korzystając z zachowania momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>dA = \frac{L}{2m}\, dt</MATH>}} Widzimy, że: * {{Formuła|<MATH>dA</MATH>}} jest '''proporcjonalne''' do {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}}, * czyli w '''równych odstępach czasu''' zakreślane są '''równe pola'''. To jest dokładnie treść II Prawa Keplera — ale teraz wyprowadzona z czystej mechaniki Newtonowskiej. ---- ===== Konsekwencja fizyczna ===== Z tego prawa wynika, że: * w '''peryhelium''' (blisko Słońca, małe {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}) planeta porusza się '''szybciej''', * w '''aphelium''' (daleko od Słońca, duże {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}) planeta porusza się '''wolniej'''. To zachowanie jest naturalnym skutkiem tego, że moment pędu jest stały — gdy {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} maleje, {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}</MATH>}} musi rosnąć, aby zachować wartość {{Formuła|<MATH>mr^2\dot{\phi}</MATH>}}. W ten sposób II Prawo Keplera jest geometrycznym i fizycznym wyrazem zasady zachowania momentu pędu. ==== Trzecie Prawo Keplera ==== ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy.'' To fundamentalne prawo ruchu planetarnego zapisujemy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}</MATH>|1.97}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>T_1, T_2</MATH>}} — okresy obiegu dwóch planet, * {{Formuła|<MATH>a_1, a_2</MATH>}} — długości półosi wielkich ich orbit. Trzecie Prawo Keplera jest jednym z najgłębszych związków między geometrią orbity a dynamiką ruchu w polu grawitacyjnym. Pokazuje ono, że '''czas obiegu planety zależy wyłącznie od jej odległości od ciała centralnego''', a nie od jej masy czy kształtu orbity (o ile jest to elipsa). ---- ===== Wyprowadzenie fizyczne — równowaga sił w ruchu orbitalnym ===== Trzecie Prawo Keplera wynika z dynamiki ruchu w polu grawitacyjnym i jest konsekwencją równowagi między: * '''siłą grawitacji''' {{Formuła|<MATH>F_g=\frac{GMm}{r^2}</MATH>}}. * '''siłą odśrodkową''' wynikającą z ruchu po orbicie {{Formuła|<MATH>F_o=\frac{mv^2}{r}</MATH>}}. W ruchu orbitalnym po okręgu (lub w przybliżeniu po elipsie, jeśli użyjemy średniego promienia) zachodzi równowaga: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}</MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=\frac{GM}{r}</MATH>}} Prędkość orbitalna związana jest z okresem obiegu: {{CentrujWzór|<MATH>v=\frac{2\pi r}{T}</MATH>}} Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2=\frac{GM}{r}</MATH>}} Po przekształceniu: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3</MATH>}} Jeśli zamiast promienia okręgu użyjemy półosi wielkiej elipsy {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}, otrzymujemy pełne trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3</MATH>}} ---- ===== Interpretacja fizyczna ===== * Im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym wolniej się porusza. * Zależność jest bardzo silna: jeśli odległość wzrośnie dwukrotnie, okres wzrasta ponad '''dwukrotnie''' — dokładnie jak {{Formuła|<MATH>\sqrt{8}\;</MATH>}}. * Wszystkie planety krążące wokół tego samego ciała centralnego spełniają tę samą zależność. Trzecie Prawo Keplera jest więc '''uniwersalnym prawem ruchu w polu grawitacyjnym''', zależnym wyłącznie od masy ciała centralnego. ---- ===== Znaczenie astronomiczne ===== Prawo to pozwala: * wyznaczać masę Słońca z okresów i półosi orbit planet, * określać masy planet z okresów ich księżyców, * analizować stabilność układów planetarnych, * badać egzoplanety na podstawie krzywych jasności (metoda tranzytowa). Trzecie Prawo Keplera jest jednym z najważniejszych narzędzi astronomii obserwacyjnej i teoretycznej. == Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera == {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} Drugie Prawo Keplera jest jednym z najbardziej eleganckich i geometrycznie intuicyjnych praw mechaniki nieba. Mówi ono, że: ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' W języku mechaniki Newtonowskiej oznacza to, że '''prędkość polowa''' jest stała. A prędkość polowa jest bezpośrednio związana z '''momentem pędu''', który w polu centralnym jest wielkością zachowaną. ---- === Prędkość polowa === Wprowadźmy pojęcie '''prędkości polowej''', która zależy od położenia ciała na elipsie oraz jego prędkości liniowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}=\frac{1}{2}\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Jest to wektor skierowany prostopadle do płaszczyzny ruchu, a jego wartość opisuje szybkość, z jaką promień wodzący zakreśla pole. Długość wektora prędkości polowej wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>u=\frac{1}{2}\,r\,v\,\sin\beta</MATH>|1.99}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} — odległość od ogniska, * {{Formuła|<MATH>v</MATH>}} — prędkość liniowa, * {{Formuła|<MATH>\beta</MATH>}} — kąt między wektorami {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}. ---- === Dowód wzorów {{LinkWzór|1.98}} i {{LinkWzór|1.99}} === Rozważmy pole elipsy zakreślone w czasie {{Formuła|<MATH>\Delta t</MATH>}}. Pole trójkąta o bokach {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>v\Delta t</MATH>}}, zawierających kąt {{Formuła|<MATH>\pi-\beta</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta S=\frac{1}{2}r\,v\,\Delta t\,\sin(\pi-\beta) \Rightarrow \Delta S=\frac{1}{2}r\,v\,\Delta t\,\sin\beta </MATH>|1.100}} Definicja prędkości polowej: {{CentrujWzór|<MATH> u=\frac{\Delta S}{\Delta t} </MATH>|1.101}} Podstawiając równanie {{LinkWzór|1.100}} do {{LinkWzór|1.101}}, otrzymujemy wzór {{LinkWzór|1.99}}. Z kolei korzystając z definicji długości iloczynu wektorowego: {{Formuła|<MATH>\|\vec{r}\times\vec{v}\| = r\,v\,\sin\beta</MATH>}}, otrzymujemy wektorową postać prędkości polowej — wzór {{LinkWzór|1.98}}. ---- === Związek prędkości polowej z momentem pędu === Moment pędu ciała o masie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} poruszającego się po elipsie wokół jednego z ognisk wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K}=\vec{r}\times m\vec{v} = m(\vec{r}\times\vec{v}) = 2m\vec{u} </MATH>|1.102}} Zatem: * prędkość polowa {{Formuła|<MATH>\vec{u}</MATH>}} jest '''proporcjonalna''' do momentu pędu, * moment pędu jest '''stały''' w ruchu w polu centralnym, * więc prędkość polowa jest również '''stała'''. Stałość prędkości polowej oznacza, że w równych odstępach czasu zakreślane są równe pola. To jest dokładnie treść Drugiego Prawa Keplera. ---- === Wniosek === Drugie Prawo Keplera: * „Promień wodzący zakreśla w równych odstępach czasu równe pola” jest '''innym sformułowaniem zasady zachowania momentu pędu'''. Stałość momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec{K}</MATH>}} oznacza stałość prędkości polowej {{Formuła|<MATH>\vec{u}</MATH>}}, a to dokładnie prowadzi do II Prawa Keplera. W ten sposób geometria orbity i dynamika Newtonowska łączą się w jedno z najpiękniejszych praw mechaniki nieba. == Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera == {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Keplera dla dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsami, z punktami ogniskowymi F1 i F2 dla pierwszej planety oraz F1 i F3 dla drugiej planety. Słońce jest umieszczone w punkcie ogniskowym F1. (2) Oba zacienione sektory A1 i A2 mają taką samą powierzchnię, a czas potrzebny planecie 1 na pokrycie sektora A1 jest równy czasowi na pokrycie sektora A2. (3) Stosunek kwadratów okresów obiegu planet 1 i 2 ma się jak stosunek sześcianów ich półosi wielkich.}} Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona z praw Keplera jest jednym z najpiękniejszych osiągnięć mechaniki klasycznej. Pokazuje ono, że '''z czysto geometrycznych i obserwacyjnych praw Keplera''' można wydedukować '''dokładną postać siły grawitacyjnej'''. Kluczowe fakty: * prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest proporcjonalna do momentu pędu, * moment pędu jest zachowany {{LinkWzór|1.84|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, * orbita jest elipsą, więc odwrotność promienia jest funkcją kąta. ---- === Siła radialna z kinematyki w układzie biegunowym === Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało o masie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} działa siła skierowana radialnie względem ciała o masie {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}. Siłę radialną wyznaczamy z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = ma_r = m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\right) </MATH>|1.103}} ---- === Równanie orbity — elipsa === Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} jest zależna od kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r=\frac{k}{1+\epsilon\cos\phi} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{r}=\frac{1}{k}\left(1+\epsilon\cos\phi\right) </MATH>|1.104}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\dot{r}}{r^{2}}=\frac{\epsilon}{k}\dot{\phi}\sin\phi </MATH>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = mr^{2}\dot{\phi} \quad\Rightarrow\quad r^{2}\dot{\phi}=\frac{L}{m} </MATH>|1.106}} Podstawiamy do {{LinkWzór|1.105}}: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{r}=\frac{\epsilon L}{km}\sin\phi </MATH>|1.107}} Różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot{r} =\frac{\epsilon L^{2}}{km^{2}r^{2}}\cos\phi </MATH>|1.108}} Z równania na moment pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{m^{2}r^{4}} \Rightarrow r\dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} </MATH>|1.109}} ---- === Siła radialna — wynik po podstawieniu === Korzystając z {{LinkWzór|1.108}} i {{LinkWzór|1.109}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\right) = \frac{L^{2}}{mr^{2}}\left(\frac{\epsilon}{k}\cos\phi-\frac{1}{r}\right) </MATH>|1.110}} Podstawiamy {{LinkWzór|1.104}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = -\frac{L^{2}}{kmr^{2}} </MATH>|1.111}} To jest kluczowy wynik: **siła radialna jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości**. ---- === Związek z II Prawem Keplera i okresem obiegu === Z drugiego prawa Keplera: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m} </MATH>}} Pole elipsy wynosi {{Formuła|<MATH>\pi ab</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{2\pi ab\,m}{L} \Rightarrow T^{2}=\frac{4\pi^{2}a^{2}b^{2}m^{2}}{L^{2}} </MATH>|1.112}} Stosunek: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}b^{2}m^{2}}{L^{2}a} </MATH>}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\frac{b^{2}}{a}=k</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}k m^{2}}{L^{2}} = \text{const} </MATH>|1.113}} To jest dokładnie '''Trzecie Prawo Keplera'''. ---- === Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona === Wprowadzamy stałą: {{CentrujWzór|<MATH> f=\frac{L^{2}}{km^{2}} </MATH>}} Wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.111}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r=-\frac{fm}{r^{2}} </MATH>|1.114}} Aby siła była symetryczna względem masy ciała centralnego {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} i masy ciała krążącego {{Formuła|<MATH>m</MATH>}}, przyjmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> f=GM </MATH>}} Ostatecznie otrzymujemy '''prawo grawitacji Newtona''': {{CentrujWzór|<MATH> F_r=-\frac{GMm}{r^{2}} </MATH>|1.115}} ---- === Wniosek === Z '''trzech praw Keplera''', czysto geometrycznych i obserwacyjnych, można wyprowadzić: * postać siły grawitacyjnej, * zależność odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości, * pełne prawo Newtona. To jest jedno z najpiękniejszych połączeń geometrii, astronomii i dynamiki w historii nauki. == Uogólnienie trzeciej zasady Keplera == Uogólnienie trzeciego prawa Keplera jest jednym z najważniejszych rezultatów mechaniki nieba. Pozwala ono opisać ruch '''dwóch ciał o dowolnych masach''', a nie tylko przypadek, w którym jedno ciało ma masę znacznie większą od drugiego. W tym ujęciu oba ciała krążą wokół wspólnego środka masy, a ich ruch jest w pełni symetryczny. ---- === Siła dośrodkowa i prawo grawitacji === Siłę dośrodkową definiujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=\frac{mv^2}{r}</MATH>}} Łącząc ją z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, otrzymujemy równania opisujące ruch dwóch ciał krążących po okręgach: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>G\frac{Mm}{R^2}=\frac{Mv_1^2}{r_1}</MATH>|1.116}} |2={{CentrujWzór|<MATH>G\frac{Mm}{R^2}=\frac{Mv_2^2}{r_2}</MATH>|1.117}} }} gdzie: * {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} — odległość między ciałami, * {{Formuła|<MATH>r_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2</MATH>}} — promienie orbit względem środka masy. ---- === Przekształcenie równań — wyznaczenie zależności geometrycznych === Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy przekształcić tak, aby wyznaczyć wartości {{Formuła|<MATH>R^2 r_1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>R^2 r_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_1 = Gm\,\frac{r_1^2}{v_1^2}</MATH>|1.118}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_2 = GM\,\frac{r_2^2}{v_2^2}</MATH>|1.119}} }} Z drugiej strony wiadomo, że: {{CentrujWzór|<MATH> v=\frac{2\pi r}{T} \Rightarrow T=\frac{2\pi r}{v} \Rightarrow \frac{T}{2\pi}=\frac{r}{v} </MATH>}} Podstawiając tę zależność do równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_1 = \frac{T^2}{4\pi^2} Gm</MATH>|1.120}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_2 = \frac{T^2}{4\pi^2} GM</MATH>|1.121}} }} Ponieważ suma promieni: {{CentrujWzór|<MATH>r_1 + r_2 = R</MATH>}} otrzymujemy fundamentalną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> T^2 (m+M) = R^3\,\frac{4\pi^2}{G} </MATH>|1.122}} To jest '''uogólnione trzecie prawo Keplera''' dla dwóch ciał o dowolnych masach. ---- === Uogólnione prawo Keplera dla dwóch układów === Dzieląc obustronnie równania opisujące dwie orbity dwóch ciał krążących wokół dwóch gwiazd, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T_1^2 (M_1 + m_1)}{T_2^2 (M_2 + m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3} </MATH>|1.123}} Jest to najbardziej ogólna forma trzeciego prawa Keplera. ---- === Przejście do klasycznego trzeciego prawa Keplera === Jeśli dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i przyjmiemy: {{CentrujWzór|<MATH> M_1 \gg m_1,\quad M_2 \gg m_2,\quad M_1 = M_2 = M </MATH>}} to otrzymujemy klasyczne trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} </MATH>|1.124}} czyli: ''Kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej.'' ---- === Wniosek === Uogólnione trzecie prawo Keplera: * działa dla '''dowolnych mas''', * opisuje ruch '''dwóch ciał wokół wspólnego środka masy''', * redukuje się do klasycznego prawa Keplera, gdy jedno ciało jest bardzo masywne. Jest to jedno z najważniejszych praw mechaniki nieba, łączące geometrię orbit z dynamiką grawitacyjną. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dd5z4kzhpdinfm8j8jrzihbj2qv152r 0 64145 555263 2026-09-09T13:39:32Z EdytaT 2664 Utworzono nową stronę „ {{Podrozdział|[[Sosy]]|Sos borowikowy}} == Sos borowikowy (sauceaux cèpes) == * Sos borowikowy to wariant [[Sosy/Sos grzybowy|sosu grzybowego]]. * Borowik posiada silny, ziemisty i orzechowy smak (umami), który dominuje na talerzu i nadaje potrawie szlachetności. == Kompozycje smakowe == * Klasycznie: z patelni, usmażone na maśle lub wywarze z pieczeni z cebulą i czosnkiem, zalane śmietaną, wywarem mięsnym lub woda pozostałą z namaczania suszonyc…” 555263 wikitext text/x-wiki {{Podrozdział|[[Sosy]]|Sos borowikowy}} == Sos borowikowy (sauceaux cèpes) == * Sos borowikowy to wariant [[Sosy/Sos grzybowy|sosu grzybowego]]. * Borowik posiada silny, ziemisty i orzechowy smak (umami), który dominuje na talerzu i nadaje potrawie szlachetności. == Kompozycje smakowe == * Klasycznie: z patelni, usmażone na maśle lub wywarze z pieczeni z cebulą i czosnkiem, zalane śmietaną, wywarem mięsnym lub woda pozostałą z namaczania suszonych borowików. Do tego świeża pietruszka. * Z ziołami: estragonem lub tymiankiem. == Przepisy == * 50g suszonych borowików, namoczonych w cieplej lub gorącej wodzie (wody nie wylewaj!) * Na rozgrzanej patelni rozpuść trochę masła. Pocięte grzyby smaż w wysokiej temperaturze, aż wyparuje woda. * Dodaj cebulkę szalotkę, czosnek, tymianek i duś razem przez 2 minuty. * Zdeglasuj patelnię białym winem i pozwól ponownie wyparować wodzie. * Dodaj śmietanę i wywar pieczeniowy, wodę z namaczania grzybów. * Duś przez 5 minut na średnim ogniu. * Na koniec sos dopraw [[Przyprawy/Sól|solą]] i [[Przyprawy/Pieprz|pieprzem]]. == Potrawy == * Dziczyzna :: Mięso z sarny, jelenia lub dzika ma bardzo mocny, specyficzny zapach. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby zbyt delikatny, natomiast sos borowikowy idealnie równoważy smak dziczyzny. * Wołowina :: Pieczona wołowina lub steki dobrze smakują w połączeniu z głębokim, grzybowym aromatem. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby do nich zbyt mdły. * Kluski śląskie i kopytka :: Domowe kluski podane z gęstym sosem borowikowym tworzą bogate, świąteczne danie. * Potrawy z wędzonką :: Borowiki świetnie łączą się z dymnym smakiem boczku lub swojskiej kiełbasy. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Pieczarki]] zginęłyby w takim zestawieniu. == Przypisy == {{Przypisy}} {{BrClear}} <noinclude>{{Wolumin}}</noinclude> 223xs9s4kih93qe8hw320242p88a0kd 555264 555263 2026-09-09T13:39:59Z EdytaT 2664 555264 wikitext text/x-wiki {{Podrozdział|[[Sosy]]|Sos borowikowy}} == Sos borowikowy (sauce aux cèpes) == * Sos borowikowy to wariant [[Sosy/Sos grzybowy|sosu grzybowego]]. * Borowik posiada silny, ziemisty i orzechowy smak (umami), który dominuje na talerzu i nadaje potrawie szlachetności. == Kompozycje smakowe == * Klasycznie: z patelni, usmażone na maśle lub wywarze z pieczeni z cebulą i czosnkiem, zalane śmietaną, wywarem mięsnym lub woda pozostałą z namaczania suszonych borowików. Do tego świeża pietruszka. * Z ziołami: estragonem lub tymiankiem. == Przepisy == * 50g suszonych borowików, namoczonych w cieplej lub gorącej wodzie (wody nie wylewaj!) * Na rozgrzanej patelni rozpuść trochę masła. Pocięte grzyby smaż w wysokiej temperaturze, aż wyparuje woda. * Dodaj cebulkę szalotkę, czosnek, tymianek i duś razem przez 2 minuty. * Zdeglasuj patelnię białym winem i pozwól ponownie wyparować wodzie. * Dodaj śmietanę i wywar pieczeniowy, wodę z namaczania grzybów. * Duś przez 5 minut na średnim ogniu. * Na koniec sos dopraw [[Przyprawy/Sól|solą]] i [[Przyprawy/Pieprz|pieprzem]]. == Potrawy == * Dziczyzna :: Mięso z sarny, jelenia lub dzika ma bardzo mocny, specyficzny zapach. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby zbyt delikatny, natomiast sos borowikowy idealnie równoważy smak dziczyzny. * Wołowina :: Pieczona wołowina lub steki dobrze smakują w połączeniu z głębokim, grzybowym aromatem. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby do nich zbyt mdły. * Kluski śląskie i kopytka :: Domowe kluski podane z gęstym sosem borowikowym tworzą bogate, świąteczne danie. * Potrawy z wędzonką :: Borowiki świetnie łączą się z dymnym smakiem boczku lub swojskiej kiełbasy. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Pieczarki]] zginęłyby w takim zestawieniu. == Przypisy == {{Przypisy}} {{BrClear}} <noinclude>{{Wolumin}}</noinclude> aq6d5j2dd2htou7l3q3mxzns7m0v83h 555279 555264 2026-09-09T14:10:31Z EdytaT 2664 555279 wikitext text/x-wiki {{Podrozdział|[[Sosy]]|Sos borowikowy}} [[Plik:Schwlend Stein.jpg|thumb|Sos borowikowy]] == Sos borowikowy (sauce aux cèpes) == * Sos borowikowy to wariant [[Sosy/Sos grzybowy|sosu grzybowego]]. * Borowik posiada silny, ziemisty i orzechowy smak (umami), który dominuje na talerzu i nadaje potrawie szlachetności. == Kompozycje smakowe == * Klasycznie: z patelni, usmażone na maśle lub wywarze z pieczeni z cebulą i czosnkiem, zalane śmietaną, wywarem mięsnym lub woda pozostałą z namaczania suszonych borowików. Do tego świeża pietruszka. * Z ziołami: estragonem lub tymiankiem. == Przepisy == * 50g suszonych borowików, namoczonych w cieplej lub gorącej wodzie (wody nie wylewaj!) * Na rozgrzanej patelni rozpuść trochę masła. Pocięte grzyby smaż w wysokiej temperaturze, aż wyparuje woda. * Dodaj cebulkę szalotkę, czosnek, tymianek i duś razem przez 2 minuty. * Zdeglasuj patelnię białym winem i pozwól ponownie wyparować wodzie. * Dodaj śmietanę i wywar pieczeniowy, wodę z namaczania grzybów. * Duś przez 5 minut na średnim ogniu. * Na koniec sos dopraw [[Przyprawy/Sól|solą]] i [[Przyprawy/Pieprz|pieprzem]]. == Potrawy == * Dziczyzna :: Mięso z sarny, jelenia lub dzika ma bardzo mocny, specyficzny zapach. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby zbyt delikatny, natomiast sos borowikowy idealnie równoważy smak dziczyzny. * Wołowina :: Pieczona wołowina lub steki dobrze smakują w połączeniu z głębokim, grzybowym aromatem. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby do nich zbyt mdły. * Kluski śląskie i kopytka :: Domowe kluski podane z gęstym sosem borowikowym tworzą bogate, świąteczne danie. * Potrawy z wędzonką :: Borowiki świetnie łączą się z dymnym smakiem boczku lub swojskiej kiełbasy. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Pieczarki]] zginęłyby w takim zestawieniu. == Przypisy == {{Przypisy}} {{BrClear}} <noinclude>{{Wolumin}}</noinclude> nfst6wj3uitbvl4b1rmx0w7kng7e5fa 555329 555279 2026-09-09T16:15:40Z EdytaT 2664 555329 wikitext text/x-wiki {{Podrozdział|[[Sosy]]|Sos borowikowy}} [[Plik:Schwlend Stein.jpg|thumb|Sos borowikowy]] == Sos borowikowy (sauce aux cèpes) == * Sos borowikowy to wariant [[Sosy/Sos grzybowy|sosu grzybowego]]. * Borowik posiada silny, ziemisty i orzechowy smak (umami), który dominuje na talerzu i nadaje potrawie szlachetności. == Kompozycje smakowe == * Klasycznie: z patelni, usmażone na maśle lub wywarze z pieczeni z cebulą i czosnkiem, zalane śmietaną, wywarem mięsnym lub woda pozostałą z namaczania suszonych borowików. Do tego świeża pietruszka. * Z ziołami: estragonem lub tymiankiem. == Przepisy == * 50g suszonych borowików namocz w cieplej lub gorącej wodzie (wody nie wylewaj!) lub 300 g świeżych i potnij na odpowiednie dla ciebie kawalki. * Na rozgrzanej patelni rozpuść trochę masła, najlepiej klarowanego. Grzyby smaż w wysokiej temperaturze, aż wyparuje woda. * Dodaj drobno pokrojona cebulkę szalotkę, czosnek, tymianek i duś razem przez 2 minuty. * Zdeglasuj patelnię białym winem lub woda pozostałą po moczeniu grzybów lub sosem z pieczeni, jeżeli taki masz, i pozwól ponownie wyparować wodzie. * Dodaj 150 ml śmietany. * Duś przez 5 minut na średnim ogniu. * Na koniec sos dopraw [[Przyprawy/Sól|solą]] i [[Przyprawy/Pieprz|pieprzem]]. == Potrawy == * Dziczyzna :: Mięso z sarny, jelenia lub dzika ma bardzo mocny, specyficzny zapach. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby zbyt delikatny, natomiast sos borowikowy idealnie równoważy smak dziczyzny. * Wołowina :: Pieczona wołowina lub steki dobrze smakują w połączeniu z głębokim, grzybowym aromatem. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Sos pieczarkowy]] byłby jednak do nich zbyt mdły. * Kluski śląskie i kopytka :: Domowe kluski podane z gęstym sosem borowikowym tworzą bogate, świąteczne danie. * Potrawy z wędzonką :: Borowiki świetnie łączą się z dymnym smakiem boczku lub swojskiej kiełbasy. [[Sosy/Sos pieczarkowy|Pieczarki]] zginęłyby w takim zestawieniu. == Przypisy == {{Przypisy}} {{BrClear}} <noinclude>{{Wolumin}}</noinclude> igmh8pfhff2y3edi34u5pkcbto7vw3f